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Chapitre 7

Courbes paramétrées

– Définition d’une courbe paramétrée et du vocabulaire qui s’y rattache. Lien avec la cinématique.

– Plan d’étude d’une courbe paramétrée. Étude locale au voisinage d’un point. Étude des branches infinies. – Définition et étude des courbes polaires.

– Étude des coniques.

Sommaire

I) Généralités. . . . 2

1) Fonctions vectorielles . . . 2

2) Définition d’une courbe paramétrée . . . 3

II) Étude locale en un point . . . . 4

1) Tangente en un point . . . 4

2) Branches infinies . . . 4

III) Courbes paramétrées en polaires. . . . 6

1) Généralités . . . 6

2) Cas particulier . . . 6

3) Plan d’étude d’une courbe polaire . . . 7

IV) Les coniques . . . . 8

1) Définition monofocale. . . 8 2) Le cas de la parabole . . . 9 3) Le cas de l’ellipse. . . 9 4) Le cas de l’hyperbole . . . 11 5) Définition bifocale . . . 12 6) Définition algébrique . . . 13 V) Exercices . . . . 15

P désigne un plan affine muni d’un repère [éventuellement orthonormé direct] R = (O, −→ı , −→ ), on note−→P = {a−→ı + b−→ / a, b ∈ R} l’ensemble des vecteurs du plan. Dans tout le chapitre I désigne un

Généralités Chapitre 7 : Courbes paramétrées

I)

Généralités

1)

Fonctions vectorielles

D

Une fonction vectorielle est une fonction−→f : I_→−→P . Pour

t ∈ R on note (x(t), y(t)) les coordonnées de−→f (t) dans

la base(−→ı , −→ ), on a donc −→f (t) = x(t)−→ı + y(t)−→ . On

remarquera que x et y sont deux fonctions de I dans R.

−→_ı −→_ x(t) y(t) O −→ f (t)

Remarque: Le repère étant choisi, se donner une fonction vectorielle revient à se donner deux fonctions réelles. Si le

repère est orthonormé direct, on peut utiliser la notion d’affixe complexe.

D

Soit −→f : I _→ −P→une fonction vectorielle, soit −→` ∈ −→P et soit t₀un élément de I (ou une borne de I), on dit que−→f

admet pour limite le vecteur−→` en t<sub>0</sub>lorsque : lim t→t0k −→ f (t) −−→` k = 0 Notation : lim t→t0 −→ f (t) =−→` ou−→f (t) −→ t→t0 −→ ` . −→ı a −→_ x(t) a y(t) b O −→ f (t) −→ ` −→ f (t) −−→`

Caractérisation de la limite avec les fonctions coordonnées :

THÉORÈME7.1 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Si−→f (t) = x(t)−→ı + y(t)−→ et si−→` = a−→ı + b−→ alors : lim

t→t0 −→ f (t) =−→` ⇐⇒    x(t) −→ t→t0 a y(t) −→ t→t0 b.

Preuve: Supposons le repère orthonormé, alorsk−→f (t)−−→` k =p[x(t) − a]2<sub>+ [y(t) − b]</sub>2<sub>ce qui donne l’implication</sub> de droite à gauche. D’autre part, on a :|x(t) − a| ¶ k−→f (t) −−→` k et |y(t) − b| ¶ k−→f (t) −−→` k ce qui donne la

réciproque. ƒ

Par analogie avec les fonctions réelles, on définit les notions de continuité puis de dérivabilité.

D

Soit−→f : I →−P→une fonction vectorielle et t0 un élément de I, on dit que−→f est continue en t0

lorsque lim

t→t0

−→

f (t) =−→f (t0).

Remarque : si−→f (t) = x(t)−→ı + y(t)−→ alors il découle du théorème précédent que−→f est continue en t₀ ssi les fonctions x et y sont continues en t0.

D

Généralités Chapitre 7 : Courbes paramétrées

t0 lorsqu’il existe un vecteur −→` tel que lim

t→t0

1

t− t0

[−→f (t) −−→f (t0)] = −→` , auquel cas on écrit

−→

f 0(t0) =

−→

` .

Remarque : si−→f (t) = x(t)−→ı + y(t)−→ alors il découle du théorème précédent que−→f est dérivable en t₀ ssi les fonctions x et y sont dérivables en t₀auquel cas on a −→f 0(t0) = x0(t0)−→ı + y0(t0)−→ .

On peut alors vérifier que l’on retrouve les règles usuelles de dérivation : dérivée d’une somme, de

λ ·−→f , de−→f ◦ g, auxquelles s’ajoutent de nouvelles règles :

THÉORÈME7.2 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soient−→f et −→g deux fonctions vectorielles dérivables sur I, on a : – dérivée du produit scalaire :−→f _{· −}→g 0=−→f 0_{· −}→g +−→f _{· −}→g 0.

– dérivée du déterminant :det(−→f , −→g )0= det(−→f 0, −→g ) + det(−→f , −→g 0).

– dérivée de la norme : si−→f ne s’annule pas,k−→f k0= −→

f 0·−→f

k−→f k .

Preuve: En exercice. ƒ

Pour terminer cette partie nous allons définir la notion de classe d’une fonction :

D

Une fonction vectorielle−→f : I _→−→P est dite de classe _Ck sur l’intervalle I lorsqu’elle est k fois dérivable sur I et que sa dérivée k-ième (notée−→f (k)) est continue sur I.

