Impédances mécanique et acoustique

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Impédances mécanique et acoustique

F. Bedeau

To cite this version:

IMPÉDANCES

MÉCANIQUE

ET

ACOUSTIQUE

Par F. BEDEAU

_(1).

Sommaire. 2014 Depuis une vingtaine d’années la _{technique acoustique} a fait des _{progrès considérables ;}

une _{partie importante} de ce progrès est due à ce _{que, dans bien des cas,} on _peut constater une

_analogie

étroite entre certains _{phénomènes mécaniques} et _électriques d’une _part, et certains _{phénomènes acoustiques} et radioélectriques d’autre part. Il va de soi que si le _{phénomène électrique} ou radioélectrique a été

complètement étudié, l’étude du _{phonomène mécanique} ou _acoustique sera _{grandement simplifiée.}

Une notion importante utilisée en électrotechnique est la notion _{d’impédance ;} cette notion a été introduite tant en acoustique qu’en mécanique. Elle a été introduite en acoustique par H. Brillié ; ce dernier a _publié, en _1919, dans le « Génie civil », une série d’articles absolument fondamentaux et assez rarement

cités ; il est assez _{curieux, d’ailleurs,} de remarquer que H. Brillié fait à _peine allusion dans ses articles

aux _{analogies acoustique} et mécanique. En février 1923, Kennelly a publié, dans les « Annales des P. T. T. », un célèbre article concernant l’étude théorique et _{expérimentale} du récepteur téléphonique; dans cette étude _Kennelly définissait _{l’impédance} mécanique.

D’innombrables articles ont été, à l’étranger, consacrés à ces _{questions ;} de véritables traités ont été

publiés (2). En France la littérature est assez _{pauvre ;} nous citerons toutefois un _important article de Ph. Le _{Corbeiller (Le haut-parleur,} « Annales des P. T. T. » octobre _1927), une conférence au Conservatoire des Arts et Métiers de P. David _{(L’Electroacoustique,} Hermann, édit. _1930), un article de M. Prache

(Le Cinéma Parlant, Bulletin de la Société _Française des _{Electriciens,} décembre 1931) et l’excellente brochure de Ph. Le Corbeiller _{(Electro-acoustique,} Chiron, édit. _{1934). Signalons} encore _{que les notions} d’impédance acoustique sont _exposées dans _l’ouvrage de A. Foch _{(Acoustique, Colin, éditeur)} et que ces

notions ont permis la réalisation de filtres acoustiques. Nous ne parlerons pas de ces _derniers, M. Canac

ayant écrit à leur sujet un article dans le Journal de

_Physique

_{(7, 1926, p. 161).} Nous nous _proposons d’exposer dans cet article, aussi _rapidement que possible, les _procédés de calcul utilisés aujourd’hui par les _ingénieurs électroacousticiens.

Nous classerons les circuits électriques en deux grands groupes. Le premier groupe comprendra les circuits dont les dimensions sont assez faibles devant la _longueur d’onde pour qu’il n’y ait pas lieu

d’appliquer l’équation des _{télégraphistes ;} ces circuits nous mèneront à la notion

_{d’impédance}

_mécanique. Le second groupe comprendra les circuits dont les dimensions sont telles qu’il est nécessaire d’utiliser

l’équation des télégraphistes; ils nous mèneront à la notion d’impédance acoustique.

Etude de circuits du

_premier

_{groupe. -}

Impé-dances

_électrique

et

_{mécanique. -}

Si on considère un circuit

_comportant

en série une self

L,

une

résis-tance .R et une

_capacité

_C,

on _a, en

_désignant

_{par i le}

courant et e la force électromotrice

En

_{régime permanent}

_(nous

nous

_{placerons toujours}

dans ce

_cas)

on a

Le vecteur

_Z,

de module est

l’impédance électrique.

" ’ ’

Si d’autre

_part

on considère une masse m fixée à un ressort de coefficient de

_{raideur s,}

si cette masse est soumise d’une

_part

à une force de frottement

propor-tionnelle à sa vitesse v et d’autre

_part

à une force vibromotrice sinusoïdale

_F,

on a

~ (1) Exposé général devant la Société française de Physique .

(15 mars 1935).

(’) CRANDALL. « _{Theory of vibrating Systems} and Sound », van _{Nostrand, edit., New-York,} 1921 0LsoN et MASSA, des laboratoires de la R. C. A. Victor, « _Applied Acousttcs », Blakiston’s

Son and Co, Philadelphie, 1934 ; « Technische Akustik » deux volumes publiés sous la direction de _{NNTaetzmann, Leipzig,} 1934.

