Plan du cours :
I. Limites à l’infini
a) limite infinie à l’infini b) limite finie
II. limite d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel a) limite finie
b) limite infinie
III. Opérations sur les limites
IV. Théorèmes de comparaisons
V. Limites et formes indéterminées
VI. Récap sur les limites et asymptotes
VII. Quelques compléments sur les limites.
- LIMITES DE FONCTIONS –
I. Limites à l’infini a) Limite infinie à l’infini
Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite + quand x tend vers + et on note lim ( )
x f x
→+ = + lorsque tout intervalle de la forme
A;+
inclus dans l’ensemble de définition, contient toutes les valeurs f x( )
pour x assez grand.C’est-à-dire que pour tout réel A, il existe un réel m tel que si xmalors f x
( )
AQue traduisent les écritures : lim ( )
x f x
→+ = − lim ( )
x f x
→− = + lim ( )
x f x
→− = −
Fonctions usuelles :
*
*
*
lim
lim pour tout
lim pour tout et impair lim pour tout et pair
x n x
n x
n x
x
x n
x n
x n
→+
→+
→−
→−
= +
= +
= −
= +
b) Limite finie à l’infini
Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite l quand x tend vers +∞ et on note
( )
xlim f x l
→+ = lorsque tout intervalle ouvert de la forme
l−;l+
contient toutes les valeurs( )
f x pour x assez grand.
C’est-à-dire que pour tout intervalle ouvert I, contenant x, il existe un réel m tel que si xm
alors f x
( )
IDéfinition : si lim
( )
x f x l
→+ = ou lim
( )
x f x l
→− = , alors on dit que la droite d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞
Que traduit l’écriture : lim ( )
x f x l
→− =
Magnard : Exercice résolu n°1 page 53
II. Limite infinie d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a ou dont a est une borne (f peut ne pas être définie en a).
Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite + quand x tend vers a et on note
( )
limx a f x
→ = + lorsque tout intervalle de la forme A;+ contient toutes les valeurs f x
( )
pour x assez proche de a.
Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite − quand x tend vers a et on note
( )
limx a f x
→ = − lorsque tout intervalle de la forme −;A contient toutes les valeurs f x
( )
pour x assez proche de a.
Définition : si lim
( )
x a f x
→ = −ou lim
( )
x a f x
→ = +, alors on dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f.
Lorsqu’on considère uniquement les réels de l’intervalle
a a; +
, on parlera de limite à droite en a, ou de limite en a par valeurs supérieures, et on notera lim ( )x a x a
→ f x
Lorsqu’on considère uniquement les réels de l’intervalle
a−;a
, on parlera delimite à gauche en a, ou de limite en a par valeurs inférieures, et on notera lim ( )
x a x a
→ f x
Exemple : la fonction inverse n’a pas de limite en 0, elle a une limite à gauche en 0, et une limite à droite en 0.
0 0
lim1
x
x→ x = − et
0 0
lim1
x
x→ x = +
Magnard : Exercices résolus n°2 & 3 page 55
III. Opérations sur les limites Les opérations se font de la même manière que pour les suites.
Les limites peuvent être cherchées en -∞, +∞, en (à droite ou à gauche).
Soient l et l’ deux réels. En un réel ou en +ou en − on a :
On remarque donc 4 cas d’indétermination qui sont « − » ; « « 0 ; « » ; « 00 » Forme indéterminée ne signifie pas que la limite n’existe pas mais que la forme de
l’expression ne permet pas de déterminer cette limite.
Magnard : Exercice résolu n°4 page 57
IV. Théorèmes de comparaisons Théorème des gendarmes :
Si, pour x suffisamment proche de a (a étant un réel ou un infini), on a f x
( )
g x( ) ( )
h xet si lim ( ) lim ( )
x a f x x ah x l
→ = → = alors lim ( )
x ag x l
→ =
Exemple : f x( ) xsin 1
x
= calcul de
lim ( )0
x f x
→ Df = *
(
Attention : lim sin n’existe pas)
x x
→+
Exemple : lim 2 sin
x
x
→+ x
− +
1 sinx 1
− de même 1 sin1 1
− x
donc pour tout xDf on a
0 sin1 x
x x x
x
−
ou
0 sin1 x
x x x
x
−
et ( )
0 0
lim lim 0
x x x x
→ = → − =
par le th des gendarmes on conclut que
0
lim ( ) 0
x f x
→ =
utiliser la calculatrice avec 2 types différents de fenêtre :
-5 ;+5 ;-2 ;+2 puis
-0,05 ;+0,05 ;-0,05 ;+0,05
pour voir l’asymptote à l’infini et le comportement en zéro
Magnard : Exercice résolu n°5 page 59
Extension du théorème des gendarmes à un seul gendarme ou théorème de comparaison :
Si, pour x suffisamment proche de a (a étant un réel ou un infini), on a f x( )g x( ) et si lim ( )
x a f x
→ = + alors lim ( ) .
