Chapitre 7
Courbes paramétrées
Objectifs
– Définition d’une courbe paramétrée et du vocabulaire qui s’y rattache. Lien avec la cinématique.
– Plan d’étude d’une courbe paramétrée. Étude locale au voisinage d’un point. Étude des branches infinies.
– Définition et étude des courbes polaires.
– Étude des coniques.
Plan
6 Courbes paramétrées 79
I) Généralités . . . 80
1) Fonctions vectorielles . . . 80
2) Définition d’une courbe paramétrée . . . 81
II) Étude locale en un point . . . 81
1) Tangente en un point . . . 81
2) Branches infinies . . . 82
III) Courbes paramétrées en polaires . . . 82
1) Généralités . . . 82
2) Cas particulier . . . 83
3) Plan d’étude d’une courbe polaire . . . 83
IV) Les coniques . . . 83
1) Définition monofocale . . . 83
2) Le cas de la parabole . . . 84
3) Le cas de l’ellipse . . . 84
4) Le cas de l’hyperbole . . . 86
5) Définition bifocale . . . 87
6) Définition algébrique . . . 89
V) Exercices . . . 90
P désigne un plan affine muni d’un repère [éventuellement orthonormé direct] R = (O,−→ı ,−→ ), on note
−→
P ={a−→ı +b−→ / a, b∈R}l’ensemble des vecteurs du plan. Dans tout le chapitreIdésigne un intervalle deR (non vide et non réduit à un point).
I) Généralités
1) Fonctions vectorielles
NDéfinition 7.1
Une fonction vectorielle est une fonction−→
f : I → −→ P t 7→ −→
f (t) . Pour
t ∈ R on note (x(t), y(t))les coordonnées de −→
f (t) dans la base (−→ı ,−→ ), on a donc−→
f (t) =x(t)−→ı +y(t)−→ . On remarquera quex ety sont deux fonctions deIdansR.
O x(t)
y(t)
−
→f (t)
−
→ı
−
→
Le repère étant choisi, se donner une fonction vectorielle revient à se donner deux fonctions réelles.
NDéfinition 7.2 Soit−→
f :I →−→
P une fonction vectorielle, soit −→
` ∈−→ P et soit t0 un élément deI (ou une borne de I), on dit que −→
f admet pour limite le vecteur−→
` ent0 lorsque lim
t→t0k−→ f (t)−−→
` k= 0.
Notation: lim
t→t0
−
→f (t) =−→
` ou−→ f (t) −→
t→t0
−
→` .
−
→f (t) y(t)
a x(t)
−
→`
−
→f (t)−−→
`
O
−
→ b
−
→ı
I théorème7.1
Si −→
f (t) =x(t)−→ı +y(t)−→ et si −→
` =a−→ı +b−→ alors : lim
t→t0
−
→f (t) =−→
` ⇐⇒
x(t) −→
t→t0
a y(t)−→
t→t0
b .
NDéfinition 7.3 Soit −→
f : I → −→
P une fonction vectorielle et t0 un élément de I, on dit que −→
f est continue en t0 lorsque
tlim→t0
−
→f (t) =−→ f (t0).
Si −→
f (t) =x(t)−→ı +y(t)−→ alors il découle du théorème précédent que −→
f est continue en t0 ssi les fonctionsx ety sont continues en t0.
NDéfinition 7.4 Soit−→
f :I→−→
P une fonction vectorielle ett0 un élément deI, on dit que−→
f est dérivable ent0 lorsqu’il existe un vecteur−→
` tel que lim
t→t0
1 t−t0
[−→ f (t)−−→
f (t0)] =−→
` , auquel cas on écrit−→
f 0(t0) =−→
` .
Si −→
f (t) =x(t)−→ı +y(t)−→ alors il découle du théorème précédent que −→
f est dérivable ent0 ssi les fonctionsx ety sont dérivables ent0 auquel cas on a −→
f 0(t0) =x0(t0)−→ı +y0(t0)−→ .
Étude locale en un point 81
I théorème7.2 Soient −→
f et−→g deux fonctions vectorielles dérivables surI, on a : – [−→
f · −→g ]0 =−→
f 0· −→g +−→ f · −→g 0. – [det(−→
f ,−→g )]0= det(−→
f 0,−→g ) + det(−→ f ,−→g 0).
