LIGNES DE DISLOCATION DANS LES CHOLESTÉRIQUES

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LIGNES DE DISLOCATION DANS LES CHOLESTÉRIQUES

M. Kleman, J. Friedel

To cite this version:

M. Kleman, J. Friedel. LIGNES DE DISLOCATION DANS LES CHOLESTÉRIQUES. Journal de Physique Colloques, 1969, 30 (C4), pp.C4-43-C4-53. �10.1051/jphyscol:1969412�. �jpa-00213714�

LIGNES DE DISLOCATION DANS LES CHOLESTÉRIQUE s

M. KLEMAN et J. FRIEDEL

Faculté des Sciences, Laboratoire de Physique des Solides (*) 91, Orsay (France)

Résumé. - Une analyse générale de la topologie des dislocations dans les corps mésomorphes conduit à distinguer des ⁽⁽ disinclinaisons ¹⁾ parfaites dont la rotation est parallèle ou perpendicu- laire à l'axe hélicoïdal d'un cholestérique. L'appariement de deux disinclinaisons du second type, de signes opposés, donne un mode de dissociation de faible énergie pour une disinclinaison mul- tiple du premier type. Sous réserve de légères complications qui conduisent à une petite augmen- tation d'énergie, ces paires peuvent prendre des formes quelconques. La distribution des molécules dans le cœur de ces paires permet d'expliquer leur instabilité sous champ magnétique.

Abstract. - A topological study of dislocations in liquid crystals leads to a distinction between perfect disclinations with a rotation either parallel or orthogonal to the helical axis of a cholesteric crystal. The pairing of two disclinations of the second kind with opposite signs leads to a low energy splitting of a multiple disclination of the first kind. With small corrections which slightly increase their energy, such pairs can take arbitrary forms. The molecular configuration within the core of these pairs explains satisfactorily their instability under magnetic fields.

1. Introduction. - Les lignes de disinclinaison

« doubles » récemment observées [ l ] dans les choles- tériques constituent une illustration frappante de la notion de dislocation de rotation.

Frank [2] a utilisé le premier cette notion dans le domaine des corps mésomorphes, pour décrire dans les nématiques des discontinuités alignées suivant leur axe de rotation et perpendiculaires à la direction générale des molécules. Des lignes de discontinuité plus générales peuvent exister dans les nématiques [3], et leur description a fait l'objet d'une étude récente de de Gennes et Friedel [4]. Ces corps possèdent des propriétés spécifiques d'invariance et de viscosité par translation qui permettent à des lignes de disinclinai- son isolées de prendre des formes quelconques. Par suite de leurs propriétés différentes, les cholestériques n'admettent en général des lignes de disinclinaison de forme quelconque que si elles sont appariées et reliées par un ruban de faute. Ces paires peuvent aussi être décrites comme des dislocations de translation dissociées.

L'analyse présentée ici est de nature essentiellement topologique. Une description détaillée de la distri- bution réelle des molécules autour des lignes de disin-

clinaison demanderait la résolution des équations d'Oseen-Zocher-Frank [2]. Nous montrerons seule- ment, par un raisonnement d'ordre de grandeur, comment notre description des disinclinaisons « dou- bles » permet d'expliquer leur instabilité sous champ magnétique [l]. La plus grande stabilité des disin- clinaisons simples » responsables des plans de Grandjean et primitivement étudiées par Cano [ l ] [5]

peut aussi bien s'expliquer dans le modèle de de Gen- nes [4] [6], que dans le modèle de paires développé ici.

II. Lignes de dislocation parfaites dans les corps mésomorphes. - Nous situerons d'abord le problème des disinclinaisons des cholestériques dans le contexte général des dislocations dans les corps mésomorphes ou « cristaux liquides ». Comme pour les cristaux ordinaires, il faut distinguer les dislocations parfaites et imparfaites.

Les dislocations parfaites seront définies par la forme géométrique de leur ligne et la nature des dis- continuités dans l'orientation des molécules à leur voisinage. Nous analyserons comment les symétries et la viscosité des corps considérés peuvent fixer des limites à ces deux aspects des dislocations.

