Compléments de topologie générale
1. Espaces topologiques.
2. Voisinages.
3. Systèmes de voisinages, bases d’une topologie.
4. Ensembles fermés, adhérence.
5. Suites, suites généralisées, bases de filtres.
6. Fonctions continues.
7. Exemples d’espaces topologiques.
8. Espaces produits, espaces quotients.
9. Espaces compacts.
10. Espaces connexes.
11. Revêtements.
à la mémoire de Jean Dieudonné et de Henri Cartan
Pierre-Jean Hormière__________
Dans son autobiographie mathématique, le poète Jacques Roubaud dit que la Topologie générale de Bourbaki est un des chefs d’œuvre de la langue française. J’ajouterais que c’est aussi un chef d’œuvre typographique, et ne saurais trop conseiller au lecteur de l’ouvrir.
L’étude que voici est une introduction à la topologie générale, complétant le chapitre sur les espaces métriques. L’on suit donc la démarche pédagogique de Jean Dieudonné1 dans ses Éléments d’Analyse : la pertinence de son point de vue reste entière. Les deux idées essentielles de cette étude sont les différents modes de définition d’une topologie, et la convergence des (bases de) filtres ; pour éclairer cette dernière idée, j’ai introduit la notion, plus ancienne, mais équivalente, de convergence des suites généralisées, qui fait le pont entre les suites usuelles et les filtres.
Jean Dieudonné (1906-1992) Henri Cartan (1904-2008)
1 Fin mélomane et bon pianiste, Jean Dieudonné avait, paraît-il, une « phobie » pour les symphonies de Mahler, dixit Pierre Dugac (p. 108). Ah ! Nobody’s perfect…
1. Espaces topologiques.
1.1. Structures topologiques.
Définition 1 : On appelle structure toplogique ou topologie sur un ensemble X la donnée d’un ensemble GGGGde parties de X vérifiant les 3 axiomes :
(O I) ∅∈GGGG, X ∈GGGG;
(O II) ∀(U, V) ∈ GGGG2 U ∩ V ∈ GGGG ;
(O III) Toute réunion d’ensembles de GGGG est un ensemble de GGGG.
Les ensembles de GGGGsont appelés ensembles ouverts de la topologie définie par GGGGsur X.
On appelle espace topologique un ensemble muni d’une structure topologique, i.e. un couple (X, GGGG).
Il découle de (O II) par récurrence que toute intersection finie d’ouverts de X est un ouvert de X.
On résume les axiomes (O II) et (O III) en disant que GGGGest stable par (∩f, ∪q), intersections finies et réunions quelconques. On note par abus X un espace topologique.
Exemples :
1) Topologie chaotique : c’est la topologie GGGG= {∅, X}.
2) Topologie discrète : c’est la topologie GGGG= PPPP(X).
3) Soit (E, d) un espace métrique. On dit qu’une partie U de E est ouverte si ∀x ∈ U ∃ r > 0 ∀y ∈ E d(x, y) < r ⇒ y ∈ U .
L’ensemble GGGG des ouverts satsifait aux axiomes (O I, O II, O III). (E, GGGG) est appelé espace topolo- gique sous-jacent à l’espace métrique (E, d). On peut dire, par abus, qu’un espace métrique est un espace topologique. En fait deux distances équivalentes, ou seulement topologiquement équi- valentes, définissent la même topologie.
Nous verrons d’autres exemples d’espaces topologiques au § 7.
1.2. Point intérieur, intérieur d’une partie.
Définition 2 : Soient X un espace topologique, A une partie de X. Un point x ∈ X est dit intérieur à A s’il existe un ouvert U de X tel que x ∈ U et U ⊂ A. L’ensemble des points intérieurs à A s’appelle l’intérieur de A et se note Int(A) ou Å.
Proposition 1 : Int(A) est le plus grand ensemble ouvert contenu dans A.
Preuve : a) Soit U un ouvert inclus dans A. Tout point x de U est intérieur à A, donc U ⊂ Å.
b) Å est ouvert. En effet, pour tout x ∈ Å, choisissons un ouvert U(x) tel que x ∈ U(x) ⊂ A.
Alors Å =
U { }
°
∈A x
x ⊂
U
°
∈A x
x
U )( ⊂ Å, donc Å =
U
°
∈A x
x
U )( et Å est ouvert par (O III).
Conséquences : − Å est la réunion des ouverts contenus dans A.
− A est ouvert ssi Å = A.
Proposition 2 : L’application A → Int(A) de PPPP(X) dans PPPP(X) vérifie les axiomes : (ℑI) Int(X) = X ;
(ℑ II) ∀A ∈ PPPP(X) Int(A) ⊂ A ; (ℑIII) ∀A ∈PPPP(X) Int(Int(A)) = Int(A) ;
(ℑIV) ∀A, B ∈PPPP(X) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B) .
Remarque 1 : En général l’intérieur de l’intersection d’une famille infinie de parties de X n’est pas l’intersection des intérieurs. De plus, on n’a pas en général Int(A ∪ B) = Int(A) ∪ Int(B).
Remarque 2 : Réciproquement, si l’on se donne une application A → Int(A) de PPPP(X) dans P(X) vérifiant les 4 axiomes ci-dessus, on peut vérifier que GGGG = { A ∈ PPPP(X) ; Int(A) = A } vérifie les axiomes (OI), (OII) et (OIII), et que Int(A) n’est autre que l’intérieur de A pour la topologie G.
2. Voisinages.
Définition 1 : Soient (X, GGGG) un espace topologique, x un point de X, A une partie de X. On dit que V∈ PPPP(X) est un voisinage de x si x ∈ Int(V), ou encore s’il existe un ouvert U tel que x ∈ U et U ⊂ V. Plus généralement V est appelé voisinage de A s’il contient un ouvert contenant A.
Proposition 1 : Un ensemble est ouvert ss’il est un voisinage de chacun de ses points.
Proposition 2 : Pour tout x, soit VVVV(x) l’ensemble des voisinages de x. Alors : (V I) ∀ x ∈ E ∀ V ∈VVVV(x) x ∈ V
(V II) ∀U, V ∈ VVVV(x) U ∩ V ∈ VVVV(x) (V III) ∀U ∈ VVVV(x) U ⊂ V ⇒ V ∈ VVVV(x) (V IV) ∀U ∈ VVVV(x) ∃V ∈ VVVV(x) y ∈ V ⇒ U ∈ VVVV(y) Preuve : Si V ∈VVVV(x) , x ∈ Int(V), donc x ∈ V.
Si U et V sont deux voisinages de x, x ∈ Int(U) ∩ Int(V) = Int(U∩V), donc U∩V est voisinage de x.
(V III) est évident. La propriété (V IV) est compliquée mais fondamentale. Si U est un voisinage de x, soit V = Int(U) ; V est un voisinage de x, et y ∈ V ⇒ y ∈ Int(U) ⇒ U ∈VVVV(y).
Les axiomes (V I, II, III) expriment que les voisinages de x forment ce qu’on appellera plus tard un
« filtre ». L’axiome (V IV) exprime les relations entre les voisinages de différents points, et s’énonce ainsi en français : « tout voisinage de x est aussi un voisinage des points suffisamment voisins de x », et en québecois : « tout chum de x est aussi un chum des points suffisamment chums de x » 2. Théorème : Soit X un ensemble. Donnons-nous, pour chaque x ∈ X, un ensemble non vide VVVV(x) de parties de X vérifiant les axiomes (V I, II, III, IV). Il existe sur X une topologie et une seule telle que, pour tout x ∈ X, VVVV(x) soit l’ensemble des voisinages de x pour cette topologie.
