Chapitre 3
Les nombres entiers
I
Un peu de propédeutique
I.1
Logique
Assertions et prédicats Définition I.1
– Une assertion A est un énoncé ne contenant pas de variable, et susceptible de prendre l’une ou l’autre des deux valeurs logiques qui sont le vrai ou le faux (l’une des deux, mais pas les deux simultanément).
– unprédicat est une assertion portant sur une variable. – Un théorème (ou proposition) est une assertion vraie.
Exemples :
– "La Guyane est un département français" est une proposition, de même que “tout réel strictement positif est le carré d’un réel négatif”.
– Soit n ∈ N. “n est une somme de deux carrés d’entiers” est un prédicat portant sur n.
– "Tout entier pair supérieur à 4 est somme de deux entiers premiers." en est encore au stade de l’assertion.
Connecteurs logiques
Tables de vérité
Soient A et B deux assertions. On constate que les deux tableaux ci-dessous, appelés tables de vérité, permettent de leur associer cinq nouvelles assertions, qui sont notées
”¬A, Aet B, A ou B, A ⇒ B et A ⇔ B” : A ¬A V F F V , A B Aet B Aou B A ⇒ B A ⇔ B V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V .
Ces symboles sont appelésconnecteurs logiques. On remarquera que le OU est inclusif, i ;e que ce n’est pas le même que dans “fromage ou dessert”.
Le connecteur d’implication ” ⇒ ”
En langage courant, le connecteur ⇒ dans la relation A ⇒ B signifie que, si A est vraie,alors B l’est aussi. A s’appelle alors l’hypothèse et B la conclusion. Enfin, A ⇒ B se lit A implique B.
De manière totalement équivalente, on dit également que A est une conditionsuffisante à B, ou que B est une conditionnécessaire à A.
L’implicationB ⇒ As’appelle laréciproque de l’implicationA ⇒ B.
La négation de l’implicationA ⇒ B estAet non B, comme vous pouvez le vérifier à l’aide des tables de vérité. Ce qui s’écrit encore :
NonA ⇒ B ⇐⇒ Aet non B
Nous nous servirons parfois de cette équivalence pour effectuer des démonstrations par l’absurde. Celles-ci consistent à supposer
nonA ⇒ B
, c’est-à-direAet non B, pour en déduire un résultat notoirement faux, une absurdité.
Une autre équivalence également fort utile dans la pratique :
A ⇒ B ⇐⇒ non B ⇒ non A
Cette remarque est à la base du raisonnement par contraposition. La deuxième assertion, appeléecontraposée de la première, sera parfois plus facile à prouver.
Le connecteur d’équivalence ” ⇔ ” L’assertionA ⇔ Bsignifie A ⇒ B et B ⇒ A . On dit alors, de manière équivalente :
– A est une condition nécessaire et suffisante (CNS) de B, – Pour que A, il faut et il suffit que B,
– A si et seulement si B.
Ici, A et B sont évidemment interchangeables.
Exemple : Pour vous convaincre de ce qui précède, prenez deux assertions simples du type
A ="J’habite Montpellier" et B = "J’habite en France".
Quantificateurs Définition I.2
Soit A(x) un prédicat à une variable x d’un ensemble E. Nous pouvons associer à A(x) deux trois assertions :
– L’assertion
∀ x ∈ E, A(x).
– L’assertion
∃ x ∈ E, A(x).
qui signifie qu’il existe au moins un x dans E tel que l’assertion A(x) soit vraie
– L’assertion
∃ ! x ∈ E, A(x).
qui signifie qu’il existe un unique x dans E tel que l’assertion A(x) soit vraie
Il est essentiel de noter que ces assertions ne sont pas des prédicats, i.e ne dépendent pas de la variable x. Celle-ci est ditevariable muette, et peut être remplacée par y, f, . . . sans changer la valeur de l’assertion.
Remarque :
– On vérifie facilement les deux équivalences suivantes : F non ∃x ∈ E, A(x)
⇐⇒ ∀x ∈ E, non A(x), F non ∀x ∈ E, A(x)
⇐⇒ ∃x ∈ E, non A(x).
– Enfin, notons que si A(x, y) est un prédicat dépendant de deux paramètres x et y qui appartiennent respec-tivement E et F , alors
– Les assertions ∀x ∈ E ∀y ∈ F, A(x, y) et ∀y ∈ F ∀x ∈ E, A(x, y) sont équivalentes. – Les assertions ∃x ∈ E ∃y ∈ F, A(x, y) et ∃y ∈ F ∃x ∈ E, A(x, y) sont équivalentes.
