Récupération d'énergie mécanique à partir de sources vibratoires déterministes et aléatoires

Récupération d’énergie mécanique à partir de

sources vibratoires déterministes et aléatoires

Thèse

Simon Paquin

Doctorat en génie mécanique

Philosophiæ doctor (Ph.D.)

Québec, Canada

Résumé

L'alimentation électrique d'un appareil électronique sans l est souvent eectuée via une pile électrique. Une solution alternative pour produire une alimentation en continue est de récu-pérer l'énergie provenant des vibrations d'une structure mécanique. Il a déjà été démontré que le récupérateur d'énergie vibratoire classique est ecace uniquement lorsque la source d'excitation vibratoire a un contenu fréquentiel à bande étroite. Les sources vibratoires étant souvent composées d'un large spectre fréquentiel, le récupérateur classique est alors peu per-formant. L'objectif principal de cette thèse est donc de proposer et d'évaluer une architecture de récupération d'énergie permettant de récupérer ecacement de l'énergie provenant d'une source vibratoire dont le contenu fréquentiel est déterministe ou aléatoire. Une revue de docu-mentation scientique permet d'abord de classier et de hiérarchiser les diérentes stratégies qui ont déjà été proposées pour récupérer de l'énergie à partir des sources vibratoires les plus courantes. Basée sur cette revue, une architecture composée de plusieurs récupérateurs piézoélectriques couplés via des impédances électriques est ensuite proposée. An de prédire la densité de puissance adimensionnelle de cette architecture, un modèle électromécanique de celle-ci est développé puis validé expérimentalement avec un prototype composé de deux récupérateurs. Ce modèle est ensuite introduit dans une procédure d'optimisation qui maxi-mise un critère de performances basé sur le type de source vibratoire d'excitation, soit une source stationnaire ou non-stationnaire. Les résultats d'optimisation sont par la suite analysés sous forme d'études paramétriques. Pour diérentes sources vibratoires, ces études établissent l'inuence de chacun des paramètres composant l'architecture sur ses performances tout en développant un outil de conception de l'architecture proposée. La première partie de ces études considère le cas où l'architecture est excitée par une source vibratoire harmonique tandis que la seconde partie le fait pour une source aléatoire stationnaire et non-stationnaire. Finalement, des cas d'application sont présentés pour démontrer comment utiliser l'outil de conception. Bien que les résultats obtenus dans ces cas ne soient pas généraux, il y est démontré que l'utilisation de l'architecture proposée permet d'augmenter la densité de puissance ou de l'uni-formiser sur un plus large spectre fréquentiel : comparativement au récupérateur classique, une architecture de deux récupérateurs permet un gain de performances de 51% pour une source vibratoire harmonique, de 184% pour une source de type passe-bas et de 212% pour une source non-stationnaire.

Abstract

The power supply of a wireless electronic device is often conducted via an electric battery. An alternative solution to produce a continuous supply is to harvest energy from the vibrations of a mechanical structure. It has already been shown that the classical vibration energy harvester is eective only when the vibration excitation source has a narrowband frequential content. Vibration sources are often composed of a broad frequency spectrum so the classic energy harvester is inecient. The main objective of this thesis is to propose and evaluate an energy harvester architecture that would lead to ecient energy harvesting from a vibration source of any frequential content. A review of the scientic literature allows to classify and prioritize the dierent strategies that have previously been proposed to harvest energy from the most common vibration sources. Based on this review, a harvester architecture composed of several piezoelectric harvesters coupled via electric impedances is then proposed. To predict the di-mensionless power density of this architecture, its electromechanical model is developed and experimentally validated with a two-harvester prototype. This model is then introduced into an optimization procedure that maximizes a performance criterion based on the type of vibra-tion excitavibra-tion source, which is either stavibra-tionary or non-stavibra-tionary. The optimizavibra-tion results are then analyzed as parametric studies. For various vibration sources, these analyses establish the inuence of every architectural parameter on its performance while developing a design tool for the proposed architecture. The rst part of these studies considers the case where the architecture is excited by a harmonic vibration source, while the second part deals with sta-tionary and non-stasta-tionary random sources. Finally, case studies are presented to demonstrate how to use the design tool. Although the results obtained in these cases are not general, it is shown that the use of the proposed architecture increases the power density or uniformizes it on a broader frequency spectrum. Indeed, when compared to the conventional harvester, a two-harvester architecture enables a performance gain of 51% for a harmonic vibration source, 184% for a low-pass source and 212% for a non-stationary source.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux xiii

Liste des gures xv

Nomenclature xxv Remerciements xxxv 1 Introduction 1 1.1 Mise en contexte . . . 1 1.2 Problématique . . . 2 1.3 Objectifs. . . 2 1.4 Organisation de la thèse . . . 3

2 Revue de la documentation scientique et proposition d'une architec-ture innovatrice 7 2.1 Introduction. . . 7

2.2 Principe de la récupération d'énergie vibratoire . . . 8

2.3 Classication d'un signal vibratoire . . . 8

2.4 Récupération d'énergie à partir d'une source vibratoire harmonique . . . 10

2.5 Récupération d'énergie à partir d'une source vibratoire aléatoire. . . 13

2.5.1 Source stationnaire . . . 13

2.5.2 Source non-stationnaire . . . 14

2.6 Principales stratégies élargissant les performances de récupération. . . 14

2.6.1 Ajustement de la fréquence de résonance . . . 15

2.6.2 Architectures à plusieurs modes vibratoires . . . 18

2.6.3 Conversion de l'excitation par usage d'impacts . . . 20

2.6.4 Architectures non-linéaires. . . 22

2.7 Architecture de récupération d'énergie vibratoire proposée et étudiée dans le cadre de cette thèse . . . 24

3 Modélisation et optimisation d'une architecture de récupération

d'éner-gie vibratoire 27

3.1 Introduction. . . 27

3.2 Modélisation électromécanique d'un récupérateur piézoélectrique d'énergie vibratoire . . . 28

3.2.1 Application du principe d'Hamilton . . . 28

3.2.2 Extrémalisation de la fonctionnelle et équations diérentielles du sys-tème . . . 32

3.2.3 Réduction du modèle à deux degrés de liberté . . . 33

3.2.4 Récupérateur piézoélectrique à l'étude . . . 34

3.3 Modélisation adimensionnelle d'une architecture de récupération d'énergie vibratoire . . . 37

3.3.1 Équations gouvernant le comportement mécanique de l'architecture. 39 3.3.2 Équations gouvernant le comportement électrique de l'architecture . 41 3.3.3 Réponse fréquentielle du débit de charges . . . 41

3.3.4 Espérance mathématique de la puissance récupérée . . . 46

3.3.5 Densité de puissance adimensionnelle . . . 47

3.3.6 Hypothèses simplicatrices de modélisation . . . 48

3.4 Validation expérimentale du modèle . . . 49

3.4.1 Fabrication du prototype . . . 49

3.4.2 Montage et tests expérimentaux . . . 51

3.5 Procédure d'optimisation . . . 53

3.5.1 Variables d'optimisation . . . 54

3.5.2 Contraintes d'optimisation. . . 54

3.5.3 Fonctions objectifs . . . 56

3.5.4 Méthodes d'optimisation. . . 59

3.6 Analyse des résultats sous forme d'études paramétriques . . . 60

3.6.1 Sources vibratoires considérées . . . 60

3.6.2 Architectures de récupération d'énergie simpliées . . . 65

3.6.3 Paramètres indépendants . . . 69

3.7 Conclusion . . . 71

4 Étude paramétrique I : Source vibratoire déterministe et harmonique 73 4.1 Introduction. . . 73