– Si −→
f ne s’annule pas,k−→ f k0=
−
→f 0·−→ f k−→
f k .
NDéfinition 7.5
Une fonction vectorielle−→
f :I →−→
P est dite de classeCk sur l’intervalle I lorsqu’elle estk fois dérivable surI et que sa dérivéek-ième (notée−→
f (k)) est continue surI.
Si−→
f (t) =x(t)−→ı +y(t)−→ alors la fonction−→
f est de classeCk sur I ssi les fonctionsxety sont elles-mêmes de classeCk sur I, si c’est le cas, alors on a −→
f (k)(t) =x(k)(t)−→ı +y(k)(t)−→ .
2) Définition d’une courbe paramétrée
NDéfinition 7.6
Une courbe paramétrée (ou arc paramétré)C, de classe Ck est la donnée d’un tripletC = (I,−→
f ,Γ), oùI est un intervalle deR, −→
f une fonction vectorielle de classeCk surI, etΓ ={M(t)/ t∈Iet −→
f (t) =−−−−−→
OM(t)}. Le couple(I,−→
f )est appeléparamétragede la courbe, etΓest appelé lesupportde la courbe [ou ensemble des points de la courbe].
Interprétation cinématique: – La courbe C= (I,−→
f ,Γ)est appeléemouvement, et le supportΓest appelétrajectoire.
– Le vecteur −→
f (t) =−−−−−→
OM(t) =x(t)−→ı +y(t)−→ est appelévecteur position.
– Le vecteur−→
f 0(t) = d(−−−−−→
OM(t) )
dt =x0(t)−→ı +y0(t)−→ =−→v (t)est appelévecteur vitesse. Lorsque−→v (t)6= 0, on dit que le point M(t)est régulier, sinon on dit qu’il eststationnaire. Lorsque tous les points sont réguliers, on dit que la courbeC est régulière.
– Le vecteur −→
f 00(t) =d2(−−−−−→
OM(t) )
dt2 =x00(t)−→ı +y00(t)−→ =−→a (t)est appelé vecteur accélération. Lorsque
−
→v (t) et −→a (t) sont non colinéaires, (i.e.det(−→v (t),−→a (t))6= 0), on dit que le pointM(t)est birégulier.
Lorsque tous les points sont biréguliers, on dit que la courbeC est birégulière.
II) Étude locale en un point
1) Tangente en un point
Soit C = (I,−→
f ,Γ) une courbe de classe Cn (n >1), soitM(t0) un point régulier et soit h∈ R∗ tel que t0 +h ∈ I, alors le vecteur 1
h
−−−−−−−−−−−−→
M(t0)M(t0+h) = x(t0+h)−x(t0) h
−
→ı + y(t0+h)−y(t0) h
−
→ est un vecteur directeur de la droite(M(t0)M(t0+h)), donc lorsquehtend vers0, cette droite « tend » vers la droite qui passe parM(t0)et dirigée par le vecteur −→
f 0(t0).
NDéfinition 7.7
Si M(t0) est un point régulier, la droite qui passe par M(t0) et dirigée par −→
f 0(t0) [le vecteur vitesse] est appeléetangente à la courbe au pointM(t0).
En un point stationnaireM(t0), si le quotient y(t)−y(t0)
x(t)−x(t0) admet une limite ent0, alors celle-ci est le coefficient directeur de la tangente au pointM(t0). Cela revient aussi à étudier la limite ent0du rapport y0(t)
x0(t) [si celui-ci existe].
2) Branches infinies
NDéfinition 7.8
Soitt0 un élément deIou une borne deI, on dit que la courbeC= (I,−→
f ,Γ)admet une branche infinie ent0 lorsque lim
t→t0x(t) =∞ou lim
t→t0y(t) =∞. Étude des branches infinies :
– Si lim
t→t0
x(t) =∞et lim
t→t0
y(t) =y0, alors on dit qu’il y a une asymptote horizontale d’équationy=y0. – Si lim
t→t0x(t) =x0 et lim
t→t0y(t) =∞, alors on dit qu’il y a une asymptote verticale d’équationx=x0. – Si lim
t→t0x(t) =∞et lim
t→t0y(t) =∞, alors on étudie la limite ent0du rapport y(t) x(t) : – Si lim
t→t0
y(t)
x(t)= 0, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axeOx.
