BTSA – Module M41 Mme LE DUFF
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Fonction ln
Définition
La fonction logarithme népérien est définie pour tout réel x strictement positif et elle est notée ln x.
Règles opératoires Quels que soient les réels strictement positifs a et b : ln(ab)=lna+lnb Conséquences :
( )
a a a n a b a b a a a n ln 2 1 ln ln ) ln( ln ln ln ln 1 ln = = − = − = Etude de la fonction ln Dérivée :( )
x x ' 1ln = sur
]
0;+∞[
et si u est une fonction strictement positive alors :( )
u u u' ' ln = Tableau de variations : La fonction ln est croissante sur]
0;+∞[
.x 0 +∞
(ln x)' +
ln x
Courbe représentative :
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Le nombre e On appelle e le réel tel que :
71828 . 2 1 ln ≅ = e e Equations et inéquations Quels que soient les réels a et b strictement positifs :
b a ln ln = a=b b a ln ln < a<b
Fonction exponentielle
DéfinitionLa fonction exponentielle est définie pour tout x de IR et est notéee ou exp(x). x
Les fonction ln et exp sont réciproques l'une de l'autre : ln(ex)= x pour tout x de IR et elnx = x pour tout x de
]
0;+∞[
.Règles opératoires
Les règles de calcul pour la fonction exponentielle sont les règles usuelles sur les puissances.
b a b a b a b a e e e e e e = × = − +
( )
a b a b a a e e e e × − = = 1 e e e = = 1 0 1Etude de la fonction exponentielle
Dérivée :
( )
ex ' =ex et( )
eax ' =aeaxet( )
eu ' =u'eu Signe : e est strictement positive sur IR. xPrimitive :e a pour primitivex e x et e a pour primitiveax a eax Tableau de variations : x −∞ +∞ x e + x e
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- 3 - Représentation graphique :
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Intégration
Définition :[
( )]
( ) ( ) ) (x dx F x F b F a f ba b a = = −∫
Interprétation graphique de l'intégrale : Soit f une fonction de
[ ]
a;b , à valeurs positives.Soit C sa courbe représentative et F une primitive de f.
L'aire A de la partieξdu plan limitée par C, l’axe des abscisses, et les droites x=a et x=b, est :
∫
= b
a f x dx
A ( )
![Tableau de variations : La fonction ln est croissante sur ] 0 ; +∞ [ .](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/7732569.249727/1.892.90.671.648.1179/tableau-variations-fonction-ln-croissante.webp)