Preuve : D’après la proposition 3, si cette topologie existe, les ouverts sont les ensembles A tels que (∀x ∈ A) A ∈VVVV(x). Ceci montre déjà son unicité.…
Soit donc GGGG = { A ∈PPPP(X) ; (∀x ∈ A) A ∈VVVV(x) }. GGGG vérifie (O I), (O II) et (O III) : laissé au lecteur.
Reste à voir que, pour la topologie définie par GGGG sur X, pour tout x, VVVV(x) est l’ensemble des voisinages de x. Soit V un voisinage de x : ∃U ∈GGGG x ∈ U ⊂ V, donc U ∈VVVV(x) et, d’après (V III) V ∈ VVVV(x) ; tout voisinage de x est élément de VVVV(x).
Réciproquement, soient V ∈ VVVV(x) et U = { y ∈ X ; V ∈ VVVV(y) }. Montrons que U ∈ GGGG et x ∈ U ⊂ V.
Alors V sera un voisinage de x.
Enfin U ∈GGGG, i.e. (∀y ∈ U) U ∈VVVV(y). Or soit y ∈ U ; ∃W ∈VVVV(y) ∀z ∈ W V ∈VVVV(z) en vertu de (V IV). V ∈VVVV(z) ⇔ z ∈ U par défintion ; donc W ⊂ U et U ∈VVVV(y). CQFD.
Remarque : On notera le rôle indispensable joué par l’axiome (V IV). Ce théorème fournit un mode local de définition d’une topologie sur un ensemble.
Définition 2 : L’espace topologique X est dit séparé si deux points distincts peuvent être séparés par des voisinages disjoints, autrement dit :
(H) ∀(x, y) ∈ X×X x ≠ y ⇒ ∃(U, V) ∈ VVVV(x)×VVVV(y) U ∩ V = ∅.
Exemples :
− Un espace métrique (E, d) est un espace séparé, car si x et y sont deux points distincts de E, les boules ouvertes de centres x et y et de rayon d(x, y)/2 sont disjointes.
− En revanche, si d est une semi-distance sur E ne vérifiant pas d(x, y) = 0 ⇒ x = y, l’espace topologique (E, d) n’est pas séparé.
2 Clin d’œil à Michel Tremblay.
3. Systèmes fondamentaux de voisinages ; bases d’une topologie.
3.1. Systèmes fondamentaux de voisinages d'un point.
Définition 1 : Soient X un espace topologique, x un point de X. Un système fondamental de voisinages de x est un ensemble SSSS de voisinages de x tel que, pour tout voisinage V de x, il existe W ∈ SSSS tel que W ⊂ V.
Notons que si SSSS est un système fondamental de voisinages de x, toute intersection finie d’ensembles de SSSS contient un ensemble de SSSS.
Exemples :
1) Les voisinages ouverts de x forment un système fondamental de voisinages de x.
2) Si (E, d) est un espace métrique, les boules ouvertes B(x, r), r > 0, mais aussi les boules fermées B’(x, r), r > 0, les boules ouvertes B(x,
n
1), n ∈ N*, et les boules fermées B(x, n
1), n ∈ N*, forment des systèmes fondamentaux de voisinages de x.
3) Si X est un espace discret, c’est-à-dire GGGG = PPPP(X), l’ensemble {x} est un système fondamental de voisinages de x.
Théorème 1 : Soient X un espace topologique, x ∈ X. Un système fondamental SSSS(x) de voisinages de x de voisinages de x vérifie :
(S I) ∀V ∈ SSSS(x) x ∈ V ;
(S II) ∀U, V ∈ SSSS(x) ∃W ∈ SSSS(x) W ⊂ U ∩ V.
(S III) ∀U ∈ SSSS(x) ∃V ∈ SSSS(x) y ∈ V ⇒ ∃W ∈ SSSS(x) W ⊂ U.
Réciproquement si l’on se donne, pour chaque point x de X, un ensemble SSSS(x) de parties de X vérifiant ces axiomes, il existe une et une seule topologie sur X telle que, pour tout x, SSSS(x) soit un système fondamental de voisinages de x.
Preuve : La vérification de (S I), (S II) et (S III) est laissée en exercice.
Pour la réciproque, si la topologie existe, nécessairement VVVV(x) = { V ; ∃U ∈SSSS(x) U ⊂ V }. En vertu du th. du § 2, il suffit de montrer que la famille (VVVV(x))x∈X vérifie les axiomes (V I) à (V IV).
3.2. Bases d’une topologie.
Définition 2 : Soit X un espace topologique. On appelle base de la topologie de X tout ensemble BBBB de parties ouvertes tel que tout ensemble ouvert de X soit réunion d’ensembles appartenant à BBBB. Proposition 1 : Pour qu’un ensemble BBBB de parties ouvertes de X soit une base de la topologie de X, il faut et il suffit que pour tout x ∈ X, l’ensemble { V ∈ BB BB; x ∈V } soit un système fondamental de voisinages de x.
Preuve : La condition est nécessaire, car si W est un voisinage de x, W contient un ouvert contenant x. Cet ouvert s’écrit
U
I i
Ai
∈
, où (∀i) Ai ∈BBBB. Or ∃j ∈ I x ∈ Aj⊂ W. Donc { V ∈BBBB ; x ∈ V } est un système fondamental de voisinages de x.
La condition est suffisante, car si U est un ouvert de X, ∀x ∈ U ∃Vx ∈ BBBB x ∈ Vx ⊂ U.
Alors U =
U { }
U x
x
∈
⊂
U
U x
Vx
∈
⊂ U, donc U =
U
U x
Vx
∈
, et BBBB est une base de la topologie de X.
Exemples : 1) La topologie discrète a pour base l’ensemble des singletons.
2) Soit (E, d) un espace métrique. { B(x, r) ; x ∈ E, r > 0 } est une base de la topologie de E, ainsi que { B(x,
n
1 ) ; x ∈ E, n ∈ N* }. Si D est une partie dense de E, { B(x, n
1 ) ; x ∈ D, n ∈ N* } est également une base de cette topologie.
Théorème 2 : Soient X un espace topologique, BBBB une base de sa topologie. BBBB vérifie : (B I) ∀x ∈ X ∃A ∈ BBBB x ∈ A ;
(B II) ∀x ∈ X ∀A, B ∈BBBB x ∈ A et x ∈ B ⇒∃C ∈BBBB x ∈ C ⊂ A ∩ B.
Réciproquement, si BBBB est un ensemble de parties de X vérifiant ces deux axiomes, il existe une et une seule topologie sur X admettant BBBB comme base.
Preuve : Soit BBBB une base de X. X est ouvert, donc réunion d’éléments de BBBB ; BBBB est donc un recouvrement de X d’où (B I). Si x ∈ A ∩ B, avec A et B ∈BBBB , alors A ∩ B est un ouvert contenant x. Du coup A ∩ B =
U
I i
Ci
∈
, où les Ci appartiennent à BBBB. Donc, ∃i0 x ∈ Ci0 ⊂ A ∩ B ; c’est (B II).
Réciproquement, soit BBBB un ensemble de parties de X vérifiant (B I) et (B II). S’il existe une topologie sur X ayant BBBB pour base, les ouverts sont les réunions quelconques d’ensembles de BBBB, y compris ∅. Voilà pour l’unicité. Soit donc GGGG l’ensemble de ces réunions. Les axiomes (O I) et (O III) sont évidents. Seul reste (O II), qui est laissé au lecteur.
