L53 [V2-VàC] – Intégrales et primitives

9

Intégrales, primitives

53

Prérequis fonctions dérivées, étude de fonctions, fonctions exponentielles et logarithmes. Références [60]

53.1

Primitives d’une fonction

53.1.1 Définitions et propriétés

Définition 53.1 — Primitive d’une fonction. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I, une fonction F , dérivable sur I, telle que, pour tout x appartient à I, F0_{(x) =}

f(x).

Exemples 53.2 1. F : x 7→ 1₄x4est une primitive sur R de f : x 7→ x3 puisque F0(x) = f(x).

2. F : x 7→ 2√x est une primitive sur ]0 , +∞[ de f : x 7→ _√1

x puisque sur F0(x) = f(x). 

Théorème 53.3 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Exemple 53.4 La fonction f : x 7→ _x21₊₁ est continue sur R (puisqu’elle est dérivable sur R), donc

elle admet des primitives. 

Propriété 53.5 Soit F une primitive de f sur un intervalle I.

— Pour tout nombre k, x 7→ F (x) + k est aussi une primitive de f sur I.

— Si G est une autre primitive de f sur I, alors il existe un nombre k tel que, pour tout x de I,

G(x) = F (x) + k.

Dv

•Démonstration de la propriété53.5—

— Soit k un réel et H la fonction définie sur I par H(x) = F (x) + k. H est dérivable sur I car c’est une somme de fonctions dérivables et, pour tout x de I,

H0(x) = F0(x).

Puisque F est une primitive de f, on a : F0_{(x) = f(x) donc H}0_{(x) = f(x) : H est une}

primitive de f sur I.

— Soit G une primitive de f sur I. La fonction G − F est dérivable et (G − F)0_{(x) = G}0_{(x) − F}0_{(x) = 0}

puisque, pour tout x de I,

Donc G − F est une fonction constante sur I, c’est-à-dire qu’il existe un nombre k tel que, pour tout x de I, G_{(x) − F(x) = k.}

•

Exemple 53.6 La fonction x 7→ sin2xest une primitive de f : x 7→ 2 sin x cos x.

Les fonctions x 7→ sin2x+√2, x 7→ sin2x− 1, x 7→ − cos2x. . . sont aussi des primitives de f.



Propriété 53.7 Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Un réel x0 de I et

un réel y0étant donnés (appelés « conditions initiales »), il existe une unique primitive F de f sur I

telle que F(x0) = y0.

Dv

•Démonstration de la propriété53.7—fadmet des primitives sur I qui s’écrivent sous la

forme x 7→ G(x) + k où G est l’une de ces primitives. La condition F (x0) = y0conduit à

G(x0) + k = y0. D’où

k= y0− G(x0) et F : x 7→ G(x) + y0− G(x0).

F est l’unique primitive de f sur I vérifiant la condition. •

Pour une représentation graphique des primitives :

— les courbes de primitives de la fonction f sur I se déduisent l’une de l’autre par des translations de vecteur #»v(0, k).

— Pour tout point A(x0, y0) avec x0 ∈ I (situé dans la bande), il existe une primitive unique dont la courbe représentative passa par A.

x0

y0 A

O −→ı − →

FIGURE53.1 – Représentation de primitives d’une fonction

53.1.2 Tableaux de primitives et opérations sur les primitives

Les résultats du tableau53.1 s’établissent en vérifiant que l’on a bien F0 _{= f sur l’intervalle}

53.2 Intégrale et aire 11 Fonction f Fonction primitive F (c= constante) Intervalle I

f(x) = k F(x) = kx + c R f(x) = x F(x) = 1₂x2+ c R f(x) = ax + b F(x) = 1₂ax2+ bx + c R f(x) = xn_{(n ∈ Z}∗_{et n= −1) F(x) =}xn+1 n+1 + c ( R si n >0 ; ]−∞ , 0[ ou ]0 , +∞[ si n ≤ −2 f(x) = √1 x F(x) = 2√x + c ]0 , +∞[ f(x) = _x12 F(x) = −1_x+ c ]−∞ , 0[ ou ]0 , +∞[ f(x) = cos x F(x) = sin x + c R f(x) = sin(x) F(x) = − cos x + c R

f(x) = 1 + tan2x=_cos12_x F(x) = tan x + c ]π₂+ kπ ,π₂+ (k + 1)π[ (k ∈ Z) f(t) = cos(ωt + ϕ) (ω 6= 0) F(t) =_ω1sin(ωt + ϕ) + c R