– Si lim
t→t0
y(t)
x(t)=∞, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axeOy.
– Si lim
t→t0
y(t)
x(t)=a∈R∗, alors on étudie la limite dey(t)−ax(t)ent0 : – Si lim
t→t0y(t)−ax(t) =b, alors on dit qu’il y a une asymptote d’équationy=ax+b.
– Si lim
t→t0
y(t)−ax(t) =∞, alors on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction asymptotique y=ax.
Dans la suite du chapitre,R= (O,−→ı ,−→ )désigne un repère orthonormé direct.
III) Courbes paramétrées en polaires
1) Généralités
Une courbe paramétrée de P peut être représentée par des coordonnées polaires (ρ(t), θ(t))en fonction du paramètre réelt. Dans ce cas la fonction vectorielle correspondante est :
−−−−−→
OM(t) =−→
f (t) =ρ(t)−→u(θ(t))ou−→u(θ(t)) = cos(θ(t))−→ı + sin(θ(t))−→
ce qui équivaut au paramétrage cartésien :
x(t) = ρ(t) cos(θ(t)) y(t) = ρ(t) sin(θ(t))
.
M(t)
−−−−−→
OM(t) =ρ(t)−→uθ(t)
− θ(t)
→ −→uθ(t)
(C)
−
→ı
Le vecteur vitesse: On a −→v (θ) =−→u (θ+π2) =−sin(θ)−→ı + cos(θ)−→ , les fonctions vectoriellesθ7→ −→u(θ)et θ7→ −→v (θ)sont donc dérivables et on a :
d−→u
dθ =−→v (θ)et d−→v
dθ =−−→u(θ).
On en déduit que si les fonctionst7→ρ(t)et t7→θ(t)sont dérivables surI alors la fonctiont7→−→ f (t)l’est
aussi et on a : −→
f 0(t) =ρ0(t)−→u(θ(t)) +ρ(t)θ0(t)−→v (θ(t)).
Les coniques 83
Le vecteur accélération: Si les fonctionst7→ρ(t)ett7→θ(t)sont deux fois dérivables surIalors la fonction t7→−→
f (t)l’est aussi et on a :
−
→f 00(t) =[
ρ00(t)−ρ(t)θ0(t)2]−→u(θ(t)) + [2ρ0(t)θ0(t) +ρ(t)θ00(t)]−→v (θ(t)).
2) Cas particulier
Le cas particulier le plus simple est celui où θ(t) =t, autrement dit le paramètre est l’angle polaireθ.
NDéfinition 7.9
La courbe polaire d’équationr=ρ(θ)oùρ:I→Rest une fonction de classeCk, k>1, est la courbe paramétrée par :−−−−−→
OM(θ) =−→
f (θ) =ρ(θ)−→u(θ), c’est à dire
x(θ) = ρ(θ) cos(θ) y(θ) = ρ(θ) sin(θ)
.
Propriétés: si la fonctionρest de classeC2 alors : – Le vecteur vitesse au pointM(θ)est−→
f 0(θ) =ρ0(θ)−→u (θ) +ρ(θ)−→v (θ)et le vecteur accélération est−→ f 00(t) = [ρ00(θ)−ρ(θ)]−→u(θ) + 2ρ0(θ)−→v (θ).
– M(θ) est un point régulier ⇐⇒ (ρ0(θ), ρ(θ)) 6= (0,0), on en déduit que tous les points de la courbe distincts de O sont despoints réguliers.
– M(θ)est birégulier ⇐⇒ 2ρ0(θ)2+ρ(θ)2−ρ(θ)ρ00(t)6= 0 (c’est le déterminant entre les vecteurs vitesse et accélération dans la base (−→u (θ),−→v (θ)).
3) Plan d’étude d’une courbe polaire
– Restriction du domaine d’étude :
– Si ρ(θ) = ρ(−θ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à l’axe Ox, on peut restreindre l’étude à t>0.
– Si ρ(−θ) =−ρ(θ): alors la courbe présente une symétrie par rapport à l’axe Oy, on peut restreindre l’étude à t>0.
