Variables aléatoires discretes

Mme LE DUFF 1ère STAV

1 Soit un universΩ=

{

}

Variable aléatoire.

On définit une variable aléatoire X en associant à chaque évènement élémentairea de l’univers i un nombrex , tel que : i

i

i p

x X

p( = )=

Remarque : On représente en général la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau.

Valeurs prises par la variable aléatoire X X =x_i x₁ x₂ … x _n Probabilités que X prenne la valeurx _i p(X =x_i)= p_i p₁ p₂ … p _n

Espérance mathématique, variance et écart type.

• L'espérance mathématique E( X) d'une variable aléatoire réelle X , prenant les valeurs (x1,…,xn) avec les probabilités (p1,…,pn), est définie par:

. ...

)

(X p₁x₁ p_nx_n

E = + +

• La varianceVar( X)est définie par :

[

]

• L'écart type est le nombre :

) ( )

(X = V X

σ

On peut obtenir ces valeurs à la calculatrice graphique à l’aide du menu stats.

Mme LE DUFF 1ère STAV

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la loi binomiale.

Epreuve de Bernoulli :

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p, toute épreuve aléatoire e admettant deux issues :

• l'une appelée "succès", notée S, dont la probabilité d'apparition est p ;

• l'autre appelée "échec", notée E, dont la probabilité d'apparition est notée q = 1 – p.

Schéma de Bernoulli :

On appelle schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p (ou encore schéma de Bernoulli de paramètres n et p), toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois dans les mêmes conditions, une même épreuve de Bernoulli e de paramètre p.

Loi Binomiale :

La variable aléatoire X correspondant au nombre exact de succès d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, suit une loi de Binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).

Formules générales pour une loi Binomiale

B

n

p

k n k q p k n k X P _ −      = = ) ( , pourk∈

{

}