∑ Etudes de courbes

Etudes de courbes

1. Courbes cartésiennes.

2. Courbes paramétrées.

3. Courbes en polaires.

4. Courbes elliptiques.

5. Courbes implicites.

6. Régions planes.

7. Lieux géométriques.

8. Surfaces.

Pierre-Jean Hormière __________

« La description de mes courbes nécessite beaucoup de veilles. » 1. Courbes cartésiennes.

Exercice 1 : On considère la fonction f(x) = ln x e^x−1

.

1) a) Domaine de définition ? Prolongement par continuité ? b) Développement limité à l’ordre 3 en 0 ? conséquences ? 2) Etudier les variations de f . Montrer que f est C¹ sur R. Graphe ? 3) Exprimer f’’(x) à l’aide de sh²(

2 x_{) – (}

2

x₎² . Montrer que f est C² sur R, et convexe.

En déduire les variations de θ(x) = x 1_f(x).

4) Pour tout x réel, on définit la suite u₁(x) = x , u_n+1(x) = f(u_n(x)).

a) Etudier les convergences simple et uniforme sur R de cette suite de fonctions.

b) Etablir le développement en série (∀x) exp x = 1 +

∑

^+∞

=1 1( ) 2( )... ( )

n

n x u x u x

u .

Solution :

1) Domaine de définition : x

e^x−1

est définie sur R*, et à valeurs > 0, car e^x – 1 et x sont toujours de même signe.

Par conséquent, f est définie sur D = R*. Elle est continue et même C^∞ sur D comme composée.

2) Limites, prolongement.

• Au V(+∞), x e^x−1

→ +∞ par comparaison exponentielle-puissance, donc lim_x→+∞ f(x) = +∞.

• Au V(−∞), x e^x−1

= x e^x

−−

1 → 0+, donc lim_x→−∞ f(x) = −∞.

• Au V(0), x e^x−1

→ 1, donc lim_x→0 f(x) = 0 : on peut prolonger f par continuité en 0, en posant f(0) = 1. La fonction ainsi prolongée est dérivable en 0, et telle que f’(0) = ½, car

f(x) = ln

x x o x

x+ ²/2+ ( ²) = ln( 1 + 2

x + o(x) ) =

2x + o(x)) . 3) Variations.

Sur R*, f’(x) =

) 1 (

1

−+

−

x x x

e x

e

xe est du même signe que N(x) = x e^x – e^x + 1 , N’(x) = x e^x . X −∞ 0 +∞

N’(x) − 0 + N(x) 0

f’(x) + ½ + f(x)

+∞

−∞

Conclusion : La fonction f croit sur R*, donc sur R.

4) Branches infinies.

• Au V(+∞), écrivons f(x) = ln x e^x−1

= ln x

e e^x(1− ^−x)

= x – ln x + ln(1 – e^–x) . Donc

x x

f )( → 1, et comme f(x) – x → −∞, il y a une direction asymptotique y = x, sans asymptote.

Cependant, la courbe y = x – ln x est asymptote au graphe de f.

De manière plus précise, f admet un développement asymptotique en +∞ : f(x) = x – ln x – e^–x− 2

e⁻2x

− 3 e⁻3x

− ... − n e^−nx

+ o(e^−nx) . Remarque : on a même un développement en série : f(x) = x – ln x –

∑

^+∞

=

−

1 n

nx

n

e pour tout x > 0.

• Au V(−∞), écrivons f(x) = ln x e^x

−−

1 = − ln(−x) + ln(1 – e^x) .

x x f )( _→

0, et comme f(x) →−∞, il y a une direction asymptotique Ox, sans asymptote.

Cependant, la courbe y = – ln(−x) est asymptote au graphe de f.

De manière plus précise, f admet un développement asymptotique en −∞ : f(x) = – ln(−x) – e^x− 2

e2x

− 3 e3x

− ... − n e^nx

+ o(e^nx) . Remarque : on a même un développement en série : f(x) = – ln(−x) –

∑

^+∞

=1 n

nx

n

e , pour tout x < 0.

5) Etude approfondie de f en 0.

• Je dis que f est de classe C¹ sur R. Pour cela, il suffit de vérifier que f’(x) → ½ quand x → 0.

Or f’(x) =

) 1 (

1 ) 1 (

−+

−

x x

e x

e

x ∼

² 2 /

² x

x = ½ , après développement limité du numérateur.

• f admet un développement limité fort à tous ordres en 0, obtenu par composition : f(x) = ln( 1 +

!

2x _{+ ... +} )!

1 (n+

xⁿ

+ O(xⁿ⁺²) ) , etc.

• f est même C^∞ sur R. En effet, g(x) = x e^x−1

est développable en série entière sur R, donc C^∞ et f est C^∞ comme composée.

• Mieux ! f est développable en série entière au V(0), non comme composée (le théorème n’est pas au programme), mais parce que sa dérivée f’(x) =

) 1 (

1 ) 1 (

−+

−

x x

e x

e

x l’est comme quotient de deux séries entières de même valuation.

Avec Maple :

> with(plots):f:=x->ln((exp(x)-1)/x);

:=

f x → 

 



ln eeee^x − 1 x

> limit(f(x),x=infinity);limit(f(x),x=-infinity);limit(f(x),x=0);

−∞∞ 0

> series(f(x),x=0,2);series(f(x),x=0,12);

1 +

2x O x( ²)

+ − + − + +

1 2x 1

24x² 1

2880x⁴ 1

181440x⁶ 1

9676800x⁸ 1

479001600x¹⁰ O x( ¹²)

> series(f(x),x=infinity);series(f(x),x=-infinity);

− − − − +

x ln x( ) 1 eee e^x

1 2

1 (eeee^x)²

1 3

1 (eeee^x)³











O 1  (eeee^x)⁴

−ln(−x) − 1 − − − +

e ee e^(−x)

1 2

1 (eeee^(−x))

2

1 3

1 (eeee^(−x))

3

1 4

1 (eeee^(−x))

4













O 1

(eeee^(−x))

5

> p:=plot(f(x),x=-6..6,thickness=2):

as1:=plot(x-ln(x),x=1..6,color=blue):

as2:=plot(-ln(-x),x=-6..-1,color=blue):

tg:=plot(x/2,x=-1..1,color=black):display({p,as1,as2,tg},axes=normal);

Remarque 1 : tout indique que f est convexe. C’est bien le cas.