f(t) = sin(ωt + ϕ) (ω 6= 0) F(t) = −_ω1cos(ωt + ϕ) + c R

f(t) = ex _{F(x) = e}x_{+ c R}

f(x) = 1_x F(x) = ln x + c ]0 , +∞[

TABLE53.1 – Tableau des primitives usuelles

On considère dans le tableau53.2des fonctions u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Fonction Une primitive Conditions

u0+ v0 u+ v ku0(k constante) ku u0un(n ∈ Z et n 6= −1) u_n+1n+1 u_{6= 0 sur I si n ≤ 0} u0 √ u 2√u u >0 sur I v0 v2 −1v v6= 0 sur I u0eu eu u0 u ( ln u ln(−u) ( si u >0 sur I si u <0 sur I u0(v0◦ u) v◦ u

TABLE53.2 – Opérations sur les primitives

53.2

Intégrale et aire

Le plan est rapporté à un repère orthogonal(O, #»ı, #»), non nécessairement orthonormal.

Définition 53.8 — Aire sous la courbe. Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle[a , b] et C sa courbe représentative. L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] est l’aire du domaine plan D limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = a et x = b. On note

Rb

af(x) dx cette aire et on lit l’intégrale (ou somme) de a à b de f.

R 53.9

1. Le domaine D peut aussi être considéré comme l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x, y) telles que a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x).

2. L’aire du domaine D est exprimée en unité d’aire ; une unité d’aire étant l’aire du rectangle construit à partir des vecteurs unités.

a _b

FIGURE53.2 – Le domaine D est l’ensemble des points M(x, y) tels que a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x).

L’unité d’aire étant l’aire du rectangle construit à partir des vecteurs unités.

Exemples 53.10 1. R₀1xdx = 1₂ car l’aire sous la courbe C représentative de f définie par

f(x) = x sur l’intervalle [0 , 1] est l’aire d’un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de

l’angle droit ont pour mesure1. 2. R₀1√1 − x2_{dx =} π

4 car l’aire sous la courbe C représentative de f définie par f(x) =

√1 − x2_{sur l’intervalle[0, 1] est l’aire d’un quart de cercle de rayon 1.}



(a)R₀1xdx (b)R₀1√1 − x2dx

FIGURE53.3 – Figure pour l’exemple

Propriété 53.11 Soit une fonction f continue, positive et croissante sur un intervalle[a , b] et C sa courbe représentative. L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] est égale à la limite commune des deux suites adjacentes(un) et (vn) définie par :

un= b− a n n X k=0 f  a+ kb− a n  et vn= b− a n n X k=1 f  a+ kb− a n  où n ∈ N∗_.

Pour tout entier n non nul, on divise l’intervalle[a, b] en n intervalles de même longueurb−a n . un

correspond à l’aire des rectangles sous la courbe. vncorrespond à l’aire des rectangles au-dessus de

la courbe. Pour tout n, on a

un≤

Z b

a f(x) dx ≤ vn.

Lorsque n augmente, l’écart entre l’aire des deux séries de rectangles et l’aire sous la courbe C dimi-nue.

53.2 Intégrale et aire 13

FIGURE53.4 – Représentation des suites unet vn

1. La propriété se généralise si f est seulement continue sur l’intervalle[a, b].

2. Si la fonction f est continue, positive et décroissante sur l’intervalle[a, b], on peut construire les deux suites de la même façon, mais c’est alors vnqui correspond à l’aire des rectangles sous la courbe. Propriété 53.13— Relation de Chasles, pour les aires. Soit une fonction f, continue et positive sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe représentative. Pour tout nombre c appartenant à l’intervalle [a , b] :

Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx.

On découpe l’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] en aires sous la courbe sur les intervalles [a , c] et [c , b].

a c _b

FIGURE53.5 – Relation de Chasles

Exemple 53.14 Soit la fonction f dont la courbe représentative est donnée en figure53.6. Alors :

Z 2 −1f(x) dx = Z 1 −1f(x) dx + Z 2 1 f(x) dx = 3

FIGURE53.6 – Représentation graphique de f pour l’exemple

Définition 53.15 — Valeur moyenne. Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle[a , b]. On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle[a , b] le nombre réel

1

b_{− a} Z b

a

f(x) dx.

La valeur moyenne de la fonction f correspond à la valeur qu’il faut donner à une fonction constante g sur l’intervalle[a , b] pour que l’aire sous la courbe représentative de g soit égale à l’aire sous la courbe représentative de f. L’aire du domaine hachuré est égale à l’aire du rectangle coloré.

a _b

FIGURE53.7 – Valeur moyenne

Définition 53.16 Soit une fonction f continue et négative sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe repré-sentative. Le nombreRb

af(x) dx est égal à l’opposé de l’aire du domaine D limité par la courbe C,

l’axe des abscisses et les droites d’équations x= a et x = b.

