Devoir surveillé 1

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Devoir surveillé 1

L’emploi des calculatrices personnelles est interdit.

Instructions générales

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.

Les divers problèmes sont indépendants. Les diverses parties peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Le candidat prendra soin de bien numéroter les questions.

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les résultats numériques peuvent être donnés sous forme approchée.

Il est proposé à titre indicatif la répartition suivante des points : Physique : - premier problème : 30 %

- deuxième problème : 25 % - troisième problème : 15 % - quatrième problème : 30 %

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Problème 1 : environ 1h30

(adapté de CCP TSI 2012 + Mines-Ponts 2004 MP + BCPST 2006)

Si la plongée sous-marine apporte des joies multiples, elle présente aussi des dangers, liés aux aspects physiologiques et anatomiques du corps humain.

2.1) Plongée libre (sans bouteille)

L’eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et incompressible, de masse volumique  1,0.10³kg m. ^³, en équilibre dans le champ de pesanteur g uniforme, avec

10 . 2

g m s^ . La surface libre de l’eau (côte z = 0) est en contact avec l’atmosphère, de pression constante P_atm 1,0 10  ⁵ Pa.

2.1.a) On s’intéresse à un volume élémentaire dV dxdydz d’eau de mer à l’équilibre (Fig. 1). On notera ^{P x y z}



^{, ,}



la pression de l’eau en un point de coordonnées



^{x y z}^{, ,}



.

Citer les forces s’exerçant sur ce volume élémentaire.

En traduisant l’équilibre de ce volume dV, montrer que la pression ne dépend pas des coordonnées x et y.

Donner alors l’expression de la résultante des forces s’exerçant sur dV en fonction de g, ^

 

^z , 2

P z dz,

2

P z dz, dx, dy, dz et u_z vecteur unitaire de l’axe (Oz) ascendant. En déduire la

relation fondamentale de la statique des fluides dP

dz  g.

Figure 1 : Equilibre d'un volume élémentaire

2.1.b) Déterminer, littéralement et numériquement, la pression P z

 

de l’eau en un point de cote z

; tracer le graphe de P z

 

.

2.1.c) On assimile l’air contenu dans les poumons du plongeur à un gaz parfait ; cet air est caractérisé par une pression P z

 

identique à celle de l’eau à la cote z, un volume V z

 

(capacité pulmonaire) variable (la cage thoracique se déforme sous l’effet de la pression), et enfin par une température Ti, constante et indépendante de la profondeur. Calculer la capacité pulmonaire (volume des poumons) du plongeur à une cote z sachant que celui-ci, avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximale VM puis bloque sa respiration.

Application numérique pour : z 10m et V_M 7,0.10^³m³ .

2.1.d) On définit le poids apparent du plongeur (et l’on nomme flottabilité) comme la résultante de la poussée d’Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente ? diminue-t-elle ou augmente-t-elle ?

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On appelle m la masse du plongeur, ^V^*

 

^z le volume de son corps et V0 le volume de son corps hors celui de la cage thoracique, de sorte queV^*

 

z V0V z

 

.

2.1.e) Afin de faciliter leur descente lors des premiers mètres, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accrochée à une ceinture et facilement largable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à descendre à une profondeur excessive.

Quelle masse m1 de lest choisir si l’on adopte comme règle de sécurité le fait que le plongeur doit avoir une flottabilité nulle à la profondeur de 10 mètres ?

Application numérique : V₀ 0,077m³ et m80kg.

2.2) Plongée avec bouteille

Remplissage de la bouteille

Afin d’effectuer le remplissage d’une bouteille à parois indéformables, de volume Vb, on utilise un compresseur constitué (Fig. 2) d’un cylindre, de deux soupapes S et SÕ et d’un piston, mobile sans frottement entre les positions extrêmes AAÕ et BBÕ. Lors de l’aller (phase d’aspiration) la soupape S est ouverte alors que SÕ est fermée ; on a alors admission de l’air atmosphérique dans le cylindre à la pression Patm. Lors du retour (phase de compression), l’air dans le cylindre est comprimé, de la pression Patm à la pression Pb ; la soupape S est fermée alors que la soupape SÕ s’ouvre dès que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille Pb. Quand le piston est en AAÕ, le volume limité par le piston et la section CCÕ est Vmin ; quand le piston est en BBÕ, ce volume est égal à Vmax. Les transformations de l’air sont isothermes (les températures dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales à la température Ta de l’atmosphère) ; les transformations sont quasi-statiques ; l’air est toujours considéré comme un gaz parfait.

