Paramètres indépendants

Dans les simulations d'optimisation qui vont suivre, certains paramètres sont considérés comme des variables indépendantes. Ces paramètres sont :

ˆ le taux d'amortissement

ˆ le coecient de couplage électromécanique adimensionnel ˆ le nombre de récupérateurs

ˆ la représentation fréquentielle de chacune des sources vibratoires

et ceux-ci ont un eet sur les performances de récupération et doivent être analysés. Le tableau 3.5résume les valeurs utilisées pour simuler leurs eets (borne inférieure - BI, pas de simulation, borne supérieure - BS). Le choix de ces valeurs est discuté ci-après.

TABLEAU3.5: Paramètres indépendants utilisés dans les études paramétriques.

Paramètres Symbole BI Pas BS

Taux d'amortissement (%) ζ 0.5 0.5 2.5

Coecient de couplage électromécanique adimensionnel (%) δ 0.5 0.5 20

Nombre de récupérateurs N 1 1 5

Fréquence d'excitation normalisée de SH ˜r 0.9 0.001 1.15

Largeur normalisée de la bande de SA2 ∆˜r 0.2 0.01 2

Largeur normalisée de la bande de SA3 ∆˜r 0 0.005 0.2

Fréquence centrale normalisée de la bande de SA3 ˜rc 0.9 0.001 1.15

Largeur normalisée de la bande de SA4 ∆r 0 0.005 2

Fréquence centrale normalisée de la bande de SA4 rc 0.9 0.001 1.15

SH : Source harmonique

SA2 : Source aléatoire de type passe-bas SA3 : Source aléatoire de type passe-bande SA4 : Source aléatoire non-stationnaire

Taux d'amortissement mécanique

Premièrement, il a déjà été démontré [4] que plus le taux d'amortissement mécanique ζ d'un récupérateur classique est bas, meilleures sont ses performances lorsqu'il est excité par une source harmonique. An de comprendre l'eet du taux d'amortissement lorsque l'architecture de récupération d'énergie est excitée par les diérentes sources vibratoires, diérentes simula- tions seront eectuées pour diérentes valeurs de ζ. Par conséquent, le problème d'optimisation sera eectué pour des valeurs de ζ variant de 0.5% à 2.5% avec un pas de 0.5%.

Coecient de couplage électromécanique adimensionnel

Deuxièmement, il a aussi déjà été démontré [34] qu'il existe une valeur de coecient de cou- plage électromécanique critique qui maximise les performances du récupérateur classique excité par une source harmonique. Cependant, lorsque l'architecture se complexie ou que la source vibratoire a un contenu fréquentiel plus large, l'eet du couplage sur les performances doit être déterminé. Pour ce faire, les simulations d'optimisation seront eectuées pour une valeur de coecient de couplage électromécanique adimensionnel variant de 0.5% à 20% avec un pas de 0.5%.

Nombre de récupérateurs constituant l'architecture

Troisièmement, le nombre de récupérateurs formant l'architecture proposée est un paramètre qui est imposé dans une simulation donnée. Pour comprendre l'inuence de l'ajout de récupé- rateurs, plusieurs congurations seront étudiées. Le nombre minimal de récupérateurs est de un ce qui constitue le cas le plus simple et il est augmenté jusqu'à un maximum de cinq récu- pérateurs. Ajouter davantage de récupérateurs augmenterait l'eort de calcul sans améliorer la compréhension de l'eet de ce paramètre sur les performances.

Représentation fréquentielle de la source vibratoire

Finalement, l'excitation vibratoire a un eet sur les performances d'un récupérateur d'énergie vibratoire, car il doit tirer avantage du phénomène de résonance. Dans cette étude, diérentes sources vibratoires sont analysées et les paramètres fréquentiels les représentant varient d'une source à l'autre. L'inuence de ces paramètres fréquentiels sur les performances doit être comprise pour chacune des sources vibratoires à l'étude. Voici donc comment les paramètres fréquentiels varieront au cours des simulations pour chacune des sources vibratoires :

ˆ Le contenu fréquentiel d'une source vibratoire harmonique est représenté par la fré- quence d'excitation normalisée ˜r (voir l'équation (3.92)). Le phénomène de résonance est atteint près de la fréquence naturelle d'un récupérateur (˜r = 1). Donc, les simulations d'op- timisation seront réalisées pour une source ayant une fréquence normalisée variant de 0.90

à 1.15 avec un pas de 0.001.