– Les assertions ∀x ∈ E ∃y ∈ F, A(x, y) et ∃y ∈ F ∀x ∈ E, A(x, y) ne sont pas équivalentes.
Exemple : Pour le dernier, prendre E = R, F = R+et A(x, y) : y < x.
I.2
Ensembles
Unensemble peut être décrit de plusieurs manières : – A l’aide d’un nom : N, R, Z∗,
– En indiquant entre accolades ses éléments : {0, −3, 7}, {f :] − 1, 1[→ C paires},
– A l’aide d’une ou plusieurs propriétés caractéristiques qui distinguent ses éléments d’un ensemble plus grand : {x ∈ R, ex
∈ Q}, {y ∈ Q|y 6 7} (y est ici une variable muette),
– A l’aide d’une formule permettant de calculer les éléments de l’ensemble en fonction de ceux d’un autre : {√t2+ 3|t ∈ Z}.
Si E est un ensemble, la notation x ∈ E signifie : xappartient à (ou est élément de) E; sa négation est notée x /∈ E. On note ∅ l’ensemble vide, qui ne contient aucun élément.
Un ensemble ayant un élément x et un seul est appelé unsingleton, et noté {x}. Inclusion
Etant donnés deux ensembles E et F , on dit que E est inclus dans F (ou E est une partie de F ; ou F contient E), et on note E ⊂ F (ou F ⊃ E), si et seulement si :
∀x ∈ E, x ∈ F
.
Si E est un ensemble, on note ℘(E) l’ensemble des parties de E. Par exemple, ℘(∅) = {∅}, et ℘({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}.
Ainsi, A ⊂ E ⇐⇒ A ∈ ℘(E), et {x} ⊂ E ⇐⇒ x ∈ E.
Si E et F sont deux ensembles, E = F signifie E ⊂ F et F ⊂ E (sauf dans les cas évidents, on le démontrera toujours ainsi).
Opérations dans ℘(E)
Soit E un ensemble et A, B ∈ ℘(E). On définit les parties suivantes : • {A = {x ∈ E, x /∈ A}, le {complémentaire de A dans E},
• A ∩ B = {x ∈ E, x ∈ Aet x ∈ B}, intersection de A et B, • A ∪ B = {x ∈ E, x ∈ Aou x ∈ B}, réunion de A et B, • A − B = {x ∈ E, x ∈ Aet x /∈ B}, différence A moins B.
Exemples : Soient A, B deux parties d’un ensemble E. Montrer {EA ∩ {EB = {E(A ∪ B), puis {EA ∪ {EB = {E(A ∩ B).
II
Les Relations
Définition II.1
Soit E un ensemble. On appelle relation binaire sur E toute partie Ω de E × E. On note pour tous x, y dans E xRy lorsque le couple (x, y) ∈ Ω.
Exemples :
1. Ω = {(x, x2)
où x ∈ R} est une relation binaire sur R. Ainsi, xRy ssi y est le carré de x, ce pourquoi on appelle cette relation “est le carré de”.
2. Dans l’ensemble E des droites affines du plan, Ω = {(d1, d2)où d1⊥ d2} ; IciR =“est perpendiculaire
à”.
3. Dans E = R, la relation de congruence modulo π. Dans ce cas, Ω = {(x, x + kπ) où x ∈ R, k ∈ Z}. 4. Dans E = N, Ω = {(n, m) ∈ N2
/n 6 m}. Ici, R =“est inférieur ou égal à”.
5. Dans E = P(F ), l’ensemble des parties d’un ensemble quelconque F , on dispose de la relation “est inclus dans” que l’on note évidemmentR =⊂.
Essayons de distinguer les relations les plus intéressantes pour nous cette année : Définition II.2
Soir E un ensemble etR une relation sur E. On dit que – R est réflexive lorsque ∀x ∈ E, xRx.
– R est symétrique lorsque ∀x, y ∈ E, si xRy, alors yRx.
– R est antisymétrique lorsque ∀x, y ∈ E, si xRy et yRx, alors x = y. – R est transitive lorsque ∀x, y, z ∈ E, si xRy et yRz, alors xRz.
On dira d’une relation binaireR qu’elle est une relation d’ordre, on un ordre lorsqu’elle est antisymétrique, réflexive et transitive, (on dit alors que (E,R) est un ensemble or-donné) et que c’est une relation d’équivalence lorsqu’elle est symétrique, réflexive et transitive.
