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Exercices de topologie
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Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie
Licence—/
Bruno Deschamps Version.
Distances
Exercice.—/ Soitα >0. Montrer que
d(x, y) =||x|α− |y|α| eune diance surR+.
Exercice.—Pourx, y∈R, on pose
δ(x, y) =
x
1 +|x|− y 1 +|y|
Montrer queδeune diance surRqui n’epas équivalente à la diance usuelle.
Exercice.—Somme de diances. Soientd1,· · ·, dn des diances sur un ensembleXetλ1,· · ·, λn
des réels positifs non tous nuls. Pourx, y∈X, on pose
d(x, y) =λ1d1(x, y) +· · ·+λ1dn(x, y) Montrer quedeune diance surX.
Exercice.—Soit (E, d) un espace métrique. Pour tousx, y∈E, on pose f(x, y) = d(x, y)
1 +d(x, y) e(x, y) = min(1, d(x, y))
a) Montrer quef etesont des diances surEet qu’elles sont équivalentes.
b) Montrer quef etesont équivalentes àdsi et seulement siEeborné pourd.
Exercice.—Diance discrète. Sur un ensembleE,∅, on définit, pour toutx, y∈E, d(x, y) =
( 0 six=y 1 six,y Montrer quedeune diance surE.
Exercice.—Soitf :R+−→R+une application croissante qui vérifie quef(0) = 0 et que, pour toutx, y≥0,f(x+y)≤f(x) +f(y).
a) Montrer que, s’il exies >0 tel quef(s) = 0, alorsf eidentiquement nulle.
b) On suppose quef ne soit pas identiquement nulle et l’on considère un espace métrique (E, d).
Montrer que l’application (x, y)7−→f(d(x, y)) eune diance surE.
c) Montrer que les applicationsf suivantes vérifient la condition de l’énoncé : •07−→0 ett7−→1 pourt >0,•t7−→tα(α∈]0,1[),•t7−→min(1, t),•t7−→ t
1+t.
Exercice.—On considère l’ensembleZ∗des entiers non nuls et l’application d: Z∗×Z∗ −→ R
(n, m) 7−→
1 n− 1
m
Montrer quedeune diance surZ∗.
Exercice.—Diancep-adique. Pour un nombre premierpet un entiern∈Znon nul, on appelle valuationp-adiquede l’entiern, l’exposantvp(n) depdans la décomposition en faeurs premiers den. On convient que vp(0) = +∞. SurE =Z, on définit alors ladiancep-adiqueentre deux entiersn, m∈Zpar
dp(n, m) =e−vp(n−m) (avec la conventione−∞= 0).
a) Montrer quedpeune diance surZ. b) Généraliser la définition dedpàQ.
c) Montrer que limndp(pn,0) = 0, en déduire que sipetqsont deux nombres premiers diins alorsdpetdqne sont pas des diances équivalentes.
Exercice.—SoientEun ensemble non vide etENl’ensemble des suites à valeurs dansE. Pour u= (un)netv= (vn)ndeux éléments deEN, on pose
ω(u, v) = inf{n∈N/ un,vn} ∈N∪ {+∞}
et l’on définit alors
d(u, v) = 1 1 +ω(u, v)
avec la convention+1∞ = 0. Montrer quedeune diance surEN.
Exercice.—Soient (E, d) un espace métrique,Fun ensemble etϕ:E−→Fune bijeion.
a) Montrer quedϕ:F×F−→R+définie pardϕ(x, y) =d(ϕ−1(x), ϕ−1(y)) eune diance surF. b) Montrer queϕeune isométrie de (E, d) sur (F, dϕ).
Exercice.—Soient (E, d) un espace métrique,A, Bdeux sous-ensembles deEetx∈E.
a) Montrer quex∈A=⇒d(x, A) = 0. La réciproque e-elle vraie?
b) Prouver queA∩B,∅=⇒d(A, B) = 0. La réciproque e-elle vraie?
c) Prouver que
δ(A∪B)≤δ(A) +d(A, B) +δ(B) En déduire qu’une réunion finie de partie bornées ebornée.
Exercice.—On considère un ensemble fini non videEetdune diance surE.
a) Montrer que la partieΩ ={d(x, y)/ x, y ∈E, x ,y} possède un plus petit et un plus grand élément, tout deux dans ]0,+∞[.
b) En déduire quedeéquivalente à la diance discrête.
