Travaux dirigés
PC
∗Calcul di
fférentiel
Équations aux dérivées partielles
Exercice 1 Résoudre sur R2l’équation aux dérivées partielles ∂f
∂x(x, y) − 3 ∂f
∂y(x, y) = 0 en posant
(u = 2x + y
v = 3x + y.
Exercice 2 Résoudre sur U =n(x, y) ∈ R2 x > y
o
l’équation x∂f
∂x(x, y) − y ∂f
∂y(x, y) = (x − y)f (x, y) en posant
(u = x + y
v = xy .
Exercice 3 Résoudre sur U =n(x, y) ∈ R2 x > 0
o
l’équation y∂f
∂x(x, y) − x ∂f
∂y(x, y) = 2f (x, y) à l’aide des coordonnées
polaires.
Exercice 4 Résoudre sur R2l’équation ∂
2f ∂x2(x, y) − ∂2f ∂y2(x, y) = 0 en posant (u = x + y v = x − y.
Exercice 5 Résoudre sur un ouvert adéquat l’équation x2∂
2f ∂x2(x, y) − y 2∂2f ∂y2(x, y) = 0 en posant (u = xy v = x/y.
Exercice 6 On appellelaplacien de f la quantité ∆f (x, y) =∂
2f
∂x2(x, y) +
∂2f
∂y2(x, y). Calculer-le en coordonnées polaires.
Quels sont les fonctionsharmoniques (c’est-à-dire vérifiant ∆f = 0) et isotropes (ne dépendant pas de l’angle θ) ?
Étude des extremums d’une fonction
Exercice 7
a) Pour un point A ∈ R2fixé on note f : R2→ Rla fonction définie par f (M) = k−AM k−−→ 2(avec la norme euclidienne). Calculer le gradient de f en un point M du plan.
b) Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Trouver le point M réalisant le minimum de la fonction g : M 7→ kAM k−−−→ 2+ k−BM k−−→ 2+ k−CM k−−→ 2.
c) Même questions avec f : M 7→ k−AM k et g : M 7→ k−−→ AM k + k−−−→ −BM k + k−−→ −CM k.−−→