Les deux principaux moyens de définir des topologies sont, l’un global (par les ouverts), l’autre local (par les voisinages). Les deux théorèmes précédents assouplissent ces deux approches.
3.3. Axiomes de dénombrabilité.
Définition 3 : On dit qu’un espace topologique X vérifie :
− le premier axiome de dénombrabilité si chaque point de X possède un système fondamental dénombrable de voisinages.
− le second axiome de dénombrabilité s’il admet une base dénombrable ; on dit aussi qu’il est à base dénombrable.
Il résulte de ce qui précède que le second axiome implique le premier.
Exemple : Un espace métrisable satisfait toujours au premier axiome de dénombrabilité, puisque chaque point x admet (B(x, 1/n))n∈N comme système fondamental de voisinages. En revanche, il ne vérifie pas toujours le second axiome.
4. Ensembles fermés, adhérence.
4.1. Ensembles fermés.
Définition 1 : Dans un espace topologique X, un ensemble est dit fermé s’il est le complémentaire d’un ensemble ouvert.
Proposition 1 : L’ensemble FFFF des fermés de (X, GGGG) vérifie les trois axiomes (F I) ∅ et X sont des fermés de X ;
(F II) La réunion de deux fermés de X est un fermé de X ;
(F III) L’intersection d’une famille quelconque de fermés de X est un fermé de X.
Etant donné un ensemble FFFFde parties de X vérifiant (FI, II, III), il existe une et une seule topologie sur X pour laquelle FFFFest l’ensemble des fermés de X.
Attention ! un ensemble peut être à la fois ouvert et fermé (ainsi ∅ et X), et peut n’être ni ouvert ni fermé (ainsi [0, 1[ dans R). Dans un espace discret, tout ensemble est à la fois ouvert et fermé.
4.2. Points adhérents, adhérence.
Définition 2 : Dans l’espace topologique X, le point x est dit adhérent à l’ensemble A si tout voisinage de x rencontre A. L’ensemble des points adhérents à A s’appelle adhérence de A et se note Adh(A) ou A.
En résumé, x est adhérent à A ss’il existe des points de A « aussi voisins qu’on veut » de x. Il faut et il suffit pour cela que tout élément d’un système fondamental de voisinages de x rencontre A.
Dire que x est non adhérent à A signifie qu’il existe un voisinage de x inclus dans X − A, i.e. que x est intérieur au complémentaire de A, ensemble appelé extérieur de A.
Proposition 2 : Pour toute partie A de X,
C
X Adh(A) = Int(C
X A)et
C
X (Int A) = Adh(C
X A).Proposition 3 : L’applicationA → Adh(A) de PPPP(X) dans PPPP(X) vérifie les axiomes : (AAAAI) Adh(X) = X ;
(AAAAII) ∀A ∈PPPP(X) A ⊂ Adh(A) ; (AAAAIII) ∀A ∈PPPP(X) Adh(Adh(A)) = Adh(A) ;
(AAAAIV) ∀A, B ∈PPPP(X) Adh(A ∪ B) = Adh(A) ∪ Adh(B) . Les remarques 1 et 2 de 1.2 se transcrivent par dualité.
Proposition 4 : L’adhérence de A est le plus petit fermé contenant A.
Corollaire : L’ensemble A est fermé ssi A = A.
Les points adhérents à A sont de deux types :
− soit tout voisinage de x contient un point de A différent de x. On dit alors que x est point d’accumulation, ou point limite, de A. C’est automatiquement le cas lorsque x ∉ A.
− soit il existe un voisinage de x ne contenant aucun point de A différent de x . On dit que x est un point isolé de A. Nécessairement x ∈ A.
Dire que x est isolé dans X équivaut à dire que {x} est un ensemble ouvert.
Un ensemble est fermé ss’il contient tous ses points d’accumulation (car il contient toujours ses points isolés).
Définition 3 : Un ensemble fermé sans point isolé est dit parfait.
Définition 4 : On appelle extérieur de A, et on note Ext(A), le complémentaire de son adhérence, ou encore l’intérieur de son complémentaire, Ext(A) =
C
X Adh(A) = Int(C
X A).On appelle frontière de A, et on note Fr(A), l’ensemble des points adhérents à la fois à A et à son complémentaire dans X. 3
Au fond, toute partie A de X définit une partition de X : Int(A), Ext(A), Fr(A). Mais certains de ces ensembles peuvent être vides.
Exercice : Montrer que A est ouvert si et seulement s’il ne rencontre pas sa frontière.
Montrer que A est fermé si et seulement s’il contient sa frontière.
Exercice : axiomes de Kuratowski. SoitA → Adh(A) une application de PPPP(X) dans PPPP(X) vérifiant les axiomes (AAAA I), (AAAAII), (AAAAIII) et (AAAAIV). Montrer qu’il existe une unique topologie sur X telle que, pour tout A, Adh(A) soit l’adhérence de A.
4.3. Ensembles partout denses.
Définition 5 : Une partie A d’un espace topologique X est dite dense, ou partout dense, si A = X, autrement dit si tout ouvert non vide rencontre A.
Exemples : 1) Dans la droite numérique R, Q et R−Q sont complémentaires et toutes deux denses.
2) Dans un espace discret X, le seul ensemble dense est X.
3) Dans un espace chaotique non vide, toute partie non vide est dense.
Exercice : Montrer que l’intersection d’un ouvert dense et d’une partie dense est une partie dense.
3 La notion de frontière ici définie est discutée dans l’article de Dugowson (cf. bibliographie).
Proposition 5 : Si BBBB est une base de l’espace topologique X, il existe dans X un ensemble dense D tel que card(D) ≤ card(BBBB).
Preuve : On peut se limiter au cas où les ensembles de BBBB sont non vides. Alors pour chaque U ∈BBBB choisissons xU ∈ U. Tout ouvert non vide contient un U ∈BBBB donc rencontre D = { xU ; U ∈BBBB }.
Donc D est dense et card(D) ≤ card(BBBB).
Corollaire : Un espace topologique ayant une base dénombrable admet une partie dénombrable dense.
NB : La réciproque est vraie pour les espaces métrisables, mais non en général. Considérons un ensemble non dénombrable X muni de la topologie dont les ouverts sont l’ensemble vide et les parties contenant l’élément p. Alors {p} est dense, mais X−{p} est discret, donc X est sans base dénombrable.
4.4. Ensembles constructibles.
Exercice : Soient X un espace topologique, CCCC la plus petite partie de PPPP(X) vérifiant : i) tout ouvert de X appartient à CCCC ;
ii) le complémentaire d’une partie Z ∈CCCC appartient à CCCC ; iii) toute réunion finie d’ensembles de CCCC appartient à CCCC .
Démontrer que CCCC est l’ensemble des réunions finies d’ensembles de la forme U ∩ F, où U est un ouvert, et F un fermé de X. Les ensembles appartenant à CCCC sont dits constructibles.
5. Suites, suites généralisées, bases de filtres.
Nous allons pointer ici une différence essentielle entre les espaces métriques ou métrisables et les espaces topologiques généraux. Alors que, dans un espace métrique, l’adhérence de A est l’ensemble des limites de toutes les suites convergentes d’éléments de A, il n’en est plus de même dans un espace topologique général. Il faut définir et étudier des modes plus abstraits de convergence.
5.1. Suites convergentes.
Définition 1 : On dit qu’une suite (xn)n∈N d’éléments de l’espace topologique X converge si :
∃x ∈ X ∀V ∈ VVVV(x) ∃n0 ∀n ≥ n0 xn ∈ V.