(*) Associé au C . N. R. S.

a) NATURE DES DISLOCATIONS PARFAITES. - De telles lignes peuvent se définir, de façon générale, d'une façon

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1969412

C 4 - 4 4 M. KLEMAN ET FRIEDEL analogue aux lignes de dislocation de Volterra dans

un solide.

On sait que dans un solide, supposé élastique, continu et initialement sans contraintes, une ligne L de discon- tinuité des distorsions et des contraintes est obtenue, de la façon la plus générale, par les opérations sui- vantes :

a) on découpe le solide suivant une surface S limitée par la ligne L.

b) on déplace les lèvres S I et S, de la surface de coupure l'une par rapport à l'autre sans les déformer, en appliquant une translation b et une rotation 52 autour d'un axe v. Si r mesure la position d'un point de S par rapport à v, il en résulte un déplacement d

d = b f 2 s i n - ( v !2 A r).

2

c) on remplit le vide ainsi créé avec de la matière non déformée (ou bien on enlève la matière en trop) et l'on rétablit les liaisons de cohésion entre les sur- faces en contact.

d) on laisse le milieu se relaxer élastiquement. b, 52 et v définissent la nature de la dislocation, L sa forme géométrique.

Dans un corps mésomorphe, deux modifications doivent être apportées à cette définition :

1. Les symétries cristallines du milieu imposent que la translation b et la rotation (52, v) soient des opé- rations de symétrie du corps mésomorphe.

2. La relaxation visqueuse (et non plus seulement élastique) du liquide impose une densité uniforme des molécules à l'équilibre, dont seule l'orientation peut différer de celle du cristal parfait. Cette relaxation supprime également à l'équilibre celles des compo- santes de rotation et de translation de la dislocation qui peuvent être variées de façon continue jusqu'à zéro sans rompre les symétries du corps méso- morphe (').

Ainsi dans un nématique, toutes les translations b sont permises, ainsi que toutes les rotations 52 d'axes v parallèles aux molécules ; des rotations 52 = nn (n entier) et d'axes v perpendiculaires aux molécules

(1) Cette relaxation visqueuse peut être considérée comme la dispersion de la dislocation initiale (b, 0) en une distribution continue de dislocations de forces (db, d a ) infinitésimales. La disiocation initiale, instable, ne peut exister que dans un état dynamique du corps mésomorphe.

sont aussi acceptables. Mais les deux premiers types d'opérations sont entièrement compensés par la relaxation visqueuse. Seules subsistent les disincli- naisons du 3e type : 52 = nn et v perpendiculaire aux molécules.

Dans un smectique, on trouve de même que les seules dislocations possibles sont finalement des dis- locations de translation dont les vecteurs de Burgers b sont égaux aux périodes du réseau, parallèlement à l'axe des molécules ; des disinclinaisons 52 = nn (n entier), d'axes v perpendiculaires aux molécules, passant soit par l'extrémité, soit par le milieu des inolécules, et les combinaisons de ces types de dislo- cations.

Dans un cholestérique, les cas possibles sont (') : - des dislocations de translation dont les vecteurs de Burgers b sont égaux à un demi-pas n/qo le long de l'axe hélicoïdal ;

- des disinclinaisons 52 ⁼ nn (n entier positif ou négatif) et d'axes v parallèles à l'axe hélicoïdal. Nous montrerons que ces disinclinaisons sont équivalentes aux dislocations précédentes ;

- des disinclinaisons 52 ⁼ nn et d'axes v situés dans des plans cholestériques et, dans un de ces plans, parallèle ou perpendiculaire aux molécules situées dans ce plan ;

- enfin des combinaisons de tous ces types de dis- locations.

b) FORME DES DISLOCATIONS PARFAITES. - Si toutes les dislocations qui viennent d'être énumérées sont topologiquement acceptables, il est clair cependant que celles qui correspondent, le long de leur ligne L, à des déplacements relatifs d grands vis-à-vis des dimensions moléculaires auront des « énergies de cœur >> prohibi- tives ; elles ne seront pas observées.

Ceci exclut naturellement les dislocations de trans- lation dont le vecteur de Burgers est un grand multiple d'une période élémentaire du cristal. Mais ceci exclut également, dans un cristal solide, toutes les disincli- nations dont l'axe de rotation v et la position géomé- trique L ne sont pas confondus (à une distance molé- culaire près) : les lignes de disinclinaison sont ainsi forcément rectilignes dans un solide.