ˆ La source vibratoire aléatoire de type bruit blanc a un contenu fréquentiel qui est équitablement réparti sur tout le spectre ce qui implique qu'aucun paramètre fréquentiel n'est nécessaire pour la représenter.

ˆ La source vibratoire aléatoire de type passe-bas a un contenu fréquentiel constant sur une bande de fréquences caractérisée par une largeur normalisée ∆˜r (voir équation (3.98)). An de comprendre l'eet de ce paramètre sur les performances, diérentes simulations d'optimisation seront réalisées. Tout d'abord, les problèmes d'optimisation seront eectués pour une largeur de bande de ∆˜r = 0.2. Les problèmes seront ensuite eectués en augmen- tant la largeur de bande avec un pas de 0.01 jusqu'à atteindre une bande de ∆˜r = 2. ˆ La source vibratoire aléatoire de type passe-bande a un contenu fréquentiel constant

sur une bande de fréquences caractérisée par une largeur normalisée ∆˜r et une fréquence centrale normalisée ˜rc (voir équation (3.100)). Tout d'abord, les problèmes d'optimisation

seront eectués pour une largeur de bande de ∆˜r = 0 ce qui constitue une excitation mono- fréquentielle (signal harmonique). Les problèmes seront ensuite eectués en augmentant la largeur de bande avec un pas de 0.005 jusqu'à atteindre une bande de ∆˜r = 0.2. La loca- lisation de la bande a également une inuence sur les performances et elle est caractérisée par la fréquence centrale d'excitation normalisée ˜rc. Il est pertinent de penser qu'une bande

localisée près de la fréquence naturelle (˜r = 1) est en mesure de générer de meilleures perfor- mances. Les simulations d'optimisation seront donc eectuées pour une fréquence centrale de 0.9 jusqu'à 1.15 avec un pas de 0.001.

ˆ La source vibratoire aléatoire non-stationnaire a un contenu fréquentiel qui varie dans le temps. Par contre, on doit connaître un minimum d'information an d'appliquer la procédure d'optimisation. On considère donc que le contenu fréquentiel peut être localisé sur une certaine bande de fréquence dans le but d'optimiser la réponse fréquentielle sur cette bande. Pour ce faire, la fréquence centrale rcde cette bande variera de 0.9 jusqu'à 1.1 avec

un pas de 0.001 tandis que la largeur de bande ∆r variera de 0 jusqu'à 0.2 avec un pas de 0.005.

3.7 Conclusion

Deux objectifs ont été atteints dans ce chapitre. Le premier a été d'élaborer une modélisation électromécanique de l'architecture de récupération d'énergie vibratoire proposée dans cette thèse. Pour ce faire, une modélisation d'un seul récupérateur piézoélectrique a d'abord été introduite. Cette modélisation basée sur une approche variationnelle a permis de modéliser

le comportement vibratoire du récupérateur ainsi que la tension électrique générée par ses éléments piézoélectriques. En considérant uniquement le premier mode vibratoire de la struc- ture, il a été démontré qu'il était possible de réduire le modèle à un système à deux degrés de liberté et ainsi prédire la puissance générée par le récupérateur. Une approche semi-analytique a également été proposée pour approximer le premier mode vibratoire an de ne pas être limité à des structures ayant une solution analytique. Cette modélisation a ensuite été appliquée à chacun des récupérateurs formant l'architecture de récupération d'énergie dans le but de pré- dire ses performances. An d'avoir une modélisation la plus générale possible, une approche adimensionnelle a ensuite été élaborée qui a permis de prédire la densité de puissance adimen- sionnelle de l'architecture peu importe la source vibratoire d'excitation. Dans le but d'utiliser le modèle, une validation expérimentale a été eectuée. Pour ce faire, un prototype a été fa- briqué et testé permettant de s'assurer que les performances prédites par le modèle étaient valables. Le second objectif de ce chapitre a été d'établir une procédure d'optimisation des performances de l'architecture de récupération d'énergie. Dans un premier temps, les variables et les contraintes du problème d'optimisation ont été introduites. Dans un second temps, il a été établi que la fonction objectif de cette procédure ainsi que la méthode pour l'optimiser dépendaient de la source vibratoire à l'étude. Si la source vibratoire est stationnaire, l'opti- misation consiste à maximiser la densité de puissance adimensionnelle. Si la source vibratoire est non-stationnaire, le problème d'optimisation consiste à maximiser la valeur minimale de la réponse fréquentielle liant l'accélération vibratoire à la densité de puissance adimensionnelle. Aux chapitres suivants, les résultats d'optimisation seront présentés sous forme d'études para- métriques où l'eet de chacun des paramètres composant l'architecture sur la fonction objectif optimisée sera évalué.