– Si ρ(2α−θ) = ρ(θ): alors la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d’équation polaire θ=α, on peut restreindre l’étude àθ>α.
– Si ρ(2α−θ) =−ρ(θ): alors la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d’équation polaire θ=α+π/2, on peut restreindre l’étude àθ>α.
– Siρ(T+θ) =ρ(θ): (T est une période deρ), alors le pointM(T+θ)se déduit deM(θ)par la rotation de centre Oet d’angleT, on peut restreindre l’étude à un intervalle de longueurT.
– Si ρ(T +θ) =−ρ(θ): (T est une anti-période deρ), alors le pointM(T+θ)se déduit deM(θ)par la rotation de centreO et d’angleT+π, on peut restreindre l’étude à un intervalle de longueurT. – On étudie ensuite les variations de la fonctionρ.
– Classification des points :
– Si M(θ0)6= O : alors le point M(θ0) est régulier, donc la tangente est portée par le vecteur vitesse :
−
→f 0(θ0) =ρ0(θ0)−→u(θ0) +ρ(θ0)−→v (θ0). L’équation de cette tangente dans le repère(M(θ0),−→u(θ0),−→v (θ0)) est :ρ(θ0)X−ρ0(θ0)Y = 0, son coefficient directeur est ρ(θ0)
ρ0(θ0) lorsqueρ0(θ0)6= 0.
– Si M(θ0) =O alors lim
θ→θ0
1 ρ(θ)
−−−−−→
OM(θ) =−→u (θ0), donc latangente est dirigée par le vecteur−→u(θ0), – Recherche des points doubles :
M(θ) =M(θ0) ⇐⇒
θ = θ0+ 2kπ ρ(θ) = ρ(θ0)
ou
θ = θ0+ (2k+ 1)π ρ(θ) = −ρ(θ0)
.
IV) Les coniques
1) Définition monofocale
NDéfinition 7.10
SoitF un point du plan,D une droite affine ne passant pas par F et soit e un réel strictement positif. On a appelle conique de foyer F, de directrice D et d’excentricitée l’ensemble C = {M ∈ P / M F = ed(M,D)}. Lorsque :
– e= 1 : la courbeC est appelée parabole.
– e <1 : la courbeC est appelée ellipse.
– e >1 : la courbeC est appelée hyperbole.
On choisit un repèreR= (F,−→ı ,−→ )de tel sorte queDadmette comme équation dans ce repèrex=−doù
d= d(F,D):
D
H M
−
→ t
−
→ı
−d F
.
Une équation cartésienne dans le repère (F,−→ı ,−→ )est : M F2 =e2M H2 c’est à direx2+y2 =e2(x+d)2 ou encorex2(1−e2)−2e2dx+y2−e2d2 = 0. Déterminons maintenant un paramétrage polaire : on a M H=
|xH−xM|=|d+x|=|d+ρcos(t)|, etM F =|ρ|, on a doncM ∈ C ⇐⇒ ρ2=e2(d+ρcos(t))2ce qui équivaut à ρ=e(d+ρcos(t))ouρ=−e(d+ρcos(t)), on obtient ainsi queC est la réunion de deux courbes :C=C1∪ C2
avecC1 d’équation polaire :ρ1= ed
1−ecos(t) et C2 d’équation polaireρ2= −ed
1 +ecos(t). On voit que ces deux courbes sont symétriques par rapport à l’axeF xcarρ1(π−t) =−ρ2(t), mais on voit queρ1(−t) =ρ1(t)donc la courbeC1 est symétrique par rapport à l’axeF x, par conséquent C1=C2 et donc :
I théorème7.3
Une équation polaire deCdans le repère(F,−→ı ,−→ )estρ(t) = p
1−ecos(t)oùp=edest appelé paramètre de la courbe.
Une équation cartésienne dans le repère(F,−→ı ,−→ )est :x2(1−e2)−2epx+y2−p2= 0.
2) Le cas de la parabole
Équation réduite : On a e = 1, l’équation cartésienne devient y2 = 2px+p2 = 2p(x+ d2). Soit O(−d2,0), alors dans le repère (O,−→ı ,−→ )l’équation devient : Y2= 2pX c’est l’équation réduire de la parabole. On est ramené à tracer la courbe représentative de la fonctionf(X) =√
2pX puis à faire une symétrie par rapport àOx.