Reprenons les exemples ci-dessus : la relation de perpendicularité n’est ni réflexive, ni transitive, mais elle est symétrique. La relation “est inférieur ou égal à” ou la relation d’in-clusion sont les exemples-type de relations d’ordre. La relation de congruence sur l’ensemble des réels est une relation d’équivalence. “est le carré de” n’est pas réflexive.
Lorsque l’on dispose d’une relation d’équivalence sur E, on appelleclasse d’équivalence d’un élément x de E l’ensemble de tous les éléments de E qui sont en relation avec X. Par exemple dans la relation de congruence modulo π sur R, la classe d’équivalence de 0 est l’ensemble des mutiples de π.
Définition II.3
Soit (E,R) un ensemble ordonné.
1. Soient x, y ∈ E. x et y sont ditscomparables lorsque xRy ou yRx. 2. R est un ordre total lorsque pour tous x, y ∈ E, x et y sont comparables.
Evidemment 6 est un ordre total sur R, alors que ⊂ ne l’est pas puisque [0, 2] et [1, 3] ne sont pas comparables.
Définition II.4
Soit (E, 6) un ensemble ordonné.1 Soit aussi A ⊂ E.
– Soit M ∈ E. On dit que M est un majorant de A lorsque ∀x ∈ E, x 6 M. – On dit que A est majorée lorsque ∃M ∈ E, ∀x ∈ E, x 6 M.
– On dit d’un élément M de A qu’il est unplus grand élément de A lorsque M ∈ A et qu’il est un majorant de A.
On peut montrer qu’un plus grand élément lorsqu’il existe, est unique.
[0, 1[ est majoré par 1 mais ne possède pas de plus grand élément. En effet, aucun m ∈ [0, 1[ n’est un majorant de [0, 1[ puisque m+1
2 est strictement supérieur à m et appartient à
[0, 1[.
III
N et le Principe de récurrence
III.1
Le postulat de l’existence de N
Définition III.1 (Ensemble naturel)
On appelle ensemble naturel tout ensemble ordonné non vide E possédant les pro-priétés suivantes :
(P1) Toute partie non vide de E possède un plus petit élément.
(P2) Toute partie non vide majorée de E a un plus grand élément.
(P1) L’ensemble E n’a pas de plus grand élément.
Axiome : Il existe un ensemble naturel.
On peut montrer qu’à un chouia près (en fait à isomorphisme d’ensembles naturels près), cet ensemble naturel est unique. Nous le noterons N.
On en déduit que N admet un plus petit élément, noté 0, que l’ordre est total (car toute paire admet un plus grand élément), que tout élément n admet un successeur noté n + 1.
III.2
Principe de récurrence
Théorème III.2 (Principe de raisonnement par récurrence) SoitP(n) un prédicat portant sur l’entier N, et n0 ∈ N. Si
– P(n0)est vérifié,
– pour tout n > n0 pour lequelP(n) est vérifié, P(n + 1) est vérifié,
Démonstration : Par l’absurde, on suppose que
Ω = {n> n0 tels queP(n) est faux} est non vide,
et on considère n1 le plus petit élément de Ω. n1 existe car Ω est une partie non vide de N.
De plus n1 > n0 + 1puisqueP(n0) est vérifié. Dans ce cas, n1− 1 est > n0 et n’appartient
pas à Ω. Par inductionP(n1)est donc vrai, ce qui est absurde car n1∈ Ω.
Exemples : Des exemples simples vous ont déjà été donnés. Attention aux récurrences à plusieurs niveaux : si la suite (un)vérifie u0= 1, u1= 6et un+2= 8un+1− 12un, alors il semble sur les premières valeurs de la
suite que pour tout n, un soit égal à 6n. Il faudra pour le prouver prendre comme prédicat
P(n) : un = 6net un+1= 6n+1.
IV
Les symboles Σ et Π
Soit (ak)k∈N∗une suite de complexes. On définit
n X k=1 aket n Y k=1
ak par récurrence sur n > 1. Plus généralement, soit n0 6 n :
n X k=n0 ak = an0 si n = n0, an+ n−1 X k=n0 aksinon. De même, n Y k=n0 ak = an0 si n = n0, an+ n−1 Y k=n0 aksinon.
Les propriétés à connaître sont les suivantes : • n X k=1 ak = n X i=1 ai = n+1 X k=2 ak−1 = n−1 X k=0 ak+1= n−1 X k=0
an−k, et idem pour les produits.