Espaces vectoriels normés
Exercice.—Montrer que (R,|.|) e unR-espace veoriel normé, que (C,|.|) e unC-espace veoriel normé et que c’eaussi unR-espace veoriel normé.
Exercice.—NormeNαsurKn. On se fixe un entiern≥1 et l’on considère leK-espace veoriel E=Kn.
/ (Norme infinie) Pour toutx= (x1,· · ·, xn)∈E, on pose N∞(x) = sup
i=1,···,n
(|xi|) Montrer que (E, N∞(x)) eun espace veoriel normé.
/ (Inégalités de Hölder et de Minkowski, normesNα) On considèrep, q∈]1,+∞[ tels que1p+1q= 1.
a) Montrer que la fonion log econcave.
b) En déduire que pour toutu, v∈R+on a uv≤up
p +vq q
c) Soientu1,· · ·, un, v1,· · ·, vn ∈ C. En considérant les quantités |uk|
Pn
i=1|ui|p1/p et |vk| Pn
i=1|vi|q1/q
pourk= 1,· · ·, net en appliquant le/, montrer que
n
X
i=1
|uivi| ≤
n
X
i=1
|ui|p
1/p
n
X
i=1
|vi|q
1/q
(Inégalité d’Hölder)
Quel ele nom de cette inégalité quandp=q= 2?
d) En déduire que siu1,· · ·, un, v1,· · ·, vn∈Calors
Xn
i=1
|ui+vi|p
1/p
≤
Xn
i=1
|ui|p
1/p
+
Xn
i=1
|vi|p
1/p
(Inégalité de Minkowski)
(Ind. On pourra remarquer que pour toutk= 1,· · ·, non a|uk+vk|p≤ |uk|.|uk+vk|p−1+|vk|.|uk+vk|p−1. On sommera alors ces inégalités et on utilisera l’inégalité d’Hölder pourq=pp−1.)
e) SoientE=Knetα∈[1,+∞[. Montrer que si, pour toutx= (x1,· · ·, xn)∈E, on pose
Nα(x) =
n
X
i=1
|xi|α
1/α
alors (E, Nα) eun espace veoriel normé.
f) Montrer que pour toutα, β∈[1,∞[ tel queα≤βet toutx∈E, on a n
β−α
αβNβ(x)≥Nα(x)≥Nβ(x)
(Ind. Pour la première inégalité, on pourra utiliser la convexité des fonions puissances et, pour la deuxième, utiliser une récurrence sur l’entiern.)
Prouver finalement que les normesNα(α∈[1,+∞[) sont toutes équivalentes à la normeN∞. g) Montrer que, pour toutx∈E, lim
α−→+∞Nα(x) =N∞(x).
Exercice.—Espaceslα. Pourα ∈[1,+∞[, on considère l’ensemblelα(K) conitué des suites (xn)nd’éléments deKtelles queX
n
|xn|αconverge. De même, on notel∞(K) l’ensemble des suites bornées deK.
a) Montrerl∞(K) eunK-espace veoriel et queN∞((xn)n) = sup
n
|xn|eune norme surl∞(K).
b) En utilisant les exemples précédents, montrer queNα((xn)n) =
X
n
|xn|α
1/α
eune norme sur lα(K).
c) Soientα≤β, montrer quelα(K)⊂lβ(K)⊂l∞(K).
Exercice.—EspacesLα. Soientaet b deux réels tels quea < b. On poseE =C0([a, b],R) le R-espace veoriel conitué des applications de [a, b] dansRcontinues. Pour toutα∈[1,+∞[ et
toutf ∈E, on pose pour
Nα(f) = Zb
a
|f(x)|αdx
!α1
On pose de même:
N∞(x) = sup
x∈[a,b]
|f(x)| a) Montrer queN∞eune norme surE.
b) En utilisant les sommes de Riemann et l’exemple précédent, montrer queNα eune norme surE.
c) Prouver que, pour toutf ∈E, lim
α−→+∞Nα(f) =N∞(f).
