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Submitted on 1 Jan 1912
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Application du polygone de Fresnel à la composition des forces électromotrices d’induction. - Classification des
génératrices
A. Guillet
To cite this version:
A. Guillet. Application du polygone de Fresnel à la composition des forces électromotrices d’induction. - Classification des génératrices. J. Phys. Theor. Appl., 1912, 2 (1), pp.205-213.
�10.1051/jphystap:019120020020501�. �jpa-00241743�
205
On voit qu’on l’obtient par une sommation portant sur les valeurs dues à des ondes planes élémentaires se croisant dans toutes les di- rections. C’est sur cette simple remarque que nous voulions attirer l’attention.
APPLICATION DU POLYGONE DE FRESNEL A LA COMPOSITION DES FORCES
ÉLECTROMOTRICES D’INDUCTION. 2014 CLASSIFICATION DES GÉNÉRATRICES ;
Par M. A. GUILLET.
1. On doit s’efforcer, semble-t-il, de substituer aux monographies juxtaposées, qui constituent le fond de l’enseignement élémentaire de certains ordres de phénomènes physiques, des exposés d’en- semble, d’ailleurs plus concis, liant logiquement les uns aux autres
le plus grand nombre possible de cas. Car le rôle de la mémoire se
trouve alors diminué et celui du raisonnement pur accru d’autant ; plus le domaine des sciences expérimentales s’étend, plus il est
nécessaire que l’esprit de nos élèves soit exercé à tirer de faits pri- mordiaux, révélés par l’observation, toutes les conséquences que
comporte le groupe de ces faits.
Comme exemple, proposons-nous de déduire rapidement du Poly-
gone des vibrations de Fresnel et de la loi qui domine les phénomènes
d’induction :
les divers types de génératrices, et cela sans utiliser d’autres notions que celles qui figurent au programme du baccalauréat.
II. Polygone de Fresnel. - Si un segment de droite de longueur
ax fait avec un axe OY (fig. 1) un angle 0 -~- la projection de ce
segment sur la droite OX perpendiculaire à OY a pour mesure (lx sin (9 -~- Il suit de là qu’une expression telle que
est donnée par la projection sur OX du contour polygonal obtenu
en composant, à la manière des forces concourantes, le système
des segments a~ ayant tous 0 pour origine et formant avec OY les
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019120020020501
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angles respectifs 6 -~.- elle est également représentée par la pro- jection sur OX de la résultante OM du contour.
Dans le cas particulier oû x reçoit les valeurs 0, 1, 2, .... p - ~, la longueur ax étant constante et égale à ct, le système comprend p bras égaux distribués en éventail autour de 0, selon la raison P. Les som-
mets du polygone sont alors répartis sur une circonférence de rayon
Comme la résultante OM est une corde de cette circonférence sous-tendant l’arc occupé par ~ro côtés, ou encore la base d’un triangle
isocèle dont les autres côtés sont égaux à R et dont l’angle au som-
met est p~, on a : ~
207 En numérotant dans le même ordre f, 2, 3..., etc., les bras successivement rencontrés en partant de l’un ou de l’autre des deux bras extrêmes [9 ; 0 -f- (1) - 1) ~ et composant séparément les bras portant un même numéro, on obtiendra des résultantes partielles
toutes dirigées suivant la bissectrice commune des groupes ainsi formés. En conséquence, la résultante totale OM fera avec OY
car l’angle HOM a pour mesure la moitié de
l’arc (p - ~ ) ~3.
Puisque S mesure la projection de OM sur OX, on a :
On exprimera que le système des bras tourne avec la vitesse
angulaire w en posant 0 ._ wi ; le contour polygonal et sa résultante
ONI tourneront alors sans déformation avec la même vitesse angu- laire co.
III. Génératrice théorique. - Partons du dispositif théorique sui-
vant : des plans, passant par un même axe 00’ 2), sont distri-
bués en éventail autour de cet axe, deux plans consécutifs formant
un même angle p.