Si −→f (t) = x(t)−→ı + y(t)−→ alors la fonction −→f est de classe _Ck sur I ssi les fonctions x et y sont elles-mêmes de classe_Ck sur I, si c’est le cas, alors on a −→f (k)(t) = x(k)(t)−→ı + y(k)(t)−→ .

2)

Définition d’une courbe paramétrée

D

Une courbe paramétrée (ou arc paramétré) C, de classe_Ckest la donnée d’un triplet C= (I,−→f ,Γ), où I est un intervalle de R, −→f une fonction vectorielle de classe Ck _{sur I, et Γ = {M(t) / t ∈}

I et−→f (t) =−−−−→OM(t) }. Le couple (I,−→f ) est appelé paramétrage de la courbe, et Γ est appelé le

support de la courbe [ou ensemble des points de la courbe].

Exemples:

– Un arc paramétré est souvent donné par un paramétrage, exemple : soit C la courbe paramétrée par x_{(t) = 1+t}2 et y_{(t) = 1 − t}2_{+ t, t ∈ R.}

– Une courbe cartésienne d’équation y= g(x), x ∈ I est un cas particulier de courbe paramétrée, on peut prendre comme paramétrage : x(t) = t et y(t) = g(t), t ∈ I.

Interprétation cinématique :

– La courbe C = (I,−→f ,Γ) est appelée mouvement, et le support Γ est appelé trajectoire. – Le vecteur−→f (t) =−−−−→OM(t) = x(t)−→ı + y(t)−→ est appelé vecteur position.

– Le vecteur−→f 0(t) = d(

−−−−→

OM(t) )

d t = x

0_(t)−→_{ı + y}0_(t)−→_{ = −}→_{v (t) est appelé vecteur vitesse. Lorsque}

−→_{v (t) 6= 0, on dit que le point M(t) est régulier, sinon on dit qu’il est stationnaire. Lorsque tous les} points sont réguliers, on dit que la courbe C est régulière.

Étude locale en un point Chapitre 7 : Courbes paramétrées

– Le vecteur −→f 00(t) = d

2₍−−−−→_{OM(t) )}

d t2 = x

00_(t)−→_{ı + y}00_(t)−→_{ = −}→_{a (t) est appelé vecteur accélération.}

Lorsque −→v (t) et −→a (t) sont non colinéaires, (i.e. det(−→v (t), −→a (t)) 6= 0), on dit que le point M(t) est

birégulier. Lorsque tous les points sont biréguliers, on dit que la courbe C est birégulière.

Exemple: Montrer que la courbe paramétrée par : x_{(t) = 1 + t}2_{et y(t) = 1 − t}2_{+ t, est birégulière. Étudier les} variations de x et de y, étudier le rapport _xy au voisinage de∞, et donner l’allure de la courbe.

II)

Étude locale en un point

1)

Tangente en un point

Soit C = (I,−→f ,Γ) une courbe de classe Cn_{(n ¾ 1), soit M(t}

0) un point régulier et soit h ∈ R∗tel que

t₀+ h ∈ I, alors le vecteur : 1 h −−−−−−−−−−−→ M(t₀)M(t₀+ h) = x(t0+ h) − x(t0) h −→_{ı +} y(t0+ h) − y(t0) h −→_

est un vecteur directeur de la droite(M(t₀)M(t₀+ h)), donc lorsque h tend vers 0, cette droite « tend » vers la droite qui passe par M(t0) et dirigée par le vecteur−→f 0(t0).

D

Si M(t₀) est un point régulier, la droite qui passe par M(t₀) et dirigée par−→f 0(t0) [le vecteur vitesse]

est appelée tangente à la courbe au point M(t₀). En un point stationnaire M(t0), si le quotient y_x(t)−y(t_(t)−x(t0)

0) admet une limite en t0, alors celle-ci est le

coefficient directeur de la tangente au point M(t₀). Cela revient aussi à étudier la limite en t₀du rapport

y0(t)

x0_(t) (si celui-ci existe).

Exemple: Étudier la courbe paramétrée par : x_{(t) = cos(t) et y(t) = sin(t)[1 + cos(t).}

Réponse : on peut se placer dans l’intervalle[−π; π] car la fonction x(t) est paire et la fonction y(t) est impaire, la courbe est symétrique par rapport à l’axe O x, et on peut réduire l’étude à l’intervalle [0; π]. Le tableau des variations est : t 0 π₃ π x0 x y0 y 0 − 0 2 + 0 − 0 1 −1 0 3p3 4 0 0 1 −1 0 1 −1

Le point M_{(π) est stationnaire,} y(t) − y(π)

x(t) − x(π)= sin(t) −→t→π0 on a donc une tangente horizontale en M(π).

Étude locale en un point Chapitre 7 : Courbes paramétrées

D

Soit t₀ un élément de I ou une borne de I, on dit que la courbe C = (I,−→f ,Γ) admet une branche infinie en t₀ lorsque lim

t→t0

x(t) = ∞ ou lim

t→t0

y(t) = ∞.