Dans un corps mésomorphe par contre, la relaxation

(2) Notons que les cholestériques possèdent, outre les éléments de symétrie qui suivent, une chiralité déterminée : les hélices ont toutes, soit un pas à gauche, soit un pas à droite. La description faite ici des lignes de singularités ne dépend pas de la chiralité.

On a supposé dans la réalisation des figures que le pas était

visqueuse conduit à une certaine indétermination sur la position de l'axe de rotation v ; elle donne ainsi une certaine flexibilité à la forme des disinclinaisons.

Soit en effet v' une nouvelle position de cet axe, parallèle à v, à une distance 1 de la première position v, r et r' les distances d'un même point M de la coupure S à v et v' (Fig. 1).

de rotation est perpendiculaire à l'axe hélicoïdal, est nécessairement rectiligne :

- la viscosité du cholestérique est telle qu'elle ne peut se déplacer que dans le plan contenant son axe de rotation et l'axe cholestérique ;

- dans ce plan, elle ne peut prendre qu'une série de positions rectilignes, parallèles ou perpendiculaires aux molécules du plan cholestérique correspondant.

FIG. 1 . - Variation de la position de Saxe de rotation le long d'une ligne de disinclinaison.

Le déplacement relatif produit par la nouvelle rota- tion (52, v') sera :

SZ SZ

d ' = b f 2 s i n - ( v ' ^A r') = d + 2sin-(v A 1). (2)

2 2

11 sera équivalent à d si la translation 2 sin ^- 52 (v A 1) 2 peut être relaxée par la viscosité du liquide.

Ainsi, dans un nématique, où la viscosité relaxe toutes les translations, on peut faire passer l'axe de rotation v par tous les points M d'une disinclinaison (52, v), quelle que soit sa forme L. 11 n'y a donc pas de restrictions sur la forme L des disinclinaisons dans les nématiques. Frank [2] avait considéré des lignes de disinclinaisons ⁽⁽ vis ^B, parallèles à leur axe de rota- tion v, De Gennes et Friedel [4] des boucles « coins » perpendiculaires à v. Mais la forme générale de L peut être quelconque [ 3 ] . Par suite de la relaxation visqueuse des translations, le processus de Volterra décrit précédemment est d'ailleurs équivalent à un processus plus simple où l'on ne déplace pas les 2 lèvres S, et S, de la coupure l'une par rapport à l'autre ; on opère simplement sur les molécules de SI et de S, une rotation relative d'amplitude 52 (= nn) et d'axe parallèle à la direction v, sans déplacer leur centre de gravité [ 4 ] .

On voit de même que, dans un clzolestérique, par aiIleurs parfait, toute disinclinaison 52, dont l'axe

FIG. 2. - Création d'une ligne de disinclinaison n dans un cholestérique, du type 7-.

Les figures 2a, b, c, décrivent la création d'une telle ligne de rotation égale à n par le processus de Volterra.

Sur les figures, les pointillés représentent les molé- cules vues de bout, les traits continus ou discontinus, les molécules du plan de figure, les symboles en forme de clou, les molécules pointant hors du plan de figure, la pointe du clou étant dirigée vers l'observateur. La ligne est perpendiculaire au plan de figure et perpen- diculaire aux molécules qu'elle rencontre ; nous déno- terons ce type de disinclinaison par la notation z-(z), où z désigne la cote de la ligne le long de l'axe choles- térique, à partir d'une origine arbitraire. Pour une dislocation parfaite, z varie de manière discontinue, de quantités égales à la moitié du pas. La figure 3 décrit une situation analogue quand la ligne est paral- lèle aux molécules qu'elle rencontre : la notation correspondante sera A-(z). Les figures 4a et 4b donnent les disinclinaisons de signe opposé correspondantes, et qui seront notées z f (2) et ;lf (z). Les disinclinaisons

C 4 - 46 M. KLEMAN ET FRIEDEL de rang supérieur (i2 = nz) seront notées de même

In+(z), Z-~(Z), etc ...

FIG. 3. ^- Idem pour 1 -.

FIG. 4. - Disinclinaisons - n dans un cholestérique : a ) z + b)r2+.