Allure de la courbe :
H D M
t
−d O F Parabole de sommetO(−d
2,0)et d’axeOx.
Tangente en un point: Paramétrons la parabole par
x(t) = 2pt2 −d2 y(t) = t
, dérivons la relation−−−→
F M ·−−−→
F M =
−−−→M H ·−−−→
M H, on obtient 2−→v (t)·−−−→
F M = 2−−−→
M H · d−−−→
M H
dt =−2−−−→
M H · −→v (t)car−−−→
M H ·d−−→
F H
dt = 0. On en déduit que−→v (t)·[−−−→
M H +−−−→
F M ] = 0c’est à dire −→v (t)·−−→
F H = 0. La tangente est la perpendiculaire à(F H)passant parM,c’est la médiatrice du segment[F H].
Application: principe du miroir parabolique.
3) Le cas de l’ellipse
Équation réduite: On ae <1, une équation cartésienne dans le repère(F,−→ı ,−→ )est (avece <1) :
Les coniques 85
x2(1−e2)−2epx+y2−p2= 0 ⇐⇒
( x√
1−e2− ep
√1−e2 )2
+y2= p2 1−e2
⇐⇒
(x(1−e2)
p −e
)2
+ (
y√ 1−e2
p )2
= 1
⇐⇒
(
x−1−epe2
)2
a2 +y2 b2 = 1,
aveca= p
1−e2 etb= p
√1−e2. Soit O(1−epe2,0)dans le repère(O,−→ı ,−→ ), on aX =x− ep
1−e2 etY =y, donc l’équation devient X2
a2 +Y2
b2 = 1 . C’estl’équation réduitede l’ellipse.
Remarques:
– On a b < acar0<1−e2<1.
– Les coordonnées de F dans le repère(O,−→ı ,−→ )sont(−c=−1−epe2,0).
– On a c=√
a2−b2 , e= c
a et l’équation de la directrice dans le repère (O,−→ı ,−→ ) est X =−d−c=−a2
c . En particulier on en déduit que0< c < a < ac2.
– L’ellipse est symétrique par rapport àOy, elle a donc un deuxième foyerF0 de coordonnées (c,0)et une autre directriceD0 d’équationX =ac2 dans le repère(O,−→ı ,−→ ).
– Un paramétrage possible dans le repère (O,−→ı ,−→ )est
X(t) = acos(t) Y(t) = bsin(t)
avect∈R.
Étude de la courbe: Les fonctionsX etY sont2π-périodiques,X est paire etY est impaire, on a donc une symétrie par rapport àOx, on réduit l’étude sur[0, π]. On a X(π−t) =−X(t)etY(π−t) =Y(t): symétrie
par rapport à(Oy), on réduit l’étude sur[0,π2].
t 0 π2
X
Y a
0
0
b
La tangente au pointM(0)est verticale
et la tangente au pointM(π2)est horizontale.
F(−c,0) O F0(c,0) M
a b
D0 D
−ac2 ac2
H H0
Ellipse de centreO( ep 1−e2,0), de demi-grand axea= p
1−e2, de demi-petit axeb= p
√1−e2.
I théorème7.4
Pour tout pointM de l’ellipse, on aM F+M F0= 2a.
I théorème7.5 (Tangente en un point)
En tout pointM de l’ellipse, la tangente est la bissectrice extérieure de l’angleF M F\0.
4) Le cas de l’hyperbole
Équation réduite: On ae >1, une équation cartésienne dans le repère(F,−→ı ,−→ )est :
x2(1−e2)−2epx+y2−p2= 0 ⇐⇒ − (
x√
e2−1 + ep
√e2−1 )2
+y2= −p2 e2−1
⇐⇒
(x(e2−1)
p +e
)2
− (
y√ e2−1
p )2
= 1
⇐⇒
(
x+e2ep−1
)2
a2 −y2 b2 = 1,
avec a= p
e2−1 etb= p
√e2−1 . PosonsO( −ep
e2−1,0), alors dans le repère(O,−→ı ,−→ )on aX =x+ ep e2−1 et Y =y, l’équation cartésienne s’écrit alors : X2
a2 −Y2
b2 = 1 . C’estl’équation réduitede l’hyperbole.