2.2.a) La pompe n’ayant pas encore fonctionné, l’état initial du système est le suivant : - Bouteille : pression Pb = Patm, température Tb = Ta.

- Cylindre : pression Patm, température Ta , position du piston AAÕ.

Le piston fait un aller et un retour. Déterminer la pression Pb à l’intérieur de la bouteille à la fin de cette transformation ; en déduire, sous l’hypothèseVmin Vb , la variation n du nombre de moles contenues dans la bouteille.

Application numérique : V_b 5.10^³m³ , V_min2.10^⁵m³ , V_max2.10^³m³ , T_a293K et

1 1

8,31 . . R J mol^ K^ .

Figure 2 : Compresseur

2.2.b) Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu’à un instant t donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape SÕ est fermée ; l’état du système est alors le suivant :

- Bouteille : pression Pb = P, température Tb = Ta.

- Cylindre : pression Patm, température Ta , position du piston AAÕ.

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Le piston fait un aller-retour ; déterminer le volume d’air V ′ dans le cylindre lorsque la soupape SÕ s’ouvre, puis, en fonction de P, Vb, Patm, Vmin et Vmax, la pression P’ dans la bouteille à la fin de cette opération. En déduire, en fonction des mêmes grandeurs, la variation P de la pression à l’intérieur de la bouteille. Déterminer la pression maximale Pmax que l’on peut obtenir par ce procédé et interpréter le résultat obtenu.

2.2.c) Calculer P et Pmax pour P0, 2.10⁷Pa, et en conservant les données numériques antérieures.

Toxicité de l’oxygène

La composition molaire de l'air est x_O₂ 20% et x_N₂ 80%. Le plongeur respire un mélange gazeux dont la pression totale est égale à la pression de l'eau à la profondeur z. On rappelle que la pression partielle d'un gaz est la pression de ce gaz s'il était seul dans le volume qui lui est offert. La pression totale d'un mélange de gaz est la somme des pressions partielles de tous les gaz constituant ce mélange.

2.2.d) L'oxygène inhalé devient toxique si sa pression partielle augmente ; il existe même un risque d'œdème pulmonaire quand PO₂ atteint 1,5 bar. En déduire la profondeur maximum pouvant être atteinte sans danger par le plongeur, s'il respire de l'air.

2.2.e) Lorsque la pression partielle de l'azote atteint 4 bars, le plongeur est victime de « l'ivresse des profondeurs ». En déduire la nouvelle profondeur maximum.

2.2.f) On équipe le plongeur de bouteilles contenant de l'héliox, mélange d'oxygène et d'hélium. On donne :

2 15%

xO  etx_He85%. Muni de ces bouteilles, le plongeur pourra-t-il atteindre sans risques le fond d’un lac de profondeur 50 m?

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Problème 2 : environ 1h30

(adapté de Centrale-Supélec 2008 TSI + Mines-Ponts 2008 MP + CCP 2014 PC)

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d’intensité supposée uniforme g, est dirigé suivant l’axe vertical ascendant Oz, et de sens opposé. Tous les mouvements étudiés s’effectuent suivant cet axe vertical.

Les gaz ont les propriétés du gaz parfait. La constante des gaz parfaits est notée R. La masse molaire moyenne de l’air est notée Me, sa pression P, sa température T et sa masse volumique μ. On désigne par P0,T0 et μ0 les valeurs de P, T et μ au niveau du sol (où z = 0).

2.1) Atmosphère en équilibre isotherme

Atmosphère isotherme

On s’intéresse à l’équilibre de l’atmosphère, dont on adopte dans un premier temps un modèle isotherme, de température uniforme T0. On prendra T0 = 288 K.

2.1.a) Exprimer la masse volumique de l’air en fonction de P, R, T0 et Me.

2.1.b) Ecrire la condition d’équilibre statique de l’air. En déduire l’expression de la pression P(z) en fonction de P0, de la hauteur barométrique H = RT0/(Meg) et de l’altitude z.