Étude des branches infinies : – Si lim

t→t0

x(t) = ∞ et lim

t→t0

y(t) = y0, alors on dit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation y= y0.

– Si lim

t→t0

x(t) = x0et lim_t →t0

y(t) = ∞, alors on dit qu’il y a une asymptote verticale d’équation x = x0.

– Si lim

t→t0

x(t) = ∞ et lim

t→t0

y(t) = ∞, alors on étudie la limite en t0 du rapport

y(t) x(t) :

– Si lim

t→t0 y(t)

x(t) = 0, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axe Ox.

– Si lim

t→t0 y(t)

x(t) = ∞, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axe O y.

– Si lim

t→t0 y(t)

x(t) = a ∈ R

∗_{, alors on étudie la limite de y(t) − ax(t) en t} 0:

– Si lim

t→t0

y(t) − ax(t) = b, alors on dit qu’il y a une asymptote d’équation y = ax + b.

– Si lim

t→t0

y(t) − ax(t) = ∞, alors on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction

asymptotique y= ax.

Exemples:

– Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par x(t) = _t2t₋₉3 et y(t) =

t(t−2)

t−3 . Réponse : On a I=] − ∞; −3[∪] − 3; 3[∪]3; +∞[.

∗ En t0= −3 : lim

→3x(t) = ∞ et limt→3y(t) = −5/2, il y a donc une asymptote horizontale d’équation y = −5/2. ∗ En t0= 3 : y(t) x(t)= t(t−2)(t+3) t3 −→ 3 2 3 puis on calcule y(t) − 2 3x(t) = t(t+6) 3(t+3) −→3 3

2il y a donc une asymptote d’équation y+2 3x= 3 2. y(t)− 2 3x(t)− 3 2= (t−3)(2t+9)

6(t+3) donc la courbe est au-dessus de l’asymptote au voisinage à droite de 3, et en-dessous au voisinage à gauche de 3.

En t_{0= ±∞ : on a} y(t)

x(t)−→∞ 1 et y(t) − x(t) =

t2_{− 6t}

t2_{− 9} −→_∞ 1, on a donc une asymptote d’équation y= x + 1. D’autre part, y(t) − x(t) − 1 =9− 6t

t2_{− 9}, donc la courbe est au-dessus de l’asymptote au voisinage de−∞ et en-dessous au voisinage de+∞.

– Étudier la courbe paramétrée par : x(t) =_ln(t)t et y(t) = _tt2 −1. t 0 1 2 e _+∞ x0 x y0 y − − 0 + − − 0 + 0 −∞ +∞ e +∞ 0 −∞ +∞ 4 +∞ −4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 −1 −2 −3 −4

∗ En +∞ : y_x(t)(t)−→ +∞ : branche parabolique de direction O y. ∗ En 0 : y_x00(t)_(t)−→ 0 : on arrive à l’origine horizontalement.

∗ En 1 : y_x(t)(t)−→ 1 et y(t) − x(t) −→1₂: asymptote d’équation y= x +1 2.

Courbes paramétrées en polaires Chapitre 7 : Courbes paramétrées

III)

Courbes paramétrées en polaires

1)

Généralités

Une courbe paramétrée de P peut être représentée par des coordonnées polaires (ρ(t), θ (t)) en fonction du paramètre réel t. Dans ce cas la fonction vectorielle correspondante est :

−−−−→

OM(t) =−→f (t) = ρ(t)−→u (θ(t)) ou −→u (θ(t)) = cos(θ(t))−→ı + sin(θ(t))−→

ce qui équivaut au paramétrage cartésien x(t) = ρ(t) cos(θ(t)) et y(t) = ρ(t) sin(θ(t)).

θ(t) −→_ı −→_ −→_u θ(t) M(t) (C ) −−−−→ OM(t) = ρ(t)−→u _θ(t)

Le vecteur vitesse : On a −→v (θ) = −→u (θ +π₂) = − sin(θ)−→ı +cos(θ)−→ , les fonctions vectorielles θ 7→ −→u (θ)

etθ 7→ −→v (θ) sont donc dérivables et on a :

d−→u dθ = − →_{v (θ) et} d−→v dθ = −− → u (θ).

On en déduit que si les fonctions t_{7→ ρ(t) et t 7→ θ (t) sont dérivables sur I alors la fonction t 7→}−→f (t)

l’est aussi et on a :

−→

f 0(t) = ρ0(t)−→u (θ(t)) + ρ(t)θ0(t)−→v (θ(t)).

Le vecteur accélération : Si les fonctions t _{7→ ρ(t) et t 7→ θ (t) sont deux fois dérivables sur I alors la} fonction t_7→−→f (t) l’est aussi et on a :

−→

f 00(t) =”ρ00(t) − ρ(t)θ0(t)2—−→u (θ(t)) + 2ρ0(t)θ0(t) + ρ(t)θ00(t) −→v (θ(t)).

2)

Cas particulier

Le cas particulier le plus simple est celui oùθ(t) = t, autrement dit le paramètre est l’angle polaire θ.

