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- LIMITES DE FONCTIONS. limite d une fonction lorsque la variable tend vers un réel a) limite finie b) limite infinie

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Texte intégral

(1)

Plan du cours :

I. Limites à l’infini

a) limite infinie à l’infini b) limite finie

II. limite d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel a) limite finie

b) limite infinie

III. Opérations sur les limites

IV. Théorèmes de comparaisons

V. Limites et formes indéterminées

VI. Récap sur les limites et asymptotes

VII. Quelques compléments sur les limites.

- LIMITES DE FONCTIONS –

(2)

I. Limites à l’infini a) Limite infinie à l’infini

Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite + quand x tend vers + et on note lim ( )

x f x

→+ = + lorsque tout intervalle de la forme

A;+

inclus dans l’ensemble de définition, contient toutes les valeurs f x

( )

pour x assez grand.

C’est-à-dire que pour tout réel A, il existe un réel m tel que si xmalors f x

( )

A

Que traduisent les écritures : lim ( )

x f x

→+ = − lim ( )

x f x

→− = + lim ( )

x f x

→− = −

Fonctions usuelles :

*

*

*

lim

lim pour tout

lim pour tout et impair lim pour tout et pair

x n x

n x

n x

x

x n

x n

x n

→+

→+

→−

→−

= +

= + 

= − 

= + 

(3)

b) Limite finie à l’infini

Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite l quand x tend vers +∞ et on note

( )

xlim f x l

→+ = lorsque tout intervalle ouvert de la forme

l;l+

contient toutes les valeurs

( )

f x pour x assez grand.

C’est-à-dire que pour tout intervalle ouvert I, contenant x, il existe un réel m tel que si xm

alors f x

( )

I

Définition : si lim

( )

x f x l

→+ = ou lim

( )

x f x l

→− = , alors on dit que la droite d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞

Que traduit l’écriture : lim ( )

x f x l

→− =

Magnard : Exercice résolu n°1 page 53

(4)

II. Limite infinie d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a ou dont a est une borne (f peut ne pas être définie en a).

Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite + quand x tend vers a et on note

( )

limx a f x

= + lorsque tout intervalle de la forme A;+ contient toutes les valeurs f x

( )

pour x assez proche de a.

Définition : On dit qu’une fonction f a pour limite − quand x tend vers a et on note

( )

limx a f x

= − lorsque tout intervalle de la forme −;A contient toutes les valeurs f x

( )

pour x assez proche de a.

Définition : si lim

( )

x a f x

= −ou lim

( )

x a f x

= +, alors on dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f.

Lorsqu’on considère uniquement les réels de l’intervalle

a a; +

, on parlera de limite à droite en a, ou de limite en a par valeurs supérieures, et on notera lim ( )

x a x a

f x

Lorsqu’on considère uniquement les réels de l’intervalle

a;a

, on parlera de

limite à gauche en a, ou de limite en a par valeurs inférieures, et on notera lim ( )

x a x a

f x

Exemple : la fonction inverse n’a pas de limite en 0, elle a une limite à gauche en 0, et une limite à droite en 0.

0 0

lim1

x

x x = − et

0 0

lim1

x

x x = +

Magnard : Exercices résolus n°2 & 3 page 55

(5)

III. Opérations sur les limites Les opérations se font de la même manière que pour les suites.

Les limites peuvent être cherchées en -∞, +∞, en (à droite ou à gauche).

Soient l et l’ deux réels. En un réel ou en +ou en − on a :

On remarque donc 4 cas d’indétermination qui sont «  − » ; « « 0 ; « » ; « 00 » Forme indéterminée ne signifie pas que la limite n’existe pas mais que la forme de

l’expression ne permet pas de déterminer cette limite.