x ag x
→ = +
De même si lim ( )
x ag x
→ = − alors lim ( ) .
x a f x
→ = −
Remarque : Le théorème est intuitivement évident :
Une fonction plus grande qu’une fonction qui tend vers + tend aussi vers +
Exemple : f x( )= −x sin
( )
x calcul de lim ( )x f x
→+ Df = − 1 sinx1 donc
1 sin 1
x− −x x +x donc pour tout xDf on a f x( ) −x 1 or lim( 1)
x x
→+ − = +
donc par le th 2) on conclut que lim ( )
x f x
→+ = +
V. Limites et formes indéterminées a) cas des fonctions polynômes
Exemple 1 : f x( )=x3−2x+1 lim ( )
x f x
→+ est une FI du type « − »
3 3
3
2 1
lim ( 2 1) lim (1 )
²
x x x x x
x x
→+ − + = →+ − + Or lim 3
x x
→+ = + et lim (1 2 13) 1
²
x→+ −x +x =
Donc d’après le théorème sur le produit des limites, on a lim ( )
x f x
→+ = +
Règle admise : La limite à l’infini d’une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.
b) cas des fonctions rationnelles Exemple 2 : ( ) ²
1 g x x
= x
+ lim ( )
x g x
→− est une FI du type « »
² ² 1 1
lim ( ) lim lim
1 1
1 1 1
x x x
x x
x x x
x x
→− →− →−
= = = −
+ + +
car lim 1 1 1 1
x
x
→−
=
+
Donc d’après le théorème sur le produit des limites, on a lim ( )
x g x
→− = −
Règle admise : La limite à l’infini d’une fonction rationnelle est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
c) Croissance comparée Exemple 3 : lim
x x
e
→+ x est une FI du type
lim =+
x x
e
→+ x
Démonstration : On pose ( ) 1 ²
2
f x =ex− x définie pour tout x '( )
''( ) 1
x x
f x e x
f x e
= −
= −
x − 0 +
''( )
f x - 0 +
'( )
f x 1
( )
f x 1
pour tout x
0;+
f x( )1 donc pour tout x
0;+
f x( )0pour tout x
0;+
1 ²2 ex x pour tout x
0;+
12 ex
x x or lim 1 2
x x
+ = + par le théorème de comparaison, on a
lim
x x
e
+ x = + de même on aura lim x 0
x
x
+e =
Magnard : Exercice résolu (FI) n°7 page 60
Exemple 4 :
0
lim 1 1
x x
e
→ x
− =
0
lim 1
x x
e
→ x
− est une FI du type 0
0
Exemple 5 : lim x 0
x xe
→− = lim x
x xe
→− est une FI du type 0
On pose X = −x lim lim
x x X X
− = − + = + et xex Xe X XX e
= − − = − or lim
X X
e
+ X = + donc
lim x 0
x xe
− =
d) cas divers
Exemple 6 : ( ) 9 ² 1x x définie sur *
h x x
= + + On s’intéresse à la limite de h en −
En− le numérateur est FI du type « − »
1 1 1
0 on a ( ) ² 9 9 1
² ²
x h x x x
x x x
= + + = − + +
9
lim 9 1 9 or lim 3 par composition lim ( ) 2
²
x X X x h x
→− x → →−
+ = = = −
Exemple 7 : ( ) 4 ² 6 2 définie sur ; 3
0;
p x = x + x− x − −2 +
On s’intéresse à la limite de p en + on a une FI du type « − » On utilise la quantité
conjuguée
(
4 ² 6 2)(
4 ² 6 2)
6( ) 4 ² 6 2 =
4 ² 6 2 4 ² 6 2
x x x x x x x
p x x x x
x x x x x x
+ − + +
= + − =
+ + + +
lim ( ) 3 2
x p x
→+ =
Exemple 8 : r x( )= x² 1+ −x définie sur
On s’intéresse à la limite de r en + on a une FI du type « − »
On utilise la quantité conjuguée
(
² 1)(