Nous avons adopté la convention précédente pour les exposants i- et - de façon à être en accord avec la convention déjà adoptée par Frank [2] pour les disinclinaisons ⁽⁽ vis >> dans les nématiques. La même convention permet de satisfaire au théorème d'Har- ris [7], qui établit que sur une surface donnée, la somme algébrique des rangs 2 des disinclinaisons d'axe de rotation perpendiculaire à cette surface, en l'absence d'autres disinclinaisons, est égale à la caractéristique d'Euler de cette surface. On vérifiera qu'il en est ainsi pour les disinclinaisons des figures 2,

3 et 4, en supposant que la surface est le plan de figure, que l'on reportera sur la sphère topologique.

On a alors 4 n = 2.

On remarque que, par la convention adoptée, on est conduit à assigner un rang négatif à une disinclinaison lorsque le processus de Volterra conduit à ajouter de la matière, et inversement.

Les configurations Â(z) et z(z) ne sont pas équiva- lentes. Il est vraisemblable que la configuration Â

a une énergie de cœur plus faible, donc doit être plus stable que la configuration z. On montrera plus loin que l'on passe de l'une à l'autre par émission ou absorption d'une disinclinaison du type X , qui va maintenant être décrite.

Nous dénommerons x les disinclinaisons qui, dans un cholestérique, ont un axe de rotation parallèle à l'axe hélicoïdal. On voit facilement qu'elles peuvent avoir des formes quelconques, par suite de la viscosité de ce corps parallèlement aux plans cholestériques.

Il existe d'autre part une viscosité de translation- rotation le long de l'axe hélicoïdal, qui correspond à une rotation de 2 na pour une translation de 2 ncilq, (2 n/qo = pas des hélices, a quelconque). Cette visco- sité relaxe les dislocations mixtes de translation et rotation correspondantes (b = 2 nalq, et O = - 2 xa, avec b et v parallèles à l'axe hélicoïdal). Cette relaxation permet en particulier de transformer une disinclinai-

son x+" en une dislocation de translation dont le vec-

teur de Burgers b est égal à n demi-pas le long de l'axe hélicoïdal : b = nn/qo. Ces deux types de dislocations sont donc équivalents dans un cholestérique.

Enfin, dans un smectique, seules les translations per- pendiculaires à l'axe des molécules peuvent être rela- xées visqueusement. Chaque ligne de disinclinaison, d'axe passant par le milieu d'une molécule ou son extrémité, est alors nécessairement rectiligne, dans un smectique par ailleurs parfait, pour des raisons ana- logues à celles exposées pour les cholestériques. On a représenté figure 5a et b les disinclinaisons n passant respectivement par l'extrémité et le centre d'une molé- cule, et figure 6a et b les disinclinaisons - n corres- pondantes. Il est vraisemblable que l'énergie élas- tique emmagasinée dans le cœur de ces disincli- naisons est très grande, car il ne semble pas qu'on les ait jamais observées. On sait que les singularités connues dans les smectiques sont des coniques focales, étudiées par G. Friedel [8] .

III. Paires de désinclinaisons dans les cholesté- riques. - Comme nous venons de le souligner, une disinclinaison I ou z isolée et parfaite dont l'axe de rotation est parallèle au plan cholestérique est néces- sairement rectiligne.

l b )

FIG. 5. - Disinclinaison n dans un smectique.

( b )

FIc. 6. - Disinclinaisons - n dans un smectique.

Pour qu'une telle ligne L, de disinclinaison (QI, v,) prenne une forme courbe, il faudrait qu'elle puisse, en chacun de ses points A,, être définie par un axe de rotation vl perpendiculaire (ou parallèle) à la direction locale des molécules. Soient 2 positions A,, A; voisines sur une telle ligne, v, et v; les axes de rotation corres- pondants, r, et ri les distances de A, et A; à un point

FIG. 7. - Paires de disinclinaisons.

courant sur la surface de S de coupure (Fjg. 7). La relation

521 52

2 sin -(vt A ri) = 2 sin-(v A ri) +

2 2

+ 2 sin S2 ₂ (dv A r1 - v, A ds,) + ^0, (3)

où dv, = vi - vl et dsl = Al A;, montre que l'on ne peut passer de la rotation ( a , , v,) en A à la rotation ( a , , v;) en A' qu'en adjoignant, le long de AA' une distribution continue de dislocations injînitésimales de deux types :

- une densité de disinclinaisons, de rotation dv,,

- une densité de dislocation de translation, de vecteur de Burgers - v, A ds,.