D

La courbe polaire d’équation r= ρ(θ) où ρ : I → R est une fonction de classe Ck, k ¾ 1, est la courbe paramétrée par :−−−−→OM(θ) =−→f (θ) = ρ(θ)−→u (θ), c’est à dire¨ x(θ) = ρ(θ) cos(θ)

Courbes paramétrées en polaires Chapitre 7 : Courbes paramétrées

Propriétés : si la fonctionρ est de classe C2 alors :

– Le vecteur vitesse au point M(θ) est−→f 0(θ) = ρ0(θ)−→u (θ) + ρ(θ)−→v (θ) et le vecteur accélération est

−→

f 00(t) = ρ00(θ) − ρ(θ) −→u (θ) + 2ρ0(θ)−→v (θ).

– M(θ) est un point régulier ⇐⇒ (ρ0(θ), ρ(θ)) 6= (0, 0), on en déduit que tous les points de la courbe distincts de O sont des points réguliers.

– M(θ) est birégulier ⇐⇒ 2ρ0(θ)2+ ρ(θ)2_{− ρ(θ )ρ}00(t) 6= 0 (c’est le déterminant entre les vecteurs vitesse et accélération dans la base(−→u (θ), −→v (θ)).

3)

Plan d’étude d’une courbe polaire

– Restriction du domaine d’étude :

– Siρ(θ) = ρ(−θ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à l’axe Ox, on peut restreindre l’étude à t ¾ 0.

– Si ρ(−θ) = −ρ(θ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à l’axe O y, on peut restreindre l’étude à t ¾ 0.

– Si ρ(2α − θ) = ρ(θ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d’équation polaireθ = α, on peut restreindre l’étude à θ ¾ α.

– Siρ(2α − θ) = −ρ(θ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d’équation polaireθ = α + π/2, on peut restreindre l’étude à θ ¾ α.

– Siρ(T + θ) = ρ(θ) : (T est une période de ρ), alors le point M(T + θ) se déduit de M(θ) par la rotation de centre O et d’angle T , on peut restreindre l’étude à un intervalle de longueur T . – Siρ(T + θ) = −ρ(θ) : (T est une anti-période de ρ), alors le point M(T + θ) se déduit de M(θ)

par la rotation de centre O et d’angle T+ π, on peut restreindre l’étude à un intervalle de longueur

T.

– On étudie ensuite les variations de la fonctionρ. – Classification des points :

– Si M(θ0) 6= O : alors le point M(θ0) est régulier, donc la tangente est portée par le vecteur

vitesse : −→f 0(θ0) = ρ0(θ0)−→u (θ0) + ρ(θ0)−→v (θ0). L’équation de cette tangente dans le repère

(M(θ0), −→u (θ0), −→v (θ0)) est : ρ(θ0)X − ρ0(θ0)Y = 0, son coefficient directeur est

ρ(θ0) ρ0_(θ 0) lorsque ρ0_(θ 0) 6= 0. – Si M(θ₀) = O alors lim θ→θ0 1 ρ(θ) −−−−→

OM(θ) = −→u (θ0), donc la tangente est dirigée par le vecteur

−→_{u (θ}

0),

– Recherche des points doubles :

M(θ) = M(θ0) ⇐⇒ ¨ θ = θ0_{+ 2kπ} ρ(θ) = ρ(θ0₎ ou ¨ θ = θ0_{+ (2k + 1)π} ρ(θ) = −ρ(θ0₎ . Exemples:

– Étudier la courbe polaire d’équationρ(θ) = apcos(2θ) où a > 0 (Lemniscate de Bernoulli).

∗ ρ est paire et π-périodique : étude sur [0;π₂] ∩ Dρ= [0;π4], on complétera avec la symétrie par rapport à

O x, puis avec la symétrie de centre O. ∗ En θ0= 0 : ρ(0) = a et

−→

f 0(0) = a−→ : tangente verticale.

∗ En θ0= π₄ : M(θ0) = O donc la tangente est la première bissectrice.

θ 0 π₄ ρ a 0 0 1 −1 0

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées

Réponse : La fonction est définie sur R\{π/2+kπ / k ∈ Z}. La fonction ρ est 2π-périodique et ρ(π−θ ) = ρ(θ ), il y a donc une symétrie par rapport à l’axe O x, on peut donc restreindre l’étude à[−π/2; π/2[. Le tableau des variations est : θ −π₂ π₂ ρ ln(2) −∞ 0 1 −1 0 −1 −2 −3 −4 −5 ∗ Points particuliers :

i) Enθ0= −π/2 : un vecteur directeur de la tangente est ln(2)−→ı , on a donc une tangente horizontale. ii) En_{θ0= 0 : on a M(θ0) = O et ρ}0_{(0) = −1, donc M(0) est un point régulier et la tangente en portée par} −→_{u (0) = −}→_{ı .}

∗ Branche infinie en π/2 : y(θ ) = ln(1 − sin(θ )) sin(θ ) −→ −∞ et x(θ ) = ln(1 − sin(θ )) cos(θ ) = ln(1 − cos(u)) sin(u) = ln(2 sin2((u₂)) sin(u) −→

u→00, en posant u= θ − π/2, il y a donc une asymptote d’équation x = 0. ∗ Points doubles : cela revient à chercher θ ∈ [−π/2; π/2[ tel que ρ(θ ) = −ρ(θ + π), ce qui donne sin(θ ) = 0 et doncθ = 0, par conséquent O est le seul point double.