• n X i=1 λai+ bi = λ n X i=1 ai+ n X i=1 ai. • n X i=1 p X j=1 aij = p X j=1 n X i=1
aij, et idem pour les produits.
• n X i=1 i X j=1 aij = n X j=1 n X i=j
aij, et idem pour les produits.
• n X k=1 (ak+1− ak) = an+1− a1, somme télescopique. • 2n X k=0 ak = n X p=0 a2p+ n−1 X p=0 a2p+1,
• Expression à l’aide de la fonction factorielle de n Y k=1 (2k)et n Y k=1 (2k + 1).
V
Applications
La notion d’application est absolument indispensable en mathématiques. Ce n’est d’ailleurs pas son apanage, puisque les physiciens en usent et en abusent aussi, sous le terme générique de signal.
Entre autres exemples de signaux, on trouve : – intensité d’un courant électrique,
– différence de potentiel entre deux points d’un circuit,
– position d’un mobile, repréré par sa position dans le temps, M = M (t), ou dans l’espace M = M (x, y, z),
– niveaux de gris des points d’une image, – composante d’un champ V (x, y, z), – un son,...
V.1
Définitions
Soient E et F deux ensembles. Unefonction f de E vers F associe à tout élément x de E au plus un élément y de F . On note alors y = f (x).
On appelle ensemble ( ou domaine) de définition de la fonction f , et on note Df, l’ensemble des éléments x ∈ E qui sont associés à un élément de F .
Pour tout x ∈ Df, l’élément y de F tel que y = f (x) est appelé l’image de x.
Pour tout y ∈ F , tout élément x ∈ E qui vérifie y = f (x) est appeléantécédent de y par f (pour chaque y de F , il peut en exister 0,1 ou plusieurs).
Remarque : Il faut être vigilant au fait qu’une fonction est un triplet (E, F, f ). Il ne suffit ainsi pas, pour que deux fonctions soient égales, qu’elles aient par exemple mêmes expressions algébriques. Elles seront égales si et seulement si
– Elles ont même ensemble de départ et même ensemble d’arrivée, – Pour tout x ∈ E, f (x) = g(x).
Soient E, F, G trois ensembles. Si f est une fonction de E vers F et g une fonction de F vers G, on définit une fonction de E vers G, que l’on note g ◦ f et que l’on appellecomposée de g et f , par :
– Si x ∈ Df et f (x) ∈ Dg,on associe à x l’élément g
f (x), – Sinon on ne lui en associe aucun.
Une fonction f de E vers F est appeléeapplication si et seulement si Df = E. L’ensemble des applications de E vers F est noté FE, ou parfois F (E, F ). Une application f de E vers F est notée
f : E → F
x 7→ f (x) , ou bien E f
→ F, ou encore f : x ∈ E 7→ f (x) ∈ F.
Définition V.1
Soit E un ensemble non vide. On appellera application identité sur E, et on notera IdE, l’application IdE : x ∈ E 7→ x ∈ E. Elle vérifie, pour tout ensemble F ,
– ∀f ∈F (E, F ), f ◦ IdE = f, – ∀f ∈F (F, E), IdE ◦ f = f.
Remarque : RNest l’ensemble des fonctions u : N → R. Un élément u de RNest appelé suite réelle, l’image
d’un entier n par u est plutôt notée un, et u se note aussi (un)n∈N.
Propriétés V.2 (Associativité de la composition des applications)
Quelles que soient f : E → F, g : F → G, h : G → H, on a (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
Remarque :
– Attention, La composition n’est en revanche pas commutative. Par exemple, si f : x ∈ R 7→ 2x ∈ R et g : x ∈ R 7→ x + 1 ∈ R, f ◦ g(x) = 2x + 2 et g ◦ f (x) = 2x + 1, si bien que par exemple, f ◦ g(0) 6= g ◦ f (0).
La nature offre d’ailleurs très peu d’exemples d’applications qui commutent entre elles. – Soit E un ensemble et f : E → E une application. On note f0 = Id
E, f1 = f et pour tout n > 2, fn = f ◦ fn−1, lorsqu’il n’y a pas de confusion possible avec les autres opérations. Si l’on désire préciser que fn
désigne la fonction obtenue en composant n fois f avec elle-même, on notera f◦n.
– Soit E un ensemble et A une partie de E. Pour toute partie A de E, on définit la fonction caractéristique de A, ou fonction indicatrice de A, la fonction :
χA: E → {0, 1} x 7→ 1 si x ∈ A 0 si x /∈ A .