Ces opérations ne sont pas de l'un des types permis dans un cholestérique (translation parallèle au plan cholestérique ; translation-rotation le long de l'axe cholestérique). Ces distributions continues de disloca- tions infinitésimales ne peuvent donc être compensées par une relaxation visqueuse du cristal : de telles dislo- cations isolées sont impossibles.

Par contre, il est possible d'imaginer des paires de

C 4 - 4 8 M. KLEMAN ET FRIEDEL dislocations à courte distance l'une de l'autre, qui

compenseraient à longues distances ces distributions continues de dislocations infinitésimales. L'existence de ces distributions ne contribuerait alors à l'énergie totale que par un terme limité à l'énergie de cœur de la paire.

Les configurations les plus simples feront intervenir deux disinclinaisons L, et L, de rotation minima SZ = + n. Ce sont certainement celles dont l'énergie de cœur est minimale ; elles peuvent, avec un choix convenable de leurs axes, compenser en grande partie Ieurs distorsions à grande distance.

Nous considérons d'abord deux telles disinclinaisons

« parfaites », c'est-à-dire rectilignes, perpendiculaires à l'axe hélicoïdal et perpendiculaires (ou parallèles) aux molécules de leur plan cholestérique. Il est clair qu'une configuration telle que celle de la figure 8a correspond à leur énergie minimale, et que celles des

...

figures 8b, 8c correspondent à des positions de métastabilité accentuée. Elles correspondent à des rotations opposées des deux lignes L1 et L,.

0 - - -

-- - ^/

_

.: / -- ^----

... ...-. /) Y..? ...

-''d.:.-. + + & - ⁺

- ^<. _{-(r-i --- - b -}

... - . ~ l ~ ~ ~ . . ~ ~ ? . - . . : . . ? . - , . ?

---- _{-. , '."*. ' ---}

\ ...

' . ^{- - - - - -}

FIG. 8. - Paires de disinclinaisons f l2 dans un cholestérique.

Si r, et r, sont les distances à L, et L, du point courant sur la surface de coupure, l'effet total de la paire (Li, L,) s'écrit

2 sin-(v, QI A r, + v, A r,) =

2

52 ¹ 521

= 2sin-vl A (r, - r,) = 2sin-(v, A d) (4)

2 2

si d est la distance entre les deux lignes.

L'ensemble (LI, L,) a donc, à grandes distances, le même effet qu'une dislocation de translation, de vecteur de Burgers parallèle à l'axe cholestérique et égal à 2 d. Une telle dislocation n'est acceptable pour le cristal que si 2 d est une période du réseau. Si z/q, est le demi-pas de l'enroulement hélicoïdal choles- térique,

avec n entier. n = 1, 2,3 correspond respectivement aux figures 8a, b etc. D'après la discussion précédente, elle est alors aussi équivalente, à grandes distances, à une disinclinaison f ' . On construirait de même des disinclinaisons f"' en intervertissant les lignes L, et L, précédentes. Nous pouvons remarquer que cet appariement de disinclinaisons opposées peut naturellement se produire également dans les cristaux solides [9], avec une condition analogue sur la dis- tance d. Elle peut se produire dans les nématiques, mais sans restriction sur d ; il n'y a donc, dans ce cas, pas de solutions (méta)stables, et les deux disinclinai- sons, qui s'attirent fortement, doivent s'annihiler mutuellement par « montée » rapide l'une vers I'autre.

On peut alors chercher dans quelles conditions une telle paire de dislocations peut se courber sans intro- duire de nouvelles contraintes à grandes distances.