Propriété 53.17 Soit une fonction f, continue et négative sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe repré-sentative. L’aire du domaine D limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations

x= a et x = b est égale à Z b a −f(x) dx = − Z b a f(x) dx. Dv

• Démonstration de la propriété 53.17 — _C−f, la courbe représentative de la fonction

−f, est symétrique par rapport à l’axe des abscisses de Cf, courbe représentative de f. L’aire du domaine D est égale, par symétrie, à l’aire sous la courbe C−f. Cette aire est donc

Rb

a −f(x) dx. D’après la définition53.16, elle est aussi égale à − Rb

53.2 Intégrale et aire 15

D

a _b

•

Propriété 53.18 Soit une fonction f continue et négative sur l’intervalle[a , b]. La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle[a , b] est égale à :

− 1 b− a Z b a −f(x) dx = 1 b− a Z b a f(x) dx.

 Exemple 53.19 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 , 1] par f(x) = −x2. Sachant que

R1

0 x2dx = 13, la valeur moyenne de f sur l’intervalle[0, 1] est −13. 

Propriété 53.20 Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle[a, b] telles que f > g. L’aire du domaine D limité par les deux courbes représentatives des fonctions f et g, et les droites d’équations

x= a et x = b est, en unités d’aire, Z b

a f(x) dx −

Z b

a g(x) dx.

Dv

•Démonstration de la propriété53.20—On découpe l’intervalle[a , b] selon que les fonc-tions f et g sont toutes deux du même signes ou de signe contraire.

a c

d b

Ainsi, dans la figure ci-dessus, l’aire entre les deux courbes est : — sur l’intervalle[a , c] : − Z c a −f(x) dx + Z b a −g(x) dx ; — sur l’intervalle[c , d] : Z b c f(x) dx + Z d c −g(x) dx ; — sur l’intervalle[d , b] : Z b d f(x) dx − Z b d g(x) dx.

En utilisant les propriétés précédentes, on obtient bien Z b a f(x) dx − Z b a g(x) dx

pour la valeur de l’aire du domaine D. •

53.3

Intégrale et primitive

Propriété 53.21 Soit une fonction f continue, positive sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe représen-tative. L’aire sous la courbe C représentative de f sur l’intervalle [a , b],Rb

af(x) dx est égale en unité

d’aire à F(b) − F(a) où F est une primitive de f sur l’intervalle [a , b].

Dv

•Démonstration de la propriété53.21—La démonstration est faite dans le cas où f est croissante sur l’intervalle[a , b]. On admettra le résultat dans le cas général. Pour tout x tel que a ≤ x ≤ b, on note A(x) l’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b]. Pour h > 0 :

53.3 Intégrale et primitive 17 soit f(x) ≤ A(x + h) − A(x) h ≤ f(x + h). Pour h <0 : (−h)f(x + h) ≤ A(x) − A(x + h) ≤ (−h)f(x). soit f(x + h) ≤ A(x + h) − A(x) h ≤ f(x). Ainsi lim h→0 A(x + h) − A(x) h = f(x).

La fonction A est donc dérivable pour tout x de l’intervalle [a , b] et sa dérivée est la fonction

f. De plus, A(a) = 0. Ainsi A est la primitive de f nulle en a. Soit F une primitive

quel-conque de f, on peut donc écrire A(x) = F (x)−F (a). L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] vérifie donc Z b a f(x) dx = F (b) − F(a). a f (x) f (x + h) x x + h _b • R 53.22 1. On utilise la notation : _Z b a f(x) dx = [F (x)]b_a= F (b) − F(a). 2. On a les égalités : Z b a f(x) dx = − Z a b f(x) dx = Z a b −f(x) dx.

x2+ 1, sur l’intervalle [−1 , 2] est : Z 2 −1(x 2_{+ 1) dx =}1 3x3+ x 2 −1= 8 3 + 2 −  −1_{3 −}1  = 6.

2. L’aire sous la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = x4 _{sur l’intervalle}

[0 , 1] est : Z 1 0 x 4_{dx =}1 5x5 1 0= 1 5.

3. L’aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = −1 x

et l’axe des abscisses sur l’intervalle[1 , 2] est : − Z 2 1 − 1 xdx = Z 2 1 1 xdx = [ln x] 2 1 = ln 2. 

Définition 53.24 Soit une fonction f continue sur un intervalle I et a un élément de I. Pour tout x appartenant à I, la fonction définie parRx

a f(t) dt est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a.