4.2 Densité de puissance adimensionnelle . . . 74

4.3 Récupérateur classique . . . 74

4.3.1 Optimisation de la densité de puissance adimensionnelle . . . 75

4.3.2 Fréquence d'excitation normalisée optimale . . . 76

4.3.3 Caractérisation du couplage électromécanique . . . 77

4.3.4 Performances atteignables . . . 77

4.3.5 Densité de puissance adimensionnelle corrigée . . . 78

4.3.6 Coecient de couplage électromécanique optimal . . . 79

4.3.7 Limitation des performances du récupérateur classique . . . 81

4.3.8 Synthèse du récupérateur classique excité par une source vibratoire harmonique . . . 81

4.4 Récupérateur à impédance ajustable . . . 83

4.4.1 Impédance électrique optimale d'un récupérateur piézoélectrique . . 83

4.4.3 Ajout d'une charge inductive . . . 87

4.4.4 Ajout de charges capacitive et inductive . . . 90

4.4.5 Synthèse d'un récupérateur à impédance électrique ajustable excité par une source vibratoire harmonique . . . 92

4.5 Vecteur de deux récupérateurs. . . 93

4.5.1 Densité de puissance adimensionnelle optimisée . . . 94

4.5.2 Rapports optimaux de masses équivalentes et de fréquences naturelles 96 4.5.3 Eet des contraintes d'optimisation sur les performances . . . 97

4.5.4 Réponse fréquentielle H3 optimale lorsque la source vibratoire est harmonique . . . 98

4.5.5 Synthèse d'un vecteur de deux récupérateurs excité par une source vibratoire harmonique . . . 99

4.6 Vecteur de deux récupérateurs avec impédances ajustables . . . 99

4.6.1 Ajout de charges inductives à chacune des impédances . . . 100

4.6.2 Densité de puissance adimensionnelle optimisée . . . 101

4.6.3 Charges inductives optimales . . . 102

4.6.4 Eet des contraintes d'optimisation sur les performances . . . 103

4.6.5 Réponse fréquentielle H4 optimale lorsque la source vibratoire est harmonique . . . 104

4.6.6 Eet du nombre de récupérateurs. . . 105

4.6.7 Synthèse d'un vecteur de deux récupérateurs ayant des impédances ajustables excité par une source vibratoire harmonique . . . 105

4.7 Conclusion . . . 106

5 Étude paramétrique II : Source vibratoire aléatoire 109 5.1 Introduction. . . 109

5.2 Source vibratoire stationnaire de type bruit blanc . . . 110

5.2.1 Densité de puissance adimensionnelle . . . 110

5.2.2 Récupérateur classique . . . 111

5.2.3 Vecteur de deux récupérateurs avec impédances ajustables . . . 113

5.2.4 Réponses fréquentielles optimales lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc . . . 115

5.2.5 Densité de puissance optimisée . . . 117

5.2.6 Synthèse de l'architecture de récupération d'énergie excitée par une source vibratoire de type bruit blanc . . . 117

5.3 Source vibratoire stationnaire de type passe-bas . . . 118

5.3.1 Densité de puissance adimensionnelle . . . 119

5.3.2 Récupérateur classique . . . 119

5.3.3 Vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables . . . 122

5.3.4 Réponses fréquentielles optimales lorsque la source vibratoire est de type passe-bas . . . 125

5.3.5 Synthèse de l'architecture de récupération d'énergie excitée par une source vibratoire de type passe-bas . . . 126

5.4 Source vibratoire stationnaire de type passe-bande . . . 127

5.4.1 Densité de puissance adimensionnelle . . . 128

5.4.2 Récupérateur classique . . . 128

5.4.4 Réponses fréquentielles optimales lorsque la source vibratoire est de

type passe-bande . . . 137

5.4.5 Synthèse de l'architecture de récupération d'énergie excitée par une source vibratoire de type passe-bande . . . 138

5.5 Source vibratoire non-stationnaire . . . 139

5.5.1 Valeur minimale de la réponse fréquentielle . . . 139

5.5.2 Récupérateur classique . . . 140

5.5.3 Vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables . . . 144

5.5.4 Réponses fréquentielles optimales lorsque la source vibratoire est non-stationnaire . . . 147

5.5.5 Synthèse de l'optimisation de l'architecture de récupération d'énergie lorsque la source vibratoire est non-stationnaire . . . 148

5.6 Conclusion . . . 149

6 Conception de l'architecture de récupération d'énergie 151 6.1 Introduction. . . 151

6.2 Architecture de récupération d'énergie à concevoir . . . 152

6.2.1 Géométrie des récupérateurs constituant l'architecture . . . 152

6.2.2 Propriétés des matériaux des récupérateurs constituant l'architecture 153 6.2.3 Paramètres constants de l'architecture . . . 153

6.3 Procédure numérique pour optimiser la densité de puissance . . . 154

6.3.1 Paramètres électromécaniques du premier récupérateur. . . 154

6.3.2 Paramètres indépendants des simulations d'optimisation . . . 156

6.3.3 Interpolation des résultats d'optimisation . . . 157

6.3.4 Espace réalisable simulé du second récupérateur. . . 159

6.3.5 Évaluation du critère de performances . . . 159

6.3.6 Critère de performances ajusté . . . 161

6.3.7 Sélection de la conception optimale . . . 161

6.4 Cas d'application . . . 162

6.4.1 Cas d'application I : Source vibratoire harmonique . . . 162

6.4.2 Cas d'application II : Source vibratoire aléatoire et stationnaire . . . 167

6.4.3 Cas d'application III : Source vibratoire aléatoire et non-stationnaire 171 6.5 Conclusion . . . 176

7 Conclusion 179 7.1 Résumé et contributions de la thèse. . . 179

7.2 Perspectives de recherche . . . 182

Bibliographie 185 A Modélisation semi-analytique par la méthode de Rayleigh-Ritz 191 B Impédance optimale d'un récupérateur piézoélectrique 195 C Résultats complémentaires de l'étude paramétrique I 199 C.1 Récupérateur à impédance ajustable . . . 199

C.2 Vecteur de deux récupérateurs. . . 200

C.2.1 Vecteur de deux récupérateurs ayant la même fréquence naturelle . . 200

C.3 Vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables. . . 203

C.3.1 Ajout d'une charge capacitive . . . 203

C.3.2 Ajout d'une charge inductive à l'impédance ZL2. . . 205

C.3.3 Ajout d'une charge inductive à l'impédance ZL1. . . 206

D Résultats complémentaires de l'étude paramétrique II 209 D.1 Source vibratoire de type bruit blanc . . . 209

D.1.1 Récupérateur à impédance ajustable . . . 209

D.1.2 Vecteur de deux récupérateurs . . . 212

D.2 Source vibratoire de type passe-bas . . . 212

D.2.1 Récupérateur à impédance ajustable . . . 213

D.2.2 Vecteur de deux récupérateurs . . . 216

D.3 Source vibratoire de type passe-bande . . . 216

D.3.1 Récupérateur à impédance ajustable . . . 217

D.3.2 Vecteur de deux récupérateurs . . . 220

D.4 Source vibratoire non-stationnaire . . . 221

D.4.1 Récupérateur à impédance ajustable . . . 221

D.4.2 Vecteur de deux récupérateurs . . . 225

Liste des tableaux

3.1 Coecients de l'ensemble de fonctions trigonométriques hiérarchiques pour une

poutre encastrée-encastrée. . . 36 3.2 Paramètres géométriques du prototype d'une architecture composée de deux

récupérateurs piézoélectriques. . . 50 3.3 Propriétés des matériaux du prototype d'une architecture composée de deux

récupérateurs piézoélectriques. . . 53 3.4 Valeurs possibles des variables an de respecter les contraintes d'optimisation. . 54 3.5 Paramètres indépendants utilisés dans les études paramétriques.. . . 69 6.1 Paramètres géométriques constants de chacun des récupérateurs constituant

l'architecture à concevoir. . . 152 6.2 Propriétés des matériaux des récupérateurs constituant l'architecture à concevoir. 153 6.3 Cas d'application I : paramètres optimaux du récupérateur classique et du

vec-teur de deux récupéravec-teurs à impédances ajustables. . . 166 6.4 Comparaison de résultats d'optimisation du récupérateur classique obtenus avec

la procédure numérique et avec un algorithme génétique pour le cas

d'applica-tion I. . . 167 6.5 Cas d'application II : paramètres optimaux du récupérateur classique et du

vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables. . . 171 6.6 Cas d'application III : paramètres optimaux du récupérateur classique et du