La démonstration qui suit ne s'applique pas aux paires les plus générales, mais aux paires dont les axes de rotation sont dans un même plan cholestérique. Soient A,, A, ; A;, Ai des couples de points où les axes de rotation sont opposés (Fig. 7). La relation

2 sin -A(v; Q A r, + v; A r,) = 2

= 2 sin 41 - (v, A rl + ^{V, A} r,) +

2

+ ^{2 sin -} Q 1 ₂ ^{( v1 A (ds,} - ds,) + ^{dv A d} f + ^0,

conduit à la condition

(v, A d) = Cte . ( 6 ) La condition est finalement la suivante :

On définit en chaque point A d'une ligne L un axe de rotation v acceptable (dans le plan cholestérique et parallèle ou perpendiculaire aux molécules). On définit des points homologues A, et A2 sur L1 et L, dont les

axes v, et v, sont antiparallèles. LI et L, peuvent se courber de telle façon que les axes v, et v, restent dans le même plan cholestérique et à la même distance nn/2 go que dans le cas rectiligne. Dans une configu- ration courbée, l'équation (3) montre que le ruban entre LI et L, est couvert d'une distribution continue de dislocations infinitésimales, de longueur A, A, (Fig. 7) et de densité dv, en rotation et v, ~ d s , en translation.

Cette condition conduit à une famille de configura- tions possibles pour une paire L, L, entre lesquelles on ne peut choisir que par d'autres arguments, en particulier énergétiques.

Deux configurations simples remplissent la condi- tion énoncée :

tion a sur l'axe ; il faut de plus que leur distance d = nn/2 q,. Elles correspondent à une densité uni- forme de dislocations de rotation traversant radiale- ment le ruban LI L, ; l'axe de ces rotations est radial, et leur densité est égale à la courbure de la projection des hélices sur le plan cholestérique.

a) BOUCLES PLANES TRANSLATÉES. - LI et L2 sont ^{( a )} deux boucles situées dans le même plan cholesté-

rique et déduites l'une de l'autre par une translation 6.. ... ...

d = n n/2q0. v, et v, ont alors des directions fixes, et on + ..

. . . peut choisir comme couples A, A, les points de L, et - ¹ :.

w V..' ... ...

_ _ _ _. _ _ _ _ _ . . . . ... ...

L, déduits l'un de l'autre par la translation (Fig. 9). ^{+ t--} ' - + h C C ...

La distribution continue est constituée uniquement de ... ...

dislocations de translation ; elle correspond à un C + C b - C C + I i .

- . ... _...

...

certain gauchissement de la flexion des plans choles- ... ... .... ... ... ...

tériqiies à la traversée du ruban L, L,, schématisé ....,.... _-

figure 10 pour n = 1 ; l'effet est d'autant plus marqué ... ^... _ ^....

que l'on s'éloigne des portions « vis » où L est paral- lèle à v.

( b l

FIG. 9. - la flexion

- Boucles planes translatées et gauchissement dans des plans cholestériques. On a représenté les molécules

à 450 du plan des lignes.

b) BOUCLES HÉLICOIDALES CONCENTRIQUES. - De telles boucles sont acceptables si elles ont un pas égal au pas cholestérique et des vecteurs v, et v, anti- parallèles pour des points A, et A, de même projec-

l \ l l , , l ' 1 , ' I ,

( c )

FIG. 10. - Boucles hélicoïdales concentriques.

Dans la région cylindrique limitée par la paire hélicoïdale, le pas cholestérique est très différent du pas extérieur. Nous considérons ici 3 cas :

- La paire introduit n demi-pas supplémentaires à l'intérieur du cylindre pour chaque tour d'hélice. Le 2 2 n pas intérieur est donné par l'expression --- - .

2 n - k 1 go La figure 10a représente une section médiane de la configuration pour n = 1.

4

C 4 - 5 0 M. KLEMAN ET FRIEDEL

- La paire introduit 1, demi-pas supplémentaire à l'extérieur du cylindre pour chaque tour d'hélice.

Le pas intérieur est double du pas extérieur (Fig. lob).

- La paire introduit 2 demi-pas à l'extérieur du cylindre pour chaque tour d'hélice. Le milieu intérieur est alors nématique (Fig. 10c).

11 semble que ni l'une ni l'autre de ces 2 configura- tions ne permette de rendre compte des boucles doubles observées, et qu'il faille faire intervenir le concept de montée.