En effet, f’’(x) =

)² 1

²(

) (^x− e x

x

G , où G(x) = e^2x – x² e^x – 2.e^x + 1 , G’(x) = 2 e^x( e^x – 1 – x − 2 x )² . Orune étude de variations (ou un argument intégral) montre que e^x – 1 – x −

2

x ² est du signe de x.

Donc f’’(x) > 0 pour tout x, et f’’(0) = 0. Au final, f est strictement convexe.

On peut aussi noter que f’’(x) =

) 2 /

²(

².

)² 2 / ( ) 2 /

²(

x sh x

x x

sh −

et utiliser le fait que sh x > x pour tout x > 0…

La fonction θ(x) = x

1f(x) se rencontre naturellement lorsqu’on applique le théorème des accroisse- ments finis à la fonction exp : e^x – 1 = x.e^θx , 0 < θ < 1.

Remarque 2 : la fonction f est C^∞ comme composée.

En effet x e^x−1

=

∫

₀^1exu.du pour tout x, même x = 0, et, du coup, f(x) = ln

∫

₀^1exu.du.

6) Un développement en série.

Il est facile de montrer que la suite (u_n(x)) tend vers 0, en décroissant si x > 0, en croissant si x < 0.

On montre par récurrence que, pour tout x et tout n exp x = 1 +

∑

⁻

= 1

1 2

1( ) ( )... ( )

n

k

k x u x u x

u + u₁(x) … u_n(x).exp u_n+1(x).

Or la suite u₁(x) … u_n(x).exp u_n+1(x) tend vers 0 quand n → +∞ (passer au ln).

On en déduit le développement en série (∀x) exp x = 1 +

∑

^+∞

=1 2

1( ) ( )... ( )

n

n x u x u x

u .

Exercice 2 : Etudier et représenter sur un même graphe les fonctions x, x^x et x^xx. Solution :

1.1) La fonction f(x) = x^x = e^xlnx est définie et C^∞ sur D = ]0, +∞[.

NB : on peut noter que f est définie pour d’autres valeurs de x, par exemple (−1/3)^−1/3 , etc.

Mais, comme dirait Boutte, « enculer une mouche ≡ sodomiser une drosophile ».

1.2) Limites.

Lim_x→0+ f(x) = 1 car x ln x → 0− quand x → 0+. Et Lim_x→+∞ f(x) = +∞ . 1.3) Variations.

f’(x) = ( 1 + ln x ).e^xlnx et f’’(x) =

(

x

1 + ( 1 + ln x )²

)

e^xlnx. f est donc strictement convexe.

X 0 1/e 1 +∞ f’(x) − 0 +

f(x)

1 +∞ m 1

f a pour minimum m = f(1/e) = (1/e)^1/e = e^−1/e ≈ 0,69.

1.4) Branche infinie, tangente en 0.

f(x)/x = e^(x−1).lnx _→ +∞ quand x → +∞, donc direction asymptotique Oy.

En 0+, f(x) = 1 + x.ln x + o(x.ln x), donc x x

f( )−1 ∼ ln x → −∞, donc tangente verticale.

1.5) Position par rapport à x.

Comme f’(1) = 1, la courbe y = f(x) est tangente à y = x en A(1, 1), et strictement au-dessus ailleurs par stricte convexité.

2.1) La fonction g(x) = x^xx = e^lnx.ex.lnx est définie et C^∞ sur D = ]0, +∞[.

2.2) Limites.

Lim_x→0+ g(x) = 0 car f(x).ln x →−∞ quand x → 0+. Et Lim_x→+∞ g(x) = +∞ . 2.3) Variations.

g’(x) = x^xx x (^x x

1 + ln x + ln² x ) est du signe de h(x) = x

1 + ln x + ln² x .

L’étude des variations de x

1 + ln x montre qu’elle est > 0 ; a fortiori h(x) > 0, et g est croissante.

2.4) Tangente en 0, branche infinie.

Il est clair que g(x)/x → +∞ avec x : direction asymptotique Oy.

En 0+, g(x) = e^lnx.ex.lnx = e^{lnx.(1+x.lnx+o(x.lnx))} = xe^{x.ln²x+o(x.ln²x)} = x ( 1 + x.ln² x + o(x.ln² x) ), Donc g(x) → 1+ quand x → 0+ : y = g(x) est tangente en O à la première bissectrice..

2.5) Positions relatives.

) (

) (

x f

x

g = e^{lnx.(f(x)−x)} > 1 si x > 1, < 1 si 0 < x < 1.

Les courbes y = f(x) et y = g(x) sont tangentes en A à la première bissectrice.

Remarque : cette étude est le point de départ des exponentielles itérées.

Avec Maple :

> with(plots):f:=x->x^x;g:=x->x^(x^x);

> diff(f(x),x);diff(f(x),x,x);series(f(x),x=0,4);series(f(x),x=1,4);

> diff(g(x),x);h:=x->ln(x)+ln(x)^2+1/x;simplify(x^2*diff(h(x),x)):

k:=x->x-1+2*x*ln(x);diff(k(x),x);

x^{(x )}

x 

 



+ x^x(ln x( ) + 1)ln x( ) x^x

x

> p:=plot(x,x=0..1.6,color=green,thickness=2):

q:=plot(f(x),x=0..1.6,color=blue,thickness=2):

r:=plot(g(x),x=0..1.6,color=red,thickness=2):display({p,q,r});

x^x(ln x( ) + 1) ^{x +}

x(ln x( ) + 1)² x^x x

+ + + +

1 ln x x( ) 1

2ln x( )²x² 1

6ln x( )³x³ O x( ⁴)

+ + + +

1 x − 1 (x − 1)² 1

2(x − 1)³ O (( x − 1)⁴)

:=

h x → ln x( ) + ln x( )² + 1 x

:=

k x → x − + 1 2 xln x( ) 3 + 2ln x( )

Problème 3 : Pour tout α réel, on définit la fonction de variable réelle f_α(x) =

α

_α ) 1 (1

xx ++ _. 1.a) Quel est le domaine de définition commun à toutes les fonctions f_α ?

b) Développement limité de f_α en 0 ? Conséquences ? c) Etudier les variations des fonctions f_α .

d) Déterminer les points d’arrêt, ainsi que les tangentes en ces points.