Magnard : Exercice résolu n°4 page 57

(6)

IV. Théorèmes de comparaisons Théorème des gendarmes :

Si, pour x suffisamment proche de a (a étant un réel ou un infini), on a f x

( )

g x

( ) ( )

h x

et si lim ( ) lim ( )

x a f x x ah x l

= = alors lim ( )

x ag x l

=

Exemple : f x( ) xsin 1

x

=     calcul de

lim ( )0

x f x

Df = *

(

Attention : lim sin n’existe pas

)

x x

→+

Exemple : lim 2 sin

x

x

→+ x

− +

1 sinx 1

−  de même 1 sin1 1

−  x

donc pour tout xDf on a

0 sin1 x

x x x

x

− 

 ou

0 sin1 x

x x x

x

 −



et ( )

0 0

lim lim 0

x x x x

= − =

par le th des gendarmes on conclut que

0

lim ( ) 0

x f x

=

utiliser la calculatrice avec 2 types différents de fenêtre :

-5 ;+5 ;-2 ;+2 puis

-0,05 ;+0,05 ;-0,05 ;+0,05

pour voir l’asymptote à l’infini et le comportement en zéro

Magnard : Exercice résolu n°5 page 59

(7)

Extension du théorème des gendarmes à un seul gendarme ou théorème de comparaison :

Si, pour x suffisamment proche de a (a étant un réel ou un infini), on a f x( )g x( ) et si lim ( )

x a f x

= + alors lim ( ) .

x ag x

= +

De même si lim ( )

x ag x

= − alors lim ( ) .

x a f x

= −

Remarque : Le théorème est intuitivement évident :

Une fonction plus grande qu’une fonction qui tend vers + tend aussi vers +

Exemple : f x( )= −x sin

( )

x calcul de lim ( )

x f x

→+ Df = − 1 sinx1 donc

1 sin 1

x−  −x x +x donc pour tout xDf on a f x( ) −x 1 or lim( 1)

x x

→+ − = +

donc par le th 2) on conclut que lim ( )

x f x

→+ = +

(8)

V. Limites et formes indéterminées a) cas des fonctions polynômes

Exemple 1 : f x( )=x32x+1 lim ( )

x f x

→+ est une FI du type « − »

3 3

3

2 1

lim ( 2 1) lim (1 )

²

x x x x x

x x

→+ + = →+ + Or lim 3

x x

→+ = + et lim (1 2 13) 1

²

x→+ x +x =

Donc d’après le théorème sur le produit des limites, on a lim ( )

x f x

→+ = +

Règle admise : La limite à l’infini d’une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.

b) cas des fonctions rationnelles Exemple 2 : ( ) ²

1 g x x

= x

+ lim ( )

x g x

→− est une FI du type « »

² ² 1 1

lim ( ) lim lim

1 1

1 1 1

x x x

x x

x x x

x x

→− →− →−

= = = −

+ + +

car lim 1 1 1 1

x

x

→−

=

+

Donc d’après le théorème sur le produit des limites, on a lim ( )

x g x

→− = −

Règle admise : La limite à l’infini d’une fonction rationnelle est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.

c) Croissance comparée Exemple 3 : lim

x x

e

→+ x est une FI du type

lim =+

x x

e

→+ x

Démonstration : On pose ( ) 1 ²

2

f x =ex x définie pour tout x '( )

''( ) 1

x x

f x e x

f x e

=

=

x − 0 +

''( )

f x - 0 +

'( )

f x 1

( )

f x 1

pour tout x

0;+

f x( )1 donc pour tout x

0;+

f x( )0

pour tout x

0;+

1 ²

2 ex x pour tout x

0;+

1

2 ex

x x or lim 1 2

x x

+ = + par le théorème de comparaison, on a

lim

x x

e

+ x = + de même on aura lim x 0

x

x

+e =

Magnard : Exercice résolu (FI) n°7 page 60

(9)

Exemple 4 :

0

lim 1 1

x x

e

x

=

0

lim 1

x x

e

x

est une FI du type 0

0

Exemple 5 : lim x 0

x xe

→− = lim x

x xe

→− est une FI du type 0

On pose X = −x lim lim

x x X X

− = −  + = + et xex Xe X XX e

= − = − or lim

X X

e

+ X = + donc

lim x 0

x xe

− =

d) cas divers

Exemple 6 : ( ) 9 ² 1x x définie sur *

h x x

= + + On s’intéresse à la limite de h en −

En− le numérateur est FI du type «  − »

1 1 1

0 on a ( ) ² 9 9 1

² ²

x h x x x

x x x

  = + + = − + +

9

lim 9 1 9 or lim 3 par composition lim ( ) 2

²

x X X x h x

→− x →−

+ = = = −

Exemple 7 : ( ) 4 ² 6 2 définie sur ; 3

0;

p x = x + x x − −2 +

On s’intéresse à la limite de p en + on a une FI du type «  − » On utilise la quantité

conjuguée

(

4 ² 6 2

)(

4 ² 6 2

)