Exercice .— Soient (Ei, Ni), i = 1,· · ·, n une famille finie de K-espaces veoriels normés et α∈[1,+∞[. Sur le produit cartésienE=E1× · · · ×En (qui eunK-espace veoriel), on définit l’applicationNαdeEdansR+de la manière suivantes : pour toutx= (x1,· · ·xn)∈E1× · · ·, En, on pose:
Nα(x) = (N1(x1)α+· · ·+Nn(xn)α)1/α de même on pose
N∞(x) = sup(N1(x1),· · ·, Nn(xn))
a) Dans le cas particulier oùEi =Ket Ni =|.| pour touti = 1,· · ·, n, décrire lesNα pour tout α∈[1,+∞].
b) Montrer queNαeune norme surEpour toutα∈[1,+∞].
c) Prouver que lesNαsont équivalentes à la normeN∞.
On appelle produit des espaces veoriels normés (Ei, Ni)i, l’espace veorielE=E1× · · · ×En
normé par l’une des normesNα précédemment définies. Quelles sont les normesNα lorsque (Ei, Ni) = (K,|.|) pour touti?
Exercice.—Soit (E, N) unK-e.v.n etF unK.e.v. Supposons queE etF soient isomorphes et considéronsϕ:E−→F un isomorphisme. Pour toutx∈F, on pose:
||x||=N(ϕ−1(x)) Montrer que la fonion||.||ealors une norme surF.
Etant donnés (E1, N1) et (E2, N2) deuxK-espaces veoriels normés, on appelleisométriedeE1 surE2toute isomorphisme d’espace veorielϕ:E1−→E2vérifiant
∀x∈E1, N2(ϕ(x)) =N1(x)
Montrer qu’une isométrie d’e.v.n. eaussi une isométrie d’espaces métriques.
Exercice.—SoitEunK-espace veoriel.
a) Montrer que, siN eune norme surEde diance associéed, alors on a :
/∀(x, y, t)∈E3,d(x+t, y+t) =d(x, y)
/∀(x, y)∈E2,∀λ∈K,d(λx, λy) =|λ|d(x, y).
b) Réciproquement, montrer que sidune diance surEqui vérifie les conditions 1/et 2/, alors l’application||x||=d(x,0) eune norme surEet que la métrique associée à||.||eégale àd.
Exercice.—On considère (E,||.||) unR-espace veoriel et l’on pose µ(E) = sup
x,y∈E−{0}
||x+y||2+||x−y||2 2(||x||2+||y||2)
a) En considérant des valeurs particulières du couple (x, y)∈E2montrer que 1≤µ(E).
b) Montrer que pour toutx, y∈Eon a
||x+y||2+||x−y||2≤2||x||2+ 2||y||2+ 4||x||.||y||
et en déduire queµ(E)≤2.
c) On considère E=R2 et ||.||=||.||2 la norme euclidienne (i.e. si x= (x1, x2)∈ R, ||(x1, x2)||2 = q
x12+x22). Calculerµ(R2).
d) On considère E = R2 et ||.|| = ||.||∞ la norme infinie (i.e. si x = (x1, x2) ∈ R, ||(x1, x2)||∞ = max(|x1|,|x2|)). Calculerµ(R2).
Suites, valeurs d’adhérence
Exercice.—Donner un exemple de suite numérique qui ne converge pas mais qui possède une unique valeur d’adhérence.
Exercice.—Soit (un)n une suite numérique bornée et (an)n une suite de valeurs d’adhérence de la suite (un)n. Montrer que si la suite (an)n converge vers un réela, alorsa e aussi valeur d’adhérence de la suite (un)n.
Exercice.—) Soit (un)nune suite numérique. Pour toutn≥0, on pose an= inf{uk/ k≥n}
bn= inf{uk/ k≥n}
a) Montrer que la suite (an)necroissante et que la suite (bn)nedécroissante. En déduire que ces deux suites convergent et que limnan≤limnbn. On appelle limite inférieure (resp. supérieure) de la suite (un)nla limite limnan(resp. limnbn) et on la note lim infnun (resp. lim supnun).
b) Montrer que lim infnunet lim supnunsont des valeurs d’adhérence de la suite (un)net que siα désigne une valeur d’adhérence de la suite (un)nalors lim infnun≤α≤lim supnun.
c) Montrer que (un)nconverge si et seulement si lim infnun= lim supnun.
) Déterminer lim infnunet lim supnunpour le suites (un)ndéfinies par : a) Pour toutn≥0,un= (−1)n+n+11 .
b) Pour toutn≥0,vn=
( (1 + (1 + (−1)p)/p)p sin= 2p (1 + 1/p)p sin= 2p+ 1 .
Exercice.—Déterminer les valeurs d’adhérence de la suite (an)npoura∈C.