2) Déduire de l’étude précédente les majorations suivantes :

• Si α ≥ 1, ∀x ≥ 0 1 + αx ≤ ( 1 + x )^α

• Si 0 ≤ α ≤ 1, ∀x ≥ 0 ( 1 + x )^α ≤ 1 + αx

3) Représenter sur un même graphique les graphes C_α des fonctions f_α pour α = −2 , −1 , − ½ , 0 , ½ , 1 , 2.

4) Etudier la concavité des fonctions f_α .

Quel est le lieu des points d’inflexion ? Etude et représentation de ce lieu.

5) Discuter selon la position du point M(x, y) le nombre des C_α qui passent par M.

Construire le régionnement correspondant.

6) Déterminer l’enveloppe y = ϕ(x) des courbes C_α . Etudier les variations, et représenter le graphe de ϕ.

7) Trouver la partie principale de f_1/2(x) − ϕ(x) quand x → 0.

Solution : [ Source : problème posé par J. Tuloup, septembre 1970 ]

Exercice 4 : On considère la fonction f(x) = ( x + 2

1 _).Arctan 1

²²

− xx _. 1) Domaine de définition ?

2) Développement limité de f en 0 à trois termes ? Conséquences ? 3) Etude de f au voisinage de ±∞. Asymptote et position par rapport à elle 4) Etude de f aux voisinages de ± 1 ± 0. Tangentes aux points d’arrêt.

5) Calculer f’(x) et f’’(x). Etudier les zéros de f’’(x), puis le signe de f’(x).

6) Tableau de variations. Graphe.

Solution : [ Source : ENSAE 1981, 3^ème épreuve ]

Avec Maple, on peut expédier ce problème en dix minutes. Du temps où les calculs se faisaient à la main, en 1981, il n’en était pas ainsi.

2. Courbes paramétrées.

Exercice 1 : « Sorcière d’Agnesi » ¹.

Soient C un cercle de diamètre OA, M un point courant de C. La droite (OM) recoupe en N la tangente T en A au cercle. La parallèle à T menée de M et la perpendiculaire à T menée de N se coupent en P. Lieu du point P lorsque M varie. Equation cartésienne. Aire comprise entre la courbe et la tangente en O ?

Solution : Si a est le diamètre du cercle et θ = AOM ∈ ]−π/2, π/2[, P a pour coordonnées, x = a.cos²θ , y = a.tan θ .

C’est une cubique, d’équation : x.y² = a³ – a² x.

C’est une courbe cartésienne si l’on note que x =

²

²

3

y a

a + ^. L’aire demandée est

∫

₋⁺_∞^∞_a²^a₊³_y²^{.dy = a2π.}

Avec Cabri Géomètre :

1 Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), géomètre italienne.

Exercice 2 : cubique de Tschirnhaus ².

1) Etudier et représenter l’arc paramétré x = a (1 – 3t²), y = at (3 – t² ) 2) Aire de la boucle ?

3) Equation implicite ? Equation polaire ( poser t = tan(θ/3) ) ?

4) Trouver l’antipodaire d’une parabole PPPP par rapport à son foyer F (l’antipodaire est l’enveloppe des perpendiculaires à (MF) en M lorsque M décrit PPPP_).

5) Des rayons lumineux parallèles à la directrice éclairent une parabole. Trouver l’enveloppe des rayons réfléchis (caustique par réflexion).

Solution :

1) On suppose a = 1 par homothétie. Les fonctions x et y sont partout définies. x étant paire et y impaire, on se limite à t ≥ 0 puis Sym(x’Ox). Il n’y a pas de point critique et l’étude est sans danger.

> with(plots):

> x:=t->1-3*t^2;y:=t->t*(3-t^2);

[diff(x(t),t),diff(y(t),t)];limit(y(t)/x(t),t=infinity);

:=

x t → 1 − 3 t² :=

y t → t (3 − t²) [−6 t,3 − 3 t²]

∞

> plot([x(t),y(t),t=-2.5..2.5],thickness=2,color=blue,scaling=constrained);

> S:=subs(t^2=solve(X=x(t),t^2),y(t)^2);

:=

S 

 



−1 + 3X 1

3



 



8 + 3

1 3X

2

> f:=x->sqrt((1-x)*(8+x)^2)/(3*sqrt(3));

Df:=factor(simplify(diff(f(x),x)));solve(numer(Df)=0,x);

p:=plot(f(x),x=-18..1,color=red,thickness=2):

q:=plot(-f(x),x=-18..1,color=green,thickness=2):display({p,q});

:=

f x → 1 3

(1 − x () 8 + x)² 3

:=

Df −1 6

3 (8 + x () x + 2)

−(x − 1 () 8 + x)² ,

-2 -8

2Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (Gorlitz, 1651 – Dresden 1708), matheux teuton.

Aire de la boucle, par deux méthodes.

