Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
Mathématiques - 1 -
I – Repère du plan.
1°) Base et repère orthonormés.
Définitions : Soient i et j deux vecteurs du plan dont les directions sont perpendiculaires et tels que i j 1 . Le couple
i; j est appelé base orthonormée des vecteurs du plan. On appelle repère orthonormé
O ;;i j d’origine O le triplet constitué d’un point O et des vecteurs d’une base orthonormée
i; j .2°) Coordonnées d’un vecteur.
Propriété : Tout vecteuru du plan se décompose de manière unique sous la formeu xiyjoù x et y sont deux nombres réels. y x
est le couple de coordonnées du vecteuru dans la base orthonormée
i;j .Remarque : Si le plan est muni d’un repère
O ;;i j . Alors les coordonnées du vecteur u sont les coordonnés du point M(x ;y) tel queOM u .3°) Propriétés des coordonnées.
Propriétés : Soit un repère
O ;;i j du plan. Soient y x u et ' ' y xv deux vecteurs et k un réel :
Vecteur nul : 0 0 0
14 - Vecteurs
Repère et colinéarité.
Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
Mathématiques - 2 -
Egalité de deux vecteurs : deux vecteurs sont égaux ssi leurs coordonnées sont égales. ' ' y x v y x u ' ' y y x x
Somme de deux vecteurs : Le vecteuruva pour coordonnées ' ' y y x x
Produit par un réel : Le vecteur uk est le vecteur de coordonnées ky kx .
4°) Norme d’un vecteur.
Propriété : Dans un repère
O ;;i j , la norme du vecteur y x u est : u x²y²5°) Calcul des coordonnées d’un vecteur.
Propriétés : Soit un repère
O ;;i j du plan et deux pointsA
xA;yA
etB
xB;yB
. Les coordonnées du vecteurAB sont A B A B y y x x AB II – Colinéarité. 1°) Vecteurs colinéaires.
Définition : Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires s’il existe un réel k tel que ukv ou vku
2°) Applications géométriques. Théorème :
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Trois points A, B et C sont alignés ssi les vecteursAB et AC sont colinéaires.
3°) Avec les coordonnées. Théorème : Les vecteurs y x u et ' ' y x