On écrit x ∈ limn→+∞xn ou, par abus, x = limn→+∞xn, et on dit que x est une limite de la suite (xn).
Propriétés :
1) Si SSSS(x) est un système fondamental de voisinages de x, la condition précédent équivaut à :
∃x ∈ X ∀V ∈SSSS(x) ∃n0 ∀n ≥ n0 xn∈ V.
2) Si (xn) est une suite de limite x, toute suite extraite aura pour limite x.
3) Attention ! Une suite convergente n’a pas de limite unique en général : elle l’est lorsque X est séparé (cf. 5.2. prop 19).
Définition 2 : La suite (xn)n∈N admet x comme valeur d’adhérence si :
∀V ∈ VVVV(x) ∀n0 ∃n ≥ n0 xn ∈ V.
Proposition 1 : i) S’il existe une suite extraite de (xn) convergeant vers x, alors x est une valeur d’adhérence de (xn).
ii) Si x admet un système fondamental dénombrables de voisinages, la réciproque est vraie.
Définition 3 : Une partie A de l’espace topologique X est dite séquentiellement fermée si, pour toute suite (xn)n∈N de points de A convergente dans X, x ∈ limn →+∞ xn⇒ x ∈ A.
Proposition 2 : a) Toute partie fermée est séquentiellement fermée.
b) Si tout point de X possède un système fondamental dénombrable de voisinages (« premier axiome de dénombrabilité »), toute partie séquentiellement fermée est fermée.
Preuve : a) Si A est fermé, soit (xn) une suite de points de A tendant vers x. Si x ∉ A, alors X−A erait un voisinage ouvert de x, donc ∃n0 ∀n ≥ n0 xn ∈ X−A : impossible !
b) Soient A une partie séquentiellement fermée de X, x un point adhérent à A, (Vn) un système fondamental dénombrable de voisinages de x. Pour tout n, soient Un = V0 ∩ V1 ∩ … ∩ Vn et xn ∈ A ∩ Un. Montrons que xn → x. ∀W ∈ VVVVx ∃n0 Vn0 ⊂ W ; a fortiori Un0 ⊂ W, donc ∀n ≥ n0 Un⊂ W. Donc ∀n ≥ n0 xn∈ W. Comme A est séquentiellemnt fermée, x ∈ A. cqfd.
Proposition 3 : Soit (X, GGGG) un espace topologique. L’ensemble FFFFs des parties séquentiellement fermées de X vérifie les axiomes (FI, II, III).
La proposition précédente a une première conséquence 4 : les éléments de FFFFs sont les fermés d’une topologie sur X, que l’on appellera topologie séquentielle associée à la topologie de X. Notons GGGGs l’ensemble des ouverts de cette topologie.
− Si X vérifie le premier axiome de dénombrabilité, on a GGGG = GGGGs et FFFF = FFFFs .
− Dans tous les cas, la topologie séquentielle est plus fine que la topologie originelle.
− Lorsqu’elles sont distinctes, X ne vérifie pas le premier axiome de dénombrabilité, et n’est a fortiori pas métrisable.
Si A est une partie de X, on appelle adhérence séquentielle de A, et on note As, l’adhérence de A pour la topologie séquentielle, c’est-à-dire la plus petite partie séquentiellement fermée contenant A.
Attention ! Il ne faut pas croire que As est l’ensemble des limites des suites d’éléments de A convergentes dans X, car cet ensemble n’est en général pas séquentiellemnt fermé.
En réalité, une construction « explicite » de Aspasse par les ordinaux dénombrables, dont l’ensemble sera noté Ω.
Si B est une partie de X, nous noterons B’ l’ensemble des limites des suites d’éléments de B convergentes dans X. Définissons par récurrence transfinie la famille (Aα)α∈Ω par :
• A0 = A ;
• Si α ∈ Ω, Aα+1 = (Aα)’ ;
• Si λ est un ordinal limite, Aλ = (
U
λ α
α
<
A )’.
Théorème : L’adhérence séquentielle de A est donnée par As =
U
Ω
∈ α
Aα
Preuve : i) On montre par récurrence transfinie que Aα⊂ As pour tout α∈Ω. ii) On montre que
U
Ω
∈ α
Aα est séquentiellement fermé. Cela découle de ce que toute suite d’ordinaux dénombrables est majorée dans Ω.
5.2. Convergence au sens de Moore-Smith des suites généralisées (1922).
Définition 4 : Un ensemble ordonné (I, ≤) est dit filtrant supérieurement si : ∀(a, b) ∈ I × I ∃c ∈ I a ≤ c et b ≤ c
Il revient au même de dire que toute partie finie non vide de I est majorée.
4 Je ne l‘ai vue mentionner nulle part, ce qui me laisse perplexe.
Définition 5 : On appelle suite généralisée d’éléments de X une famille (xa)a∈I d’éléments de X indexée par un ensemble ordonné non vide, filtrant supérieurement.
Exemples :
1) Les suites, finies ou infinies, sont des suites généralisées.
2) L’ensemble des parties finies de N, ordonné par inclusion, est filtrant supérieurement.
3) L’ensemble des complémentaires des parties finies de N, ordonné par A ≤ B ⇔ B ⊂ A, est lui aussi filtrant supérieurement.
4) Si X est un espace topologique, l’ensemble VVVVx des voisinages de x, ordonné par U ≤ V ⇔ V ⊂ U, est filtrant supérieurement.
Définition 6 : Soit X un espace topologique. On dit que la suite généralisée (xa)a∈I d’éléments de X converge si ∃x ∈ X ∀V ∈ VVVV(x) ∃a ∈ I ∀b ∈ I a ≤ b ⇒ xb ∈ V.
On note x ∈ lima∈I xa , ou x = lima∈I xa (par abus) ou (xa)a∈I → x .
Proposition 4 : Soit A une partie de X. Pour que x soit adhérent à A, il faut et il suffit qu’il existe une suite généralisée (xa)a∈I d’éléments de A convergeant vers x.
Preuve : Supposons qu’une suite généralisée (xa)a∈I d’éléments de A convergeant vers x. Alors tout voisinage de x contient au moins un xa, donc rencontre A.
Réciproquement, soient x un point adhérent à A, et SSSS(x) un système fondamental de voisinages de x.
Ordonné par U ≤ V ⇔ V ⊂ UUUU, SSSS(x) est filtrant supérieurement. Pour chaque U ∈SSSS(x), choisissons xU dans U ∩ A. la famille (xU)U∈S(x) est une suite généralisée d’éléments de A qui tend vers x, car
∀V ∈VVVV(x) ∃U ∈SSSS(x) U ⊂ V. Alors
∀U’ ∈SSSS(x) U ≤ U’ ⇒ U’ ⊂ U ⇒ U’ ⊂ V ⇒ xU ∈ U’ ∩ A ⊂ V ∩ A
Corollaire : Une partie A est fermée si et seulement si, pour toute suite généralisée (xa)a∈I d’éléments de A convergeant vers x, x appartient à A.
Définition 7 : Une suite extraite, ou sous-suite, d’une suite généralisée (xa)a∈I est une suite généralisée (yb)b∈J telle que ∀a ∈ I ∃b ∈ J ∀b’ ∈ J b ≤ b’ ⇒∃a’ ∈ I a ≤ a’ et xa’ = yb’.
Proposition 5 : Si une suite généralisée (xa)a∈I converge vers x, toute suite extraite aussi.
Définition 8 : On dit que la suite généralisée (xa)a∈I admet x comme valeur d’adhérence si : ∀V ∈ VVVV(x) ∀a ∈ I ∃b ∈ I a ≤ b et xb ∈ V.