> 1/2*Int(expand(x(t)*diff(y(t),t)-y(t)*diff(x(t),t)),t=-sqrt(3)..sqrt(3));

1/2*int(expand(x(t)*diff(y(t),t)-y(t)*diff(x(t),t)),t=-sqrt(3)..sqrt(3));

1

2⌠ d

⌡



− 3 3

+ + 3 6 t² 3 t⁴ t

72 5 3

> with(student):[2*Int(f(x),x=-8..1),2*int(f(x),x=-8..1), 2*int(sqrt(3)/9*(x+8)*sqrt(1-x),x=-8..1)];

simplify(changevar(x=1-s^2,2*int(sqrt(3)/9*(x+8)*sqrt(1-x),x=-8..1),s));

2 d

⌠

⌡





-8 1

1

9 (1 − x () 8 + x)² 3 x 2 d

⌠

⌡





-8 1

1

9 (1 − x () 8 + x)² 3 x

, ,







 ^{2 d}

⌠

⌡





-8 1

1

9 3 (8 + x) 1 − x x









72 5 3

> series(f(x),x=-infinity);

1 9

3



 



− 1 x

(3 2/ )

5 6

3

− 1 x

11

24 3 − 1 x

17 144 3 

 



− 1 x

(3 2/ )

23 384 3 

 



− 1 x

(5 2/ )

− − + −

29 768 3 

 



− 1 x

(7 2/ )

245 9216 3 

 



− 1 x

(9 2/ )

41 2048 3 

 



− 1 x

(11 2/ ) 

 



O 

 



− 1 x

(13 2/ )

+ − + +

L’antipodaire est une cubique de Tschirnhausen comme le montrent ces calculs :

> with(plots);

> F:=(X-x)*x+(Y-x^2/(2*p))*(x^2/(2*p)-p/2);DF:=diff(F,x);

:=

F (X − x x) + 

 



− Y 1

2 x²

p



 



1 − 2

x² p

1 2p

:=

DF − + − 2 x X +

x

 



1 − 2

x² p

1 2p p



 



− Y 1

2 x²

p x p

> solve({F=0,DF=0},{X,Y});

{X = −1 , } 2

x (−3 p² + x²) p² Y = 3

2 x²

p

> Par:=p->plot(x^2/(2*p),x=-13..13,0..25,color=black,thickness=2):

> Antipod:=p->plot([-1/2*x*(-3*p^2+x^2)/p^2,3/2*x^2/p,x=-35..35], color=red,numpoints=5000,thickness=2):

> display({Par(2),Antipod(2)},scaling=constrained);

Lorsque les rayons lumineux sont parallèles à la directrice, les propriétés tangentielles de la paraboles montrent assez facilement que la caustique et l’antipodaire coïncident.

Remarque : on démontre plus généralement que lorsque les rayons sont parallèles à une direction donnée sauf l’axe, toutes les caustiques par réflexion d’une parabole sont des cubiques de Tschirnhausen. La figure ci-dessous a été trouvée sur internet :

Exercice 3 : Etudier et tracer l’arc paramétré x = t

t t −+

1 ) 1

( , y = ₂

) 1 (2²

t

−t ^.

Solution : [ Oral Centrale 1987 ] Courbe facile, car sans point critique.

1) Tableaux de variations. Changeons de paramètre, et posons s =

−t

11 . Il vient x = 2s – 3 +

s 1 ₌

s s s 1)( 1) 2

( − − , y = 2(s – 1)² . x’(s) = 2 −

² 1

s , y’(s) = 4(s – 1). Posons a = 1 / 2 : S −∞ − a 0 + a 1 +∞

x’(s) + 0 − − 0 + x(s) −∞ −∞

+∞ +∞

Y(s)

+∞ +∞

2 0 Y’(s) − 0 +

Points remarquables M(−a) = (− 3 − 2 2, 3 + 2 2) , M(a) = (− 3 + 2 2, 3 − 2 2).

Ces points sont situés sur la seconde bissectrice.

2) Branches infinies.

y = 2 est asymptote horizontale (s = 0).

Quand s →±∞, y(s) ∼ 2s², x(s) ∼ 2s, donc ) (

) (

s x

s

y _→±∞

; il y a une direction asymptotique verticale.

Plus précisément, y ∼ 2

²

x _{et y −} 2

² x _{= 2s −}

2 9 ₊

s 3 ₋

² 21

s ^. Donc y −

2

²

x ∼ x et y − 2

²

x _{− x = −} 2 3 ₊

s 2 ₋

² 21

s ^. Finalement, y =

2² x _{+ x −}

2

3 est parabole asymptote, et on a la position locale.

3) Point double. Résolvons M(s) = M(t), avec s ≠ t.

y(s) = y(t) ⇔ s − 1 = ± ( t − 1 ) ; comme s ≠ t, s + t = 2. Et x(s) = x(t) implique s.t = 2 1_. s et t sont racines de 2x²− 4x + 1 = 0, donc { s, t } = {

2

2± 2}. Le point double est A = (1, 1).

4) Equation cartésienne.

On note que s = 1

−1

− x

y , donc y.( x – 1 )² = 2.( y – x )² . La courbe est tracée sur une cubique.

Il resterait à savoir si toute la cubique est décrite.

Remarque : pour procéder de manière plus systématique, il faut éliminer s entre les équations : sx = (2s – 1)(s – 1) et y = 2(s – 1)² .

5) Avec Maple :

> with(plots):

> x:=s->2*s-3+1/s;y:=s->2*(s-1)^2;

> Dx:=diff(x(s),s);Dy:=diff(y(s),s);

> series(y(s)-a*x(s)^2-b*x(s)-c,s=infinity);

series(y(s)-1/2*x(s)^2-x(s)+3/2,s=infinity);

+ + − − + + −

(2 − 4 a s) ² (− + 4 12 a − 2 b s) 2 13 a c 3 b 6 a − b s

a s² :=

Dx 2 − 1

s² Dy := 4 s − 4

− 2 1

s 1 2

1 s²

> p1:=plot([x(s),y(s),s=-10..-0.1],x=-10..0,y=-2..10,

color=blue,thickness=2):p2:=plot([x(s),y(s),s=0.1..10],x=-1..6,y=-2..10, color=blue,thickness=2):q:=plot(x^2/2+x-3/2,x=-10..5):

as:=plot(2,x=-10..6,color=black):display({p1,p2,q,as});

Exercice 4 : Etudier et tracer l’arc paramétré x = t t

21

²+ _{, y =}

21 2

tt− _. Solution :

1) Tableaux de variations.