Remarques:
– Les coordonnées de F dans le repère(O,−→ı ,−→ )sont(c= e2ep−1,0).
– On a c=√
a2+b2 , e= c
a et l’équation de la directrice dans le repère (O,−→ı ,−→ ) est X =−d+c= a2
c . En particulier on en déduit que0<ac2 < a < c.
– L’hyperbole est symétrique par rapport à Oy, elle a donc un deuxième foyerF0 de coordonnées(−c,0)et une autre directriceD0 d’équationX =−ac2 dans le repère(O,−→ı ,−→ ).
– Un paramétrage possible dans le repère (O,−→ı ,−→ )est
X(t) = ±ach(t) Y(t) = bsh(t)
avect∈R.
Étude de la courbe:
La partie de la courbe dans le demi-planX >0est paramétrée par
X(t) = ach(t) Y(t) = bsh(t)
avect∈R[l’autre partie est symétrique par rapport àOy]. La fonctionX est paire et la fonction Y est impaire il y a donc une
symétrie par rapport àOxet on réduit l’étude sur[0; +∞[.
t 0
X
Y 0
+∞
a
+∞
+∞
. La tangente au pointM(0)
est verticale. En+∞: on a YX(t)(t) = abth(t)→ab,Y(t)−baX(t) =−be−t→0, on a donc une asymptote d’équation Y = baX et la courbe est sous l’asymptote.
Les coniques 87
F0(−c,0) O F(c,0)
D D0
Y =abX Y =−abX
H0 H
−ac2 ac2 a
M
Hyperbole de centreO .
Remarque: Lorsquea=bles deux asymptotes sont orthogonales [ce sont les deux bissectrices] on dit alors que l’hyperbole estéquilatère. Dans ce cas, dans le repère(O,−→u ,−→v )avec−→u = √1
2[−→ı − −→ ]et −→v = √1
2[−→ı +−→ ], on a X = √1
2[X0+Y0] et Y = √1
2[−X0+Y0] donc l’équation de l’hyperbole devient(X −Y)(X+Y) = a2 i.e. X0Y0 =a2
2 .
I théorème7.6
Pour tout pointM de l’hyperbole, on a|M F−M F0|= 2a.
I théorème7.7 (Tangente en un point)
En tout pointM de l’hyperbole, la tangente est la bissectrice intérieure de l’angleF M F\0.
5) Définition bifocale
I théorème7.8
SoientF, F0 deux points distincts du plan, soitc= F F0
2 eta > c, alors l’ensembleC={M ∈ P/ M F+ M F0= 2a}est une ellipse de centreO= Mil[F;F0]d’excentricitée= c
a et de foyerF.
Preuve: PosonsO= Mil[F, F0]comme origine,−→ı =
−−−→F F0 k−−−→
F F0k, et−→ déduit de−→ı par la rotation vectorielle d’angle
π 2.
F O F0
M
. On aF(−c,0)etF0(c,0), d’où :
M F+M F0= 2a ⇐⇒ p
(x+c)2+y2+p
(x−c)2+y2= 2a
⇐⇒ 2a2−(x2+y2+c2) =p
(x2+y2+c2)2−4c2x2
⇐⇒
8<
:
4a4+ [x2+y2+c2]2−4a2(x2+y2+c2) = [x2+y2+c2]2−4c2x2 x2+y2+c2 6 2a2
⇐⇒
8<
:
x2(a2−c2) +y2a2 = a2(a2−c2) x2+y2 6 2a2−c2
⇐⇒
8<
:
x2 a2 + y
2
a2−c2 = 1
x2+y2 6 a2+ (a2−c2) On a a > d/2 =c, donc a2−c2 >0, posons b=√
a2−c2, on doit avoir la relation x2 a2 +y2
b2 = 1, si cette relation est vérifiée, il est clair que x2+y2 6 a2+b2 et par conséquent M F+M F0 = 2a ⇐⇒ x2
a2 +y2
b2 = 1. D’après l’étude précédente, on a une :
Ellipse de centreO, de foyerF, d’excentricitée= c a, directriceDd’équationx=−a2
c .