Si F est une primitive quelconque de f sur I, alors

Z x

a f(t) dt = F (x) − F(a).

R 53.25 Si x > a et f positive sur l’intervalle[a , x], alors F (x) peut s’interpréter comme l’aire sous la courbe

représentative de f sur l’intervalle[a , x], exprimée en unité d’aire. Quels que soient a et b, éléments de I, Z b a f(t) dt = F (b) − F(a). Exemples 53.26 1. Sur R, Z x a 1 dt = Z x a dt = [t] x a = x − a. 2. Sur R, _Z x 0 −t 2_{dt =}₋1 3t3 x 0 = − 1 3x3. 3. Sur l’intervalle]0 , +∞[ : _Z x 1 1 tdt = [ln x] x 1 = ln x. 4. Sur R : Z x 0 e t_{dt =}h_etix 0 = e x_{− 1.} 

53.4

Propriétés algébriques de l’intégrale

53.4 Propriétés algébriques de l’intégrale 19 soient a, b et c éléments de I : Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx.

R 53.28 Cette propriété prolonge la propriété53.21, qui a été établie dans le cas où les intégrales correspondent à

des aires. Exemple 53.29 Z 1 0 (|2 − t| + |1 − t|) dt = Z 1 0 (3 − 2t) dt + Z 2 1 dt + Z 3 2 (2t − 3) dt =h3t − t2i1 0+ [t] 2 1+ h t2− 3ti3₂ = 2 + 1 + 2 = 5. 

Propriété 53.30— Linéarité de l’intégrale. Soient deux fonctions f et g continues sur un intervalle I,

aet b des éléments de I, et α et β deux nombres réels. Alors : Z b a (αf(x) + βg(x)) dx = α Z b a f(x) dx + β Z b a g(x) dx. Exemple 53.31 Z π/4 0 (tan 2_{u) du =}Z π/4 0 (1 + tan 2_{u) du −}Z π/4 0 du = [tan u] π/4 0 − [u]π/40 = 1 − π₄. 

Propriété 53.32— Fonctions paires et impaires. Soit f une fonction continue sur un intervalle I centré en0. Pour tout élément a de I :

— si f est paire :Ra −af(x) dx = 2 Ra 0 f(x) dx ; — si f est impaire :Ra −af(x) dx = 0.

L’interprétation graphique est la suivante :

— Si f est paire et positive sur l’intervalle[0 , a], les aires A1 et A2sont égales. Donc :

Z a −af(x) dx = Z 0 −af(x) dx + Z a 0 f(x) dx = A1+ A2 = 2A2 = 2 Z a 0 f(x) dx.

— Si f est impaire et positive sur l’intervalle[0 , a], les aires A1et A2sont égales. Donc :

Z a −af(x) dx = Z 0 −af(x) dx + Z a 0 f(x) dx = −A1+ A2= 0.

Propriété 53.33— Fonctions périodiques. _{Soit f une continue sur R, périodique de période T . Pour}

tout nombre réel a : _Z

a+T

a f(x) dx =

Z T

0 f(x) dx.

— Si f est positive,R_aa+Tf(x) dx est l’aire sous la courbe représentative de f sur l’intervalle

[a , a + T ]. Par translations des domaines correspondants, on retrouve l’aire sous la courbe sur l’intervalle[0 , T ].

−a a A1 A2 (a) f paire −a a A1 A2 (b) f impaire

FIGURE53.8 – Intégrale de fonctions paires et impaires

a + T a

53.5 Intégrale et inégalités 21

53.5

Intégrale et inégalités

Propriété 53.34 Soit une fonction f continue positive sur un intervalle[a , b] :

Z b

a f(x) dx ≥ 0.

R 53.35

1. Ce résultat est immédiat, puisqueRb

a f(x) dx est, par définition, l’aire sous la courbe représentative de

f sur l’intervalle[a , b].

2. On peut retrouver le résultat à partir de Rb

af(x) dx = F (b) − F(a) où F est une primitive de f sur l’intervalle [a , b]. D’où F0 _{= f, or f est positive, donc F est croissante sur l’intervalle [a , b] et}

F(b) ≥ F(a).

3. Attention ! Une fonction f peut très bien avoir une intégrale positive sur l’intervalle [a , b], sans être elle-même positive sur tout cet intervalle.

Propriété 53.36 Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle[a , b]. Si f ≤ g alors

Z b a f(x) dx ≤ Z b a g(x) dx.

R 53.37 On applique la propriété53.34à la fonction g − f qui est positive, ainsi que la propriété de linéarité de

l’intégrale.