Proposition 6 : La suite généralisée (xa)a∈I admet x comme valeur d’adhérence ss’il existe une suite extraite (yb)b∈J convergeant vers x.
Proposition 7 : Pour que X soit séparé, il faut et il suffit que chaque suite généralisée convergente admette une seule limite.
Proposition 8 : Si chaque point de X possède un système fondamental dénombrable de voisinages, alors, dans les propositions précédentes, on peut remplacer les suites généralisées par des suites.
Cela s’applique en particulier aux espaces métriques et semi-métriques.
5.3. Convergence des bases de filtres (H. Cartan, 1937).
La théorie des filtres5 fut inventée par Henri Cartan lors du congrès Bourbaki de Chançay en 1937.
Equivalente au fond à la convergence de Moore-Smith, elle est plus moderne et plus abstraite. Ce qui suit n’est qu’une introduction à cette théorie.
Définition 9 : Soit X un ensemble. On appelle base de filtre sur X un ensemble BBBB de parties de X vérifiant : (BF I) ∀A, B ∈ BBBB ∃C ∈ BBBB C ⊂ A ∩ B
(BF II) BBBB ≠ ∅ et ∅ ∉ BBBB . Exemples :
1) Soit (I, ≤) un ensemble ordonné non vide, filtrant supérieurement, BBBB l’ensemble des [a, →[, où a décrit I. BBBB est une base de filtre ; c’est la base de filtre des sections de l’ensemble (I, ≤).
2) Soit BBBB une base de filtre sur X. La relation A ≤ B ⇔ B ⊂ A fait de BBBB un ensemble ordonné non vide, filtrant supérieurement, et la base de filtre des sections de BBBB s’identifie à BBBB via A → [A, →[.
3) Soient X un espace topologique, SSSSx un système fondamental de voisinages de x. Sx est une base de filtre sur X. En particulier VVVV(x) est une base de filtre.
4) Soit I = [a, b] un segment de R. On appelle subdivision de I une partie finie de I contenant a et b. On la note σ = (x0 = a < x1 < … < xn = b) ; |σ| = max |xi+1 − xi| s’appelle pas ou module de σ.
Pour tout ε > 0, notons Σ(ε) = { σ ; |σ| ≤ε } l’ensemble des subdivisions de pas ≤ε. C’est une base de filtre sur l’ensemble FFFF(I) des parties finies de I contenant a et b. La convergence des sommes de Riemann peut se présenter à l’aide de cette base de filtre.
Définition 10 : On dit qu’une base de filtre BBBB sur l’espace topologique X converge vers x si tout voisinage de x contient un ensemble de BBBB.
On note x ∈ lim BBBB ou, par abus, x = lim BBBB.
Il suffit pour cela que tout ensemble d’un système fondamental de voisinages de x contienne un ensemble de BBBB. En particulier, tout système fondamental de voisinages de x converge vers x.
Exemple : Dans R, { [0, 1/n] ; n ∈ N* } est une base de filtre convergeant vers 0.
Proposition 9 : Pour que x soit limite d’une base de filtre sur X, il faut et il suffit que x soit limite d’une suite généralisée.
5 « C’est ici que le mot filtre, et l’image qu’aussitôt il évoque, vient s’interposer entre la topologie telle qu’elle est (…) et le souvenir persistant que j’en ai gardé. Cela veut dire qu’il ne m’était pas possible alors, qu’il ne m’est pas possible encore aujourd’hui de ne pas voir ces filtres, et surtout de ne pas les voir comme liés, et même surimposées à une représentation mentale de ces objets exaspérants qu’étaient les cafés-filtres des cafés.
C’étaient des objets dont la matérialité s’imposait d’une manière impérialiste à mon appareil sensoriel, en raison de ma maladresse, alors spécialement manifeste dans le maniement des ustensiles de toute sorte. Je pense tout particulièrement à la lenteur générale de l’écoulement de leur contenu, cette soupe brunâtre qualifiée sans honte de café, qui m’amenait à les saisir, en dépit de toutes mes expériences antérieures, avant l’achèvement du trajet de haut en bas du liquide et par conséquent à me brûler les doigts ; puis à me brûler la langue en essayant de m’en débarrasser trop tôt en les buvant. Je les vois et je vois aussitôt quelque chose comme une icône d’espace topologique, une sorte de grande prairie de « points », chacun placé au-dessous d’une tasse-filtre, son « filtre de voisinages » (dans la terminogloie bourbakiste) et en recevant goutte à goutte sa nature. (…) L’image alors s’amplifiait, se démultipliait, s’éloignant de plus en plus des terrasses possibles de cafés réels pour donner naissance à quelque chose comme un échafaudage, une superposition magique d’une quantité indéterminée (éventuellement infinie) de filtres, en communication deux à deux et laissant passer de plus en plus difficilement une quintessence caféière de plus en plus pure. Les plus parfaits de ces êtres singuliers étaient ceux qui « convergeaient vers une limite », qui « tendaient » (dotés par le discours topologique de quelque chose comme une singulière volition, une force intérieure, un « impetus »), vers un point limite imaginable (imaginé par moi) comme une sorte de grain de café liquide concentré infiniment dans la soucoupe d’un espace. » (J. Roubaud, Mathématique : , p. 164)
Preuve : 1) Soit x = lim BBBB. Pour tout A ∈ BBBB, choisissons xA ∈ A Alors (xA)A∈BBBB est une suite généralsiée d’après l’exemple 2 ci-dessus. Et cette suite converge vers x car
∀V ∈ VVVV(x) ∃A ∈ BBBB A ⊂ V. Alors ∀B ∈ BBBB A ≤ B ⇒ B ⊂ A ⇒ B ⊂ V ⇒ xB ∈ V.
2) Réciproquement, soit x = lima∈I xa , BBBB l’ensemble des {xb ; b ≥ a} lorsque a décrit I. BBBB est une base de filtre sur X et x = lim BBBB car ∀V ∈ VVVV(x) ∃a ∈ I a ≤ b ⇒ xb ∈ V , i.e. { xb ; b ≥ a } ⊂ V.
Définition 11 : On dit que x est adhérent à une base de filtre BBBB sur l’espace topologique X s’il est adhérent à tous les ensembles de BBBB.
On en déduit aussitôt que l’ensemble des points adhérents à BBBB est un fermé de X ; c’est
I
B M
M
∈
. Définition 12 : Une base de filtre BBBB’ sur X est dite plus fine qu’une base de filtre BBBB si tout ensemble de BBBB contient un ensemble de BBBB’.
Exemple : Une base de filtre BBBB converge vers x ssi BBBB est plus fine que VVVV(x).
Proposition 10 : Pour que x soit adhérent à une base de filtre BBBB sur l’espace X, il faut et il suffit qu’il existe une base de filtre BBBB’ plus fine que BBBB et convergeant vers x.
6. Fonctions continues.
6.1. Continuité en un point.
Théorème et définition 1 : Soient X et X’ deux espaces topologiques, f une application de X dans X’. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(CI) Pour tout voisinage V’ de f(x0) dans X’, il existe un voisinage V de x0 dans X tel que x ∈ V ⇒ f(x) ∈ V’.
(CII) L’image réciproque par f de tout voisinage de f(x0) dans X’ est un voisinage de x0 dans X.
(CIII) Pour toute suite généralisée (xa)a∈I d’éléments de X tendant vers x0, la suite (f(xa))a∈I tend vers f(x0).
L’application f : X → X’ est dite continue en x0 ∈ X si elle vérifie l’une de ces conditions.