¤
I théorème7.9
Soient F, F0 deux points distincts du plan, soit c = F F0
2 et 0 < a < c, alors l’ensemble C = {M ∈ P /|M F−M F0|= 2a} est une hyperbole de centreO= Mil[F;F0]et d’excentricitée= c
a et de foyer F0.
Preuve: On choisit le même repère que précédemment M(x, y)∈ C ⇐⇒ M F2+M F02−2M F.M F0= 4a2
⇐⇒ (x+c)2+y2+ (x−c)2+y2−4a2= 2 q
(x2+y2+c2)2−4x2c2
⇐⇒ x2+y2+c2−2a2= q
(x2+y2+c2)2−4x2c2
⇐⇒
8<
:
x2+y2+c22
+ 4a4−4a2(x2+y2+c2) = x2+y2+c22
−4x2c2 x2+y2+c2>2a2
⇐⇒
8<
:
x2(c2−a2)−a2y2 =a2(c2−a2) x2+y2 >a2−b2
⇐⇒
8>
<
>: x2 a2 −y2
b2 = 1 x2+y2>a2−b2
avecb=p c2−a2
⇐⇒ x2 a2 −y2
b2 = 1 .
En effet, cette équation entraînex2>a2 et doncx2+y2>a2>a2−b2. D’après l’étude précédente, on a une Hyperbole de centreO, d’excentricitée= c
a, de foyerF0, et de directriceDd’équationx= a2
c .
¤
Les coniques 89
6) Définition algébrique
Soit(E)l’ensemble des pointsM(x, y)du plan vérifiant l’équation :
P(x, y) =ax2+bxy+cy2+dx+ey+f = 0avec(a, b, c)6= (0,0,0).
NDéfinition 7.11
Le nombre∆ =b2−4acest appelédiscriminant de l’expressionP(x, y).
Soit −→u = cos(θ)−→ı + sin(θ)−→ et −→v = −sin(θ)−→ı + cos(θ)−→ , notons (x, y) les coordonnées de M dans le repère R = (O,−→ı ,−→ ) et (X, Y) les coordonnées dans le repère R0 = (O,−→u ,−→v ), on a alors les relations :
x = Xcos(θ)−Ysin(θ) y = Xsin(θ) +Y cos(θ)
. On en déduit que dans le repèreR0l’équation de(E)devient :AX2+BXY +
CY2+DX+EY +F = 0avec :
A = acos2(θ) +csin2(θ) +bsin(θ) cos(θ) B = (c−a) sin(2θ) +bcos(2θ)
C = asin2(θ) +ccos2(θ)−bsin(θ) cos(θ) .
On a alors :
B2=a2sin2(2θ) +c2sin2(2θ) +b2cos2(2θ)−2acsin2(2θ)−2absin(2θ) cos(2θ) + 2bcsin(2θ) cos(2θ)et 4AC=a2sin2(2θ) +c2sin2(2θ)−2absin(2θ) cos(2θ) + 2bcsin(2θ) cos(2θ) + 4ac[cos2(θ) + sin4(θ)]−b2sin2(2θ), on en déduit alors queB2−4AC=b2−4ac[cos2(θ) + sin4(θ) +12sin2(2θ)] =b2−4ac.
Remarques:
– Si on change−→v en−−→v alorsB est changé en−B et on a toujoursB2−4AC=b2−4ac.
– On a A+C=a+c.
– Si A =B = C = 0 alorsb2 = 4ac et a =−c ce qui entraîne a =b =c = 0. Par conséquent, puisque (a, b, c)6= (0,0,0), on a aussi(A, B, C)6= (0,0,0).
I théorème7.10
Un changement de repère orthonormé ne change pas le discriminant.
Nous allons maintenant choisirθde telle sorte qu’il n’y ait plus de terme croisé, c’est à dire tel que B = 0 (réduction de l’équation) :
– Si a=cetb= 0: il n’y a rien à faire, on prendθ= 0.
– Si a=cetb6= 0: il suffit de prendreθ= π4 (mod π2).
– Si a6=calors il suffit de prendreθ= 12arctan ( b
a−c
) . Une fois ceci-fait, on a l’équation de(E)dans le repèreR0 :
AX2+CY2+DX+EY +f = 0.