Exercice.— On considère une suite (un)n dans un espace métrique telle que les sous-suites (u2n)n, (u2n+1)net (u3n)nconvergent. Montrer que (un)nconverge.
Exercice.—Soit (un)nune suite numérique telle que limnun+1−un= 0. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (un)neun intervalle.
Exercice.—On considère une suite de réels positifs (xn)nvérifiant que, pour toutn, p≥0, on a (n+p)xn+p≤nxn+pxp
et l’on posel= infnxn.
a) Montrer que, pour toutk, n≥0, on axkn≤xn. En déduire que la suite (xn)npossède des valeurs d’adhérence et quelel’une d’elle.
b) Montrer que lim
n xn=l.
(Ind. Pourε >0 donné, on prendra un entier N >0 tel que xN−l < ε/2 et pour toutp ≥0, on écrira N+p=kN+aaveca∈ {0,· · ·, N−1}.)
Exercice.—On munitE=R[X] des normes données, pourP ∈E, par les relations
||P||∞= sup
t∈[0,1]
|P(t)|et||P||1= Z1
0
|P(t)|dt
(on vérifiera qu’il s’agit bien ici de normes surE) et l’on considère la suite (Xn)n. a) Vérifier que la suite (Xn)nebornée pour||.||∞et converge vers 0 pour||.||1. b) Les normes||.||∞et||.||1sont-elles équivalentes ?
c) Montrer que, bien que bornée, la suite (Xn)nne possède pas de valeur d’adhérence pour||.||∞.
Topologie
Exercice.—Reprendre les exemples d’espaces métriques précédemment rencontrés et décrire les boules ouvertes et fermés de ces derniers.
Exercices.—/ Toute boule ouverte eouverte. Toute boule fermé et toute sphères efermée.
/ Tout point efermé. Donc toute partie finie efermée.
/ Tout ouvert eune réunion de boules ouvertes.
/ On considèreE={z∈C/|z|<1/2} ∪ {i} ⊂Cetd(x, y) =|x−y|. Montrer que{z∈C/|z|<1/2}et {i}sont des parties à la fois ouvertes et fermées.
/ Donner un exemple d’une interseion d’ouverts qui n’epas un ouvert et un exemple d’une réunion de fermés qui n’epas un fermé.
Exercice .— Montrer que dans un espace métrique E, pour tout x ∈ E et tout r > 0, on a δ(B(x, r))≤2r. Donner un exemple où cette inégalité e rie.
Exercice.—Donner l’exemple d’une boule ouverte dans un espace métrique dont l’adhérence edifférente de la boule fermée associée.
Exercice.—SoitAune partie d’un espace métriqueE.Que décrit l’ensemble desx∈Etel que d(x, A) = 0 ?
Exercice.—SoitAune partie d’un espace métriqueE. Montrer que : a)CEA=
◦
CEA.
b)CE
◦
A=CEA.
c)
◦
◦
A=
◦
A.
d)
◦
◦
A=
◦
A.
e) Trouver un exemple de partieX ⊂R (ici R e normé par |.|) telle que les sept ensembles X, X,
◦
X,
◦
X,
◦
X,
◦
◦
X,
◦
Xsoient diins deux à deux.
f) Fr(A) =A∩CEA.
g) Ext =CEA=
◦
CEA.
h)
◦
Ext(A)= Ext(A).
Exercice.—SoientAetBdeux parties d’un espace métriqueE.
•Montrer queA∪B=A∪Bet queA∩B⊂A∩B(donner un exemple ou l’inclusion e rie).
•Montrer que
◦
A∩B=
◦
A∩
◦
Bet que
◦
A∪
◦
B⊂
◦
A∪B(donner un exemple ou l’inclusion e rie).
Exercice.—On considère un espace métriqueEet deux partiesA, B⊂Evérifiant que A∩B=A∩B=∅
Montrer que siA∪Befermé, alorsAetBsont aussi fermés.
Exercice.—SoitAune partie d’un espace métriqueE.
a) Montrer queA=Aet que
◦
◦
A=
◦
A.Que penser de Fr(Fr(A) et de Ext(Ext(A))?
b) Montrer que
◦
A, Fr(A) et Ext(A) forment une partition deE.