Dans ces plans, et de part et d’autre de l’axe, des spires iden- tiques sont fixées de manière que leurs centres soient sur une même circonférence dont le centre est sur 00’ et dont le plan est perpendi-
culaire à 00’.
Plaçons ce système dans un champ magnétique uniforme, dont
la composante perpendiculaire à l’axe 00’ a pour mesure ?, et animons-le d’un mouvement de rotation de loi 6 = f(t). Que se passera-t-il ?
Loi des f. e’. m. induites. - Suivons la spire 1 ; si 0 est l’angle que forme le plan de cette spire avec le plan BB’ mené par 0()’ perpen- diculairement à cp, elle est traversée par le flux :
et est par suite le siège d’une force électromotrice :
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En admettant, ce qui est le cas de la pratique, que
w étant la vitesse angulaire constante de l’éventail, il vient :
ou encore :
si l’on pose :
N étant le nombre de tours effectuées par l’éventail ou rotor en une
seconde.
FIG. 2.
Pour passer de la spire de rang 1 à la spire de rang p, il faut
remplacer dans la formule (i) l’angle e par l’angle 0 -+- (p -1 ) ~3, on
a donc:
et, dans les conditions où p est constant :
Les diverses f. é. m. sont donc représentées par des sinusoïdes décalées les unes par rapport aux autres et successivement de :1t T
2-z suivant l’axe des temps.
209
Association des f. é. m. induites. - 1" 0 G)-oitpenîent alternatif. - Associons en sérier spires consécutives, on obtiendra une f. é. m.
résultante :
Les f. é. m. s’ajoutant sans s’influencer mutuellement, comme des vibrations parallèles, la règle de Fresnel s’applique, et la considéra-
tion du polygone des f. é. m. donne immédiatement : -.
la phase de la f. é. m. résultante étant comparée à celle de la f. é.
m. e~ .
On voit que le système des ~ro spires associées en série donne entre ses extrémités ouvertes une différence de potentiel altei-native sinu- soïdale d’amplüude :
et présentant avec la f. é. m. e, induite dans la première spire une
différence de phase ~ telle que
Au point de vue pratique, pour capter cette f. é. m., il suffira, les spires étant reliées en série, de fixer les extrémités du circuit ainsi obtenue à deux anneaux conducteurs montés sur l’axe 00’ et d’ap-
puyer deux baZccis polaires immobiles sur ces anneaux tournants.
Si l’on veut redresser la f. é. m., on utilisera un seul anneau, fendu dans l’azimut, facile à calculer, pour lequel Ep = o, et les balais seront calés de façon que leur ligne de contact soit dans cet azimut.
A l’instant où la polarité des demi-bagues change, elles changent de
balais et ceux-ci conservent par suite une polarité invariable.
2° Groupe>71ents polyphasés. - Si l’on forme à la suite du premier
groupe de p spires un second groupe de q spires, on aura dans ce
210
second groupe à composer les f. é. m. :
ou, en retardant toutes les phases de ~~ :
ce qui conduit à la f. é. m. résultante :
d’ amplitude :
et de phase :
par rapport à e~ .
La différence de phase des f. é. m. résultantes Eq et Ep est donc :
Pour p _-_ q, cas d’associations successives identiques,
Les deux f. é. m. Ep et Eq présenteront donc la différence de
P hase par exemple, si l’on satisfait à la condition :
J ,,
Or, si la circonférence est entièrement occupée par n spires équi-
211 distantes angulairement, on a :
et l’on doit faire ro == ; par construction, on rendra n multiple de j.
J
Pour j = 3, il vient p = 1. 0 On obtiendra donc trois f. é. m. tripha-
.
sées en partageant les n spires du rotor en trois groupes successifs
comprenant n spires associées en série. En consérvant l’association u
en série pour les trois groupes eux-mêmes, et reliant leurs points de jonction à trois bagues continues calées sur l’axe du rotor, on diri- gera les f. e. m. induites dans trois fils de lignes reliés à trois balais,
fixes sous lesquels tournent les bagues.