Liste des gures

1.1 (a) Conguration classique d'un récupérateur d'énergie vibratoire

piézoélec-trique et (b) courbe typique de la puissance récupérée par cette conguration. . 2 2.1 Principe de fonctionnement d'un récupérateur d'énergie vibratoire. . . 8 2.2 Classication d'un signal vibratoire. . . 9 2.3 Récupérateurs d'énergie étudiés par (a) Wu et al. [28], (b) Eichhorn et al. [29]

ainsi que Challa et al. [30]. Les gures ont été adaptées pour ns de compréhension. 16 2.4 Récupérateurs d'énergie étudiés par (a) Yang et al. [39], (b) Lee et al. [40] et

(c) Xue et al. [41]. Les gures ont été adaptées pour ns de compréhension. . . 19 2.5 Récupérateurs d'énergie étudiés par (a) Moss et al. [45], (b) Pozzi et Zhu [46]

ainsi que (c) Wickenheiser et Garcia [47]. Les gures ont été adaptées pour ns

de compréhension. . . 21 2.6 Récupérateurs d'énergie étudiés par (a) Soliman et al. [48], (b) Ferrari et al. [50]

ainsi que (c) Ramlan et al. [51]. Les gures ont été adaptées pour ns de

com-préhension. . . 23 2.7 Architecture de récupération d'énergie vibratoire à l'étude dans cette thèse. . . 25 3.1 Récupérateur piézoélectrique d'énergie vibratoire typique. . . 28 3.2 Branchement des céramiques piézoélectriques en série. . . 31 3.3 (a) Comportement mécanique et (b) comportement électrique d'un récupérateur

piézoélectrique qui agit comme un système à deux degrés de liberté. . . 35 3.4 Géométrie du récupérateur à l'étude formant l'architecture de récupération

d'énergie. . . 36 3.5 (a) Architecture de récupération d'énergie à l'étude, (b) sa représentation

mé-canique, (c) sa représentation électrique, (d) l'impédance électrique agissant comme élément de couplage entre deux récupérateurs et (e) l'impédance

élec-trique eectuant la récupération d'énergie. . . 38 3.6 Idéalisation d'un système linéaire ayant comme entrée l'accélération vibratoire

et comme sortie le débit de charges passant par la charge résistive. . . 45 3.7 Prototype d'une architecture composée de deux récupérateurs piézoélectriques

dans (a) une conguration assemblée et dans (b) une conguration désassemblée. 50 3.8 Montage expérimental utilisé pour valider le modèle électromécanique prédisant

les performances de l'architecture de récupération d'énergie proposée.. . . 51 3.9 Réponses fréquentielles du (a) récupérateur A et du (b) récupérateur B

com-posant le prototype d'architecture à l'étude. . . 52 3.10 Comparaison des tensions électriques mesurée expérimentalement aux bornes

3.11 Procédure d'optimisation dépendant du type de source vibratoire.. . . 56 3.12 Exemple d'évaluation des fonctions objectifs d'une architecture de récupération

d'énergie : (a) densité de puissance adimensionnelle lorsqu'elle est excitée par la source vibratoire stationnaire ayant la fonction auto-spectrale illustrée en (b) et (c) la valeur minimale de la réponse fréquentielle lorsqu'elle est excitée par la source vibratoire non-stationnaire ayant la fonction auto-spectrale illustrée

en (d). . . 58 3.13 Résumé des paramètres indépendants étudiés dans les problèmes d'optimisation

réalisés dans le cadre de cette thèse. . . 61 3.14 (a) Excitation vibratoire et (b) fonction auto-spectrale d'un signal harmonique. 62 3.15 Excitation vibratoire et fonction auto-spectrale d'un bruit blanc (a)-(b), d'un

bruit passe-bas (c)-(d) et d'un bruit passe-bande (e)-(f). . . 63 3.16 (a) Comportement mécanique et (b) comportement électrique du récupérateur

classique. . . 65 3.17 (a) Comportement mécanique et (b) comportement électrique du récupérateur

à impédance ajustable. . . 66 3.18 (a) Comportement mécanique et (b) comportement électrique d'un vecteur de

deux récupérateurs.. . . 67 3.19 (a) Comportement mécanique et (b) comportement électrique d'un vecteur de

deux récupérateurs à impédances ajustables.. . . 68 4.1 (a) Charge résistive optimale et (b) DPA optimisée du récupérateur classique

excité par une source vibratoire harmonique en fonction de la fréquence

d'exci-tation normalisée pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%. . . 75 4.2 Paramètre ∆ en fonction du taux d'amortissement et du CCEA. . . 77 4.3 DPA maximale en fonction de δ pour diérentes valeurs de ζ. . . 78 4.4 (a) DPA optimisée corrigée en fonction de la fréquence normalisée lorsque δ =

10% et ζ = 1%. (b) DPA maximale corrigée en fonction de δ pour diérentes

valeurs ζ. . . 80 4.5 CCEA optimal en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour

dié-rents taux d'amortissement. . . 81 4.6 Réponses fréquentielles H1 optimales pour diérentes fréquences d'excitation,

δ = 10%et ζ = 1% lorsque la source vibratoire est harmonique. . . 82 4.7 (a) Représentation électrique d'un récupérateur piézoélectrique, (b) impédance

électrique du récupérateur classique et (c) impédance électrique du récupérateur

à impédance ajustable. . . 85 4.8 (a) Charges résistive et (b) capacitive optimales d'un récupérateur à impédance

ajustable excité par une source vibratoire harmonique en fonction de la

fré-quence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%. . . 86 4.9 DPA optimisée d'un récupérateur qui a une impédance constituée de charges

résistive et capacitive excité par une source vibratoire harmonique en fonction

de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%. 87 4.10 (a) Charges résistive et (b) inductive optimales d'un récupérateur à impédance

ajustable excité par une source vibratoire harmonique en fonction de la

fré-quence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%. . . 89 4.11 DPA optimisée d'un récupérateur à impédance ajustable constituée de charges

résistive et inductive en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour

4.12 (a) Charges résistive, (b) inductive et (c) capacitive optimales d'un récupérateur à impédance ajustable excité par une source vibratoire harmonique en fonction

de la fréquence d'excitation pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%.. . . 91 4.13 Réponses fréquentielles H2 optimales pour diérentes fréquences d'excitation,

un CCEA de 10% et un taux d'amortissement de 1% lorsque la source vibratoire

est harmonique.. . . 92 4.14 Comparaison de la DPA optimisée corrigée du récupérateur classique et du

récupérateur à impédance ajustable en fonction de la fréquence d'excitation

normalisée lorsque δ = 10% et ζ = 1%. . . 92 4.15 DPA optimisée du vecteur de deux récupérateurs excité par une source

vi-bratoire harmonique en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%. Les traits minces correspondent aux DPA

optimisées du récupérateur classique. . . 95 4.16 (a) DPA optimisée corrigée en fonction de la fréquence d'excitation normalisée

lorsque δ = 10% et ζ = 1%. (b) DPA corrigée maximale en fonction du CCEA

lorsque ζ = 1%. . . 96 4.17 (a) Rapport optimaux de fréquences naturelles et (b) rapport de masses

équi-valentes en fonction de la fréquence normalisée pour diérentes valeurs de δ et

ζ = 1%lorsque la source vibratoire est harmonique. . . 97 4.18 Rapports optimaux de fréquences naturelles et de masses équivalentes qui

maxi-misent la DPA corrigée en fonction du CCEA lorsque ζ = 1% et la source

vibratoire est harmonique. . . 97 4.19 DPA maximale en fonction du rapport admissible de la contrainte

d'optimisa-tion des paramètres mécaniques lorsque δ = 10% et ζ = 1%. . . 98 4.20 Réponses fréquentielles H3 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est harmonique.. . . 99 4.21 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en

fonction de la fréquence d'excitation normalisée, pour diérentes valeurs de δ

lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est harmonique. . . 101 4.22 (a) DPA optimisée corrigée d'un récupérateur et d'un vecteur de deux

récupé-rateurs à impédances ajustables en fonction de la fréquence d'excitation nor-malisée lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est harmonique. (a)