6

( ) 4 ² 6 2 =

4 ² 6 2 4 ² 6 2

x x x x x x x

p x x x x

x x x x x x

+ + +

= + =

+ + + +

lim ( ) 3 2

x p x

→+ =

Exemple 8 : r x( )= x² 1+ −x définie sur

On s’intéresse à la limite de r en + on a une FI du type «  − »

On utilise la quantité conjuguée

(

² 1

)(

² 1

)

1

( ) ² 1 =

² 1 ² 1

x x x x

r x x x

x x x x

+ − + +

= + − =

+ + + +

lim ( ) 0

x r x

→+ =

Exemple 9 : ( ) x² x 1 définie sur *

s x x

= + +

On s’intéresse à la limite de s en + on a une FI du type « »

1 1

² 1 1 ² 1 1

( ) = 1 quand 0

²

x x x x x

s x x

x x x x

+ + + +

= = + + lim ( ) 1

x s x

→+ =

Exemples 10 variés :

lim 2

3 1

x

x x

→+ x

2

2 2

lim

7 3

x

x

x

+ −

lim 2

3 1

x

x x

→+ x

6

2 cos(2 ) 1 lim

6

x

x

x

→−

+

( )

( )

lim ² 2

lim ² 2

x

x

x x x

x x x

→+

→−

+

+

( )

( )

lim ² 2

lim ² 2

x

x

x x x

x x x

→+

→−

+ +

+ +

3 5 sin

lim 1

3 5 sin

lim 1

x

x

x x

x x

x x

x x

→+

→−

+

+

Magnard : Exercice résolu n°8 page 61

(10)

VI. Récap sur les limites et asymptotes

on reconnait

une sur les limites Graphiquement position de la courbe par

rapport à son asymptote

Asymptote Horizontale d’équation

y = b

lim ( ) =

x f x b

→

On étudie le signe de f(x) – b pour savoir laquelle des deux courbes

est au-dessus de l’autre.

Si f(x) – b < 0 alors la courbe est en dessous

de son asymptote.

Si f(x) – b > 0 alors la courbe est au-dessus

de son asymptote

Asymptote Verticale d’équation

x = a

lim ( ) ou

x a f x

= + − 

Asymptote Oblique d’équation

y = ax + b

Si lim ( ) =

x f x

→  

Et si

 

lim ( ) ( ) 0

x f x ax b

→ + =

(11)

Exemple 10 : ( ) 1

h x 1

= x

fonction définie sur

−  +;1

 

1;

Comme lim ( ) = 0

x h x

→ on en déduit que la droite d’équation y = 0 est asym horizontale Comme

lim ( ) = 1

x h x

on en déduit que la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale Exemple 11 : k x( ) x 1

= − x fonction définie sur

−;0

 

0;+

Comme lim ( ) =

x k x

→   on en déduit qu’il y a possibilité d’avoir une asymptote oblique Comme lim( ( ) ) = lim 1 0

x k x x x

→ → x

=

la droite d’équation y =x est asymptote oblique.

Comme

0

lim ( ) =

x k x

on en déduit que la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale Comme k x( ) x 1

− = −xon en déduit le signe et la position de la courbe par rapport à son asymptote : la courbe est au-dessus de son asymptote quand x < 0

La courbe est en dessous de son asymptote quand x > 0

Exemple 12 : ( ) 4 ² 2

2 1

l x x x

=

+ montrer que la droite D d’équation y =2x1 est AO à Cl

l est une fonction définie sur ; 1 1;

2 2

− −   − +

 

  .

Comme lim ( ) =

x l x

→   on en déduit qu’il y a possibilité d’avoir une asymptote oblique.

Comme lim( ( ) (2 1) = lim) 1 0

2 1

x l x x x

→ → x

+ = la droite d’équation y=2x1est asymptote oblique. Le signe de l x( )(2x1) donne la position relative de Cl et deD.

Si 1

x −2 alors C< D et Si 1

x −2 alors C > D

Magnard : Exercice résolu n°6 page 59

(12)

VII. Compléments

Croissances comparées :

lim =+ lim =0 lim ln =0

x

x

x x x

e x

x xe x

→+ →− →+

Exemple 16 : 1 1 f ( x ) ln x

ln x

= −

+ quelle est la limite quand x tend vers 0 ?