Dom(x) = Dom(y) = R* ; x est impaire. x’(t) =

² 2² 1

t

t − _{, y’(t) =}

3

) 1 ( 2

t

−t _.

T −∞ −1 0 0 +1 +∞ X’(t) + 0 − − 0 +

X(t) −1

−∞ −∞ +∞ +∞ 1

Y(t) 0

−∞ 1

−∞ 0 Y’(t) − + 0 −

2) Point critique. C’est le point M(1) = (1, 1).

OM(1+h) =

[

₁¹

]

^{+ h2}

[

¹₋^/₁²

]

^{+ h3}

[

⁻¹₂^/2

]

^{+ O( h4 ) .}

Entiers caractéristiques : (2, 3) ; tangente : 2

−−1 x

y = − 2 ; rebroussement de 1^ère espèce.

Remarque : On peut séparer les deux branches, en notant que h²∼ 2(x – 1) , h ∼ ± 2 x−1 Puis : y − 1 ∼− h²∼− 2(x – 1) , y – 1 + 2(x – 1) ∼ h³∼± 2 2(x – 1)^3/2.

Finalement : y = 1 − 2(x – 1) ± 2 2(x – 1)^3/2 + o((x – 1)^3/2) 3) Branches infinies.

• Asymptote horizontale y = 0 , t → ±∞. Plus précisément, x ∼

2t _{, y} ∼ t 2 ∼

x 1_.

• Quand t → 0, x ∼ t

21 _{, y} ∼−1² t ^, x

y ∼−2t _→±∞ : directions asymptotiques Oy.

Plus précisément, y ∼− 4x² , y + 4x²∼ t

2 ∼ 4x , y + 4x²− 4x = 2 – 2t + t²→ 2.

Parabole asymptote y = − 4x² + 4x + 2.

4) Les tableaux de variations et le théorème d’inversion des fonctions monotones montrent que la courbe est réunion de 4 graphes de fonctions implicites x → f_i(x), 1 ≤ i ≤ 4.

[ Implicites, et même explicites, car t peut se calculer en fonction de x : t = x ± x²−1.]

5) Points d’inflexions.

det(dMdt _,

²

² dtM

d ) = x’y’’ – y’x’’ = ₆

3 3² 1

2 t

t t − +

= 0 pour t = − ½ ou 1.

Le point M(1) a déjà été étudié.

Le point I = M(−½) = (−5/4, −8) est une inflexion géométrique : entiers caractéristiques (1, 3).

OM(−1/2+h) =

[

⁻₋⁵₈^/4

]

^{+ h}

[

⁻₋³₂₄^/2

]

^{+ h2}

[

₋⁻₆₄⁴

]

^{+ h3}

[

₋₁₆₀⁻⁸

]

^{+ O( h4 ) .}

6) Avec Maple :

> x:=t->(t^2+1)/(2*t);y:=t->(2*t-1)/t^2;

> p:=plot([x(t),y(t),t=-9..9],x=-5..5,y=-6..3.5,thickness=2,color=blue, numpoints=1000):q:=plot(-4*x^2+4*x+2,x=-5..5,numpoints=500):

tg:=plot(3-2*x,x=1..2,color=black):display({p,q,tg});

Exercice 5 : Etudier et tracer l’arc paramétré x = ₃ 1

² t

−t ^{, y =} 1 ²

² t

−t ^.

Solution : Bel exemple de rebroussement de seconde espèce.

1) Tableaux de variations.

Dom(x) = R – {1}, Dom(y) = R – {±1}; y est paire.

Les calculs de limites sont faciles. En ±∞, x(t) ∼− t

1 _{, y(t)} ∼−1.

x’(t) = )² 1 (

) 2 (

3 3

t t t

−+

, y’(t) = )² 1 (

2 t2

−t . Soit a = − 2^1/3 .

t −∞ a −1 0 1 +∞ x’(t) + 0 − 0 + +

x(t) α +∞ 0+ ½ 0

0+

−∞

y(t) −1 β

−∞

+∞ +∞ 0

−1

−∞

y’(t) − − 0 + + Point remarquable : M(a) = (α, β) ≈ (0,53 , −2,7)

2) Point critique (ou stationnaire). Le seul point critique est O = M(0).

Faisons un développement limité vectoriel en 0 à un ordre suffisant, ici à l’ordre 4.

OM (t) = t²

[

₁¹

]

^{+ t4}

[

₁⁰

]

^{+ O(t5) .}

Les entiers caractéristiques sont 2 et 4. Le vecteur tangent en O est (1, 1), et il y a un rebroussement de seconde espèce.

Les deux branches se rejoignent en O ; elles se définissent comme composées de bijections.

• t ∈ ]−1, 0] → x(t) ∈ [0, ½ [ , t ∈ ]−1, 0] → y(t) ∈ [0, +∞[ , d’où ϕ : x ∈ [0, ½ [ → y ∈ [0, +∞[.

• t ∈ [0, +1[ → x(t) ∈ [0, +∞[ , t ∈ [0, +1[ → y(t) ∈ [0, +∞[ , d’où ψ : x ∈ [0, +∞[ → y ∈ [0, +∞[.

On peut les séparer : y ∼ t²∼ x , y − x ∼ t⁴∼ x² , y − x − x²∼− t⁵∼± x^5/2 . Donc y = x + x²± x^5/2 + o(x^5/2).

Plus précisément, ϕ(x) = x + x² + x^5/2 + o(x^5/2), ψ(x) = x + x²− x^5/2 + o(x^5/2).

Ainsi, les deux branches sont séparées localement par la parabole y = x + x² .

Si l’on veut étudier la position globale par rapport à cette parabole, il suffirait d’étudier le signe de : y(t) – x(t) – x(t)².

3) Branches infinies.

Quand t → −1 , x → ½ , y → ±∞ , asymptote verticale x = ½.