2.1.c) En prenant pour l’air une composition molaire de 20% en O2 et de 80% en N2, calculer la valeur numérique de H. A quelle altitude 50%

ziso la pression est-elle égale à P0/2 ?

2.1.d) Quelle valeur de la pression ce modèle prédit-il au sommet du Puy de Dôme, d’altitude zP = 1465 m, lorsque T = 280 K et P0 = 1013 hPa ?

2.1.e) A l’époque de Blaise Pascal, l’instrument de mesure de la pression atmosphérique le plus commode était le tube de Torricelli. Rappeler le principe de fonctionnement d’un tube de Torricelli, en s’aidant d’un schéma. Déterminer la hauteur de la colonne dans le tube si le dispositif est installé au sommet du Puy de Dôme.

Données :

Masse volumique du mercure dans les conditions standard μHg = 1,35.10⁴ kg.m⁻³ Masse molaire de l’oxygène : M(O) = 16 g.mol^-1

Masse molaire de l’azote : M(N) = 14 g.mol^-1 Constante des gaz parfait : R = 8,31 J.K^-1.mol^-1 Accélération de la pesanteur : g = 9,81 m.s^-2 Atmosphère réelle

Les données transmises par un ballon-sonde au cours de la traversée de la troposphère et de la basse stratosphère permettent de tracer les profils réels de température et de pression y régnant. Les résultats expérimentaux sont rassemblés sur la figure 3 ci-après.

2.1.d) Quelle différence essentielle y-a-t-il entre la stratosphère et la troposphère ?

2.1.e) Que pensez-vous du modèle vu en 2.1.b de l’atmosphère isotherme pour décrire la troposphère ? On comparera les profils réels de température et de pression avec les résultats du modèle (voir figure 4 courbe en pointillés).

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Figure 3 : Relevés de température et de pression dans la troposphère et la stratosphère

Figure 4 : Profil de pression dans la troposphère ; en pointillés, modèle de l'atmosphère isotherme ; en trait plein, modèle avec gradient de température

2.2) Atmosphère en équilibre polytropique

Le modèle d’atmosphère isotherme précédent n’est pas réaliste ; aussi, s’intéresse-t-on à l’équilibre polytropique : l’expérience montre que, jusqu’à une altitude d’environ 10 km, la température de l’air vérifie une loi linéaire du type TT0



1z



où

0

1

 z est une constante positive. Cette approximation linéaire est en fait le d´développement au premier ordre en z/z0 d’une expression plus précise.

La valeur expérimentale z0 ≈ 33 km justifie ce développement dans les dix premiers kilomètres de l’atmosphère.

2.2.a) Montrer que l’on peut écrire P z

  

=P0 1z



^ et

 

0

 

= 1 1

z z ^

   ^ où l’on donnera l’expression de  en fonction de H et de z0.

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2.2.b) A quelle altitude z_50%^pol la pression est-elle égale à P0/2 ? Comparer cette valeur à celle obtenue à la question 2.1.c. Ce résultat était-il prévisible ?

2.2.c) Un bulletin météorologique fournit les données représentées graphiquement sur les figures 5, 6 et 7. La pression est donnée en 10⁵ Pa, la température en K, la masse volumique en kg.m⁻³ et l’altitude en km. Un ajustement aux moindres carrés de ces données permet d’obtenir les relations

( )5,26

288,14 6,94 1,01

288,08 T   z et P T

Ceci est-il compatible avec le modèle polytropique ?

Dans toute la suite du problème, on utilisera des valeurs numériques suivantes : T0 = 288 K, P0 = 1013 hPa ,  5 et z0 = 40 km, soit 2,5.10^⁵m^¹ .

Figure 5 Figure 6

Figure 7

2.3) Ascension de la montgolfière

Une montgolfière standard reste à des altitudes raisonnables pour des questions évidentes de raréfaction en dioxygène. Le modèle polytropique des basses altitudes est donc bien adapté pour décrire son environnement atmosphérique, nous l’utiliserons désormais.