Par suite on _pourra, en

_régime

_permanent,

écrire

z est

_{l’impédance mécanique;}

le circuit

_électrique

étudié est le circuit

_équivalent

du

_système

_{mécanique ;}

il suffit de faire

_correspondre

la masse à la

self,

la raideur à l’inverse d’une

_capacité...

etc...

Première

_application.

-

Considérons

_un

dia-phragme

de

_{haut-parleur ;}

c’est un tronc de cône en

papier

D

_{(fig. i) suspendu}

à sa

_grande

et à sa

_petite

base par deux anneaux de matière

_souple

C et S :

C est la

_{collerette, S}

le

_spider;

sur un

_cylindre

de

papier

B est enroulé le fil parcouru par le courant

modulé;

un

_{champ magnétique}

radial et constant H

est

_disposé

normalement aux arétes de

B ;

par suite

l’ensemble est soumis à une force F. La bobine B est

collée à D sur le

_{pourtour a}

de la

_petite

base;

ce

joint

est

_plus

ou moins

_élastique;

il en est de même _pour le

joint

b.

Pour obtenir le circuit

_équivalent

nous

remplace-rons F _par une force

_{électromotrice;}

les masses m~, ma de la bobine, du

diaphragme

et de la collerette par

384

des

_{selfs ;}

toutes _{les raideurs par} des

_capacités.

Nous remarquerons que si la raideur

augmente,

la

_capacité

/ 1B

équivalente

diminue

S

deux cas sont alors à

B

C/

distinguer.

Si une

_augmentation

de raideur favorise la

transmission du mouvement, le condensateur devra être

_placé

en

_parallèle,

car une

_capacité

en série

_qui

diminuerait

_gênerait

_{le passage du}

courant;

inverse-ment si une

_augmentation

de raideur

_gêne

la

transmis-sion du

_mouvement,

le condensateur

_équivalent

devra être

_placé

en série.

Fig. 2.

Fig. L

Visiblement une

_augmentation

de la raideur de S ou

de C

_gêne

la transmission du

_mouvement;

une

augmen-tation de la raideur de a ou b la

_{favorise ;}

_{par suite le} circuit

_équivalent

est celui de la

_figure

_{2 ;}

nous obte-nons un ensemble de trois circuits

_couplés,

ensemble

complètement

étudié. En

_général

on aura trois

fré-quences de résonance et deux

fréquences

d’antiréso-nance ; c’est bien ce _{que montre}

_{l’expérience.}

Pour les

_fréquences

_basses,

les condensateurs et b

auront une

_impédance

_élevée;

on _{pourra les}

_supprimer

et le circuit se réduira à un circuit

résonnant;

c’est à

ce circuit que

_correspond

la

_{première fréquence}

de résonance de l’ordre de

_100,.pour

les

_{haut-parleurs}

usuels.

Seconde

_{application. -}

On

_imprime

fréquem-ment sur les cônes de

_haut-parleur

des sortes de cannes

lures annulaires dénommées

_{úorrugations (fig}

_3).

Dési-gnons par ne, m3 les masses du cône

_comprises

entre deux

_{corrugations,}

_{par si ,} s,, s3 les raideurs des

corrugations

et proposons-nous d’étudier le

mouve-ment ;

en

_définitive,

on

_peut

_{dire que la} masse _nal, est reliée à la masse m~ par l’intermédiaire d’un ressort

de raideur si

_{(fig. 4).}

Sous l’action de la force

F,

la

masse m1

_prend

une

_élongation

_{xi ;} le mouvement se

transmet _{à ne,}

_{qui prendra}

une

_élongation

x, ;

l’équa-tion du mouvement de mi est

Le

_problème

est certainement assez

_long

à traiter dans

toute sa

_{généralité.}

Considérons alors le circuit

élec-trique équivalent (fig.

5)

désignons

par V la tension

aux bornes de

C,,

on a

Fig. 3. Fig. 5.

De l’identité des

_équations

nous déduisons l’identité

des

_{propriétés ;}

or le circuit

_électrique

n’est autre

qu’un

filtre

_{passe-bas (sous}

la réserve de ce _que

L2 =~,L1- ~1,3

et que

l’impédance

terminale soit

con-venablement

_choisie);

la

_fréquence

_{de coupure}

_fo

est donnée par

Nous n’insisterons pas, car il

_n’y

aurait

_{plus qu’à}

développer

la théorie des

filtres,

Il est toutefois assez intéressant _{de remarquer} encore

qu’une

ligne

pupinisée

n’est autre

_qu’un

_filtre

passe-bas ;

or

_Pupin

avait

_calqué

sa théorie des

_lignes

sur la

théorie que

Lagrange

avait

_exposée

dans sa «

Méca-nique analytique »

(3e

Edit. p.