Simulations initiales et (b) simulations supplémentaires. . . 102 4.23 Charges inductives optimales en fonction de la fréquence d'excitation

norma-lisée, pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1% lorsque la source vibratoire est

harmonique.. . . 103 4.24 Charges inductives optimales en fonction de la fréquence d'excitation normalisée

lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est harmonique obtenues lors

des simulations supplémentaires. . . 103 4.25 DPA optimisée corrigée en fonction du rapport admissible Kχ pour diérentes

fréquences d'excitation lorsque δ = 10% et ζ = 1%. . . 104 4.26 Réponses fréquentielles H4 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est harmonique.. . . 105 4.27 DPA optimisée corrigée en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour

diérents nombres de récupérateurs lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source

5.1 DPA optimisée du récupérateur classique lorsque la source vibratoire est de

type bruit blanc en fonction (a) du taux d'amortissement et (b) du CCEA. . . 112 5.2 Charges électriques optimales du vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajustables en fonction du CCEA lorsque la source vibratoire est de type bruit

blanc pour ζ = 1%, ζ = 2% et ζ = 3%. . . 114 5.3 Rapports optimaux de (a) fréquences naturelles et de (b) masses équivalentes du

vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction du CCEA

pour diérentes valeurs de ζ lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc. 115 5.4 DPA optimisée du vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en

fonction du CCEA pour diérentes valeurs de ζ lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc. Les traits minces correspondent à la DPA optimisée du

récupérateur classique. . . 115 5.5 (a) Réponses fréquentielles H1 et H4 optimales pour diérentes valeurs de δ

lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc et ζ = 1%. (b) Valeur maximale de la réponse fréquentielle et (c) la largeur de bande à mi-hauteur en

fonction du CCEA lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc et ζ = 1%. 116 5.6 Charge résistive normalisée optimale en fonction de la largeur de bande pour

diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. 120 5.7 DPA optimisée corrigée du récupérateur classique en fonction de la largeur de

bande pour diérentes valeurs de δ lorsque la source vibratoire est de type

passe-bas et ζ = 1%. . . 121 5.8 (a) DPA optimisée en fonction du CCEA pour diérentes valeurs de ∆˜r ainsi que

(b) la valeur limite de la DPA et le CCEA optimal du récupérateur classique en fonction de la largeur de bande lorsque la source vibratoire est de type passe-bas

et ζ = 1%.. . . 122 5.9 Charges inductives optimales d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajustables en fonction de la largeur de bande pour diérentes valeurs de δ lorsque

ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. . . 123 5.10 Rapports optimaux (a) de fréquences naturelles et (b) de masses équivalentes

d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction de la largeur de bande pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source

vibratoire est de type passe-bas.. . . 124 5.11 DPA optimisée corrigée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajus-tables en fonction de la largeur de bande, pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. Les traits minces

corres-pondent à la DPA optimisée corrigée du récupérateur classique. . . 125 5.12 (a) DPA optimisée en fonction du CCEA pour diérentes valeurs de ∆˜r ainsi

que (b) la valeur limite de la DPA et le CCEA optimal du vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction de la largeur de bande lorsque ζ = 1%et la source vibratoire est de type passe-bas. Le trait mince est la valeur

limite de la DPA du récupérateur classique. . . 126 5.13 Réponses fréquentielles H1 et H4 optimales pour diérentes valeurs de ∆˜r

lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. . . 127 5.14 Charge résistive optimale du récupérateur classique en fonction de la fréquence

centrale normalisée pour diérentes valeurs de ∆˜r lorsque la source vibratoire

5.15 DPA optimisée corrigée du récupérateur classique en fonction de la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs de ∆˜r lorsque la source vibratoire

est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. . . 130 5.16 (a) CCEA optimal et (b) valeur limite de la DPA corrigée du récupérateur

classique en fonction de la largeur de bande et de la fréquence d'excitation

normalisée lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bande. . . . 131 5.17 DPA optimisée corrigée du récupérateur classique en fonction de la fréquence

centrale normalisée et de la largeur de bande normalisée lorsque la source vi-bratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. Les lignes pointillées sont

des droites de diérentes pentes Pf. . . 133

5.18 DPA optimisée corrigée du récupérateur classique en fonction de la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque la source vibratoire

est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. . . 133 5.19 DPA maximale corrigée du récupérateur classique en fonction du paramètre Pf

pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type

passe-bande. . . 134 5.20 DPA optimisée corrigée du vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajus-tables en fonction de la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs

de ∆˜r lorsque la source vibratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. 135 5.21 (a) CCEA optimal et (b) valeur limite de la DPA d'un vecteur de deux

ré-cupérateurs à impédances ajustables en fonction de la largeur de bande et de la fréquence centrale normalisée lorsque la source vibratoire est de type

passe-bande et ζ = 1%. . . 136 5.22 DPA optimisée corrigée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajus-tables en fonction de la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs

de Pf lorsque la source vibratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. 137

5.23 DPA maximale corrigée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajus-tables en fonction du paramètre Pf pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1%

et la source vibratoire est de type passe-bande. Les traits minces correspondent

aux DPA maximales du récupérateur classique. . . 137 5.24 Réponses fréquentielles H1 et H4 optimales pour diérentes combinaisons ˜rcet

∆˜r lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bande. . . 138 5.25 Exemples de réponses fréquentielles qui montrent l'emplacement de la valeur

minimale. . . 140 5.26 Valeur minimale de H1optimisée et corrigée en fonction de la fréquence centrale

pour diérentes valeurs de ∆r lorsque ζ = 1% et δ = 10%. . . 142 5.27 (a) CCEA optimal et (b) la valeur limite de ˜H_Vo du récupérateur classique en

fonction de la fréquence centrale normalisée et de la largeur de bande lorsque

ζ = 1%. . . 143 5.28 VMRF optimisée corrigée d'un récupérateur classique en fonction de la

fré-quence centrale normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque ζ = 1% et

δ = 10%. . . 144 5.29 VMRF maximale du récupérateur classique en fonction du paramètre Pf pour

diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1%.. . . 144 5.30 Valeur minimale de H4optimisée et corrigée en fonction de la fréquence centrale

5.31 (a) CCEA optimal pour une source vibratoire non-stationnaire et (b) la valeur limite de ˜H_Vodu vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables lorsque

ζ = 1%. . . 146

5.32 Valeur minimale de ˜H4optimisée et corrigée en fonction de la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque ζ = 1% et δ = 10%. . . 147

5.33 Valeur minimale de ˜H4 maximale en fonction du paramètre Pf pour diérentes valeurs de δ et ζ = 1%. Les traits minces sont les résultats pour le récupérateur classique. . . 147

5.34 Réponses fréquentielles H1 et H4 optimales pour diérentes valeurs de Pf lorsque δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est non-stationnaire. . . 148

6.1 Géométrie des récupérateurs constituant l'architecture à concevoir. . . 152

6.2 Procédure numérique utilisée pour chacun des cas d'application.. . . 155

6.3 Espace réalisable de la géométrie de récupérateur à l'étude. . . 155

6.4 Coecient de couplage électromécanique adimensionnel δ pour les récupérateurs compris dans l'espace réalisable.. . . 156

6.5 Espace réalisable simulé de la géométrie de récupérateur pour une source vibra-toire donnée. . . 158

6.6 Grille dont les points d'intersection (marqueurs circulaires) représentent les pro-blèmes d'optimisation eectués qui permet d'identier les résultats d'un point arbitraire (marqueur carré). . . 158

6.7 Espace réalisable simulé du second récupérateur. . . 159

6.8 Rapport d'inertie équivalente pour les récupérateurs compris dans l'espace réa-lisable. . . 161

6.9 (a) Four micro-onde à l'étude et (b) son mouvement d'accélération en fonction du temps lorsqu'il est mis en marche.. . . 163

6.10 (a) Fonction auto-spectrale de l'échantillon ainsi qu'une (b) comparaison tem-porelle entre le signal échantillonné et le signal simulée. . . 164

6.11 Cas d'application I : densité de puissance du (a) récupérateur classique et du (b) vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables pour les combinaisons faisant partie de l'espace réalisable simulé. . . 165