IV)

Les coniques

1)

Définition monofocale

D

Soit F un point du plan, D une droite affine ne passant pas par F et soit e un réel strictement positif. On a appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e l’ensemble

C = {M ∈ P / M F = ed(M, D)} Lorsque :

– e= 1 : la courbe C est appelée parabole. – e< 1 : la courbe C est appelée ellipse. – e> 1 : la courbe C est appelée hyperbole.

On choisit un repère_{R = (F, −}→ı , −→ ) de tel sorte que D admette comme équation dans ce repère x = −d

où d= d(F, D) : t M −→_ı −→_ −d F H D

Une équation cartésienne dans le repère(F, −→ı , −→ ) est : M F2= e2M H2c’est à dire x2+ y2= e2(x + d)2 ou encore x2(1 − e2) − 2e2d x+ y2_{− e}2d2= 0. Déterminons maintenant un paramétrage polaire : on a M H= |xH− xM| = |d + x| = |d + ρ cos(t)|, et M F = |ρ|, on a donc M ∈ C ⇐⇒ ρ2= e2 d+ ρ cos(t)

2

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées

de deux courbes :_{C = C1∪ C2} avec_C1 d’équation polaire :ρ₁= ed

1_{− e cos(t)} etC2 d’équation polaire

ρ2=

−ed

1+ e cos(t). On voit queρ2(π + t) = −ρ1(t) et donc M2(π + t) = M1(t), on en déduit que les deux courbes sont confondues,_C1= C₂ et donc :

THÉORÈME7.3 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Une équation polaire de_{C dans le repère (F, −}→ı , −→ ) est : ρ(t) = p

1− e cos(t) où p= ed est appelé paramètre de la courbe. Une équation cartésienne dans le repère(F, −→ı , −→ ) est :

x2(1 − e2) − 2epx + y2_{− p}2= 0

2)

Le cas de la parabole

Équation réduite : On a e= 1, l’équation cartésienne devient y2= 2px + p2= 2p(x +d₂). Soit O(−d₂, 0), alors dans le repère(O, −→ı , −→ ) l’équation devient : Y2= 2pX c’est l’équation réduire de la parabole. On est ramené à tracer la courbe représentative de la fonction f(X ) =p2pX puis à faire une symétrie par rapport à O x. Allure de la courbe : t M −→_ı −→_ −d O F H D

Parabole de sommet O(−d₂, 0) et d’axe Ox.

Tangente en un point : Paramétrons la parabole par x(t) = t2 2p− d 2 et y(t) = t, dérivons la relation −−→_{F M} ·−−→F M =−−→M H _·−−→M H , on obtient 2−→v (t) ·−−→F M = 2−−→M H _·d −−→ M H dt = −2 −−→ M H _{· −}→v (t) car−−→M H _·d −−→ F H dt = 0. On en déduit que −→v (t) · [−−→M H +−−→F M ] = 0 c’est à dire −→v (t) ·−−→F H = 0 . La tangente est la perpendiculaire

à(F H) passant par M, c’est la médiatrice du segment [F H] :

t M −→_ı −→_ −d O F H D

Application : principe du miroir parabolique.

3)

Le cas de l’ellipse

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées x2(1 − e2) − 2epx + y2− p2= 0 ⇐⇒  x p 1_{− e}2₋ ep p 1_{− e}2   2 + y2₌ p 2 1_{− e}2 ⇐⇒ ‚ x(1 − e 2₎ p − e Œ2 +    y p 1_{− e}2 p    2 = 1 ⇐⇒  x−_1−eep2 2 a2 + y2 b2 = 1 avec a = p 1_{− e}2 et b= p p 1− e2 . Soit O( ep

1−e2, 0) dans le repère (O, −→ı , −→ ), on a X = x − ep

1_{− e}2 et

Y = y, donc l’équation devient X

2

a2 + Y2

b2 = 1 . C’est l’équation réduite de l’ellipse.

Remarques :

– On a b< a car 0 < 1 − e2< 1.

– Les coordonnées de F dans le repère(O, −→ı , −→ ) sont (−c = − ep

1−e2, 0).

– On a c=pa2_{− b}2_{, e=} c

aet l’équation de la directrice dans le repère(O, −

→_{ı , −}→_{ ) est X = −d−c = −}a2 c.

En particulier on en déduit que 0< c < a < a2

c.

– L’ellipse est symétrique par rapport à O y, elle a donc un deuxième foyer F0de coordonnées(c, 0) et une autre directrice D0d’équation X= a2

c dans le repère(O, −→ı , −→ ).

– Un paramétrage possible dans le repère(O, −→ı , −→ ) est X (t) = a cos(t) et Y (t) = b sin(t) avec t ∈ R. Étude de la courbe : Les fonctions X et Y sont 2π-périodiques, X est paire et Y est impaire, on a donc une symétrie par rapport à O x, on réduit l’étude sur[0, π]. On a X (π − t) = −X (t) et Y (π − t) = Y (t) : symétrie par rapport à(O y), on réduit l’étude sur [0,π₂]. La tangente au point M(0) est verticale et la tangente au point M(π 2) est horizontale : t 0 π₂ X Y a 0 0 b H H0 D D0 M F(−c, 0) F0(c, 0) −a2 c a2 c a b Ellipse de centre O( ep

1−e2, 0), de demi-grand axe a =

p

1−e2, de demi-petit axe b=

p

p

1−e2.

