Points extrémaux de la boule unité de L(E)

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Points extrémaux de la boule unité de L( E )

Arnaud Girand 5 juillet 2012

Référence :

– [FGN10], p. 130–131 Proposition 1

Soit E un espace euclidien de dimension n≥0.

On munitL(E)de la norme subordonnée à la norme euclidienne surEet on noteBla boule unité fermée deL(E).

Alors l’ensemble des points extrémaux de B est le groupe orthogonalO(E).

Démonstration : Soitu∈ O(E); alors kuk = 1 doncu∈ B. Supposons qu’il existe v, w ∈ B tels que u= ¹₂(v+w)et donnons nous x∈Eunitaire. Alors :

1 =kxk=ku(x)k

=1

2kv(x) +w(x)k

≤1

2(kv(x)k+kw(x)k)

≤1

2(kvk+kwk)

≤1

De fait toutes ces inégalités sont des égalités et donc kv(x) +w(x)k = kv(x)k +kw(x)k et donc il existe λ ≥ 0 tel que v(x) = λw(x). De plus, comme ¹₂(kv(x)k+kw(x)k) = 1 et que kv(x)k,kw(x)k ≤ 1 alors kv(x)k = kw(x)k = 1 d’où λ = 1 soit v(x) = w(x). Par linéarité on a alorsv=wet doncuest extrémal dansB.

Réciproquement, soitu∈ B \O(E). FixonsBune b.o.n deEet posonsA:= mat^B(u). Alors par décomposition polaire "généralisée" (cf. [FGN10], p. 128–129) il existe O ∈Oⁿ(R)et S ∈Sn⁺(R) telles queA=OS. De plus, il existe D:= diag(d1, . . . , dⁿ), avec0≤d1≤. . .≤dⁿ, etP ∈Oⁿ(R) tel que S= ^tP DP. Par orthogonalité deO on a finalementkuk=kAk=kSk=kDk.

Comme kuk ≤ 1, les d^k sont nécessairement dans [0,1] et comme A /∈ O(E) on a d1 < 1.

De fait d1 n’est pas un point extrémal de [−1,1] et donc il existe −1 ≤ α < β ≤ 1 tels que d1 = ¹₂(α+β). On pose alors D1 := diag(α, d2, . . . , dⁿ) et D2 := diag(β, d2, . . . , dⁿ) et on a D16=D2et D=¹₂(D1+D2), ergo :

A=1

2(O^tP D1P+O^tP D2P)avecO^tP D1P 6=O^tP D2P De plus, siX ∈Rⁿ eti∈ {1,2}on a :

kO^tP DⁱP Xk= ^tX^tP DⁱP^tOO^tP DⁱP X

= ^t(P X)Dⁱ(P X)

≤ kP Xk carkDⁱk ≤ kDk ≤1

≤ kXkcarP est orthogonale

De fait kO^tP DⁱPk ≤1 et doncupeut bien s’écrire comme milieu de deux points distincts de B, ergo n’est pas extrémal.

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Détails supplémentaires :

– On rappelle qu’un pointAd’un convexeCest ditextrémal siC\ {A}est convexe, ce qui est équivalent à dire queAn’est pas milieux de deux points (distincts !) deC.

– Si on admet le théorème de Krein–Milman suivant on peut déduire de notre résultat que l’enveloppe convexe deO(E)est B(E):

Théorème 2 (Krein–Milman)

Tout convexe compact d’un espace vectoriel de dimension finie est enveloppe convexe de l’ensemble de ses points extrémaux.

Références

[FGN10] Serge Francinou, Hervé Gianella, and Serge Nicolas. Oraux X - ENS, Algèbre 3. Cassini, 2010.

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