Quand t → 1, t = 1 + h , x = − h 31 ₋

3 1 ₊

9

h + o(h) , y = − h 21 ₋

4 3 ₋

8

h _{+ o(h).}

x y ∼

2 3_{, y −}

2 3_{x = −}

4 1 ₋

24

7h + o(h). Asymptote oblique y = 2 3_{x −}

4 1_. 4) Point d’arrêt. Le point A(0, −1) est obtenu en faisant tendre t vers ±∞. Comme

x y 1+ ∼

t

1 _→ 0, il y a tangente horizontale en A.

5) Equation cartésienne.

La courbe est tracée sur une quartique. On a t = 1 + y 1 ₋

x

1_{, donc x}² y ( y + 1 ) = ( xy + x – y )². 6) Avec Maple :

> with(plots):x:=t->t^2/(1-t^3);y:=t->t^2/(1-t^2);

> dx:=simplify(diff(x(t),t));dy:=simplify(diff(y(t),t));

:=

x t → t² −

1 t³ y := t → t² − 1 t²

:=

dx t (2 + t³) (− + 1 t³)²

:=

dy 2 t

(− + 1 t²)²

> a:=-2^(1/3):evalf(x(a));evalf(y(a));

.5291336839 -2.702414384

> limit(x(t),t=infinity);limit(y(t),t=infinity);

0 -1

> limit(x(t),t=-infinity);limit(y(t),t=-infinity);

0 -1

> limit((y(t)+1)/x(t),t=infinity);limit((y(t)+1)/x(t),t=-infinity);

0 0

> series(x(t),t=0,6);series(y(t),t=0,6);

+ + t² t⁵ O t( ⁸)

+ + t² t⁴ O t( ⁶)

> series(y(t)-x(t),t=0,6);series(y(t)-x(t)-x(t)^2,t=0,6);

− + t⁴ t⁵ O t( ⁶)

− + t⁵ O t( ⁶)

> limit(y(t)/x(t),t=1);limit(y(t)-3/2*x(t),t=1);

series(y(t)-3/2*x(t),t=1,4);

> p1:=plot([x(t),y(t),t=-15..-1.1],x=-5..5,y=-5..5,thickness=2,color=blue):

p2:=plot([x(t),y(t),t=-0.9..0.9],x=-5..5,y=-5..5,thickness=2,color=blue):

p3:=plot([x(t),y(t),t=1.1..15],x=-5..5,y=-5..5,thickness=2,color=blue):

q:=plot(x+x^2,x=-4..4,color=red):

av:=plot([1/2,y,y=-5..5],color=black,thickness=2):

as:=plot(3/2*x-1/4,x=-4..4,color=black,thickness=2):

tg:=plot(x,x=-1..1,color=black):display({p1,p2,p3,q,av,as,tg});

3 2

-1

4 − − 1 + +

4 7

24(t − 1) 1

16(t − 1)² O (( t − 1)³)

Exercice 6 : Etudier et tracer l’arc paramétré x(t) =

) 1 )(

2 (

² +

− t t

t _{, y(t) =} 16

3 1

) 2

²(++ t

t

t .

Solution : 1) Variations.

Dom x = R − {−1, 2}, Dom y = R − {−1}, x’(t) =

)² 1 )²(

2 (

) 4 ( +

−− + t t

t

t , y’(t) = 163

)² 1 (

) 4 5

² 2 ( ++ +

t t t

t .

Les variations s’en déduisent.

2) Branches infinies.

Il y a trois asymptotes, une horizontale y = 1, une verticale x = 1 et une oblique y = − 169 _{x +} 8 1_. En effet,

x y _{→ −}

169 , puis y +

169 _{x →} 8

1 quand t → −1.

Mais on peut aussi combiner les développements de x et y au V(−1), cf. ci-dessous.

3) Point critique O = M(0). Un développement limité vectoriel donne : OM (t) =

8²

t

[

⁻₃⁴

]

− 16

t3

[

⁻₃⁴

]

⁺

16 3t⁴

[

⁻₁²

]

^{+ O(t5) .}

Les 2 premiers vecteurs dérivés non nuls étant liés, les entiers caractéristiques sont p = 2 et q = 4.

Il y a rebroussement de seconde espèce. La courbe est tangente à 3x + 4y = 0, localement au-dessous.

Remarque : On peut néanmoins séparer les deux becs par une étude plus poussée.

En effet, chacune des branches est de la forme y = y(x), y étant fonction de x par l’intermédiaire de la variable t. L’une est une bijection continue décroissante x ∈ ]−∞, 0] → y(x) ∈ [0, +∞[, l’autre une bijection continue décroissante x ∈ ]−∞, 0] → y(x) ∈ [0, 1[. On trouve successivement

y ∼ − 4

3x , y + 4 3_x ∼ −

8

3_x² _{, y +} 4 3_{x +}

8

3_x² _{, y +} 4 3_x ∼ ±

643 _(−2x)^5/2 _. Ainsi, la parabole y = −

4 3_{x −}

8

3_x² sépare localement les deux becs.

4) Equation cartésienne.

Si l’on élimine t entre x et y au moyen du résultant, on obtient une équation du 5^ème degré, comme le montre Maple.