Exercice.—SoitAune partie d’un espace métriqueE. On dit qu’un pointx∈Aeisolé (de A) s’il exie un voisinageV dex tel queV ∩A={x}. On dit qu’un point x∈ E e un point d’accumulation deAsi pour tout voisinageV dex,V∩Acontient au moins deux points.
a) Montrer que sixeun point d’accumulation deAalors pour tout voisinageV dex,V∩Ae un ensemble infini.
b) Montrer queAeégal à la réunion des points d’accumulations deAet des points isolés deA.
c) Soit (un)nune suite numérique. On noteU={un, n∈N},Al’ensemble des valeurs d’adhérence de (un)n,U0l’ensemble des points d’accumulations deU. Montrer queU0⊂A⊂U et donner un exemple de suite pour lequel les inclusions sontries.
Exercice.—Une partieA⊂R edite dense pour l’ordre si pour toutx < y dansRil exie z∈Atel quex < z < y.
a) Montrer queAedense dansRsi et seulement siAedense pour l’ordre.
b) En déduire que les partiesQ,R−QetDsont denses dansR.
Exercice.—On considère sur un ensemble non videX la diance discrète. Quelles sont les parties ouvertes deX? fermées ?Quelle el’adhérence d’un sous-ensembleAdeX? l’intérieur?
Quels sont les voisinages d’un point deX?
Exercice.—Pourx, y∈R, on pose
d(x, y) = 0 six=y
= |x|+|y| sinon
) Montrer que l’applicationdainsi définie eune diance surR.
) On se donnex∈Retε >0, et l’on noteB(x, ε) (resp. Bf(x, ε)) la boule ouverte (resp. fermée) pour la dianced. Décrire explicitement les ensemblesB(x, ε) etBf(x, ε).
(On diinguera le casx= 0 du casx,0 et dans ce dernier cas, l’on diinguera suivant la position de|x|par rapport àε).
) Donner une condition nécessaire et suffisante surxetεpour queB(x, ε) soit un intervalle ouvert deR.
) Montrer que pour toutx,0,{x}eun ouvert mais que{0}ne l’epas.
) Soit (un)nune suite de réels etx,0. Donner une condition nécessaire et suffisante simple sur (un)npour que limnun=x.
Exercice.—Soient (E, d) un espace métrique etx,ydeux éléments deE. Montrer qu’il exie deux réelsεx>0 etεy>0 tel queB(x, εx)∩B(y, εy) =∅.
Exercice.—On dit qu’un nombre réelxe décimal si il exie un entiera∈ Zet un entier n≥0 tel quex= a
10n. On noteDl’ensemble des nombres décimaux.
a) Montrer queD⊂Qmais que l’inclusion réciproque n’epas vraie.
b) On se donne deux réelsx < yet l’on noteε=y−x >0. Montrer qu’il exie un entierntel que 10−n< ε.
c) Expliciter en fonion dex, yetn, un entieratel quex < a 10n < y.
d) En déduire queDedense dansR.
Exercice.—On considère l’ensembleZ∗des entiers non nuls et l’application d: Z∗×Z∗ −→ R
(n, m) 7−→
1 n− 1
m
a) Montrer quedeune diance surZ∗.
b) Soienta∈Z∗,ε∈R+∗etB(a, ε) la boule ouverte de centreaet de rayonε. Montrer que n∈B(a, ε)⇐⇒1
a−ε <1 n<1
a+ε c) Décrire explicitementB(1,1),B(1,1/2) etB(−2, π/4).
Exercice.—.—Soitaun entier non nul. Montrer qu’il exie un unique entierm≥1 tel que 10m−1diviseaet 10mne divise pasa.
.—Pourx, y∈Z, on posed(x, y) = 0 six=yetd(x, y) = 1/moùm≥1 el’unique entier tel que 10m−1divisex−yet 10mne divise pasx−y.
.a.—Montrer quedeune diance surZ.
.b.—Montrer que, pour toutp∈N− {0}et tousx, y∈Z,d(x, y)< 1
p ⇐⇒10p|(x−y).
.c.—En déduire que si, pour toutn≥0, on posexn= Xn
k=0
k.k!, alors la suite (xn)nconverge vers
−1 dans l’espace métrique (Z, d).
(Ind. On pourra commencer par démontrer quexn+ 1 = (n+ 1)! pour toutn.)
.d.—Prouver que la suite (10n)n converge vers 0 et que la suite (2n)ndiverge dans (Z, d).
Exercice.—On considère ici l’ensemble Rdes nombres réels muni de sa diance naturelle d(x, y) =|x−y|. On noteP l’ensemble des nombres premiers.