6.12 (a) Montage de l'accéléromètre sur la jambe du marcheur et (b) mouvement d'accélération en fonction du temps lors des diérents segments de l'échan-tillonnage. . . 168

6.13 (a) Fonction auto-spectrale et (b) segment du signal échantillonné de la source vibratoire de type passe-bas à l'étude. . . 168

6.14 Cas d'application II : densité de puissance du (a) récupérateur classique et du (b) vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables des combinaisons faisant partie de l'espace réalisable simulé. . . 170

6.15 (a) Montage de l'accéléromètre sur le moteur de la camionnette et (b) mouve-ment d'accélération en fonction du temps des deux segmouve-ments de l'échantillonnage. 172 6.16 (a) Spectrogramme du signal non-stationnaire à l'étude et (b) la fonction auto-spectrale moyennée sur toute la durée de l'échantillonnage.. . . 173

6.17 Cas d'application III : valeur minimale de la réponse fréquentielle optimisée du (a) récupérateur classique et (b) du vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables des combinaisons faisant partie de l'espace réalisable simulé. . . 173

6.19 Densités de puissance instantanée du récupérateur classique et du vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables obtenues par l'application de la

procédure numérique du pour le cas d'application III. . . 176 B.1 (a) Comportement mécanique et (b) comportement électrique d'un récupérateur

piézoélectrique ayant une impédance électrique ZL. . . 196

C.1 Réponses fréquentielles H2 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

normalisées lorsque la source vibratoire est harmonique, δ = 10% et ζ = 1%

pour deux congurations, soit (a) χ = 0 , η 6= 0 et (b) χ 6= 0 , η = 0. . . 200 C.2 (a) Charge résistive et (b) rapport de masses équivalentes optimaux d'un vecteur

de deux récupérateurs en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1%, α = 1 et la source vibratoire est

harmonique.. . . 201 C.3 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs en fonction de la fréquence

d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1%, α = 1 et

la source vibratoire est harmonique. . . 201 C.4 Réponses fréquentielles H3 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

normalisées lorsque α = 1, δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est

harmo-nique. . . 201 C.5 (a) Charge résistive et (b) rapport de fréquences naturelles optimal d'un vecteur

de deux récupérateurs en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1%, β = 1 et la source vibratoire est

harmonique.. . . 202 C.6 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs en fonction de la fréquence

d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1%, β = 1 et

la source vibratoire est harmonique. . . 202 C.7 Réponses fréquentielles H3 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

normalisées lorsque β = 1, δ = 10%, ζ = 1% et la source vibratoire est

harmo-nique. . . 203 C.8 Charge capacitive optimale d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajustables en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes

valeurs de δ lorsque ζ = 1%, χ1= 0, χ2 = 0et la source vibratoire est harmonique. 204

C.9 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ

lorsque ζ = 1%, χ1 = 0, χ2 = 0 et la source vibratoire est harmonique. . . 204

C.10 Réponses fréquentielles H4 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

normalisées lorsque δ = 10%, ζ = 1%, χ1 = 0, χ2 = 0 et la source vibratoire

est harmonique.. . . 204 C.11 Charge inductive optimale d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajustables en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes

valeurs de δ lorsque ζ = 1%, χ1= 0 et la source vibratoire est harmonique. . . 205

C.12 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ

lorsque ζ = 1%,χ1 = 0 et la source vibratoire est harmonique. . . 205

C.13 Réponses fréquentielles H4 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

normalisées lorsque δ = 10%, ζ = 1%, χ1 = 0 et la source vibratoire est

C.14 Charge inductive optimale d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes

valeurs de δ lorsque ζ = 1%, χ2= 0 et la source vibratoire est harmonique. . . 206

C.15 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables en fonction de la fréquence d'excitation normalisée pour diérentes valeurs de δ

lorsque ζ = 1%,χ2= 0 et la source vibratoire est harmonique. . . 207

C.16 Réponses fréquentielles H4 optimales pour diérentes fréquences d'excitation

normalisées lorsque δ = 10%, ζ = 1%, χ2 = 0 et la source vibratoire est

harmonique. . . 207 D.1 Charges électriques normalisées optimales du récupérateur à impédance

ajus-table en fonction du CCEA pour diérentes valeurs de ζ lorsque la source

vi-bratoire est de type bruit blanc.. . . 210 D.2 DPA optimisée du récupérateur à impédance ajustable en fonction du CCEA

pour diérentes valeurs de ζ lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc.

Les traits minces correspondent à la DPA optimisée du récupérateur classique. 210 D.3 Réponses fréquentielles H1et H2optimales pour diérentes valeurs de δ lorsque

la source vibratoire est de type bruit blanc et ζ = 1%. (b) Valeur maximale de la réponse fréquentielle et (c) la largeur de bande à mi-hauteur en fonction du

CCEA lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc et ζ = 1%. . . 211 D.4 (a) Rapports de fréquences naturelles et (b) de masses équivalentes optimaux

du vecteur de deux récupérateurs en fonction du CCEA pour diérentes valeurs

de ζ lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc. . . 212 D.5 DPA optimisée d'un vecteur de deux récupérateurs en fonction du CCEA pour

diérentes valeurs de ζ lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc. Les

traits minces correspondent à la DPA optimisée du récupérateur classique. . . . 212 D.6 Réponses fréquentielles H1et H3optimales pour diérentes valeurs de δ lorsque

la source vibratoire est de type bruit blanc et ζ = 1%. (b) Valeur maximale de la réponse fréquentielle et (c) la largeur de bande à mi-hauteur en fonction du

CCEA lorsque la source vibratoire est de type bruit blanc et ζ = 1%. . . 213 D.7 Charges électriques normalisées optimales du récupérateur à impédance

ajus-table en fonction de la largeur de bande pour diérentes valeurs de δ lorsque

ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. . . 214 D.8 DPA optimisée corrigée du récupérateur à impédance ajustable en fonction de

la largeur de bande pour diérentes valeurs de δ lorsque la source vibratoire est de type passe-bas et ζ = 1%. Les traits minces correspondent à la DPA

optimisée corrigée du récupérateur classique. . . 214 D.9 (a) DPA optimisée en fonction du CCEA pour diérentes valeurs de ∆˜r ainsi

que (b) la valeur limite de la DPA et le CCEA optimal du récupérateur à impédance ajustable en fonction de la largeur de bande lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. Le trait mince est la valeur limite de la

DPA du récupérateur classique. . . 215 D.10 Charge capacitive normalisée optimale du récupérateur à impédance ajustable

en fonction de la largeur de bande pour diérents valeurs de δ lorsque ζ = 1%

et la source vibratoire est de type passe-bas. . . 215 D.11 Réponses fréquentielles H2 optimales pour diérentes valeurs de ∆˜r lorsque

D.12 Rapports optimaux (a) de fréquences naturelles et (b) de masses équivalentes d'un vecteur de deux récupérateurs en fonction de la largeur de bande pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type

passe-bas. . . 216 D.13 DPA optimisée corrigée d'un vecteur de deux récupérateurs en fonction de la

largeur de bande pour diérentes valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bas. Les traits minces correspondent à la DPA

optimisée corrigée du récupérateur classique. . . 216 D.14 Réponses fréquentielles H3 optimales pour diérentes valeurs de ∆˜r lorsque

ζ = 1%, δ = 10% et la source vibratoire est de type passe-bas. . . 217 D.15 DPA optimisée corrigée du récupérateur à impédance ajustable en fonction de

la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs de ∆˜r lorsque la source vibratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 1% en (a) et δ = 10% en (b).