² 1)
1( ) ² 1 =
² 1 ² 1
x x x x
r x x x
x x x x
+ − + +
= + − =
+ + + +
lim ( ) 0
x r x
→+ =
Exemple 9 : ( ) x² x 1 définie sur *
s x x
= + +
On s’intéresse à la limite de s en + on a une FI du type « »
1 1
² 1 1 ² 1 1
( ) = 1 quand 0
²
x x x x x
s x x
x x x x
+ + + +
= = + + lim ( ) 1
x s x
→+ =
Exemples 10 variés :
lim 2
3 1
x
x x
→+ x
−
−
2
2 2
lim
7 3
x
x
→ x
−
+ −
lim 2
3 1
x
x x
→+ x
−
−
6
2 cos(2 ) 1 lim
6
x
x
x
→−
−
+
( )
( )
lim ² 2
lim ² 2
x
x
x x x
x x x
→+
→−
+ −
+ −
( )
( )
lim ² 2
lim ² 2
x
x
x x x
x x x
→+
→−
+ +
+ +
3 5 sin
lim 1
3 5 sin
lim 1
x
x
x x
x x
x x
x x
→+
→−
− −
+
− −
+
Magnard : Exercice résolu n°8 page 61
VI. Récap sur les limites et asymptotes
on reconnait
une sur les limites Graphiquement position de la courbe par
rapport à son asymptote
Asymptote Horizontale d’équation
y = b
lim ( ) =
x f x b
→
On étudie le signe de f(x) – b pour savoir laquelle des deux courbes
est au-dessus de l’autre.
Si f(x) – b < 0 alors la courbe est en dessous
de son asymptote.
Si f(x) – b > 0 alors la courbe est au-dessus
de son asymptote
Asymptote Verticale d’équation
x = a
lim ( ) ou
x a f x
→ = + −
Asymptote Oblique d’équation
y = ax + b
Si lim ( ) =
x f x
→
Et si
lim ( ) ( ) 0
x f x ax b
→ − + =
Exemple 10 : ( ) 1
h x 1
= x
− fonction définie sur
− +;1
1;
Comme lim ( ) = 0
x h x
→ on en déduit que la droite d’équation y = 0 est asym horizontale Comme
lim ( ) = 1
x h x
→ on en déduit que la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale Exemple 11 : k x( ) x 1
= − x fonction définie sur
−;0
0;+
Comme lim ( ) =
x k x
→ on en déduit qu’il y a possibilité d’avoir une asymptote oblique Comme lim( ( ) ) = lim 1 0
x k x x x
→ → x
− − =
la droite d’équation y =x est asymptote oblique.
Comme
0
lim ( ) =
x k x
→ on en déduit que la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale Comme k x( ) x 1
− = −xon en déduit le signe et la position de la courbe par rapport à son asymptote : la courbe est au-dessus de son asymptote quand x < 0
La courbe est en dessous de son asymptote quand x > 0
Exemple 12 : ( ) 4 ² 2
2 1
l x x x
= −
+ montrer que la droite D d’équation y =2x−1 est AO à Cl
l est une fonction définie sur ; 1 1;
2 2
− − − +
.
Comme lim ( ) =
x l x
→ on en déduit qu’il y a possibilité d’avoir une asymptote oblique.
Comme lim( ( ) (2 1) = lim) 1 0
2 1
x l x x x
→ → x
− − − + = la droite d’équation y=2x−1est asymptote oblique. Le signe de l x( )−(2x−1) donne la position relative de Cl et deD.
Si 1
x −2 alors C< D et Si 1
x −2 alors C > D
Magnard : Exercice résolu n°6 page 59
VII. Compléments
Croissances comparées :
lim =+ lim =0 lim ln =0
x
x
x x x
e x
x xe x
→+ →− →+
Exemple 16 : 1 1 f ( x ) ln x
ln x
= −
+ quelle est la limite quand x tend vers 0 ?