Preuve : L’équivalence de (C I) et (C II) découle de ce que f(V) ⊂ V’ ⇔ V ⊂ f−1(V’).
(C I) ⇒ (C III). Soient V’ un voisinage de f(x0) dans X’, V un voisinage de x0 dans X tel que f(V) ⊂ V’. Alors ∃a ∈ I a’ ≥ a ⇒ xa’ ∈ V ⇒ f(xa’) ∈ V’. C’est dire que f(xa) → f(x0).
(C III) ⇒ (C I) se montre par absurde. Soit V’ un voisinage de f(x0) dans X’ tel que f−1(V’) ne soit pas un voisinage de x0. Tout ouvert U contenant x0 n’est pas contenu dans f−1(V’) :
∃xU ∈ U xU ∉ f−1(V’) , i.e. f(x U) ∉ V’.
La famille (xU) indexée par l’ensemble SSSSx0 des voisinages ouverts de x0, est une suite généralisée si on ordonne SSSSx0 par U ≤ V ⇔ V ⊂ U. Et cette suite tend vers x0. Par hypothèse, (f(xU)) tend vers f(x0), donc ∃U ∀V U ≤ V ⇔ V ⊂ U ⇒ f(xV) ∈ V’ , contredisant (∀U) f(xU) ∉ V’. cqfd.
Proposition 1 : Soient X, Y et Z trois espaces topologiques, f : X → Y et g : Y → Z. Si f est continue en x et g est continue en y = f(x), alors g o f est continue en x.
6.2. Continuité globale.
Définition 2 : Soient X et X’ deux espaces topologiques. Une application f : X → X’ est dite continue si elle est continue en tout point de X.
Proposition 2 : La composée de deux fonctions continues est continue.
Théorème de Hausdorff. Soient X et X’ deux espaces topologiques, f une application : X → X’.
Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) f est continue ;
ii) L’image réciproque par f de tout ouvert de X’ est un ouvert de X ; iii) L’image réciproque par f de tout fermé de X’ est un fermé de X ; iv) Pour toute partie A de X, f(A) ⊂ f(A).
Exemples : 1) Toute application constante X → X’ est continue.
2) Toute application d’un espace discret dans un espace topologique est continue..
Remarque : L’image directe d’un ensemble ouvert (resp. d’un fermé) de X par une application continue f : X → X’ n’est pas nécessairement un ensemble ouvert (resp. fermé) dans X’.
Définition 3 : Une application f : X → X’ est dite ouverte (resp. fermée) si l’image directe d’un ensemble ouvert (resp. d’un fermé) de X par f est un ensemble ouvert (resp. fermé) dans X’.
6.3. Homéomorphismes.
Définition 3 : Soient X et X’ deux espaces topologiques. Une application f : X → X’ est appelée homéomorphisme (ou bijection bicontinue) si elle est bijective, continue ainsi que la bijection réciproque.
Il revient au même de dire qu’elle est bijective, continue et ouverte.
Remarque : Une bijection continue n’est pas nécessairement bicontinue. Ainsi, si X est l’ensemble R muni de la topologie discrète et X’ est la droite réelle, l’application identique f : X → X’ est continue mais non bicontinue.
6.4. Comparaison des topologies.
Définition 4 : Soient TTTT et TTTT’ deux topologies sur un même ensemble X. On dit que TTTT est plus fine que TTTT’ si l’application identique (X, TTTT) → (X, TTTT’) est continue, autrement dit si tout ouvert de TTTT’ est un ouvert de TTTT , ou tout fermé de TTTT’ est un fermé de TTTT.
Exemple : La topologie chaotique est la moins fine des topologies sur X, la topologie discrète la plus fine.
Retenons que plus une topologie est fine, plus elle a d’ouverts, de fermés, et plus un point possède de voisinages.
6.5. Fonctions séparées, fonctions étales.
Définition 5 : Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application continue f : X → Y est dite séparée si, pour tout couple (x, x’) de points de X tels que x ≠ x’ et f(x) = f(x’), il existe un voisinage V de x et un voisinage V’ de x’ tels que V ∩ V’ = ∅.
Proposition 5 : Soient X, Y, Z des espaces topologiques, f : X → Y et g : Y → Z des applications continues.
a) Si f et g sont séparées, alors g o f est séparée.
b) Si g o f est séparée, alors f est séparée.
Exemples :
1) Une injection continue est séparée.
2) Si X est séparé, toute application continue f : X → Y est séparée.
La notion de fonction séparée n’a d’intérêt que si X n’est pas séparé.
3) Soit E l’espace vectoriel RRRR([a, b], R) des fonctions réglées de [a, b] dans R muni de la semi- norme || f ||1 =
∫
abf(t).dt. L’application f →∫
abf ).(t dt est séparée.Définition 6 : Soient E et B des espaces topologiques. Une application p : E → B est dite étale (ou homéomorphisme local) si, pour tout point x de E, il existe un voisnage U de x dans E et un voisinage V de p(x) dans B tels que p induise un homéomorphisme de U sur V.
Une application étale est continue et ouverte.
Proposition 6 : Soient X, Y, Z des espaces topologiques, f : X → Y et g : Y → Z des applications continues.
a) Si f et g sont étales, alors g o f est étale.
b) Si g o f et g sont étales et si f est continue, alors f est étale.
Exemples :
1) La fonction (r, θ) → (r.cos θ, r.sin θ) est étale de R*+×R dans R×R −{(0, 0)}.
La fonction z → exp z est étale de C dans C*.
2) Le théorème d’inversion locale fournit de beaux exemples d’applications étales :
Rappelons son énoncé : Soient E et F deux R-ev de même dimension n , Ω un ouvert de E, f une application de classe C1 : Ω → F. On suppose qu’au point a , da f = f’(a) ∈ Isom(E, F).
Alors, il existe un voisinage ouvert U de a dans Ω et un voisinage ouvert V de b = f(a) dans F tels que f induise un C1-difféomorphisme f|U,V = g : U → V.
Si de plus f est de classe Ck (1 ≤ k ≤ +∞), alors g est un Ck-difféomorphisme.
En pratique, si E = F = Rn, l’application f s’écrit f(x) = ( f1(x1, … , xn) , … , fn(x1, …, xn) ),
et l’hypothèse à vérifier est : det J f (a) = det
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n n n
n
x f x f
x f x f
...
...
...
...
...
1 1 1 1
.(a1, …, an) ≠ 0.
Exercice : Quelles sont les fonctions polynomiales P : R → R qui sont étales ? 7. Exemples d’espaces topologiques.
7.1. Espaces topologiques métrisables.
Si (E, d) est un espace métrique, les ouverts de E forment une topologie GGGGsur E. (E, GGGG) est appelé espace topologique sous-jacent à l’espace métrique (E, d).
Réciproquement, si (X, GGGG) est un espace topologique, une distance d sur X est dite compatible avec la topologie de X si GGGG est la collection des ouverts de (X, d). La distance d n’est pas unique : toute distance topologiquement équivalente à d est également compatible avec la topologie de X.
Définition 1 : Un espace topologique (X, GGGG) est dit métrisable s’il existe une distance d sur X compatible avec sa topologie.
La recherche d’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un espace topologique soit métrisable a occupé les mathématiciens de la période 1920-1940 (école de Moscou, H. Tietze, J. Dieudonné).
Un théorème de Nagata-Smirnov (Bourbaki, Top. Gén. IX, n° 32, p 109) résout le problème.