353)

au

_sujet

des cordes

chargées

de masses

_pesantes

_(selfs)

en des

_points

régu-lièrement

_espacés.

Ainsi,

comme il est bien connu, ce sont les modèles

mécaniques qui

ont,

au

_début,

_guidé

les

électriciens ;

aujourd’hui grâce

aux

_progrès

de la

_technique

élec-trique

les rôles sont

_{renversés ;}

mécaniciens et

acous-ticiens font leur

_profit

des modèles

_électriques

_pour réaliser de nouveaux modèles

_mécaniques.

Remarque. -

Dans les

_{exemples qui précèdent}

l’équivalent

d’une self était une masse animée d’un

mouvements de translation. On

_peut

évidemment faire

des

_analogies

entre les

_systèmes

_mécaniques

compor-tant des mouvements de rotation et les circuits

élec-triques

en vertu de

_{l’équation.}

a

_désignant

un

angle,

Ii un moment

_d’inertie,

4 d d a t,

Ci

dt et F des

_couples.

Dans l’industrie du cinéma sonore et de

l’enregistre-ment des

_disques,

on a besoin de moteurs tournant

avec une vitesse

_{angulaire rigoureusement}

_{constante ;}

rotation par des engrenages,

lesquels

provoquent

de

petits à-coups.

On intercalera entre le dernier arbre

d’entraînement et le

_disque

à entraîner un filtre

méca-nique passe-bas.

Le

_principe

de ce filtre

_mécanique

est

représenté

sur la

_figure

_{6 ;}

le

_disque

A est _{entraîné par}

Fig. 6.

la manivelle

M;

les

_disques

_{B, C, D,}

montés fous sur le même axe sont reliés les uns aux _{autres par des}

res-sorts ;

si on

_imprime

à la manivelle des mouvements

de

va-et-vient,

le mouvement ne se _{transmettra pas} au

disque

D pour une

_fréquence

_fo

telle que

Il en résulte que si le

_disque

A est relié au moteur

par un

_{système d’engrenages,}

alors même que le

mou-vement ne serait pas

rigoureusement

_uniforme,

celui

de D le serait.

Troisième

_application.

- Un écouteur

télépho-nique

et un

_haut-parleur

_peuvent

être

_envisagés

comme

des moteurs

_{d’impédance}

interne a débitant sur une

impédance

externe z’.

La membrane de l’un ou de l’autre de ces

_appareils

a

une masse m ; elle est soumise à une force de frottement

(même

dans le

_vide)

et à une force de

_rappel.

Par

suite,

cette membrane est assimilable à un moteur

d’impé-dance interne = X

_{-f- j}

Y.

Lorsque

la membrane vibre dans

_l’air,

ce dernier

oppose au mouvement une certaine

_impédance

définie

comme le

_quotient

de la force

_pressante

à la vitesse

vibratoire. Lord

_Rayleigh

₍₁₎

a fait une étude

_complète

de la réaction de l’air sur un

_piston

animé d’un mou-vement

_{sinusoïdal ;}

on trouve

S

_désignant

la surface du

_piston,

c la vitesse du _son,

p la masse

_spécifique

de

l’air, A

et Il des

_expressions

numériques dépourvues

de dimensions et dont des

tables ont été dressées en fonction

de 2 î-0

ro

dési-),

gnant

le rayon du

piston.

Les courbes de la

_figure

7

2iry*

donnent A et B en fonction de

-.

.

),

La vitesse efficace

_Vo

du

_diaphragme

sera donnée en

fonction de la force efficace _{par la formule}

(1)

Theory o f

Sound ₀₁₅₂ 302, 2 Ed. _{Maclnlllau, 1929).}

et la

_puissance

_acoustique

_rayonnée

l’ par la formule

Fig.7.

Il est bien connu _{des électriciens que pour obtenir la}

puissance

maxima,

il faut réaliser

_{l’égalité}

des modules

des

_impédances

externe et interne

égalité

que nous

_écrirons

_{1 z}

₁

_{_ ~ 1 z’ 1}

-Si même on

_{pouvait agir séparément}

sur X’ et Y’ il

faudrait

_prendre

c’est-à-dire réaliser une

_impédance

externe

_égale

à la

conjuguée

de

_{l’impédance}

interne.