IV. Montée des disinclinaisons dans les cholesté- riques. - Nous introduisons d'abord le concept de montée pour des disinclinaisons 1 ou z isolées. Nous montrons que le processus envisagé conduit à des états

- instables pour la disinclinaison isolée, mais permet d'expliquer la montée continue des paires.

a) DISINCLINAISONS ISOLÉES RECTILIGNES. - Faisons monter par la pensée une disinclinaison rectiligne z de rang unité parallèlement à elle-même (cf. Fig. 1 l), d'une distance x selon l'axe cholestérique, et sup- posons Dans l'état intermédiaire de la figure 1 lb, les mo x inférieur au huitième du pas x

i

4 '

cules en contact du vide sur la partie supérieure de la coupure ne sont pas parallèles aux molécules sur la partie inférieure. Il faut donc déformer la partie gauche du cristal par une rotation de 2 xq, des molé- cules d'un demi-plan, ou par des rotations opposées de _+ xq, des molécules des deux demi-plans de façon que l'accolement avec le cristal parfait à droite soit possible. Le résultat est décrit figure 1 lc ; l'axe S est manifestement un axe de symétrie de la figure. Il est clair qu'il s'agit d'un état excité de z-, car une simple réorganihation du cœur L redonne z-.

Remarquons qu'on aurait pu tout aussi bien faire subir à la partie gauche du cristal une rotation de

- n + 2 xq, ce qui revient à adjoindre à z- une dislocation X-. On peut alors considérer le résultat comme un état excité de A-, car une simple réorgani- sation du cœur conduit à .'A

Une analyse analogue peut être faite pour les disinclinaisons de signe opposé /If et z+. Un dépla- cement de x vers le haut de la désinclinaison corres- pond à une rotation de xq, de chaque molécule autour de l'axe hélicoïdal local et, en fin de compte, à un réarrangernent de plus haute énergie des molécules dans le cœur. La figure 12a montre cette rotation, et la figure 12b décrit les lignes isoclines de la même disinclinaison.

Le passage d'une disinclinaison z à une disinclinai-

( c 1

FIG. 11. - Montée continue d'unelz -.

I L - - - -

( < ... ... ^: ...

\ , X e * + -

- - -

i a l ( b )

FIG. 12. - Montée continue d'une A +.

son A se fait, comme on vient de le voir, par émission ou absorption d'une dislocation X. Ceci peut encore être vu de la manière suivante : on considère un circuit fermé autour de z, et le circuit correspondant autour de 1, lepoint de départ du circuit se faisant en un point correspondant (cf. Fig. 13). Le défaut de fermeture est égal à un demi-pas.

FIG. 13. - Circuits de Burgers correspondants autour d'une 1- et d'une 7 -.

.'.. . '...._..

( b )

FIG. 14. - Montée continue d'une paire.

b) PAIRES DE DISINCLINAISONS. - En regroupant les 2 schémas précédents, il est possible d'imaginer la montée continue d'une paire de disinclinaisons.

C'est ce que montrent les figures 14a et b. Il faut ici remarquer que l'on peut monter d'une configuration

(T, A) à une configuration (1, z) par échange d'une dislocation x entre les deux éléments de la paire.

On peut penser que les paires circulaires LI L, observées récemment dans les cholestériques [l] sont du type indiqué figure 14, situées dans un plan cho- lestérique et telles que la rotation i.2 soit partout tangente aux lignes (cf. Fig. 15a). D'après notre dis- cussion, une telle boucle peut se décrire comme la composition de deux disinclinaisons parfaites et d'une densité uniJorme de disinclinaisons i~finitésimales répartie radialement à travers le ruban et proportion- nelle à la courbure locale. L'état de montée des deux disinclinaisons parfaites, décrit figure 14, doit varier le long de la boucle suivant l'orientation locale des molécules par rapport aux lignes LI et L,.

FIG. 15. - Deux configurations possibles pour des boucles de paires dans un cholestérique : a) boucle plane ; b) boucle héli-

coldale avec 4 paires de crans.

Une autre configuration possible est celle de la figure 15b, où des branches d'hélice en position de nœud ou de ventre sont raccordées par 4 paires de décrochements perpendiculaires aux plans cholesté- riques. Comme pour tous les problèmes de force de Peierls, la réalité est sans doute intermédiaire entre ces deux configurations.