Contentons-nous d’indiquer quelques conditions nécessaires pour qu’un espace topologique soit métrisable. Un espace topologique métrisable vérifie les propriétés suivantes :
1) Axiome de séparation : (H) ∀(x, y) ∈ X×X x ≠ y ⇒ ∃U ∈ V(x) ∃V ∈ V(y) U ∩ V = ∅.
2) L’ensemble des voisinages fermés d’un point est un système fondamental de voisinages de ce point.
3) Deux fermés disjoints peuvent être séparés par deux ouverts disjoints.
4) L’adhérence d’une partie A est l’ensemble des limites des suites d’éléments de A convergentes dans X.
Un bel exemple d’espace topologique métrisable a été rencontré en passant dans le chapitre sur les espaces métriques :
Proposition : Le cube de Hilbert C = [0, 1]N muni de la topologie de la convergence simple des suites de suites, est métrisable.
Preuve : Nous avons vu que cette topologie peut être définie par la distance d(x, y) =
∑
+∞=
−
0 2
n n
n
n y
x . Cf aussi le § 7.10.
7.2. Espaces topologiques pseudo-métrisables.
Si d une pseudo-métrique sur E, c’est-à-dire une fonction E×E → R+ dans laquelle l’axiome de séparation d(x, y) = 0 ⇔ x = y est remplacé par l’axiome plus faible d(x, x) = 0
Un ensemble U de E est dit ouvert si ∀a ∈ U ∃ r > 0 d(x, a) < r ⇒ x ∈ U
Les ouverts de E forment une topologie GGGGsur E. (E, GGGG) est appelé espace topologique sous-jacent à l’espace pseudo-métrique (E, d). Cette topologie n’est pas séparée.
7.3. Topologie grossière ou chaotique.
C’est la topologie GGGG= {∅, X}. C’est la moins fine des topologies. Si X a plus d’un élément, elle est non séparée, donc non métrisable. Mais elle est pseudo-métrisable, associée à la pseudo-distance nulle. Ses points sont tous « collés », et l’adhérence de toute partie A est X. Toute suite (xn) d’un espace chaotique converge vers tout point de X, idem pour une suite généralisée, un filtre.
7.4. Topologie discrète.
C’est la topologie GGGG= PPPP(X). C’est la plus fine des topologies. Elle est métrisable, compatible avec la distance discrète d(x, y) = 1 si x = y, 0 si x ≠ y, mais aussi avec d’autres.
Les suites convergentes sont les suites stationnaires. La suite généralisée (xa)a∈I converge vers x ssi
∃a ∀b a ≤ b ⇒ xb = x. Une base de filtre BBBB converge vers x ssi {x}∈BBBB. La seule partie dense est X.
7.5. Image réciproque d’une topologie.
Soient X un ensemble, Y un espace topologique, f une application de X dans Y.
Les images réciproques par f des ouverts de Y vérifient les axiomes (OI), (OII) et (OIII).
Ils sont donc les ouverts d’une topologie sur X, dite image réciproque par f de la topologie de Y.
L’application f est alors évidemment continue de X dans Y, et la topologie de X est la moins fine des topologies sur X rendant f continue.
Pour tout x ∈ X, si W parcourt un système fondamental de voisinages de f(x) dans Y, les ensembles f−1(W) forment un système fondamental de voisinages de x dans X.
Supposons en particulier que Y est un espace métrisable, dont la topologie est associée à la distance d. Si f : X → Y, on définit une pseudo-métrique df sur X en posant :
df (x, y) = d(f(x), f(y)).
Proposition : La topologie image réciproque par f de la topologie de (Y, d) est la topologie associée à la pseudo-métrique df.
La suite (xn) de points de X converge vers a ssi la suite (f(xn)) converge vers f(a) dans Y. La suite (xn) converge alors vers tout point b tel que f(a) = f(b).
Exemple 1 : Munissons Z/2Z de la distance discrète, et considérons la surjection canonique s : Z → Z/2Z. La topologie image réciproque par s est pseudo-métrisable, les entiers pairs (resp. impairs) étant tous à une pseudo-distance nulle les uns des autres. Une suite (xn) d’entiers relatifs converge ssi les xn ont même parité à partir d’un certain rang. On peut remplacer Z/2Z par Z/nZ
Exemple 2 : le plan projectif réel
Soit S2 la sphère unité de l’espace euclidien E de dimenion 3, munie de la distance induite, dite distance cordale k(x, y) = || x – y || = 2−2(xy) = 2 sin
θ2, où θ = Arccos (x | y) ∈ [0, π] . et de la distance intrinsèque δ(x, y) = θ = Arccos (x | y).
Ces deux distances sont équivalentes.
Munissons maintenant S2 de la fonction D(x, y) = Arccos | (x | y) | D(x, y) = θ si θ ∈ [0, π/2] . D(x, y) = π−θ si θ ∈ [0, π/2] . Dans les deux cas, D(x, y) = min(δ(x, y), δ(x, −y)) (*).
Proposition : La fonction D est à valeurs dans [0, π/2]. C’est une pseudo-métrique.
Preuve : D(x, x) = Arccos 1 = 0 , D(x, y) = D(y, x) et
D(x, z) ≤ D(x, y) + D(y, z) découle de D(x, y) = min(δ(x, y), δ(x, −y)). En effet :
• Si D(x, y) = δ(x, y) et D(y, z) = δ(y, z), alors
D(x, z) ≤ δ(x, z) ≤ δ(x, y) + δ(y, z) = D(x, y) + D(y, z).
• Si D(x, y) = δ(x, −y) et D(y, z) = δ(y, z), alors
D(x, z) ≤δ(x, −z) ≤δ(x, −y) + δ(−y, −z) = D(x, y) + D(y, z).
• Si D(x, y) = δ(x, −y) et D(y, z) = δ(y, −z), alors
D(x, z) ≤δ(x, z) ≤δ(x, −y) + δ(−y, z) = D(x, y) + D(y, z).
• Si D(x, y) = δ(x, y) et D(y, z) = δ(y, −z), alors
D(x, z) ≤δ(x, −z) ≤δ(x, y) + δ(y, −z) = D(x, y) + D(y, z).
Mais attention, D ne vérifie pas D(x, y) = 0 ⇔ x = y.
En réalité l’on a D(x, y) = 0 ⇔ (x | y) = ± 1 ⇔ y = ± x.
Cette pseudo-métrique définit bel et bien une topologie sur S2, mais non séparée.
La relation x RRRR y ⇔ y = ± x ⇔ D(x, y) = 0 est une relation d’équivalence, et D définit une vraie distance sur l’espace quotient S2/RRRR.
S2/RRRR est l’espace obtenu en identifiant deux points antipodaux sur la sphère.
C’est précisément cet espace quotient muni de la distance sur les classes de points aintipodaux, que l’on peut prendre comme définition du plan projectif réel. Reste à montrer que S2/RRRR est compact et connexe…
En réalité, D(x, y) est la distance de Hausdorff de la paire {x, −x} à la paire {y, −y}, ce qui fournit une autre approche de la question.
7.6. Dénombrement des topologies sur les ensembles finis.
Le premier exercice de la Topologie générale de Bourbaki est celui-ci :
Exercice : Trouver toutes les topologies sur un ensemble à deux ou trois éléments.
Solution :Sur un ensemble fini, les axiomes (O I), (OII) et (OIII) équivalent à ceux-ci : (O I) ∅∈GGGG, X ∈GGGG;
(O II) ∀(U, V) ∈ GGGG2 U ∩ V ∈GGGG ; (O IV) ∀(U, V) ∈ GGGG2 U ∪ V ∈ GGGG .
Sur X = ∅, il y a une seule topologie, GGGG = {∅}.