Le trait mince relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 217 D.16 (a) CCEA optimal et (b) la valeur limite de DPA du récupérateur à impédance

ajustable en fonction de la largeur de bande et de la fréquence centrale norma-lisée lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bande. Le trait

mince relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 218 D.17 DPA optimisée corrigée du récupérateur à impédance ajustable en fonction de

la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque la source

vibratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. Le trait mince relie les

valeurs maximales de chacune des courbes.. . . 218 D.18 DPA maximale corrigée du récupérateur à impédance ajustable en fonction du

paramètre Pf pour diérents valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire

est de type passe-bande. Les traits minces sont la DPA maximale corrigée du

récupérateur classique. . . 219 D.19 Réponses fréquentielles H2 optimales pour diérentes combinaisons de ∆˜r et ˜rc

lorsque ζ = 1%, δ = 10% et la source vibratoire est de type passe-bande. . . 219 D.20 DPA optimisée du vecteur de deux récupérateurs en fonction de la fréquence

normalisée centrale pour diérentes valeurs de ∆˜r lorsque la source vibratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 1% en (a) et δ = 10% en (b). Le trait

mince relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 220 D.21 (a) CCEA optimal et (b) la valeur limite de DPA du vecteur de deux

récupéra-teurs en fonction de la largeur de bande et de la fréquence centrale normalisée lorsque ζ = 1% et la source vibratoire est de type passe-bande. Le trait mince

relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 220 D.22 DPA optimisée corrigée du récupérateur à impédance ajustable en fonction de

la fréquence centrale normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque la source

vibratoire est de type passe-bande, ζ = 1% et δ = 10%. Le trait mince relie les

valeurs maximales de chacune des courbes.. . . 221 D.23 DPA maximale corrigée du récupérateur à impédance ajustable en fonction du

paramètre Pf pour diérents valeurs de δ lorsque ζ = 1% et la source vibratoire

est de type passe-bande. Les traits minces sont la DPA maximale corrigée du

récupérateur classique. . . 221 D.24 Réponses fréquentielles H3 optimales pour diérentes combinaisons de ∆˜r et ˜rc

D.25 Valeur minimale de H2 optimisée corrigée en fonction de la fréquence centrale

pour diérents largeurs de bande, un taux d'amortissement de 1% et un coe-cient de couplage électromécanique de 1% en (a) et 10% en (b). Le trait mince

relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 222 D.26 (a) CCEA optimal pour une source vibratoire non-stationnaire et (b) la valeur

limite de ˜H_Vodu récupérateur à impédance ajustable lorsque ζ = 1%. Le trait

mince relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 223 D.27 Valeur minimale de H2optimisée et corrigée en fonction de la fréquence centrale

normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque ζ = 1% et δ = 10%. Le trait

mince relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 223 D.28 Valeur minimale de H2 maximale en fonction du paramètre Pf pour diérentes

valeurs de δ et ζ = 1%. Les traits minces sont les résultats pour le récupérateur

classique. . . 224 D.29 Réponses fréquentielles H2 optimales pour diérentes combinaisons de ∆r et rc

lorsque ζ = 1%, δ = 10% et la source vibratoire est non-stationnaire. . . 224 D.30 Valeur minimale de H3 optimisée corrigée en fonction de la fréquence centrale

pour diérents largeurs de bande, un taux d'amortissement de 1% et un coe-cient de couplage électromécanique de 1% en (a) et 10% en (b). Le trait mince

relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 225 D.31 (a) CCEA optimal pour une source vibratoire non-stationnaire et (b) la valeur

limite de ˜H_Vo du vecteur de deux récupérateurs lorsque ζ = 1%. Le trait mince

relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 225 D.32 Valeur minimale de H3optimisée et corrigée en fonction de la fréquence centrale

normalisée pour diérentes valeurs de Pf lorsque ζ = 1% et δ = 10%. Le trait

mince relie les valeurs maximales de chacune des courbes. . . 226 D.33 Valeur minimale de H3 maximale en fonction du paramètre Pf pour diérentes

valeurs de δ et ζ = 1%. Les traits minces sont les résultats pour le récupérateur

classique. . . 226 D.34 Réponses fréquentielles H3 optimales pour diérentes combinaisons de ∆r et rc

lorsque ζ = 1%, δ = 10% et la source vibratoire est non-stationnaire. . . 226 E.1 Schéma bloc du système dynamique linéaire à l'étude. . . 228

Nomenclature

Acronymes

CCEA Coecient de couplage électromécanique alternatif DPA Densité de puissance adimensionnelle

VMRF Valeur minimale de la réponse fréquentielle Opérateurs

D Opérateur diérentiel

F Opérateur de transformée de Fourier

E Opérateur d'espérance mathématique

Tr Opérateur de la trace d'une matrice

Ξ Opérateur logique déni à l'équation (3.44) Symboles grecs

αi Rapport des fréquences naturelles du iième récupérateur

βi Rapport de masses équivalentes du iième récupérateur

α Matrice des rapports de fréquences naturelles

β Matrice des rapports de masses équivalentes

χ Matrice des charges inductives adimensionnelles

δ Matrice des coecients de couplage électromécanique adimensionnels

 Tenseur de déformation

ηp Matrice des charges capacitives adimensionnelles des volumes pizoélectriques

η Matrice des charges capacitives adimensionnelles

κ Tenseur des constantes diélectriques

σ Tenseur de contrainte

θ Vecteur de couplage électromécanique

ζ Matrice des taux d'amortissement

χi Charge inductive adimensionnelle du iième récupérateur

∆ω Largeur de la bande où peut être localisé le contenu fréquentiel de la source vibratoire ∆˜ω Largeur de bande d'une source vibratoire de type passe-bande

δi Coecient de couplage électromécanique adimensionnel du iième récupérateur

ηi Charge capacitive adimensionnelle du iième récupérateur

ηpi Charge capacitive adimensionnelle du volume piézoélectrique du iième récupérateur

κp Permittivité des céramiques piézoélectriques

λ Charge résistive de l'architecture µi Charge capacitive du iième récupérateur

µpi Charge capacitive du volume piézoélectrique du iième récupérateur

νi Rapport d'inertie équivalente du iième récupérateur

νm Rapport d'inertie équivalente moyen de l'architecture

ωc Pulsation centrale de la bande où peut être localisé le contenu fréquentiel de la source

vibratoire

ωni Pulsation naturelle du iième récupérateur

δ Coecient de couplage électromécanique adimensionnel

δc Coecient de couplage électromécanique adimensionnel critique

δe Coecient de couplage électromécanique adimensionnel équivalent

ρ Densité de puissance adimensionnelle

ρ_max Densité de puissance adimensionnelle maximale

ρ_M Valeur limite de la densité de puissance adimensionnelle

φ Premier mode vibratoire d'un récupérateur

ψ Distribution transversale du champ électrique

Ψi Transformée de Fourier de la charge électrique adimensionnelle du iième récupérateur

ψi Charge électrique adimensionnelle du iième récupérateur

ρ1 Densité de puissance instantanée du récupérateur classique

ρ4 Densité de puissance instantanée du vecteur de deux récupérateurs à impédances

ajus-tables

ρa Densité de puissance ajustée

ρp Densité d'une céramique piézoélectrique

ρs Densité de la poutre du récupérateur

σa Écart type de l'accélération vibratoire de la base

τ Temps adimensionnel

θi Coecient de couplage du iième récupérateur

˜

ω Pulsation d'une source vibratoire harmonique

˜

ρ Densité de puissance adimensionnelle corrigée

˜

τ Décalage temporel

ϕ Potentiel électrique

ϕj Potentiel électrique à la surface du jième élément piézoélectrique

ϑ Fonction de base électrique

ζ Taux d'amortissement mécanique

Variables

∆r Largeur normalisée de la bande où peut être localisé le contenu fréquentiel

∆ru Largeur de bande à mi-hauteur

∆˜r Largeur normalisée de la bande du contenu fréquentiel a Vecteur d'accélération de la base du récupérateur C1, C2, C3, C4 Matrices simplicatrices

ce Tenseur d'élasticité

cEi Vecteur contenant les contraintes d'optimisation sur les paramètres électriques de la

iime _impédance

cMi Vecteur contenant les contraintes d'optimisation sur les paramètres mécaniques du iime

récupérateur

C Matrice d'amortissement

co Vecteur contenant les contraintes d'optimisation

d Vecteur de chargement inertiel

E Vecteur du champ électrique

e Tenseur des coecients couplage piézoélectrique

f Vecteur des fonctions d'essai

g Vecteur gradient

H Matrice Hessienne

h Vecteur des réponses temporelles associées à chacun des modes I1, I2, I3, i4 Matrices logiques