Envisageons

alors le cas d’un écouteur

_{téléphonique}

qui

ne _{serait pas}

_appliqué

à

l’oreille;

connaissant S ainsi

_{que A}

et B on

_peut

calculer X’ et

_{~" ;}

d’autre

part

au _{moyen d’une méthode}

_indiquée

_par

_Kennelly

on

_peut

mesurer

_{l’impédance}

_totale;

on constate alors que, sauf au

_voisinage

d’une

_fréquence

de résonance de l’orrire de 800

_{périodesiseconde,}

le module de

l’impé-dance interne est

très

_grand

devant celui de

l’impé-dance

_externe;

on

_s’explique

ainsi

_pourquoi

la

puis-sance

_rayonnée

est très

_{faible ~si}

l’écouteur est

_appliqué

à l’oreille

_{l’impédance}

externe est

_{complètement}

mo-difiée du fait de l’existence d’une chambre de com- .

pression).

Deux moyens s’offrent à nous _{pour accroître la}

puis-sance

_{rayonnée ;}

le

_premier

consisle à

_augmenter

~,~;

on obtient ainsi le « diffuseur f>. On n’oubliera

d’ail-leurs pas que le diffuseur rayonne par ses deux

_{faces ;}

par suite la

surface 8,

dans la formule

tlonliant z,

est

la somme des surfaces avant et arrière.

Le second moyen consiste à utiliser un

_{pavillon ;}

ce

pavillon joue

en

_acoustique

le rôle de l’antenne dans

un

_poste

émetteur

(Hanna

et

_Slepian,

J.

_o/

the lnst.

_ol’

Electr. mars

_{1924) ;}

c’est

_l’organe

de

rayonnement.

Or on sait calculer

l’impédance

méca-nique

d’un

_{pavillon, impédance}

_qui,

de _{même que celle}

du

_piston,

est de la forme

A et B

_prennent

évidemment des valeurs différentes suivant la forme du

_{pavillon (conique, parabolique,}

suffisam-386

ment

_élevées,

on a _{sensiblement pour les}

_pavillons

et pour le

piston A -

i et B =

0 ;

l’impédance

méca-nique

est alors réelle et de valeur

à ~0° et en unités G. G. S.

Nous en _{concluons que, si} on

_adopte

un

_pavillon

de section d’entrée ~S à un

_diaphragme

de surface

égale,

l’impédance

externe sera la même

_(au

_{moins pour les}

sons

_aigus)

_{que si le}

_diaphragme

vibrait directement dans l’air. Nous sommes donc encore dans les

condi-tions fâcheuses où un moteur

_{d’impédance}

interne

élevée ) z )

1

débite sur une

_impédance

_{faible 1 z’ 1}

. S’il

s’agissait

de circuits

_électriques

la

_question

ne

soulè-verait aucune

_difficulté;

on intercalerait entre le moteur

et le

_récepteur

un transformateur de

_rapport

de

trans-formation in _{déterminé par la condition,}

Désignant

par

Ez, Il,

I,,,

les modules des tensions aux

bornes du secondaire et du

_primaire

et les modules

des courants dans ces

_circuits,

_par

_N~~

et

Ni

les nombres de tours de

_fil,

on a

On a encore

d’où

On _{voit que} tout se _passe comme si le transformateur

(supposé

parfait,

c’est-à-dire

_dépourvu

de résistance et de fuites

_{magnétiques)}

était

_{supprimé, l’impédance}

’

étant intercalée directement dans le

_primaire.

_p Par

suite on

_peut

encore _{dire que tout} se _passe comme si

la source

_{d’impédance}

interne

_Izi

débitait sur une

|z’|

impédance

externe =

Le

transformateur est un

m

-adaptateur d’impédance;

il

_permet

de se

_placer

tou-jours

dans le cas où les modules des

_impédances

interne

et externe sont

_égaux.

Il faut donc trouver en

_acoustique

_{l’équivalent}

d’un

transformateur;

cet

_équivalent

c’est tout

_simplement,

ainsi que l’ont montré Maxfield et Harrisson

_(Bell

Sys-lein Techn. J.

_juillet

_1926),

la chambre de compres-sion intercalée entre le

_diaphragme

et le

_pavillon.

Considérons

_{(Fig. 8)}

le

_diaphragme

de section

Si

placé

à 1"entrée d’une chambre de très faible volume

communiquant

elle-même avec l’entrée du

_pavillon

de

section

S,.

Supposons

d’abord l’air

incompressible;

la

pres-sion p

à l’intérieur de la chambre est la même en tous

les

_points

à un instant donné.

Désignons

alors par

~’~,

vi v~ _{les forces}

pres-santes et les -vitesses au

_voisinage

du

_diaphragme

et à l’entrée du

_pavillon,

on a

d’où

Fig. 8.

La chambre de

_{compression joue}

donc le rôle d’un transformateur dont le

_rapport

de transformation m

est

_égal

au

_rapport

des sections.