Sur X = {a}, il y a une seule topologie, GGGG = {∅, X}, à la fois grossière et discrète.
Sur X = {a, b}, il y a quatre topologies : la topologie grossière GGGG = {∅, X}, la topologie discrète P
P P
P(X), ainsi que GGGG1 = {∅, {a}, X} et GGGG2 = {∅, {b}, X}.
Sur X = {a, b, c}, il y a la topologie grossière GGGG = {∅, X}, et la topologie discrète PPPP(X).
Les topologies contenant 0 singletons sont au nombre de 3, outre la chaotique : G
G G
G1 = { ∅, {a, b}, X } , GGGG2 = { ∅, {b, c}, X } , GGGG3 = { ∅, {a, c}, X }, Les topologies contenant un seul singleton sont au nombre de 15 :
G GG
G4 = { ∅, {a}, X } , GGGG5 = { ∅, {a}, {a, b}, X } , GGGG6 = { ∅, {a}, {a, c}, X }, G
G G
G7 = { ∅, {a}, {b, c}, X } , GGGG8 = { ∅, {a}, {a, b}, {a, c}, X } et celles qui s’en déduisent par permutation.
Les topologies contenant deux singletons sont au nombre de 9 : G
GG
G9 = { ∅, {a}, {b}, {a, b}, X } , GGGG10 = { ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, X } G
G G
G11 = { ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, X } et celles qui s’en déduisent par permutation.
En tout, 29 topologies, dont une seule est séparée, et métrisable, la topologie discrète.
Théorème : Sur un ensemble à 0, 1, 2, 3 éléments, il y a respectivement 1, 1, 4, 29 topologies.
Cependant, à homéomorphisme près, il n’y en a que 1, 1, 3 et 9.
La suite donnant le nombre de topologies sur un ensemble à n éléments est référencée A000798 sur le site OEIS de Neil Sloane. Ses premières valeurs sont :
1 , 1 , 4 , 29 , 355 , 6942 , 208527 , 9535241 , 642779354 , …
La suite donnant le nombre de topologies à homéomorphisme près sur un ensemble à n éléments est référencée A001930. Ses premières valeurs sont :
1 , 1 , 3 , 9 , 33 , 139 , 718 , 4535 , 35979 , 363083 , … 7.7. Espaces uniformisables.
Définition 2 : Un écart sur X est une application d : X×X→ [0, +∞] vérifiant : (ECI) ∀x ∈ X d(x, x) = 0 ;
(ECII) ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x) ; (ECIII) ∀x, y, z ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) .
Soit (dα)α∈A une famille d’écarts sur X. Pour tout x ∈ X, toute famille finie (αj)1≤j≤m d’éléments de A et toute famille finie (rj)1≤j≤m de réels > 0, notons :
B(x ; (αj)1≤j≤m , (αj)1≤j≤m) = { y ∈ X ; (∀j) dαj(x, y) < rj } et SSSS(x) l’ensemble de ces parties.
Théorème : Il existe une topologie sur X pour laquelle SSSS(x) est, pour tout x, un système fonda- mental de voisinages de x. Cette topologie est dite définie par la famille d’écarts (dα)α∈A.
Preuve : Il suffit de montrer que les SSSS(x) vérifient les hypothèses du théorème 6.
Définition 3 : Un espace est dit uniformisable si sa topologie peut être définie par une famille d’écarts.
Exemples : 1) Un espace métrisable est uniformisable.
2) La topologie chaotique est uniformisable, associée à l’écart d = 0.
7.8. Topologie de l’ordre.
Soit X un ensemble totalement ordonné non vide. L’ensemble des intervalles ouverts en tous genres ]x, y[, ]x, →[, ]←, y[ et X est une base d’une topologie, dite topologie de l’ordre.
(B I) ∀x ∈ X ∃A ∈ BBBB x ∈ A ; prendre A = X.
(B II) ∀x ∈ X ∀A, B ∈BBBB x ∈ A et x ∈ B ⇒ ∃C ∈BBBB x ∈ C ⊂ A ∩ B.
Si A = ]y, z[ et B = ]u, v[, prendre C = ]max(y, u), min(z, v)[ ; idem si A = ]y, →[, etc.
Pour cette topologie, une suite croissante est convergente ssi elle admet une borne supérieure, et cette borne est alors sa limite.
Exemple : Soit Ω l’ensemble des ordinaux dénombrables. Adjoignons-lui un plus grand élément ε, et munissons l’ensemble Ω = Ω∪{ε} de la topologie de l’ordre. Je dis que ε est adhérent à Ω, qu’il est limite de la suite généralisée de tous les ordinaux dénombrables, mais qu’il n’est pas limite d’une suite usuelle d’ordinaux dénombrables. En effet, toute suite d’ordinaux dénombrables est majorée.
7.9. Convergence des sommes de Riemann.
Rappelons que si f est une fonction de I = [a, b] dans l’espace de Banach E, σ = (x0 = a < x1 < … <
xn = b) une subdivision de I, et ξ = (ξi)0≤i≤n−1 une suite de points de I vérifiant (∀i) xi≤ξi≤ xi+1, on appelle pas de la subdivision σ le réel |σ| = max | xi+1 − xi | et somme de Riemann de f associée : S( f, σ, ξ ) =
∑
−=1 +−
0
1 )
).(
(
n
i
i i
i x x
f ξ .
On démontre dans le cours d’intégration que, si f est continue, ou réglée, de I = [a, b] dans E, ses sommes de Riemann S( f, σ, ξ) tendent vers l’intégrale de f lorsque le pas de la subdivision σ tend vers 0 :
(∀ε > 0) (∃η > 0) ∀(σ, ξ) ∈ Σ• |σ| ≤ η ⇒
|| ∫abf ).(x dx − S( f, σ, ξ) ||
≤ ε .
Cette notion de convergence « lorsque le pas de la subdivision tend vers 0 » rentre dans le cadre des bases de filtre. Pour tout ε > 0, notons Σ(ε) = { σ ; |σ| ≤ε } l’ensemble des subdivisions de pas ≤ε. C’est une base de filtre sur l’ensemble FFFF(I) des parties finies de I contenant a et b. Et S( f, σ, ξ) tend vers
∫
abf ).(x dx selon cette base de flitre.Cette notion de convergence rentre-t-elle dans la définition générale des limites donnée dans le chapitre sur les espaces métriques ? La réponse est positive, si l’on munit les parties compactes non vides de I de la distance de Hausdorff δ. On s’aperçoit alors que si σ est une subdivision de I, δ(σ, I) n’est autre que le demi-pas |σ|/2, de sorte que dire que |σ| tend vers 0 signifie que σ tend vers I pour la distance de Hausdorff.
7.10. Topologie de la convergence simple.
Dans ce qui suit on se limite à des fonctions à valeurs réelles, mais cela s’étend à des fonctions à valeurs dans un espace métrique. Soit E un ensemble. On dit qu’une suite (fn) de fonctions de E dans R converge simplement vers f dans E si :
(∀x ∈ E) limn →+∞ fn(x) = f(x). On note fn→ f (s).
Existe-t-il une topologie sur FFFF(E, R) telle que fn→ f si et seulement si fn→ f pour cette topologie?
Nous allons montrer que la réponse est positive.
Appelons voisinage élémentaire de la fonction f ∈ FFFF(E, R) tout ensemble de la forme : V( f ; x1, ..., xk ; ε) = { g ∈ FFFF(X, F) ; (∀i) | f(xi) − g(xi) | < ε } , où x1, ..., xk sont des points de X en nombre fini, et ε un réel > 0 ;