.—Pour un réelx >0 donné, on noteπ(x) le nombre de nombres premiers compris entre 1 etx.
On admet le résultat (profond) suivant :π(x) '
x→+∞
x logx.
.a.—Soitλ > µ >0 deux réels, montrer que lim
x→+∞π(λx)−π(µx) = +∞.
.b.—En déduire que sia >0 eréel, alors pour toutε >0, il exie un entierk0tel que pour tout k≥k0il exiep∈P tel quea−ε≤p
k ≤a+ε.
.—Pour une partieA⊂N− {0}, on note[P] [A] =
p
a/ p∈P, a∈A
.
.a.—Déduire du.b que siAeinfini alors la partie[[A]P]edense dansR+.
.b.—Montrer finalement que l’ensemble conitué des rapports de 2 nombres premiers edense dansR+
Exercice.—On considèreP le plan affine et euclidien et surP la diance euclidienned2qui, on le rappelle, edéfinie pour deux pointsM(x, y) etN(a, b) par
d2(M, N) = q
(x−a)2+ (y−b)2
On noteO l’origine du planP et l’on considère l’applicationddéfinie, pourM, N∈P, par d(M, N) = d2(M, N) si les pointsM, N ,O sont alignés
= d2(M,O) +d2(O, N) sinon
) Montrer quedeune diance surP.
) Décrire les boules ouvertesB(M0, r) deP pourd. Pour cela, on diinguera les trois cas suivants :
a)M0=O.
b)M0,O etr < d2(M0,O).
c)M0,O etr≥d2(M0,O).
Espaces compacts
Exercice.—/ SoientXun espace métrique etA, Bdeux parties compaes deX. Montrer que A∪BetA∩Bsont compaes.
/ Soient E un espace veoriel normé et A, B deux parties non vides de E. On note A+B = {a+b/ a∈A, b∈B}.
a) Montrer que siAetBsont compaes alorsA+Bl’eaussi.
b) Montrer que siAetBsont ouvertes alorsA+Bl’eaussi.
c) Montrer que siAecompae etBefermée alorsA+Befermée.
d) E-il vrai que siAetBsont fermées alorsA+Bl’eaussi ? Exercice.—Montrer qu’un espace métrique fini ecompa.
Exercice.—Soit (E, d) un espace métrique et (un)n une suite d’éléments deE. On noteU = {un/ n∈N}.
a) On considère un élément l ∈ E−U. Montrer que l ∈ U si et seulement sil e une valeur d’adhérence de la suite (un)n.
b) En déduire queU=U∪V A((un)n) oùV A((un)n) désigne l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (un)n.
c) Donner un exemple explicite de suite (un)ntelle queU∩V A((un)n),∅.
d) On suppose maintenant que la suite (un)n converge vers un élément l ∈ E. Montrer que l’ensemble{un/ n∈N} ∪ {l}eun fermé deE.
e) En déduire que, siE=Rp, alors l’ensemble{un/ n∈N} ∪ {l}ecompa.
Exercice.—On considère l’ensembleX=C0([0,1],R) des applications continues de [0,1] dans Ret l’on considère l’applicationddéfinie, pourf , g∈X, par
d(f , g) = Z1
0
|f(x)−g(x)|dx
) Montrer quedeune diance surX.
) On considère la partieS= (
f ∈X/
Z1 0
|f(x)|dx= 1 )
. Montrer queS eune partie fermée et bornée deX.
) Pour tout entiern≥3, on considère l’applicationfn∈Xdéfinie par fn(x) = 0 six∈[0,1/n]∪[3/n,1]
= n2x−n six∈[1/n,2/n]
= −n2x+ 3n six∈[2/n,3/n]
a) Représenterfnet montrer quefn∈S.
b) Soientn, m≥3 deux entiers tels que 3n≤m. Montrer qued(fn, fm) = 2.
c) En déduire qu’il n’exie aucune sous-suite de la suite (fn)n≥3qui soit de Cauchy.
d) Montrer finalement queSn’epas une partie compae deX. N’e-ce pas paradoxal ?
Espaces complets
Exercice.—SoientX un espace métrique etA, Bdeux parties complètes deX. Montrer que A∪BetA∩Bsont complètes.
Exercice.—/ Soientd et d0 deux diances équivalentes sur un ensembleE. Montrer que (E, d) ecomplet si et seulement si (E, d0) l’eaussi.