La pression, la masse volumique et la température de l’atmosphère à l’altitude z seront notées respectivement Pe, μe et Te. La montgolfière est constituée d’une enveloppe ouverte de volume intérieur V0 = 2000 m³ et d’une nacelle (voir Figure 8). La masse totale de l’enveloppe, de la nacelle et des passagers est notée m. On prendra m = 500 kg ; le volume propre de ces différents éléments est négligeable. Le volume intérieur à l’enveloppe est constant, mais la masse mi de l’air chaud emprisonné à l’intérieur de cette enveloppe est variable. La masse de l’ensemble est donc m+mi. On suppose qu’à l’intérieur de l’enveloppe, la température Ti et la pression Pi sont uniformes.

(8)

Figure 8 : La montgolfière

L’ouverture inferieure de l’enveloppe permet de réaliser en permanence l’équilibre de pression entre l’air froid extérieur et l’air chaud intérieur. On suppose enfin que les gaz de combustion n’affectent pas la masse molaire Me.

2.3.a) Exprimer la masse mi de l’air chaud dans l’enveloppe en fonction de Pe, V0, Me, et RTi, puis en fonction de μe, V0, Te, et Ti.

2.3.b) A l’équilibre mécanique, la poussée d’Archimède compense le poids de la montgolfière et de l’air chaud qu’elle contient. Trouver la relation qui permet alors d’exprimer m en fonction de mi, Te et Ti.

2.3.c) On note zm l’altitude où la poussée d’Archimède exercée par l’air compense le poids mg.

Exprimer zm en fonction de ,  , m, μ0 et V0. Calculer la valeur numérique de zm.

2.3.d) On note Td, la valeur minimale de la température Ti permettant le décollage de la montgolfière. Etablir la relation, très simple, liant

0 0

m

V ^à¹ _d⁰ T

T . Calculer la valeur numérique de Td.

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Problème 3 : environ 30 min

(adapté de Centrale-Supélec 2003 TSI)

3.1) Etude thermodynamique d’une mole d’eau

Notations : les variables directement mesurables sont la pression, le volume et la température.

On considère une transformation élémentaire réversible d’un système. On admettra que les deux premiers principes de la thermodynamique s’expriment alors en écrivant que les variations dU et dS des fonctions d’état — énergie interne U et entropie S — sont des différentielles totales.

La différentielle totale d’une fonction dépendant des deux variables indépendantes x et y, soit

 

^,

AA x y , s’écrira sous la forme : dABdxCdy , où :

y x

A A

B et C

x y

 

 

 

      .

3.1.a) Montrer que l’énergie interne U d’un corps pur peut être considérée comme fonction des deux variables, S et V, soit ^U^^{U S V}



^,



.

3.1.b) Exprimer la température T et la pression P en fonction de dérivées partielles de U clairement établies.

3.1.c) La « fonction enthalpie » joue le rôle d’une fonction thermodynamique adaptée à un couple de variables que l’on précisera. Exprimer T et V en fonction de dérivées partielles de H.

3.1.d) Exprimer la différentielle de l’entropie S fonction de l’enthalpie H et la pression P. Pour un ga z parfait, que vaut alors

T

S P

 

 

  ?

3.1.e) A partir de la loi des gaz parfaits, trouver la valeur de

P

V T

 

 

  . Établir en particulier la relation :

T P

S V

P T

 

   

    . On supposera que l’on peut généraliser cette relation aux phases condensées.

3.2) Application

On comprime réversiblement une mole d’eau depuis une pression de 1 bar jusqu’à la pression de 100 bar. Pendant cette compression la température T demeure constante et égale à 323K. À cette température le coefficient de dilatation est de : 1 ⁴ ¹

4,7.10

P

V K

V T

 ^^ ^  ^ ^ et le volume massique :

3 3 1

1,012.10 . v ^ m kg^ .

On admettra que la variation de volume est négligeable pendant la compression.

3.2.a) Exprimer dH

dP en fonction de V, T, et dS dP. 3.2.b) Justifier l’égalité

T

dS S

dP P

 

    . Exprimer cette grandeur en fonction de  et de V.

3.2.c) En déduire la variation H d’enthalpie lors de la compression, en fonction de V, , T et P. 3.2.d) Application numérique. Calculer Hpour une mole d’eau. On prendra comme masse molaire de l’eau M 18.10^³kg mol. ^¹ .

3.2.e) En déduire U, littéralement et numériquement.

3.2.f) Exprimer S en fonction de , V et P.