Propriété 53.38— Inégalité de la moyenne. Soit une fonction f continue sur un intervalle I. — Si les réels m et M sont tels que, pour tout x de l’intervalle I, on a m ≤ f(x) ≤ M, alors si

I = [a, b] avec a < b :

m(b − a) ≤ Z b

a

f(x) dx ≤ M(b − a).

— Si le réel M est tel que, pour tout x de l’intervalle I, on a0 ≤ |f(x)| ≤ M, alors pour tous éléments a et b de I : 0 ≤      Z b a f(x) dx     ≤ M |b − a| . R 53.39

1. Dans le premier cas, on applique la propriété53.36à l’inégalité m ≤ f(x) ≤ M sur l’intervalle [a , b]. 2. Dans le second cas, on applique la propriété53.36à l’inégalité −M ≤ f(x) ≤ M sur l’intervalle [a , b]

ou[b , a] selon que a < b ou a > b.

Exemple 53.40 Soit la fonction inverse sur l’intervalle[1 , 2]. On a :1₂ ≤ _x1 ≤ 1, d’où

1 2 ≤ Z 2 1 1 xdx ≤ 1, soit 1₂ ≤ ln 2 ≤ 1. 

y = 1/2 y = 1/x

1 2

1

FIGURE53.10 – 1₂ ≤R12x1dx ≤ 1

Définition 53.41 — Valeur moyenne. Soit une fonction f, continue sur un intervalle[a , b]. On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle[a , b] le nombre réel

1

b− a

Z b a

f(x) dx.

R 53.42Cette définition généralise la notion de valeur moyenne d’une fonction dans le cas où l’intégrale définissait

une aire. Cette fois-ci, la formule est valable dans le cas où celle-ci a un signe non constant sur l’intervalle [a , b].

Exemples 53.43 1. La valeur moyenne de la fonction sinus sur l’intervalle[0 , π] est :

1 π− 0 Z π 0 sin x dx = 1 π [− cos π] π 0 = _π2.

2. La valeur moyenne de la fonction sinus sur l’intervalle[−π , π] est 0.

3. La valeur moyenne de la fonction définie par x 7→ x2− 1 sur l’intervalle [−3₂,3₂] est :

1 3 Z 3/2 −3/2(x 2_{− 1) dx =} 1 3 ₁ 3x3− x 3/2 −3/2 = 2₃1₃x3_{− x} 3/2 0 = − 1 4. 

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http:// bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/ TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL : http://} publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_ JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012. http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

BIBLIOGRAPHIE 25

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_ cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien. herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.

[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr [55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[56] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.} capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.

[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://

tehessin.tuxfamily.org

[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/ 21ganal.pdf.

[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/ coorgeo.pdf.

[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net. [67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah.

jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf [68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http: //perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf. [72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont

de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_ Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.

[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/ Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.

[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF

[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html

[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.

[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php

[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf [85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),

Programme 1999, Didier.

BIBLIOGRAPHIE 27

[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html

[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf

[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/ CAPES/geometrie/droites2012.pdf.

[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf

[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf

[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf

[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/ lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e ₃e_{, Playermath. URL : http://www.} playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.

[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.

[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf

[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf

[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.

[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau. pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.

[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf

[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf

[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf [108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/

[109] Propriété de Thalès, 3e_{. URL :http://melusine.eu.org}

[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.

[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.

[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.

URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf

[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf

[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net

[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net

[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.

[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.

URL :http://capes-de-maths.com

[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr

[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De

Boeck, 2000.

[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http:// bacamaths.net.

[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x. maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01. [124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf [126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux.

net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf [128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free. fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne. URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/ AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf

BIBLIOGRAPHIE 29

[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm

[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net

[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf

[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/ ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.

[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011.

[138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.

[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf

[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths. free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.

[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.

[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net. [144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.

Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no_{60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.} html.

[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net

[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01

[147] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http: //bacamaths.net.

[148] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http:// bacamaths.net.

[149] J.-E. VISCA, Les croissances comparées. URL :http://visca.pagesperso-orange. fr/html/aide/comparees.pdf

[150] R. GALANTE, Croissance comparée des fonctions x 7→ ex, x 7→ xaet x 7→ ln x au voisinage

de+∞. Application. URL :http://leahpar.etnalag.free.fr/images/cours/ analyse_oral/croiss_comp.pdf

[151] T. CUESTA, Cours de mathématiques BTS IRIS. URL : http://cuestamath.perso. sfr.fr/cours_bts_iris.pdf