A connaitre :
0 0
1 sin
lim =1 lim =1
x
x x
e x
x x
→ →
−
(dem faite dans chap trigo)
Dem : On pose f x
( )
=ex; f '( )
x =ex et ( ) ( ) ( )0 0
0 1
' 0 lim lim
0
x
x x
f x f e
f → x → x
− −
= =
− et f ' 0
( )
=e0 =1Exemple 17 :
cos 1
( ) 2 définie sur
3 3
x m x
x
−
= −
−
On s’intéresse à la limite de m en
3
on pose u x: cosx
( ) 3 3
on a ( ) ' sin
3 3 2
3
m
u x u
x D m x u
x
−
= − = = − = − 3
lim ( ) 3 2
x
m x
→
= −
Exemples 18 :
1
ln(2 1) ln 3
limx 1
x
→ x
+ −
− ; lim ln 3
x
x x
→+ x
−
:
2 3
lim ln
1
x
xe x
−
→−
+
+
« Apprendre à démontrer » lim =+
x x n
e
→+x page 62
Exercices sur le limites Exercice I. Limites des fonctions composées
I.
Exercice II.
II.
Exercice III. Théorème de comparaison
Exercice IV. Asymptotes
Exercice V. Courbe asymptote
Exercice VI. Fonction Catastrophe !
QCM 1 sur les limites – Pour chaque question il peut y avoir plusieurs affirmations exactes.
1. On considère la fonction f définie par : ( ) 3 2 2
3 3 1
2 2
x x x
f x x x
− + −
= − +
a. La fonction f est définie sur
b. Pour tout x , on a :
(1 ) (1 )
f −x = f +x
c. La fonction f est strictement croissante sur
d. La droite d’équation y= xest asymptote oblique à la courbe de f en + et en −
2. On considère la fonction f définie
par : f x( )=xE x( ) a. Sur tout intervalle du type
k k; +1 ,
k ,ona : f x( )=kx
b. f est définie sur − c. La fonction f est continue en 0 et l’on a
( ) ( )
0 0
lim 0 0
x x
f x f
→ x
− =
d. La fonction n’admet pas de limites en +
et en −
3. On considère la fonction f définie sur
−4; 4
par :( )
2 4, si 4; 2
2 ², si 2; 4
x x
f x x x x
− − − −
=
− − −
.
On note C sa courbe représentative.
a.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
lim 2
2 lim 2
2
x x
x x
f x f x f x f
x
→−−
→−−
− − +
− −
= +
La
fonction f est dérivable en -2
b. C admet deux
tangentes horizontales.
c. La fonction f est dérivable en -2
d. La tangente à C au point d’abscisse 1 a un unique point
d’intersection avec l’axe des abscisses.
4. Que penser des résultats ci-
contre ? Vrai ou Faux ? a.
2 3 3
lim 2
2 6
x x
x x
→ x
− − = +
− b.
2 2 2
2 4
lim 0
2
x x
x x
→ x
− + =
− c.
sin 5
lim 5
x
x
x
→ = −
− d. 2
2 2 5 6 2
limx 2 3
x
→ x
+ − =
−
QCM 2 sur les limites – Pour chaque question il peut y avoir plusieurs affirmations exactes.
1.
La limite en – de la fonction f définie sur] – ; – 3
2 [ par f(x) = x2 + x3 + 1 3x – 4x2 est :
1 3
1
4 + −
2.
Soit f la fonction définie sur IR \ { }3 par f(x) = – 2
(x – 3)2. La limite de f en 3 est :
-2 − + N’existe pas
3. Soit f la fonction définie sur IR* par f(x) = 1 – cos( )x
x . La limite de f en + est :
1 0 + N’existe pas
4. Soit f la fonction définie sur] 3 ;+[ par f(x) = x – 3
x – 3 . La limite de f en 3 est : + 3 1
2 3
1 3
5. Soit f la fonction définie sur]3 ; +[ par f(x) = x – 2
x – 3. La limite de f en + est : 1
3 1 2
3
1 2
6. Si pour tout réel x on a f(x) – 3 1
x, alors lim
x → +f(x) = 3.
Faux Vrai
7. Si pour tout réel x > 1 on a f(x) > 1
x – 1, alors lim
x → 1+ f(x) = +.
Faux Vrai
8. Si lim
x → +f(x) = + et lim
x → +g(x) = –, alors lim
x → + f(x) g(x) = –1.
Faux Vrai