Application numérique : calculer Spour la compression envisagée. Conclusion.

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Problème 4 : environ 1 h

(adapté de CCP 2006 TSI)

On étudie différentes transformations de n moles d’un gaz parfait.

On notera P la pression du gaz, V son volume, T sa température, m sa masse et M sa masse molaire.

On notera R la constante des gaz parfaits.

Soit cV la capacité calorifique massique à volume constant du gaz.

Soit cP la capacité calorifique massique à pression constante du gaz.

Soit  le rapport des capacités calorifiques molaires à pression constante et à volume constant :

P V

c

 c

4.1) Préliminaires

4.1.a) Donner l’équation d’état du gaz parfait. Préciser, pour chacune des grandeurs utilisées dans cette équation, l’unité qui lui correspond dans le système international.

4.1.b) Donner la relation de Mayer qui relie les capacités calorifiques massiques cV et cP, la constante des gaz parfaits R et la masse molaire M.

Déduire de la relation de Mayer et de la définition du coefficient  la relation entre cV, R, M et  , d’une part, et entre cP, R, M et  , d’autre part.

4.1.c) Rappeler l’expression différentielle de la variation d’énergie interne dU d’un gaz parfait au cours d’une transformation quelconque en fonction de la température T.

Rappeler l’expression différentielle de la variation d’entropie dS de n moles d’un gaz parfait au cours d’une transformation quelconque en fonction de la température T, du volume V, de n, R et  . Que devient cette expression si l’on utilise les variables T et P ?

4.2) Détente isotherme

On enferme le gaz dans une enceinte permettant les échanges thermiques dont une paroi horizontale (piston), de masse négligeable, est mobile verticalement sans frottement.

La température T1 du milieu extérieur est constante. L’extérieur se comporte comme un thermostat.

A l’état initial le gaz est caractérisé par une pression P1, un volume V1 et une température T1 et la paroi est bloquée.

On débloque la paroi et on la déplace de manière quasi-statique jusqu’à une position, telle que le volume V’1 offert au gaz soit V’1 =2V1, et on la bloque à nouveau.

Figure 9 : Détente isotherme

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4.2.b) Déterminer l’expression du travail élémentaire W₁ , puis le travail total W1 mis en jeu par le gaz au cours de cette transformation en fonction de n, R et T1.

4.2.c) Calculer la variation d’énergie interne U1 du gaz au cours de cette transformation. En déduire le transfert thermique Q1 reçu par le gaz en fonction de n, R et T1.

4.2.d) Déduire de la question précédente l’expression S1,ech de la variation d’entropie d’échange en fonction de n et R.

Quelle est l’expression de la variation d’entropie S₁au cours de cette transformation ? En déduire la variation d’entropie créée S1,crééau cours de cette transformation. Commenter.

4.3) Détente de Joule Gay-Lussac

On considère un cylindre indéformable à parois calorifugées divisé intérieurement en deux compartiments de volumes identiques par une paroi de volume négligeable. Les n moles de gaz parfait se trouvent dans le compartiment 1, le compartiment 2 étant vide.

A l’état initial, le gaz est caractérisé par une pression P2, une température T2 et occupe un volume V2. On ôte alors la séparation et le gaz parfait occupe la totalité du cylindre. L’enlèvement de la séparation se fait sans travail.

Figure 10 : Détente de Joule Gay-Lussac

4.3.a) En appliquant le premier principe de la thermodynamique, déterminer la variation d’énergie interne U₂du gaz au cours de cette transformation. En déduire la température T’2 puis la pression P’2 dans l’état final d’équilibre.

4.3.b) On considère, uniquement pour cette question, le cas d’un gaz réel. Quelle est la différence qui existe, lors d’une détente de Joule Gay-Lussac, entre le cas d’un gaz parfait et le cas d’un gaz réel

?

4.3.c) On considère à nouveau le cas du gaz parfait.

Déterminer la variation d’entropie S₂pour cette transformation.

Que vaut la variation d’entropie d’échange S2,ech pour cette transformation ?

En déduire l’expression S_2,créé de la variation d’entropie créée au cours de cette transformation.

4.3.d) Comparer la variation d’entropie S2au cours de cette transformation à la variation d’entropie S₁ de la détente isotherme (question 4.2.d). Commenter.