Devoir de contrôle n°2          4ème Mathématiques Mr Boudhaouia 13 02 14

Lycée 2 Mars 34 Ksar Hellal Lycée 2 Mars 34 Ksar HellalLycée 2 Mars 34 Ksar Hellal

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_{Devoir de contrôle n°2}

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Prof : Boudhaouia: Boudhaouia: Boudhaouia: Boudhaouia

4ème _Math Date : 13-02-2014 Durée : 2 h _{MathématiquesMathématiquesMathématiquesMathématiques}

Exercice 1 (5 points)

Soit la suite réelle dé inie sur ℕ∗ _{par ∶ = " tan # $#} % & ' 1) a) Calculer ₍ et ₎ b) Montrer que ∀+ ∈ ℕ∗ on a + _.) = ( .(

c) Calculer alors _/ et _&

2) a) Montrer que ∀+ ∈ ℕ∗ on a ≥ 0.

b) Montrer que la suite est décroissante.

c) Montrer que la suite est convergente et calculer sa limite.

Exercice 2(7 points)

Soit la fonction 1 définie sur ℝ_. par :

1 # =#_#)₎+ 2_{+ 1}

1) a) Dresser le tableau des variations de la fonction 1 sur ℝ_.

b) Tracer sa courbe ζ dans un repère orthonormé 3 = 4 , 67 , 87 du plan.

c) Montrer graphiquement que l’équation 1 # = # admet une unique solution.

2) a) Montrer que 1 admet une application réciproque 1 9( définie sur :1 , 2:.

b) Calculer : 1 9( # en fonction de # pour tout # ∈ :1 , 2:. c) Tracer dans le repère 3 la courbe ζ’ de la fonction 1 9(.

3) Soit la fonction ; définie sur <0 ,%

&< par :

; # = ">?@ A1 = $=

'

a) Montrer que ; est dérivable sur <0 ,%

&<.

b) Vérifier que ∀# ∈ <0 ,%

&< ; ;′ # = tan # )+ 2.

c) Exprimer alors ; # en fonction de # ; pour tout # ∈ <0 ,%

&<.

d) En déduire l’aire C du domaine plan limité par la courbe ζ et les droites d’équations :

# = 0 ; # = 1 et D = 1

Exercice 3(8 points)

Soit E4F un triangle équilatéral direct ; G est le symètrique de F par rapport à la droite 4E , H est le milieu du segment IF4: et J le milieu du segment I4G:. 1) a) Montrer que le triangle EG4 est équilatéral direct.

b) Soit 3 la rotation du plan qui transforme F en 4 et 4 en G. Déterminer son centre et son angle.

2) Soit ζ le cercle de centre 4 et passant par le point F ; K un point du de ζ et K′ son image par la rotation 3.

a) Montrer que lorsque K décrit le cercle ζ le point K′ décrit un cercle ζ’ que l’on déterminera.

b) Comparer les mesures des angles orientés : L4EMMMM7 ,4KMMMMMM7N et LGEMMMM7 ,GKMMMMMM7N.

c) On désigne par Ω le deuxième point d’intersection des cercles ζ et ζ’ autre que E. Montrer que ; lorsque K ≠ Ω et K′ ≠ Ω ; les points Ω, K et K′ sont alignés.

3) a) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement 1 qui transforme F en 4 et 4 en G.

b) Montrer que 1 est une symétrie glissante et déterminer ses éléments caractéristiques.

c) Vérifier que 1 = 3 о Q _RS

d) Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que 3 K = 1 K .