Chapitre 4

Étude paramétrique I : Source

vibratoire déterministe et harmonique

4.1 Introduction

Au chapitre précédent, un modèle prédisant les performances de l'architecture de récupéra- tion d'énergie proposée a été établi, validé et introduit dans une procédure d'optimisation. Il peut maintenant être utilisé dans une première étude paramétrique. Cette étude consiste à déterminer les paramètres mécaniques et électriques optimaux pour cette architecture lorsque la source vibratoire est déterministe et harmonique. Le cas de la récupération d'énergie vi- bratoire à partir d'une source vibratoire harmonique a été étudié à maintes reprises dans la documentation scientique. Par contre, la plupart de ces études traitent des performances d'un récupérateur classique. Lorsque l'architecture de récupération d'énergie est plus sophis- tiquée, telle celle proposée dans cette thèse, l'analyse des performances a rarement été abordée. En raison qu'une source harmonique est stationnaire, le critère de performances déni dans la procédure d'optimisation est la densité de puissance adimensionnelle (DPA). Donc, ce cha- pitre détermine d'abord à la section 4.2 la DPA lorsque l'architecture est excitée par une source harmonique. Ensuite, quatre architectures simpliées sont évaluées et optimisées, soit le récupérateur classique à la section 4.3, le récupérateur à impédance ajustable à la section 4.4, le vecteur de deux récupérateurs à la section 4.5 et le vecteur de deux récupérateurs à impédances ajustables à la section 4.6. Il est à noter que l'analyse présentée est fort détaillée. Une synthèse conclue donc chacune des sections pour mettre en évidence les résultats les plus importants. L'analyse des résultats de chacune des architectures simpliées permettra de déterminer et comparer leurs performances atteignables. Ensuite, elle établira l'inuence de chacun des paramètres sur la maximisation des performances de l'architecture proposée. Cette analyse permettra de bien comprendre le comportement de chacun des paramètres et tirer des

conclusions sur les performances. Cela permettra également d'établir des règles de conception qui seront utilisées aux chapitres suivants lorsque la source vibratoire n'est pas déterministe, mais plutôt aléatoire.

4.2 Densité de puissance adimensionnelle

Tel que mentionné précédemment, une source vibratoire harmonique qui a un écart type unitaire est caractérisée par une fonction auto-spectrale de la forme suivante :

Sa a(r) =

1

2 δ(r + ˜r) + δ(r− ˜r)

(4.1) Donc, la source vibratoire harmonique est caractérisée uniquement par un paramètre qui est la fréquence d'excitation normalisée ˜r. La densité de puissance adimensionnelle ρ est ensuite prédite en insérant (4.1) dans l'équation (3.73) ce qui mène à :

ρ = Hk(˜r) (4.2)

où k = 1 pour le récupérateur classique, k = 2 pour le récupérateur à impédance électrique ajustable, k = 3 pour le vecteur de récupérateurs et k = 4 pour le vecteur de récupérateurs couplés par des impédances électriques ajustables (voir les équations (3.101), (3.102), (3.103) et (3.104) pour les dénitions des réponses fréquentielles). L'optimisation de la DPA revient alors à maximiser la réponse fréquentielle évaluée à une fréquence d'excitation normalisée bien précise. An de bien comprendre l'inuence sur les performances de chacun des paramètres constituant l'architecture de récupération d'énergie proposée dans cette thèse, les quatre ar- chitectures simpliées sont étudiées indépendamment ci-dessous lorsqu'elles sont excitées par une source vibratoire harmonique.