A ce montage en triangle, qui s’offre naturellement, on peut subs-
tituer un montage étoité. Pour cela on reliera métalliquement les origines des trois sections considérées précédemment et les trois
extrémités libres seront mises en communication avec les trois balais.
On calculera sans peine les différences de potentiel relatives aux
balais considérés deux à deux.
3° Groupemfnt dans l’espace l’artifice collecteur à touches.
- Force électromotrice constante. - Imaginons que l’on puisse, à
l’aide d’un artifice convenable, utiliser la f. é. m. provenant de la
composition des p spires qui occupent à chaque instant l’angle BOX.
Il ne s’agit plus de suivre la f. é. m. de p spires successives parfaite-
ment déterminées, associées en série, comme on l’a fait précédem- ment, mais celle des p spires qui viennent prendre à chaque instant position dans l’angle fixe BOX.
On a encore :
et pour l’époque t = o :
212
On discutera.
Si l’éventail comporte n spires régulièrement réparties sur la cir-
, Q .
conférence, on a 6 = - et par suite :
’ n ’
d’où pour
En réalité, comme les spires sont angulairement distantes des
dès que le groupe considéré quitte la position qu’il occupe à l’instant
t ~ o, Ep varie et ne reprend sa valeur qu’après la rotation qui
restitue le groupe dans son premier état. Calculons la valeur prise
par Ep après la rotation qui dure un temps r tel qne wz ~ a ; il
vient en substituant w’t’ à cot :
pour
Ainsi la f. é. m. E a pour valeur f . e a ~, le coefficient (variant . 7t’
SIn - n
de 1 à cos 7.:; la valeur de cos - est évidemment d’autant plus voisine
n Tt "
de i que n est plus grand, on obtient donc ainsi une f. é. m. presque
constante.
Pour réaliser le groupement précèdent, il suffit de sérier les
s pires par l’intermédiaire de touches isolées formant un cylindre
eo llecteur, solidaire de 00’ sur lequel s’appuient deux balais dont la li gne de contact est le diamètre perpendiculaire au champ y.
On voit sans difficulté que les deux moitiés de l’éventail fonc- tionnent de la même manière et produisent entre les bobines la
213 même f. é. m., en sorte que, si les spires étaient sériées en totalité,
on aurait :
c’est ce que donne l’expression de Ep (3) lorsqu’on y fait p = n et
Anneau On passe immédiatement du rotor théo-
rique précédent au cas de l’anneau Gramme. Il suffit de remarquer que le flux #, qui correspond à la moitié de l’épanouissement polaire
et qui constitue l’une des dérivations magnétiques déterminées par l’anneau de fer feuilleté, pénètre progressivement dans l’anneau; nul
dans la direction A’A, il est maximum dans la direction B’B, c’est-
à-dire à 90° de la précédente, et par suite on peut considérer le flux relatif à la spire dont le plan fait l’angle ~ avec BB’ comme ayant
pour mesure :
car le produit So est ici remplacé par î.
L’amplitude de la f. é. m. induite est donc :
ou approximativement et en volts :
IV. On voit par là comment l’emploi des divers collecteurs décrits
plus haut permet de tirer d’une même génératrice Gramme la f. é. m.
alternative, la f. é. m. redressée, des f. é. m. polyphasées, des
f. é. m. à peine ondulatoires, etc.
Le lecteur traitera de même sans difficulté le cas des génératrices multipolaires, des alternateurs, etc., et étendra ces mêmes consi- dérations au problème des moteurs électriques, des champs polyphasés, etc.
Il introduira ainsi, dans l’exposé d’une question assez complexe,
une simplicité et une cohésion logique évidentes.