ID Matrice identité

K Matrice de raideur

M3, M4 Matrices simplicatrices

M Matrice de masse

p Vecteur des contributions associées aux fonctions d'essai

w Vecteur de déplacement du récupérateur

y Vecteur contenant les variables d'optimisation

z Vecteur contenant les paramètres indépendants

A Transformée de Fourier de l'accélération adimensionnelle de la base de la source vibra-toire

a Accélération adimensionnelle de la base de la source vibratoire

H Réponse fréquentielle liant la densité de puissance à l'accélération de la base H1 Réponse fréquentielle du récupérateur classique

H2 Réponse fréquentielle du récupérateur à impédance ajustable

H3 Réponse fréquentielle du vecteur de deux récupérateurs

H4 Réponse fréquentielle du vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables

Hi Réponse fréquentielle liant le débit de charge à l'accélération de la base

H_max Valeur maximale de la réponse fréquentielle H

H_{V max} Valeur minimale de la réponse fréquentielle H maximale

H_{V M} Valuer limite de la valeur minimale de la réponse fréquentielle H H_V Valeur minimale de la réponse fréquentielle H

P Puissance récupérée adimensionnelle ZL Impédance électrique adimensionnelle

˜

H_V Valeur minimale de la réponse fréquentielle H corrigée ˜

r Fréquence normalisée d'une source vibratoire harmonique

˜

rc Fréquence centrale normalisée de la bande du contenu fréquentiel de la source vibratoire

˜

rm Fréquence normalisée agissant comme référence pour le vecteur de deux récupérateurs

à impédances ajustables

a Accélération de la base de la source vibratoire ai, bi, ci, di Coecients de la iième fonction d'essai

b1 Largeur de la section à l'encastrement de la poutre

b2 Largeur de la section centrale de la poutre

bp Largeur d'une céramique piézoélectrique

ci Coecient d'amortissement du iième récupérateur

cp Module d'élasticité des céramiques piézoélectriques

cs Module d'élasticité de la poutre du récupérateur

di Chargement inertiel du iième récupérateur

d31 Constante de charge piézoélectrique des céramiques

e31 Constante de couplage piézoélectrique des céramiques

F Fonction objectif générale du problème d'optimisation

F1 Fonction objectif d'un problème d'optimisation dont la source vibratoire est

station-naire

F2 Fonction objectif d'un problème d'optimisation dont la source vibratoire est

non-stationnaire

He Enthalpie électromécanique d'un récupérateur

hi Réponse modale du iième récupérateur

Hv Réponse fréquentielle liant la vitesse à l'accélération de la base

H_Va Valeur minimale de la réponse fréquentielle ajustée

I Transformée de Fourier du débit de charge passant par la charge résistive i Débit de charge passant par la charge résistive

ki Raideur équivalente du iième récupérateur

Kω Facteur caractérisant la représentation fréquentielle

l Longueur de la poutre

l1 Longueur de la section à l'encastrement de la poutre

l2 Longueur de la section centrale de la poutre

lp Longueur d'une céramique piézoélectrique

mi Masse équivalente du iième récupérateur

mp Masse physique d'un récupérateur

N Nombre de récupérateurs constituant l'architecture

Nf Nombre de fonctions d'essai

Nz Nombre de paramètres indépendants simulés

P Puissance récupérée

Pa Puissance récupérée instantanée adimensionnelle

Pf Pente de la droite qui caractérise une source vibratoire de type passe-bande

qi Charge électrique à la surface du iième élément piézoélectrique

R Charge résistive de l'architecture

r Fréquence normalisée

rc Fréquence centrale normalisée de la bande où peut être localisé le contenu fréquentiel

de la source vibratoire

rL Extrémité inférieure de la bande fréquentielle

rm Minimum local de la réponse fréquentielle H

rU Extrémité supérieure de la bande fréquentielle

Rxx Fonction d'auto-corrélation d'une variable arbitraire x(t)

s Nombre de contraintes d'optimisation

Sxx Fonction auto-spectrale d'une variable arbitraire x(t)

T Énergie cinétique d'un récupérateur

t Temps

tp Épaisseur d'une céramique piézoélectrique

Ui Transformée de Fourier du déplacement adimensionnel du iième récupérateur

ui Déplacement adimensionnel du iième récupérateur

V Amplitude de tension électrique aux bornes de la charge résistive v Tension électrique aux bornes de la charge résistive

Vp Volume des céramiques piézoélectriques

Vs Volume de la poutre du récupérateur

W Travail eectué par les forces externes

w Déplacement transversal du récupérateur

x, y, z Repère spatial du récupérateur

ZLi Impédance électrique du iième récupérateur

Zrea Partie réactive de l'impédance électrique

La lune c'est comme un coco dans le ciel

Remerciements

Avant toute chose, je désire remercier les personnes qui ont permis la réalisation de cette thèse. Je tiens d'abord à remercier sincèrement mon directeur de recherche Yves St-Amant qui m'a supporté, aidé et encouragé tout au long de ce projet. Sa grande générosité et son dévouement ont rendu possible la réalisation de cette thèse et j'en suis énormément reconnaissant. Il a été un privilège de travailler avec toi et tu as eu une inuence considérable sur ma future carrière. Un immense merci.

Merci au Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FRQNT) pour le support nancier.

Je veux remercier les professeurs Alain Curodeau et Marie-Laure Dano d'avoir participé à mon comité de thèse. Votre analyse de mes travaux et vos judicieux conseils ont été une aide précieuse me guidant dans l'accomplissement de cette thèse. Je désire également remercier le professeur Patrice Masson pour avoir accepté de corriger ma thèse.

Je veux remercier le "Energy Harvesting Network" pour m'avoir permis d'utiliser leurs si-gnaux vibratoires qui sont étudiés dans cette thèse. Ce partage des travaux est une approche de recherche que je considère des plus bénéques pour l'avancement des connaissances. Merci à mes parents, Lucie et Alain, de m'avoir encouragé sans hésitation tout en m'orant un support inconditionnel. Merci à ma soeur Annie, mon frère Samuel ainsi que mes beaux-parents, Joyce et Daniel, pour leurs encouragements.

La vie étant ce qu'elle est, certaines personnes nous quittent qui ont eu une grande inuence sur moi et sur la réalisation de cette thèse. Je veux remercier mon oncle Jacques qui a été un exemple de courage et de persévérance. Je veux remercier mon beau-père Robert qui a été le

premier à m'encourager à poursuivre des études doctorales. Je veux remercier mon grand-père Gérard qui a été un véritable modèle par ses valeurs et sa vision de la vie. Je veux remercier mon parrain Yvon qui, outre son support nancier qui m'a permis d'accomplir ce doctorat, a toujours été présent pour moi.

Finalement, je désire remercier mon amoureuse Jessika qui m'a oert la source d'énergie la plus incommensurable qui soit : son amour. Je suis énormément chanceux que l'on puisse par-tager nos vies et de t'avoir à mes côtés pour surmonter les diérentes épreuves. Une mention spéciale à ma plus belle réalisation, mes petits amours Dahlia et Coralie qui ont su embellir ma vie par leurs sourires, leurs câlins et leurs joies de vivre.

Chapitre 1

Introduction

1.1 Mise en contexte

Les avancées technologiques des dernières décennies ont permis de réduire considérablement la consommation énergétique de nombreux appareils électroniques (e.g. cellulaire, lecteur MP3, capteurs) ce qui a permis de gérer leurs alimentations électriques sans l'usage de ls. Cepen-dant, l'utilisation de piles électriques comme source d'énergie n'est pas toujours une alternative adéquate, que ce soit pour une question environnementale ou simplement pour éviter d'eec-tuer la maintenance de ces appareils. Une solution élaborée dans la documentation scientique est de récupérer les pertes énergétiques générées par un système mécanique (e.g. thermiques, acoustiques, vibratoires). Cette récupération permet de rendre un système mécatronique (e.g. un capteur de pression dans un pneu d'automobile, capteur de déformation sur une aile d'avion, capteur de température dans un système de chauage) indépendant d'un point de vue éner-gétique en emmagasinant cette énergie pour une utilisation ultérieure. Selon cette solution, il est envisageable de produire des appareils complètement autonomes où cette autonomie est assurée par un système de récupération d'énergie.