/ Soitϕ: (E, d)−→(F, d0) une isométrie. Montrer que (E, d) ecomplet si et seulement si (F, d0) l’eaussi.
/ Soient (E, d) un espace métrique,Fun ensemble etϕ:E−→Fune bijeion.
a) Montrer quedϕeune diance surFet queϕeune isométrie.
b) En déduire que (E, d) ecomplet si et seulement si (F, dϕ) l’eaussi.
/ On considère l’intervalleI=]−1,1[ et surI la diance usuelled.
a) Montrer que (I, d) n’epas complet.
b) Prouver queϕ(x) =π2arctan(x) eune bijeion bicontinue deRsurI.
c) En déduire que les topologies définies surIpardetdϕsont égales.
d) Montrer que (I, dϕ) ecomplet.
Exercice.—On considèreE=C0([0,1],R) l’ensemble des applications continues de [0,1] dans R. Pour toutf ∈E, on pose
N(f) = Z 1
0
|f(t)|dt
) Montrer queN eune norme surE.
) Pour toutn∈Net toutx∈[0,1], on posefn(x) =xn.
a) Montrer que la suite (fn)nconverge dans (E, N) vers la fonion nulle.
b) Montrer qu’en tant que suite de fonions, la suite (fn)n ne converge pas simplement vers la fonion nulle. N’e-ce pas contradioire?
) Pour toutn∈N∗, on définitfn∈Ede la manière suivante : fn(x) = n√
n.x six∈[0,1/n]
= 1
√
x six∈[1/n,1]
a) Montrer que la suite (fn)nede Cauchy dans l’espace (E, N).
b) Montrer que si la suite (fn)n converge vers une fonionf ∈E, alors pour toutx∈]0,1],f(x) =
√1 x.
c) En déduire que (E, N) n’epas complet.
Exercice.—SoitEl’espace veoriel des fonions continues de [−1,1] à valeurs dansR. Pour f ∈E, on pose
N(f) = Z1
−1
|f(t)|dt
) Montrer queN eune norme surE.
) On définit une suite (fn)n∈N∗d’éléments deE, par
fn(t) =
−1 si −1≤t≤ −1 1 n
n si −1
n≤t≤1
n
1 si 1n≤t≤1
a) Représenter graphiquementfnpourn= 1,2,3 et vérifier quefn∈Epour toutn≥1.
b) Montrer queN(fn−fp)6sup(2/n,2/p) et en déduire que (fn)neune suite de Cauchy.
c) On suppose qu’il exie une fonionf ∈Etelle que (fn) converge versf dans (E, N). Montrer que pour tout 0< α <1, on a
nlim→+∞
Z −α
−1
|fn(t)−f(t)|dt= 0 et lim
n→+∞
Z1 α
|fn(t)−f(t)|dt= 0 et
n→lim+∞
Z−α
−1
|fn(t) + 1|dt= 0 et lim
n→+∞
Z1 α
|fn(t)−1|dt= 0 d) En déduire que
f(t) =
( −1 si −1≤t <0 1 si 0< t≤1 e) Prouver finalement que (E, N) n’epas un espace complet.
Exercice.—On considère l’ensemble E=N∗ des entiers naturels non nul et l’application d définie, pourp, q∈N∗, par
d(p, q) = 0 sip=q
= 1 +1p+1q sip,q
/ Montrerdeune diance surE.
.a/ Poura∈N∗, décrire la boule ouverteB(a, ε) en fonion du réelε >0. En particulier, montrer qu’il exie un réelε0(a)>0 maximal pour la propriété suivante : pour toutε≤ε0(a),B(a, ε) ={a}.
.b/ Déduire de ce qui précède qu’une suite de Cauchy d’éléments deEenécessairement con- ante à partir d’un certain rang. En déduire queEecomplet.
/ On considère l’applicationf :E−→E, définie pourp∈Eparf(p) =p+ 1.
.a/ Montrer quef ne possède pas de point fixe.
.b/ Montrer que, pour toutp, q∈E,d(f(p), f(q))< d(p, q).
.c/ Les propriétés.b/,.a/ et.b/ ne sont-elles pas en contradiion avec un célèbre théorème ?
