U NIVERSITÉ L ILLE 1
F ACULTÉ DES S CIENCES É CONOMIQUES & S OCIALES
T RAVAUX D IRIGÉS
M ICROÉCONOMIE IV - I NCERTAIN & I NFORMATION
Licence 3 de Sciences Économiques et de Gestion
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Licence 3 de Mathématiques Appliquées aux Sciences Sociales Année Universitaire 2013-2014
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CONOMIE DUR
ISQUE & DE L’I
NCERTAINExercice 1 - On s’intéresse à un individu possédant une richesse certaine ! et qui a le choix entre les deux loteries suivantes :
X1 = ( 10;10; 1=4;3=4) et X2= ( 4;6; 1=2;1=2)
On noteraW1la richesse totale (aléatoire) de l’individu s’il choisitX1 etW2 sa richesse totale (aléatoire) s’il choisitX2.
1. Ecrivez et représentez graphiquement les fonctions de répartion de W1 etW2. 2. Calculez l’espérance et la variance des variables aléatoires W1 etW2que l’on notera respectivement E(Wi)etV ar(Wi) pouri= 1;2.
3. Si l’utilité de l’individu ne dépend que de son espérance de richesse E(Wi), quelle loterie choisira-t-il?
Supposons maintenant que les préférences de l’individu sont représentées par la fonction de Markowitz linéaire suivante
U(Wi) =E(Wi) 0;1V ar(Wi) 4. Quelle loterie l’individu choisira-t-il dans ce cas?
5. Montrez que si les préférences de l’individu sont représentées par une fonction de Markowitz linéaire son choix entre deux loteries ne dépendra pas de sa richesse certaine
!. Ce résultat vous semble-t-il satisfaisant ?
Exercice 2 - Cet exercice vise à vous faire construire votre propre fonction d’utilité en incertitude.
1. Rappelez la dé…nition d’équivalent certain d’une loterie et sa signi…cation.
On vous propose les trois loteries suivantesXa; Xb etXc
Xa= (1000;0; 1=10;9=10) Xb = (1000;0; 1=2;1=2) Xc= (1000;0; 9=10;1=10) 2. Calculez l’espérance mathématique du gain de chacune de ces loteries.
3. Calculez la variance du gain de chacune de ces loteries.
4. Donnez votre propre équivalent certain pour ces loteries.
Dans le tracé d’une fonction d’utilité en incertitude, ces valeurs sont en abscisses.
On porte en ordonnées les valeurs de la fonction d’utilité en incertitude.
Cette fonction est dé…nie à une fonction a¢ ne croissante près, si bien que l’on peut choisir de manière arbitraire deux valeurs de cette fonction et deux seulement. On prend pour simpli…er U(1000) = 1 etU(0) = 0.
Calculez les valeurs de l’espérance d’utilité de chacune des loteries.
Portez en abscisses vos valeurs d’équivalents certains et en ordonnés celles d’espérance d’utilité. Joindre les 5 points de la courbe.
Comment apprécier votre attitude face au risque avec cette courbe ? Comparez la avec celle de votre voisin. Commentez.
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Exercice 3 - On considère un individu qui dispose d’une richesse initiale égale à3et dont la fonction d’utilité face au risque est U(x) = p
2x. On lui propose une loterie qui peut lui rapporterx = 5avec probabilité 1=2ou lui faire perdre x= 1avec probabilité 1=2.
1. Que peut-on dire de l’attitude vis-à-vis du risque de cet individu ? Justi…ez.
2. Tracez la courbe représentative de la fonction d’utilité (faites une représentation su¢ samment grande sur une demie-page).
3. Après avoir rappelé la formule générale du calcul de l’espérance mathématique, calculez l’espérance mathématique de la loterie E(x). Reportez la sur votre graphique.e
4. Déterminez l’espérance d’utilité que l’individu retire de la loterieE[U(ex)]. Reportez la sur votre graphique.
5. Rappelez la dé…nition de l’équivalent certain x0 et calculez-le. Représentez le sur votre graphique.
6. Comparez l’équivalent certain x0 et l’espérance mathématique de la loterie E(ex).
Expliquez ce résultat en rappelant la dé…nition de la prime de risque.
7. Calculez la variance de la loterie V ar(x).e
8. Rappelez l’expression de la mesure de l’approximation de la prime de risque de Pratt. Calculez-la. Discutez de ce résultat par rapport à vos résultats précédents.