THÉORÈME7.4

Ð _{Pour tout point M de l’ellipse, on a M F}+ M F0= 2a.

Preuve: On a M F+ M F0= e × MH + e × MH0= ed(D, D0) = e2a_c2 = 2a. ƒ THÉORÈME7.5 (Tangente en un point)

Ð

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées

Preuve: On choisit un paramétrage de l’ellipse puis on dérive la relationk−−−−→F M(t) k + k−−−−→F0M(t) k = 2a ce qui donne −→_{v (t) ·}    −−→ F M k−−→F M_k+ −−→ F0M k−−→F0M _k    = −→

0 , or le deuxième vecteur est un vecteur directeur de la bissectrice intérieure de

l’angle ØF M F0, le résultat en découle. ƒ

4)

Le cas de l’hyperbole

Équation réduite : On a e> 1, une équation cartésienne dans le repère (F, −→ı , −→ ) est :

x2(1 − e2) − 2epx + y2− p2= 0 ⇐⇒ −  x p e2− 1 +pep e2− 1   2 + y2₌ −p 2 e2− 1 ⇐⇒ ‚ x(e 2 − 1) p + e Œ2 −    y p e2− 1 p    2 = 1 ⇐⇒  x+ _e2ep₋₁ 2 a2 − y2 b2 = 1, avec a= p e2₋₁ et b= p p e2₋₁. Posons O( −ep

e2₋₁, 0), alors dans le repère (O, −→ı , −→ ) on a X = x + ep e2− 1 et

Y = y, l’équation cartésienne s’écrit alors : X2

a2 −

Y2

b2 = 1 c’est l’équation réduite de l’hyperbole. Remarques :

– Les coordonnées de F dans le repère(O, −→ı , −→ ) sont (c = ep

e2₋₁, 0).

– On a c=pa2_{+ b}2_{, e=} c

a et l’équation de la directrice dans le repère(O, −

→_{ı , −}→_{ ) est X = −d + c =} a2 c.

En particulier on en déduit que 0< a2

c < a < c.

– L’hyperbole est symétrique par rapport à O y, elle a donc un deuxième foyer F0de coordonnées(−c, 0) et une autre directrice D0d’équation X= −a2

c dans le repère(O, −→ı , −→ ).

– Un paramétrage possible dans le repère(O, −→ı , −→ ) est X (t) = ±ach(t) et Y (t) = bsh(t) avec t ∈ R. Étude de la courbe :

La partie de la courbe dans le demi-plan X > 0 est paramétrée par X (t) = ach(t) et Y (t) = bsh(t) avec

t∈ R (l’autre partie est symétrique par rapport à O y]. La fonction X est paire et la fonction Y est impaire il y a donc une symétrie par rapport à O x et on réduit l’étude sur[0; +∞[.

t 0 +∞ X Y a +∞ 0 +∞

La tangente au point M(0) est verticale. En +∞ : on a

Y(t) X(t) = b ath(t) → b a, Y(t) − b aX(t) = −be −t _{→ 0, on a}

donc une asymptote d’équation Y = b

aX et la courbe est

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées Y= −a bX Y=a bX H H0 D D0 M F(c, 0) F0(−c, 0) ₋a2 c a2 c a O Hyperbole de centre O .

Remarque : Lorsque a= b les deux asymptotes sont orthogonales (ce sont les deux bissectrices) on dit alors que l’hyperbole est équilatère. Dans ce cas, dans le repère (O, −→u , −→v ) avec −→u = p1

2[− →_{ı − −}→_{ ] et} −→_{v = p}1 2[− →_{ı + −}→_{ ], on a X = p}1 2[X 0_{+ Y}0_{] et Y = p}1 2[−X

0_{+ Y}0_{] donc l’équation de l’hyperbole devient}

(X − Y )(X + Y ) = a2 _{i.e. X}0_Y0₌ a 2

2 .

THÉORÈME7.6

Ð _{Pour tout point M de l’hyperbole, on a}

|M F − M F0| = 2a.

Preuve: Prenons M dans le demi-plan X> 0, on a M F − M F0= e × MH − e × MH0= −ed(D, D0) = −e2a_c2 = −2a. ƒ

THÉORÈME7.7 (Tangente en un point) Ð

Ð _{En tout point M de l’hyperbole, la tangente est la bissectrice intérieure de l’angle ØF M F}0_.

Preuve: On choisit un paramétrage de l’hyperbole puis on dérive la relationk−−−−→F M(t) k − k−−−−→F0M(t) k = ±2a ce qui donne −→v (t) ·    −−→_{F M} k−−→F Mk− −−→ F0M k−−→F0Mk    = −→

0 , or le deuxième vecteur est un vecteur directeur de la bissectrice extérieure de l’angle ØF M F0_{, le résultat en découle.}

ƒ

5)

Définition bifocale

Soient F, F0deux points distincts du plan, soit c= F F₂0 et a> c, alors l’ensemble C = {M ∈ P / M F + M F0= 2a}

est une ellipse de centre O= Mil[F; F0] d’excentricité e = c

a et de foyer F .