Une source d'énergie intéressante est l'énergie cinétique provenant des vibrations d'une struc-ture. Un récupérateur d'énergie vibratoire est composé d'une structure vibrante, d'un méca-nisme de conversion et d'un circuit électrique permettant le stockage énergétique. Divers mé-canismes de conversion peuvent être utilisés pour transformer l'énergie mécanique en énergie électrique an de l'emmagasiner tels que la piézoélectricité, l'électromagnétisme ou la magné-tostriction. Un nombre croissant de travaux a été publié dans la dernière décennie concernant la récupération d'énergie vibratoire. Parmi ces travaux, des études ont proposé des modèles théoriques de ce phénomène électromécanique, validé ces modèles expérimentalement et mis en évidence des éléments clés permettant de maximiser les performances d'un tel récupérateur. Par contre, ces éléments ne sont applicables que sous certaines conditions d'opération ce qui limite les performances du récupérateur classique tel que décrit ci-après.

1.2 Problématique

La gure1.1(a) montre une conguration classique de récupérateur d'énergie vibratoire qui a été étudiée à maintes reprises. Celle-ci utilise la piézoélectricité et consiste en une poutre com-posite en porte-à-faux avec des céramiques piézoélectriques intégrées. Lorsqu'un mouvement d'accélération a(t) est appliqué à la base, ces céramiques sont sollicitées en tension-compression via la exion de la poutre et produisent une tension électrique v(t). Il a été démontré dans la do-cumentation scientique qu'un tel récupérateur excité par une source harmonique (i.e. contenu fréquentiel composé d'une seule composante) est ecace sur une faible bande de fréquences qui doit coïncider avec sa fréquence de résonance. En eet, les performances chutent radicalement lorsque l'excitation s'éloigne de la fréquence de résonance [1] telle qu'illustrée à la gure 1.1 (b). En pratique, les sources d'excitation sont rarement harmoniques et s'étendent plutôt sur une large bande de fréquences. Dans ce cas, le récupérateur classique est peu performant et des conceptions alternatives doivent être proposées an d'élargir la bande de fréquences où le récupérateur est ecace. Alors que de nombreux travaux ont été publiés pour des sources harmoniques, peu de travaux l'ont été concernant la récupération d'énergie pour des sources à larges bandes (e.g. source vibratoire aléatoire de type bruit blanc).

a(t) v(t) (a) (b) Pu is sa nc e ré cu pé ré e Céramiques piézoélectriques Poutre métallique Fréquence d'excitation Fréquence de résonance

Figure 1.1: (a) Conguration classique d'un récupérateur d'énergie vibratoire piézoélectrique et (b) courbe typique de la puissance récupérée par cette conguration.

1.3 Objectifs

L'objectif principal de ce projet de recherche est de proposer et d'évaluer une architecture électromécanique permettant de récupérer ecacement de l'énergie provenant d'une source vibratoire, qu'elle soit déterministe ou aléatoire. An d'atteindre cet objectif principal et ré-soudre la problématique de ce projet de recherche, les objectifs spéciques suivants sont posés :

ˆ Faire une analyse de la documentation scientique au niveau des systèmes existants pour la récupération d'énergie vibratoire de sources à large bande an de proposer une architecture innovante.

ˆ Modéliser le comportement électromécanique de l'architecture proposée an d'optimiser ses performances, peu importe la source vibratoire d'excitation.

ˆ Eectuer une étude paramétrique de l'architecture proposée an de comprendre l'inuence de chacun de ses paramètres sur les performances pour diérentes sources vibratoires. ˆ Utiliser les résultats d'optimisation pour concevoir l'architecture proposée pour des cas

d'ap-plication spéciques.

1.4 Organisation de la thèse

Chapitre 2 : Revue de documentation scientique et proposition d'une

architec-ture innovatrice

Ce chapitre présente d'abord le principe de fonctionnement de la récupération d'énergie vi-bratoire. Suite à cette présentation, une classication des diérents signaux vibratoires est proposée. Elle divise un signal vibratoire en deux catégories principales, soit un signal déter-ministe ou un signal aléatoire. La revue de documentation scientique est ensuite entamée. Premièrement, elle présente les travaux les plus marquants qui ont étudié un récupérateur d'énergie vibratoire excité par une source déterministe et harmonique. Ces travaux ont permis d'établir des lignes directrices de conception d'un récupérateur ecace qui sont également présentées. Deuxièmement, cette revue introduit des travaux plus récents qui ont abordé la récupération d'énergie à partir d'une source vibratoire aléatoire. Une réponse élaborée dans la documentation scientique lorsque la source vibratoire n'est pas harmonique consiste à élar-gir les performances du récupérateur sur un plus grand spectre fréquentiel. Troisièmement, cette revue hiérarchise les principales stratégies permettant d'élargir les performances, soit l'ajustement de la fréquence de résonance, les architectures à plusieurs modes vibratoires, la conversion de l'excitation par usage d'impacts et les architectures non-linéaires. Suite à la revue de documentation scientique, une architecture électromécanique prometteuse de récu-pérer de l'énergie ecacement à partir d'une source déterministe ou aléatoire est proposée. Cette architecture sera étudiée dans la suite de cette thèse.

Chapitre 3 : Modélisation et optimisation d'une architecture de récupération d'énergie vibratoire

Ce chapitre cherche à accomplir deux réalisations. Dans un premier temps, une modélisation électromécanique des performances de récupération de l'architecture de récupération d'éner-gie est réalisée. Pour ce faire, une approche variationnelle est d'abord appliquée à un seul récupérateur piézoélectrique. An de ne pas être limité à des structures ayant une solution analytique, une modélisation semi-analytique est utilisée pour déterminer les paramètres élec-tromécaniques du récupérateur. Une fois appliquée à chacun des récupérateurs composant l'architecture, une modélisation adimensionnelle est ensuite élaborée an de prédire sa densité de puissance adimensionnelle de l'architecture. Pour s'assurer de la validité des prédictions du modèle, un prototype de l'architecture composé de deux récupérateurs est conçu et testé. Une fois validé, ce modèle peut être utilisé pour optimiser les performances de l'architecture. Dans un second temps, une procédure d'optimisation est ensuite présentée mettant en évidence les variables d'optimisation, les contraintes d'optimisation, les fonctions objectifs ainsi que les méthodes d'optimisation. Cette procédure varie selon la source vibratoire considérée. L'ana-lyse des résultats d'optimisation sera par la suite eectuée sous forme d'études paramétriques. Ce chapitre se conclut donc en détaillant ces études, c'est-à-dire en introduisant les sources vibratoires considérées, les architectures simpliées de récupération d'énergie étudiées et les paramètres indépendants analysés.

Chapitre 4 et chapitre 5 : Études paramétriques

Le chapitre4 présente la première étude paramétrique réalisée dans cette thèse. Elle analyse les résultats d'optimisation lorsque l'architecture est excitée par une source vibratoire déter-ministe et harmonique. Pour ce faire, les résultats sont présentés pour quatre architectures simpliées, soit le récupérateur classique, le récupérateur à impédance ajustable, le vecteur de deux récupérateurs et le vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables. Le chapitre 5 présente la seconde étude paramétrique réalisée dans cette thèse. Elle analyse les résultats d'optimisation lorsque l'architecture est excitée par une source vibratoire aléatoire. Quatre sources vibratoires sont considérées dans cette étude. Les trois premières sont des sources sta-tionnaires, soit une source de type bruit blanc, une source de type passe-bas et une source de type passe-bande. La quatrième est une source non-stationnaire. Pour chacune de ces sources, les résultats sont analysés pour le récupérateur classique et le vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables. Dans chacun de ces chapitres, le critère de performances est d'abord présenté qui est la densité de puissance adimensionnelle lorsque la source vibratoire est sta-tionnaire et la valeur minimale de la réponse fréquentielle lorsqu'elle est non-stasta-tionnaire. Une analyse détaillée est ensuite réalisée qui permettra de déterminer l'inuence de chacun des paramètres composant l'architecture sur les performances.