Exercice 4 - Un étudiant doit choisir un cours optionnel parmi deux. On suppose (de manière certainement peu vraisemblable...) qu’il se détermine uniquement en fonction de la facilité à obtenir une bonne note. Il compare ainsi les moyennes et variances des notes des examens des années précédentes pour les deux cours. Dans le cours A, la moyenne est xA = 11;5 et l’écart-type A = 3;2. Dans le cours B, la moyenne est xB = 13 et l’écart-type B= 6.
Sa fonction face au risque est quadratique : u(x) =e xe 0;03 (x)e 2, avec ex la note (aléatoire) qu’il peut obtenir.
1. Ecrire la règle de choix de l’individu qui se conforme à l’axiomatique de Von Neu- mann et Morgenstern.
2. Rappeler l’expression de la varianceV ar(x)e en fonction deE(ex) etE (ex)2 . 3. Déterminer le cours choisi par l’étudiant.
Exercice 5 - Le conseil d’administration d’une entreprise embauche son dirigeant à qui elle o¤re le choix entre deux contrats de travail :
- l’un avec une rémunération entièrement …xe F,
- l’autre avec une part …xeSet une part variable correspondant à un pourcentage des résultats (incertains)er de l’entreprise, soitS+ er. Le candidat considère que les résultats e
r suivent une loi normale N(r; r)où r est la moyenne des résultats et r l’écart-type.
1. Compte tenu de la loi de distribution du risque, comment peut s’exprimer la fonction d’utilité face au risque représentant l’arbitrage du candidat entre l’espérance de gain et le risque de ce gain ?
2. Déterminer le taux marginal de substitution entre espérance de gain et risque pour lequel le candidat est indi¤érent entre les deux modes de rémunération.
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Exercice 6 - Un individu envisage de poursuivre des études après le bac. S’il choisit - de travailler tout de suite, il gagne un revenu certain w0 ;
- de faire des études supérieures, il supporte un coût …xe c et s’expose à un risque d’échec qui survient avec une probabilité(1 )et qui le conduit alors à ne gagner que le revenuw0. S’il réussit ses études (avec la probabilité complémentaire ), il gagnew1> w0. Sa fonction d’utilité face au risque est séparable et logarithmique, c’est-à-dire de la forme U =Ln(w) c
1. Quelle est l’attitude de l’individu à l’égard du risque ?
2. Ecrire l’expression de l’espérance d’utilité résultant du choix de la poursuite d’études supérieures.
3. Ecrire la condition pour que l’individu choisisse de poursuivre des études supérieures, c’est-à-dire pour que sa satisfaction soit plus élevée en poursuivant des études supérieures qu’en choisissant de travailler tout de suite.
4. Résoudre l’inéquation pour déterminer la valeur minimale du rapport w1=w0 pour que l’individu choisisse de faire des études supérieures.
Exercice 7 - Un chau¤eur routier perçoit une prime de 100 euros qui s’ajoute à son revenuR = 1200 euros quand il assure un certain trajet t dans un temps inférieur à une durée d. En réalisant ce temps de trajet, il est cependant amené à ne pas respecter certaines dispositions du code de la route (vitesse maximale, temps de conduite, etc.), ce qui l’expose au risque de devoir payer une amende d’un montant de 300 euros qu’il supporte personnellement. Ce risque survient avec une probabilité de 10%.
Sa fonction d’utilité face au risque estU = (ex) .
Ce chau¤eur a le choix entre une conduite non risquée qui lui rapporte un gain sûr de 1200euros et la conduite risquée précédemment décrite.
1. Dans le cas où il adopte une conduite risquée, indiquer les gains nets possibles et les probabilités correspondantes. Calculer l’espérance mathématique et la variance des gains.
2. On suppose que l’individu est riscophobe. Qu’est ce que cela implique sur la valeur de ?
3. Calculer l’espérance d’utilité de la conduite risquée dans le cas où = 1=2.
4. Calculer l’utilité du gain de la conduite non risquée. En conclure si le chau¤eur adopte la conduite risquée ou non.
5. Calculer la prime de risque minimale pour que le chau¤eur adopte la conduite non risquée.
Exercice 8 - Soient deux individus1 et 2 avec le même niveau de richesse initiale:
!= 100 mais avec des fonctions d’utilité di¤érentes
u1(x) = lnx et u2(x) =p x
En plus de cette richesse initiale, ils possèdent un billet de loterieX= (1;10;100; 1=3;1=3;1=3) 1. Ecrire la richesse aléatoire W de ces individus sous forme de loterie.
2. Calculez et comparez les primes de risque associées à W pour ces deux individus.
3. Lequel est le plus risque averse ?
4. Con…rmez ce résultat en calculant l’aversion absolue pour le risque des deux agents.
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