V. Instabilité des paires dans un champ magnétique.

- Dans les configurations de la figure 15, les axes cholestériques sont, dans le cœur, partout

C 4 - 5 2 M. KLEMAN ET FRIEDEL radiaux. Ceci permet d'expliquer l'instabilité de ces

paires dans un champ magnétique appliqué suivant le plan cholestérique (Fig. 16), et en particulier le fait que l'action du champ est indépendante de sa direc- tion dans le plan cholestérique [l]. La configuration de la figure 9 n'expliquerait pas cette isotropie.

FIG. 16. - Instabilité dans un champ magnétique.

Soit H le champ appliqué, (3 l'angle de l'axe cho- lestérique du cœur avec H (Fig. 15a). On a représenté figure 17 une coupe schématique selon AB de la répartition des axes.

FIG. 17. - Direction des axes cholestériques dans le cœur et en dehors du cœur.

On voit que le cœur apparaît comme une zone très anisotrope, dont l'énergie est très grossièrement celle d'une zone parfaite de surface

n2 n2 8 q ( H ) q(H sin 8) '

et dont le pas cholestérique est pour q(H sin 0) '

évaluer la variation d'énergie du cœur entre l'état sans champ W,(O) et l'état sous champ W,(B), on peut utiliser les valeurs de l'énergie par unité de volume

d'un cholestérique parfait sous champ magnétique calculées par de Gennes [IO].

n2 z2

W1(B) = 8 q ( H ) q(H sin 8) W(H sin 8 ) .

L'énergie de la paire elle-même, pour 8 = O, peut être estimée comme celle d'un dipôle Q, à la distance nn/2 go, soit

où r , est un rayon de cœur d'une D 2 . K 2 , est le coeffi- cient de torsion des équations de Frank.

La condition d'instabilité de la ligne est donnée par l'annulation de la tension de ligne, soit

Pour les champs faibles ( H c -

2)

Pour les champs forts (H = H,), un développe- ment logarithmique de lJqo(H) près de H = Hc donne

go est le champ critique de de Gennes,

xa le coefficient de susceptibilité magnétique.

Les valeurs ainsi trouvées pour le champ d'instabi- lité H dépendent un peu du rayon de cœur r,. Il est cependant raisonnable de penser que r , est de l'ordre de la longueur des molécules, il est certainement inférieur au huitième de pas 7114 9,. Avec ces estima- tions, les limites ( 8 ) et (9) conduisent à un champ d'instabilité N de l'ordre de H, pour les paires d'ordre n = 1 et à H ⁱ 1/2 Hc pour les paires d'ordre n = 2 . Ces résultats sont en bon accord avec les observations

[il.

Remerciements. - Les auteurs sont particulière- ment redevables à F. C . Frank, qui leur a signalé l'existence d'un pas différent à l'intérieur des paires hélicoïdales et l'existence d'un axe de symétrie dans la figure 1 lc. Ils ont en outre discuté en détail avec lui du concept de montée.

Ils remercient en outre G. Durand et P. G. de Gennes pour de nombreuses et utiles discussions.

Bibliographie

[Il GROUPE DES CR~STAIJX LIQUIDES, ORSAY, Phys. Lett., 1969, 28A, 687.

121 FRANK (F. C.), D i s c w . Far. Soc., 1958,25,19, cf [8].

[3] NABARRO (F. R. N.), Int. Conf. on Electron Diffrac- tion and Crystal Defects, Melbourne, 1965.

[4] DE GENNES (P. G.) et FRIEDEL (J.), C. R. Acad. Sci.

Paris, 1968, 268, 257.

[5] CANO (R.), Bull. Soc. Franç. Miner., 1968, 91, 20.

[6] DE GENNES (P. G.), Proceedings 2nd Int. Liquid Crystal Conf. (à paraître).

[7] HARRIS (W. F.), Conférence sur les Aspects Fonda- mentaux de la théorie des dislocations. Gaithers- burg (Maryland) Avril 1969 (à paraître).

[8] FRIEDEL (G.), Ann. Physique, 1922, 2, 273.

[9] FRIEDEL (J.), Dislocations, Pergamon Press, 1964, p. 10 [IO] DE GENNES (P. G.), SOI. State Comm., 1968, 6, 163.