A connaitre :

0 0

1 sin

lim =1 lim =1

x

x x

e x

x x

(dem faite dans chap trigo)

Dem : On pose f x

( )

=ex; f '

( )

x =ex et ( ) ( ) ( )

0 0

0 1

' 0 lim lim

0

x

x x

f x f e

f x x

= =

et f ' 0

( )

=e0 =1

Exemple 17 :

cos 1

( ) 2 définie sur

3 3

x m x

x

 

= −  

 

On s’intéresse à la limite de m en

3

on pose u x: cosx

( ) 3 3

on a ( ) ' sin

3 3 2

3

m

u x u

x D m x u

x

−        

  = =   = −   = − 3

lim ( ) 3 2

x

m x

= −

Exemples 18 :

1

ln(2 1) ln 3

limx 1

x

x

+ −

; lim ln 3

x

x x

→+ x

:

2 3

lim ln

1

x

xe x

→−

+

+

« Apprendre à démontrer » lim =+

x x n

e

→+x page 62

(13)

Exercices sur le limites Exercice I. Limites des fonctions composées

I.

Exercice II.

II.

Exercice III. Théorème de comparaison

Exercice IV. Asymptotes

(14)

Exercice V. Courbe asymptote

Exercice VI. Fonction Catastrophe !

(15)

QCM 1 sur les limites – Pour chaque question il peut y avoir plusieurs affirmations exactes.

1. On considère la fonction f définie par : ( ) 3 2 2

3 3 1

2 2

x x x

f x x x

+

= +

a. La fonction f est définie sur

b. Pour tout x , on a :

(1 ) (1 )

f x = f +x

c. La fonction f est strictement croissante sur

d. La droite d’équation y= xest asymptote oblique à la courbe de f en + et en −

2. On considère la fonction f définie

par : f x( )=xE x( ) a. Sur tout intervalle du type

k k; +1 ,

k ,on

a : f x( )=kx

b. f est définie sur c. La fonction f est continue en 0 et l’on a

( ) ( )

0 0

lim 0 0

x x

f x f

x

=

d. La fonction n’admet pas de limites en +

et en −

3. On considère la fonction f définie sur

4; 4

par :

( )

 

 

2 4, si 4; 2

2 ², si 2; 4

x x

f x x x x

− −  − −

= 

− −  −

 .

On note C sa courbe représentative.

a.

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

lim 2

2 lim 2

2

x x

x x

f x f x f x f

x

→−−

→−−

+

= +

La

fonction f est dérivable en -2

b. C admet deux

tangentes horizontales.

c. La fonction f est dérivable en -2

d. La tangente à C au point d’abscisse 1 a un unique point

d’intersection avec l’axe des abscisses.

4. Que penser des résultats ci-

contre ? Vrai ou Faux ? a.

2 3 3

lim 2

2 6

x x

x x

x

− − = +

b.

2 2 2

2 4

lim 0

2

x x

x x

x

+ =

c.

sin 5

lim 5

x

x

x

= −

d. 2

2 2 5 6 2

limx 2 3

x

x

+ − =

(16)

QCM 2 sur les limites – Pour chaque question il peut y avoir plusieurs affirmations exactes.

1.

La limite en – de la fonction f définie sur] – ; – 3

2 [ par f(x) = x2 + x3 + 1 3x – 4x2 est :

1 3

1

4 + −

2.

Soit f la fonction définie sur IR \ { }3 par f(x) = – 2

(x – 3)2. La limite de f en 3 est :

-2 − + N’existe pas

3. Soit f la fonction définie sur IR* par f(x) = 1 – cos( )x

x . La limite de f en + est :

1 0 + N’existe pas

4. Soit f la fonction définie sur] 3 ;+[ par f(x) = x – 3

x – 3 . La limite de f en 3 est : + 3 1

2 3

1 3

5. Soit f la fonction définie sur]3 ; +[ par f(x) = x – 2

x – 3. La limite de f en + est : 1

3 1 2

3

1 2

6. Si pour tout réel x on a f(x) – 3  1

x, alors lim

x → +f(x) = 3.

Faux Vrai

7. Si pour tout réel x > 1 on a f(x) > 1

x – 1, alors lim

x → 1+ f(x) = +.

Faux Vrai

8. Si lim

x → +f(x) = +  et lim

x → +g(x) = –, alors lim

x → + f(x) g(x) = –1.

Faux Vrai

(17)
(18)

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