– Si AC6= 0(i.e.si∆6= 0) : alors l’équation devient : A[X+ D
2A]2+C[Y + E
2C]2+F0 = 0 ou encore dans le repère R00= (O0,−→u ,−→v )avecO0(−2AD,−2CE)R0 :
A[X0]2+C[Y0]2+F0= 0.
On en déduit que :
– Si AC > 0, c’est à dire si∆<0 [car ici−4AC = ∆], alors l’ensemble (E)est soit vide, soit une ellipse [éventuellement un cercle].
– Si AC <0, c’est à dire si ∆>0, alors l’ensemble (E)est soit une hyperbole, soit la réunion de deux droites sécantes[lorsqueF0= 0].
– SupposonsA= 0[doncC6= 0], c’est à dire ∆ = 0, alors l’équation devientC[Y +2CE]2+DX+F0= 0, on en déduit que :
– Si D= 0: alors l’ensemble(E)est soit vide, soit la réunion de deux droites parallèles.
– Si D6= 0: alors l’ensemble(E)est une parabolecar on a[Y +2CE]2= 2p[X+FD0]avecp=−2CD.
V) Exercices
FExercice 7.1
Á l’aide d’un paramétrage bien choisi, étudier l’ensemble des pointsM(x, y)tels que : a) x3+ 2xy+y3= 0(Folium deDescartes).
b) (x2+y2)3= (x2−y2)2. FExercice 7.2
Un cercle roule sans glisser sur l’axe Ox, on fixe un point M sur ce cercle. Étudier la trajectoire du pointM.
FExercice 7.3
a) Étudier la courbe paramétrée par :x(t) = cos(t)2 ety(t) = cos(t)(1 + sin(t)).
b) Á tout point M(t) de C\ {O}, on associe le point M(u) de C tel que les droites (OM(t)) et (OM(u))soient perpendiculaires. Déterminer(Γ)le lieu des milieux des segments[M(t), M(u)].
FExercice 7.4
Soitr >0, soitCle cercle de centreOet de rayonr. Pour toutM ∈C, le cercle de centreM passant par Ocoupe l’axeOxen deux pointsO etA(éventuellement confondus), et coupe l’axeOyen deux points Oet B (éventuellement confondus), on considèreH le projeté orthogonal deO sur la droite(AB).
a) Calculer les coordonnées cartésiennes deH en fonction de celles deM.
b) Donner une représentation polaire du lieu des pointsH lorsqueM décritC. Étudier ce lieu.
FExercice 7.5
Étudier les courbes suivantes : a) x(t) = t2
1 +t2 et y(t) = t3
1 +t2 b) x(t) = 1 1 +t +1
t et y(t) = 1 1−t+1
t.
c) ρ(θ) = 1 + tan(θ/2) d) ρ(θ) = θ+ 1 θ−1.
FExercice 7.6
Déterminer la nature de la courbe d’équation cartésienne (dans un repère orthonormé du plan) : a)x2−2y2+x−2y= 0. b)y2+ 3x−4y= 2.
c)x2+xy+y2= 1. d) x2+√
3xy+x= 2.
FExercice 7.7
SoientAet B deux points distincts du plan etI le milieu du segment[AB]. Déterminer l’ensemble des pointsM tels queM I2=M A×M B.
FExercice 7.8
a) Soit (P)une parabole de directrice D et de foyer F, soit M ∈(P)et H le projeté deM sur D, montrer que la tangente à(P)au pointM est la médiatrice de[HF].
b) Soit(E)une ellipse de foyers F etF0, soitM ∈(E), montrer que la tangente à (E)au pointM est la bissectrice extérieure à F M F\0.
c) Soit(H)une hyperbole de foyersF etF0, soitM ∈(H), montrer que la tangente à(H)au point M est la bissectrice intérieure àF M F\0.
FExercice 7.9
Soit(H)une hyperbole équilatère, soientA, B, Ctrois points distincts sur(H). Montrer que l’orthocentre du triangle(ABC)est sur l’hyperbole.
FExercice 7.10
Soient P et P0 deux plans sécants dans l’espace avec un écart angulaire de α. Soit C un cercle sur le planP, déterminer l’image de ce cercle par la projection orthogonale sur le planP0.