Preuve: Posons O= Mil[F, F0] comme origine, −→ı = −−→ F F0 k−−→F F0_k

, et −→ déduit de −→ı par la rotation vectorielle d’angleπ 2.

F F0

M

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées M F+ M F0= 2a ⇐⇒ p(x + c)2+ y2+p(x − c)2+ y2= 2a ⇐⇒ 2a2_{− (x}2_{+ y}2_{+ c}2_{) =}p(x2_{+ y}2_{+ c}2₎2_{− 4c}2_x2 ⇐⇒ ¨ 4a 4_{+ [x}2_{+ y}2_{+ c}2_]2 − 4a2(x2+ y2+ c2) = [x2+ y2+ c2]2− 4c2x2 x2+ y2+ c2¶ 2a2 ⇐⇒ ¨ x 2_(a2 − c2) + y2a2= a2(a2_{− c}2) x2+ y2¶ 2a2− c2 ⇐⇒    x2 a2+ y2 a2_{− c}2 = 1 x2+ y2_{¶ a}2+ (a2_{− c}2)

On a a_{> d/2 = c, donc a}2_{− c}2_{> 0, posons b =}p_a2_{− c}2_{, on doit avoir la relation} x2

a2 +

y2

b2 = 1, si cette relation

est vérifiée, il est clair que x2_{+ y}2

¶ a2+ b2et par conséquent M F+ M F0= 2a ⇐⇒ x

2

a2+

y2

b2 = 1. D’après l’étude

précédente, on a une ellipse de centre O, de foyer F , d’excentricité e= c

a, de directrice D d’équation x= − a2 c . ƒ THÉORÈME7.9 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soient F, F0deux points distincts du plan, soit c= F F₂0 et 0< a < c, alors l’ensemble C = {M ∈ P / |M F − M F0| = 2a}

est une hyperbole de centre O= Mil[F; F0] et d’excentricité e = c

a et de foyer F

0_.

Preuve: On choisit le même repère que précédemment : M(x, y) ∈ C ⇐⇒ M F2+ M F02_{− 2M F.M F}0= 4a2 ⇐⇒ (x + c)2+ y2+ (x − c)2+ y2− 4a2= 2 Æ x2+ y2+ c2
2 − 4x2_c2 ⇐⇒ x2+ y2+ c2− 2a2= Æ x2_{+ y}2_{+ c}2
2 − 4x2_c2 ⇐⇒ ( € x2+ y2+ c2Š2+ 4a4− 4a2_(x2_{+ y}2_{+ c}2_{) =}€ x2+ y2+ c2Š2− 4x2_c2 x2+ y2+ c2_{¾ 2a}2 ⇐⇒ ¨ x 2_(c2 − a2) − a2y2= a2(c2− a2) x2+ y2¾ a2− b2 ⇐⇒    x2 a2− y2 b2 = 1 x2+ y2¾ a2− b2 avec b₌pc2_{− a}2 ⇐⇒ x 2 a2− y2 b2 = 1 .

En effet, cette équation entraîne x2¾ a2et donc x2+ y2¾ a2¾ a2− b2. D’après l’étude précédente, on a une hyperbole de centre O, d’excentricité e= _ac, de foyer F0, et de directrice D d’équation x= a_c2. ƒ

6)

Définition algébrique

Soit(E) l’ensemble des points M(x, y) du plan vérifiant l’équation :

Les coniques Chapitre 7 : Courbes paramétrées

D

Le nombre∆ = b2_{− 4ac est appelé discriminant de l’expression P(x, y).}

Soit −→u = cos(θ)−→ı + sin(θ)−→ et −→v = − sin(θ)−→ı + cos(θ)−→ , notons (x, y) les coordonnées de M

dans le repère_{R = (O, −}→ı , −→ ) et (X , Y ) les coordonnées dans le repère R0= (O, −→u , −→v ), on a alors les

relations :¨ x = X cos(θ) − Y sin(θ)

y = X sin(θ) + Y cos(θ). On en déduit que dans le repèreR

0_{l’équation de(E) devient :}

AX2+ BX Y + CY2+ DX + EY + F = 0 avec

  

A= a cos2(θ) + c sin2(θ) + b sin(θ) cos(θ) B= (c − a) sin(2θ) + b cos(2θ)

C= a sin2(θ) + c cos2(θ) − b sin(θ) cos(θ)

On a alors :

B2= a2sin2(2θ) + c2sin2(2θ) + b2cos2(2θ) − 2ac sin2(2θ) − 2ab sin(2θ) cos(2θ)

+ 2bc sin(2θ) cos(2θ) et

4AC= a2sin2(2θ) + c2sin2(2θ) − 2ab sin(2θ) cos(2θ) + 2bc sin(2θ) cos(2θ)

+ 4ac[cos4_{(θ) + sin}4_{(θ)] − b}2_sin2_(2θ)

on en déduit alors que B2_{− 4AC = b}2_{− 4ac[cos}4(θ) + sin4(θ) + 1₂sin2(2θ)] = b2_{− 4ac.} Remarques :

– Si on change −→v en₋₋→v alors B est changé en_{−B et on a toujours B}2_{− 4AC = b}2_{− 4ac.} – On a A+ C = a + c.