Continuité
Exercice.—SoientXetY deux espaces métriques etf :X−→Y une application. Montrer que les propositions suivantes
i)f econtinue, ii)∀A⊂X,f(A)⊂f(A), iii)∀B⊂Y,f−1(B)⊂f−1(B), iv)∀B⊂Y,f−1
◦
B
⊂
◦
f−1(B), sont équivalentes.
Exercice.—SoientXun ensemble etd0la diance discrête surX. Montrer que toute applica- tionf :X−→Y, oùY désigne un espace métrique quelconque, econtinue.
Exercice.—On dit d’un espace métrique (E, d) qu’il vérifie la propriété (AP F) si : (AP F)Pour toute application, f :E−→E, continue, il exiex0∈Etel quef(x0) =x0
(i.e. toute application continue possède un point fixe.)
/ On considère deux espaces métriques (E, d) et (E0, d0) et une bijeionϕ:E−→E0telle queϕ etϕ−1soient des applications continues. Montrer que siEpossède la propriété (AP F) alorsE0la possède aussi.
(Ind. Etant donnée une application continuef :E0 −→E0, on pourra considérer l’application ϕ−1◦f ◦ϕ.)
/ On considèreRmuni de la diance usuelle et le sous-espace métriqueE= [0,1]. Montrer que Epossède la propriété (AP F).
(Ind. Etant donnée une application continuef : [0,1]−→[0,1], on pourra appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la foniong(x) =f(x)−xentre les points 0 et 1.)
/ On considèrea < bdeux réels.
a) Montrer que la fonionϕ(x) = (b−a)x+aeun homéomorphisme de [0,1] vers [a, b].
b) En déduire que tous segments deRpossèdent la propriété (AP F).
Exercice.—/ SoitE=Rn, muni de la norme||.||∞. Montrer que, pourM= (mij)i,j∈Mn(R), on a :
|||M|||= sup
1≤i≤n
Xn
j=1
|mij|
/ Soit maintenantE=Rn, muni de la norme||.||1. Montrer que, pourM= (mij)i,j∈Mn(R), on a :
|||M|||= sup
1≤j≤n
n
X
i=1
|mij|
/ On souhaite montrer que si ||.||e une norme sur Lc(E) alors il n’e pas automatique que
||vu|| ≤ ||u||.||v||. Considérons, à cet effet,E =R2. On a alorsL(E) =M2(R). Pour toute matrice A= a b
c d
!
posons||A||= sup(|a|,|b|,|c|,|d|).
a) Montrer que||.||ebien une norme.
b) Calculer||A||et||A2||pourA= 2 1 2 1
!
et conclure.
Exercice.—On considère, pour un entier n≥1, leR-espace veorielE =Rn normé par la norme ||.||∞. On identifie L(E) à Mn(R) et l’on considère, poura ∈ R donné, la matrice A= (ai+j−1)1≤i,j≤n:
A=
a a2 · · · an a2 a3 · · · an+1 ... ... ... an an+1 · · · a2n−1
Calculer|||A|||en fonion deaoù|||.|||désigne la norme triple associée à||.||∞. Exercice.—SoitE=R[X] et||P||= sup
x∈[0,1]
|P(t)|. Montrer que l’endomorphismeu:P 7−→P0n’e pas continue.
(Ind. On pourra considérer la suite (Xn/n)n.)
Exercice.—Soient (E, d) un espace métrique etA⊂E. Montrer que l’applicationx7−→d(x, A) euniformément continue.
Exercice.—On considère (E, N) un espace veoriel normé. Montrer queN :E−→Reune application continue.
Exercice .— Soient (E, d) et (E0, d0) deux espaces métriques et f :E −→E0 une application continue.
a) Montrer que siKeune partie compae deE, alorsf(K) l’eaussi.
b) On considèref :R−→Rdéfinie parf(x) = cosx. Expliciterf−1([−1,1]).
c) Montrer que siK0eune partie compae deE0alorsf−1(K0) n’epas forcément compae.
Exercice.—SoientAetBdeux parties fermées, non vides, et disjointes d’un espace métrique X.
/ Montrer qued(x, A) +d(x, B)>0 pour toutx∈X
/ Pourx∈X, on pose
f(x) = d(x, A) d(x, A) +d(x, B) a) Montrer que l’applicationf econtinue.
b) Donner la valeurf(x) lorsquex∈A(resp.x∈B).
/ En déduire qu’il exie deux ouvertsU , V deXtels queA⊂U,B⊂V etU∩V =∅.