Tout se _passe comme si le

_diaphragme,

moteur

d’im-pédance

interne

1 z’ 1

, débitait sur une

impédance

externe.

Pour les

_fréquences

élevées on a Enl’absence

de chambre de

_compression

_{l’impédance}

_opposée

au

diaphragme

eût été

S1

c _p; nous savons

_qu’elle

était

trop

faible ;

nous _{voyons que}

_grâce

à notre

transforma-teur elle a été

_multipliée

_p

SI -

_par

S2

En fait on a

adopté

_pour

82

la valeur standard

2,45

cm2

_{correspondant}

à un cercle de

17~5 mm

de diamètre.

En réalité _{l’air n’est pas}

_{imcompressible,}

sa « raideur »

n’est pas

infinie ;

observons que si cette « raideur » de

l’air

_augmentait,

le mouvement se transmettrait

mieux,

par suite cette « raideur » doit être

_{représentée}

_par un condensateur de

_capacité

C

_placé

en

_parallèle

aux

bornes du

_primaire

de notre transformateur. Pour cal-culer C nous examinerons ce

_qui

se _passe

_lorsque

le secondaire est en circuit ouvert

_{(z’ =- oc , S,}

‘

0,

chambre

_fermée).

Le calcul est

_{classique ;}

c’est celui

utilisé dans l’étude des résonateurs.

Fig. 9.

On a, en

_désignant

_{par y} le

_rapport

des chaleurs

spécifiques,

par

V.

le volume de la

chambre,

par

d V =

_{Si ;}

dx la variation de

_volume,

_par

_dp

la varia-tion de

_{pression (désignée}

_{par p} dans les

_équations

s

désigne

_par définition la « raideur de

l’air » ;

on a _par

suite

la

_capacité

C est d’autant

_{plus petite}

et _{par suite la}

compressibilité

de l’air intervient d’autant moins que

le volume de la chambre est

_plus

faible et la section

S,

plus

grande ;

la distance

_comprise

entre

et 82

doit

donc être très faible.

Le circuit

_électrique

étant

_parfaitement

connu, il est aisé de calculer le module

V2

de la vitesse v2 à l’entrée

du

_pavillon

en fonction du

_{module v,}

de la vitesse

1’1 du

_{diaphragme ;}

on trouve

Pour les sons

aigus

Terminons ce

_sujet

en

_indiquant

_que Rocard a étudié la formule dans le cas

_{général (Brevet}

_français

349-514

du ~9

_{Mars J033).}

Fig. i 0.

Quatrième application. -

Maxfield et Harrisson ont cherché le circuit

_électrique

équivalent

à l’ensemble

de

_l’aiguille

et du

_{porte-aiguille}

d’un

_phonographe.

Soit

Fi

et

~’2

les forces aux extrémités du levier

supposé rigide,

vi et v2 les vitesses de a et b on a

d’où

Soit encore

_I,

et

₁₁

les moments d’inertie des bras

Il

et

l.,

par

rapport

à l’axe

0,

posons

Fig. 1 L

Le circuit

_{électrique équivalent comportera}

_{(fig. li)}

les selfs mi et mz, ainsi que le transformateur du

rap-port

m.

En fait le bras Oa _{n’a pas} une

_{rigidité infinie ; lorsque}

la raideur du bras Oa

_croît,

le mouvement se transmet

mieux;

cette raideur sera

_{représentée}

_{par la}

_{capacité C,}

qui

deviendrait nulle pour une raideur

_{infinie ; de}

mêm e

la raideur du bras Ob sera

_{représentée}

_par

_C,.

Enfin,

le tourillon 0 serré dans les coussinets

pré-sente une raideur

_qui

si elle était

_infinie,

_empêcherait

toute transmission de mouvement

en b ;

cette raideur

est donc

_{représentée}

_{par le condensateur}

C~.

Le mouvement se transmet de b à des

_pièces

non

figurées

(un

diaphragme

par

exemple,

lui-même

suivi d’une chambre de

_compression

et d’un

_{pavillon) ;}

bref l’ensemble débite sur une certaine

_impédance

de sortie et on est ramené à un circuit

_électrique

com-plètement

étudié. En

_{particulier l’aiguille}

et le

porte-aiguille

ayant

pour circuit

équivalent

un circuit

com-prenant

des selfs et

_capacités

en

_{parallèle jouent}

le rôle

d’une cellule de filtre _passe

bande;

on

_peut

donc

pré-voir que pour certaines

impédances

de

_charge

le

mouve-ment ne sera transmis au

_diaphragme

_{que dans} un