> with(plots):x:=t->t^2/((t-2)*(t+1));y:=t->3/16*t^2*(t+2)/(t+1);

> simplify(diff(x(t),t));simplify(diff(y(t),t));

> series(x(-1+h),h=0,3);series(y(-1+h),h=0,3);

> series(y(-1+h)+9/16*x(-1+h),h=0,2);

> series(x(t),t=0,5);series(y(t),t=0,5);

> p:=plot([x(t),y(t),t=-6..-1.1],x=-5..5,y=-5..5,thickness=2):

q:=plot([x(t),y(t),t=-0.9..1.95],x=-5..5,y=-5..5,thickness=2):

r:=plot([x(t),y(t),t=2.1..6],x=-5..5,y=-5..5,thickness=2):

> ah:=plot(1,-5..5,color=black):av:=plot([1,t,t=-5..5],color=black):

a:=plot(-9/16*x+1/8,x=-5..5,color=black):

> pa:=plot(-3/4*x-3/8*x^2,x=-2..1,color=blue):display({p,q,r,ah,av,a,pa});

− t (t + 4) (t − 2)²(t + 1)²

3 16

t (2 t² + + 5 t 4) (t + 1)²

− 1 + − + 3h^-1 5

9 4

27h O h( ²) 3 − − +

16h^-1 3 16

3

16h O h( ²) 1 − + 8

13

48h O h( ²)

− 1 + − + 2t² 1

4t³ 3

8t⁴ O t( )⁵ 3 − + + 8t² 3

16t³ 3

16t⁴ O t( )⁵

> d1:=series(y(t)+3/4*x(t),t=0,5);

> d2:=series(y(t)+3/4*x(t)+3/8*x(t)^2,t=0,6);

> P:=x*(t-2)*(t-1)-t^2;Q:=16*(t+1)*y-3*t^2*(t+2);

> resultant(P,Q,t);

432 x³ − 1968 x³y − 576 x²y + 1536 y²x³ − 3328 y²x² + 2048 y²x − 144 x² + 384 y x 256 y²

−

Exercice 7 : Etudier et tracer la courbe x(t) = cos(2t), y(t) = cos(3t). Aire de la boucle.

Solution : 1) Cette courbe est une courbe de Lissajous (1857) ou de Bowditch (1815).

On nomme ainsi les courbes x = a sin t , y = b sin(nt + ϕ) , où n est un réel ≥ 1, ϕ∈ [0, π/2].

Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [−a, a]

×[−b , b].

Si n est rationnel n = p/q (1 ≤ p ≤ q), il est plus agréable de prendre comme paramétrisation :

x = a sin pt , y = b sin(qt + ψ) , où ψ ∈ [0, p 2π _]. 2) La période commune de x et y est 2π.

Les études de variations sont laissées au lecteur.

3) De cos(6t) = 2 cos²(3t) – 1 = 4 cos²(2t) – 3 cos(2t) on déduit que 2y² = ( x + 1 )( 2x – 1 )² ,

donc y = ± ( 2x – 1 ) 2 +1 x _. :=

d1 − 3 +

32t⁴ O t( )⁵ d2 := − 3 + 64t⁵ O t( )⁶

:=

P x (t − 2 () t − 1) − t² Q := 16 (t + 1 y) − 3 t²(t + 2)

La courbe est un morceau de cubique.

4) L’aire de la boucle est A = 5 6 _3.

On peut l’obtenir via A = 2 x x .dx 21 ) 2 1 (

2 / 1

∫

₋1 ^{− +} , ou bien via A = 2

1

∫

_γ^{(x.dy−y.dx).}

> with(plots):

> p:=plot([cos(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi],thickness=2):

q:=plot([-1,1],t=-1..1,color=black):r:=plot([1,t,t=-1..1],color=black):

s:=plot([-1,t,t=-1..1],color=black):f:=x->(2*x-1)*sqrt((x+1)/2):

h:=plot([f(x),-f(x)],x=1..1.6,color=blue):display({p,q,r,s,h});

Exercice 8 : Etudier et tracer la courbe x(t) = 4 cos² t ( cos t + cos 2t ), y(t) = 4 sin² t ( sin t + sin 2t ).

Solution : Laissons l’étude au lecteur courageux, et faisons confiance à Maple.

Il semble que cette courbe hérissée de piquants soit la développée d’une jolie courbe.

> with(plots):

> x:=t->4*cos(t)^2*(cos(t)+cos(2*t));

y:=t->4*sin(t)^2*(sin(t)+sin(2*t));

> plot([x(t),y(t),t=-Pi..Pi], thickness=2,color=blue);

3. Courbes en polaires.

Exercice 1 : 1) Etudier et représenter la courbe Γ d’équation r = a.( 1 + cos θ ) ( a > 0 ).

2) Aire délimitée par Γ ?

3) Rectifier Γ. Longueur totale ? Rayon de courbure en un point. Montrer que la développée est une courbe semblable.

4) Lieu des milieux des cordes de Γ vues de O sous un angle droit ?

5) On fait tourner Γ autour de Ox. Equations paramétriques de la surface obtenue ? Représenter cette surface. Aire de cette surface et volume délimité ?

Solution : Il s’agit de la célèbre cardioïde chère à Boris Vian.

> with(plots):

> r:=theta->1+cos(theta);p:=polarplot(cos(theta),theta=-Pi..Pi,color=red):

q:=polarplot(r(theta),theta=-Pi..Pi,color=blue,thickness=2):

display({p,q});

> Aire:=int(1/2*r(theta)^2,theta=-Pi..Pi);

:=

Aire 3 2π

> s:=t->int(sqrt(diff(r(theta),theta)^2+r(theta)^2),theta=0..t);

simplify(s(t));s(Pi)-s(-Pi);

4 

 



sin 1

2t 

 



csgn 

 



cos 1 2t 8

> x:=(theta,phi)->r(theta)*cos(phi)*sin(theta);

y:=(theta,phi)->r(theta)*sin(phi)*sin(theta);

z:=(theta,phi)->-r(theta)*cos(theta);

> plot3d([x(theta,phi),y(theta,phi),z(theta,phi)],theta=-Pi..Pi, phi=0..2*Pi);

2) L’aire délimitée est A =

∫∫

_K^{dxdy =}

∫∫

_K^rdrd

^θ

⁼

∫ ∫

₋⁺_π^π(₀^{a(1+cosθ)rdr) =}

∫

₋⁺_π^πa₂^²(1+cos

^θ

^)².d

^θ

^{= 3 aπ}₂ ^{² .}

3) ds² = dr² + r² dθ² , d’où ds = 4a.sin

θ2_{.dθ pour | θ | ≤π}, et finalement L = 8a.

4) Passons en complexes. Le point courant de la cardioïde a pour affixe : Z(θ) = a ( 1 + cos θ ).e^iθ = .(2 1)

2

2 +

+ ^θ

θ i

i e

a e _.