– Si A= B = C = 0 alors b2= 4ac et a = −c ce qui entraîne a = b = c = 0. Par conséquent, puisque (a, b, c) 6= (0, 0, 0), on a aussi (A, B, C) 6= (0, 0, 0).

THÉORÈME7.10

Ð _{Un changement de repère orthonormé ne change pas le discriminant.}

Étape 1 : élimination du terme croisé. Nous allons choisir θ de telle sorte que B = 0 (réduction de l’équation) :

– Si b= 0 : il n’y a rien à faire, on prend θ = 0.

– Si b_{6= 0 et a = c : il suffit de prendre θ =} π₄ (mod π₂). – Si b_{6= 0 et a 6= c alors il suffit de prendre θ =}1₂arctan b

a−c

 . Une fois ceci-fait, on a l’équation de(E) dans le repère R0:

AX2+ CY2+ DX + EY + f = 0.

Étape 2 : élimination des termes en X et en Y et conclusion. – Si AC 6= 0 (i.e. si ∆ 6= 0) : alors l’équation devient :

A[X + D

2A]

2_{+ C[Y +} E

2C]

2_{+ F}0_{= 0}

ou encore dans le repère_R00= (O0, −→u , −→v ) avec O0(−_2AD,_−2CE )_R0 : A[X0]2+ C[Y0]2+ F0= 0.

d’où la conclusion :

– Si AC > 0, c’est à dire si ∆ < 0 [car ici −4AC = ∆], alors l’ensemble (E) est soit vide, soit une ellipse[éventuellement un cercle].

Exercices Chapitre 7 : Courbes paramétrées

– Si AC < 0, c’est à dire si ∆ > 0 , alors l’ensemble (E) est soit une hyperbole, soit la réunion de deux droites sécantes[lorsque F0= 0].

– Supposons A= 0 [donc C 6= 0], c’est à dire ∆ = 0 , alors l’équation devient C[Y +_2CE ]2+DX +F0= 0, on en déduit que :

– Si D= 0 : alors l’ensemble (E) est soit vide, soit la réunion de deux droites parallèles. – Si D6= 0 : alors l’ensemble (E) est une parabole car on a [Y +_2CE ]2_{= 2p[X +}F0

D] avec p = − D

2C.

V)

Exercices

ÆExercice 7.1

a) Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = cos(t)3et y(t) = sin(t)3 (astroïde). b) Même question avec la courbe polaireρ(θ) = 1 + cos(θ) (cardioïde).

ÆExercice 7.2

Á l’aide d’un paramétrage bien choisi, étudier l’ensemble des points M(x, y) tels que : a) x3+ 2x y + y3= 0 (Folium de DESCARTES).

b) (x2+ y2)3= (x2_{− y}2)2. ÆExercice 7.3

Un cercle roule sans glisser sur l’axe O x, on fixe un point M sur ce cercle. Étudier la trajectoire du point M .

ÆExercice 7.4

a) Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = cos(t)2et y(t) = cos(t)(1 + sin(t)).

b) Á tout point M(t) de C \ {O}, on associe le point M(u) de C tel que les droites (OM(t)) et (OM(u)) soient perpendiculaires. Déterminer (Γ) le lieu des milieux des segments [M(t), M(u)].

ÆExercice 7.5

Soit r> 0, soit C le cercle de centre O et de rayon r. Pour tout M ∈ C, le cercle de centre M passant par O coupe l’axe O x en deux points O et A (éventuellement confondus), et coupe l’axe O y en deux points O et B (éventuellement confondus), on considère H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB).

a) Calculer les coordonnées cartésiennes de H en fonction de celles de M .

b) Donner une représentation polaire du lieu des points H lorsque M décrit C. Étudier ce lieu. ÆExercice 7.6

Étudier les courbes suivantes :

a) x(t) = t 2 1+ t2 et y(t) = t3 1+ t2 b) x(t) = 1 1+ t + 1 t et y(t) = 1 1_{− t} + 1 t. c) ρ(θ) = 1 + tan(θ/2) d) ρ(θ) =θ + 1 θ − 1. ÆExercice 7.7

Déterminer la nature de la courbe d’équation cartésienne (dans un repère orthonormé du plan) : a) x2_{− 2 y}2+ x − 2y = 0. b) y2+ 3x − 4y = 2.

c) x2+ x y + y2= 1. d) x2+p3x y+ x = 2. ÆExercice 7.8

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment[AB]. Déterminer l’ensemble des points M tels que M I2= MA × MB.

ÆExercice 7.9

Soit(H) une hyperbole équilatère, soient A, B, C trois points distincts sur (H). Montrer que l’ortho-centre du triangle(ABC) est sur l’hyperbole.

Exercices Chapitre 7 : Courbes paramétrées

ÆExercice 7.10

a) Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = 1

t2₋₁ et y(t) =

t t2₋₁.

b) Montrer que cette courbe est une hyperbole privée d’un point. ÆExercice 7.11

Soit(E) une ellipse de foyers F et F0, soit M un point de(E). Soient P et Q les deux points de (E) tels que F est sur la corde[M, P] et F0sur la corde[M,Q].

a) À l’aide d’un paramètrage polaire, montrer que 1

F M+ 1 F P = 1 F0_M+ 1 F0_Q= 2

p, où p est le paramètre

de(E).

b) En déduire que la quantité F0M

F0Q + F M