D’où : Z =

21 [ Z(θ) + Z(θ +

π2_{) ] =} 2 a ₊

2

a 2 e^i(θ+π/4) .

Ce point décrit le cercle de centre 2

a et de rayon 2 a 2. 5) L’aire de la surface est A =

5

²

32 a

π

, le volume délimité est V = 3 8

π

a³

.

En effet : V =

∫∫∫

_K^{dxdydz =}

∫∫∫

_K

^ρ

^²sin

^θ

^.d

^ρ

^d

^θ

^d

^ϕ

^{= 2π}

∫

₀^{π (}

∫

₀^a(1+cosθ)

^ρ

^2.d

^ρ

^).sin

^θ

^.d

^θ

= 2π

∫

₀^πa₃³⁽¹+^cos

θ

^)3.sin

θ

^.d

θ

^{= … = 8}

^π

₃^{a3 .} Exercice 2 : 1) Etudier la courbe d’équation polaire r = f(θ) =

1 cos 2

) 2 cos(θθ− _.

2) a) Etudier le signe de g(θ) = f(θ + π) + f(θ) sur [ 0, π4_]. b) En déduire la position relative de chacune des deux boucles.

3) Tracer la courbe manuellement, puis avec Maple.

4) Exprimer sous forme intégrale l’aire de chacune des 2 boucles ; achever le calcul avec Maple.

Solution :

1) a) Domaine d’étude. Domaine de définition D = R – { ±

π

3 + 2kπ ; k ∈ Z }.

f est 2π-périodique paire : étude sur [0,

π

3_{[ ∪ ]}

π

3_{, π]} + symétrie Ox.

b) Signe de f. Son étude se déduit aisément des signes du numérateur et du dénominateur.

c) Variations de f.

Quoique non indispensable, cette étude précise le tracé, notamment la forme des boules.

f’(θ) = − 2 sin θ.

)² 1 cos 2 (

1 cos 2

² cos

2 − − +

θ θ

θ < 0 sur ]0, π[ , f’(0) = f’(π) = 0.

d) Branche infinie θ =

π

3_.

L’ordonnée de M dans le repère radial est donnée par : Y = f(θ).sin( θ−

π

3 _{) = f(}

π

3 + h).sin h = 6

3 ₊

1211_{.h + O(h}²_).

> series(f(theta)*sin(theta-Pi/3),theta=Pi/3,3);

+ +

1

6 3 11 12



 



−

θ 1

3π 

 



O 

 



−

θ 1

3π

2

Ce développement limité donne l’asymptote et la position locale de la courbe.

2) Position relative des deux boucles.

M(θ)M(θ+π) = OM(θ+π) − ^OM(θ) = f(θ + π).u(θ+π) − f(θ).^u(θ) ^{= − g(θ).u(}θ^). Or on voit facilement que g(θ) = f(θ + π) + f(θ) =

1

² cos 4

) 2 cos(

2 θθ− < 0 pour θ ∈ [ 0, π4

]

. Cela montre que la petite boucle est « incluse » dans la grande boucle.

3) Tracé de la courbe, avec Maple.

> as1:=plot(sqrt(3)/3+x*sqrt(3),x=-3..3,color=black):

θ 0 π/4 π/3 3π/4 π f’(θ) 0 − − 0

f(θ) 1 0

− ∞ +∞

0

− 1/3

as2:=plot(-sqrt(3)/3-x*sqrt(3),x=-3..3,color=black):

> tan1:=plot(x,x=-0.5..0.5,color=blue):

tan2:=plot(-x,x=-0.5..0.5,color=blue):

> g:=plot(f(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar,view=[-3..3,-3..3], thickness=2):display({as1,as2,tan1,tan2,g},scaling=constrained);

4) Aires des deux boucles.

La formule donnant l’aire balayée par le rayon vecteur entre deux valeurs de θ est S =

2

1

∫

_α^βr²(

θ

^).d

θ

^. Cette formule se déduit aussitôt de S =

∫∫

_D^{dxdy =}

∫∫

_Λ^rdrd

^θ

^.

Ici les aires valent resp. A = 2

1 ^π

θ θ θ

∫

₋π^/4_/4(2^cos_cos^²(2₋₁⁾_)²^{.d et B = 1}₂

∫

₃⁵_π^π_/^/₄⁴₍₂^cos_cos^²(

_θ

²₋

^θ

₁⁾_)²^.d

^θ

^.

Hélas, les règles de Bioche ne donnent rien, et le changement de variable t = tan(θ/2) conduit à décomposer en éléments simples une fraction rationnelle de degré élevé. Maple confirme :

> int(1/2*f(theta)^2,theta);

A:=simplify(int(1/2*f(theta)^2,theta=-Pi/4..Pi/4));

B:=simplify(int(1/2*f(theta)^2,theta=3*Pi/4..5*Pi/4));

evalf(A);evalf(B);

.4828615190 .04618706675 5) Equation cartésienne.

Pour finir, notons que la courbe est algébrique. En effet : r = 22.coscos² 11

−−

θ θ

s’écrit 2x – r = 2.cos²θ− 1 , 2.x r² – r³ = 2 r² cos²θ − r² , ou encore 2x.(x² + y²) – r.(x² + y²) = x²− y² , ou encore r.(x² + y²) = 2x.(x² + y²) − x² + y² .

( x² + y² )⁴ = [ 2x.(x² + y²) − x² + y²] ² .

Courbe du huitième degré, à étudier en écoutant l’octuor de Mendelssohn.

11

36 3 

 



arctanh 

 



tan 1

2θ 3 1

4



 



arctan 

 



tan 1 2θ

1 2



 



tan 1 2θ

 +

 



tan 1 2θ

2

1 1 6



 



tan 1 2θ

−

3 

 



tan 1 2θ

2

1

− + + −



 



tan 1 2θ



 



 +

 



tan 1 2θ

2

1 + 2