Ainsi, l’inclusion A ⊂ B se traduit par l’inégalité de fonctions χA6 χB.
Définition V.3
Soit f : E → E une application et A ⊂ E. A est ditstable par f ssi f (A) ⊂ A.
V.2
Injectivité, Surjectivité, Bijectivité
Définition V.4
Une application f : E → F est dite : – injective lorsque
∀ x, x0 ∈ E,f (x) = f (x0) ⇒ x = x0; i.e ssi tout élément de F a au plus un antécédent par f . – surjective lorsque
∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x), i.e ssi tout élément de F a au moins un antécédent. – bijective ssi f est surjective et injective, i.e
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f (x), c’est-à-dire tout élément de F a exactement un antécédent.
Exemples :
– x ∈ R 7→ x2∈ R n’est pas surjective, mais x ∈ R 7→ x2∈ R +l’est.
– x ∈ R 7→ x2∈ R n’est pas injective, mais x ∈ R
+7→ x2∈ R l’est.
Proposition V.5
La composée de deux injections (resp. surjections, resp. bijections) est une injection (resp. surjection, resp. bijection).
Démonstration : Soient f : E → F , et g : F → G deux applications.
– Supposons f et g injectives. Alors, pour tout x, x0 ∈ E,
g ◦ f (x) = g ◦ f (x0) ⇐⇒ g(f (x)) = g(f (x0)) ⇒ f (x) = f (x0) ⇒ x = x0.
– Supposons f et g surjectives. Soit z ∈ G. g est surjective, donc il existe y ∈ E tel que
g(y) = z. De plus, la surjectivité de f assure l’existence d’un x ∈ E tel que f (x) = y. Ainsi, g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = z. Donc x est un antécédent de z par g ◦ f : E → G. – Si f et g sont bijectives, la bijectivité de g ◦ f découle des deux points précédents.
V.3
Les applications bijectives
Définition V.6
Soit f : E → F une bijection. Pour tout y ∈ F , il existe donc un unique antécédent de y par f , que nous noterons f−1(y). Il appartient évidemment à E. Ainsi, nous avons
construit une nouvelle application f−1 : F → E. On l’appelle applicationréciproque de f. Elle vérifie f−1 −1 = f, ainsi que f ◦ f−1 =IdE et f−1◦ f = IdF.
Démonstration : En effet, pour tout x ∈ E, f−1◦ f (x) = f−1 f (x)
est par définition de f−1
l’unique antécédent de f (x). Cet antécédent est bien évidemment x, donc f−1◦f (x) = x, ∀x ∈
E. L’application f−1◦ f est donc bien l’identité sur E. De même, ∀y ∈ F, f ◦ f−1(y) = f f−1(y)
= ycar f−1(y)est l’antécédent de y.
Il existe une sorte de réciproque de cette propriété : Propriétés V.7
Soit f : E → F une application. S’il existe une application g : F → E qui vérifie
g ◦ f =IdE et f ◦ g = IdF, alors f est une bijection et g = f−1.
Démonstration : Supposons donc qu’il existe une application g : F → E qui vérifie g ◦ f =
IdE et f ◦ g = IdF.
– Montrons que f est injective : Soient x, x0∈ E tels que f (x) = f (x0). Composons par
g, et nous obtenons l’égalité g f (x)
= g f (x0)
, soit g◦f (x) = g◦f (x0), et ainsi puisque
g ◦ f =Id, x = x0.
– Montrons que f est surjective : Soit y ∈ F . Alors y = Id(y) = f ◦ g(y) = f g(y)
est l’image de l’élément g(y) qui appartient à E.
Proposition V.8
Si f : E → F et g : F → G sont deux bijections, alors
g ◦ f est bijective et (g ◦ f )−1 = f−1◦ g−1.
Démonstration : La bijectivité de g ◦ f a déjà été établie. De plus,
g ◦ f
◦ f−1◦ g−1
= g ◦ f ◦ f−1
◦ g−1= g ◦ g−1=idG.
On montre de même que f−1◦ g−1◦ g ◦ f
=IdE. En utilisant la propriété précédent, on
en déduit ce que l’on espérait.
V.4
Images Directes et Images Réciproques
Définition V.9
Soient E, E0 deux ensembles et f : E → E0 une application.
– Pour toute partie A de E, on définit l’image directe de A par f , notée f (A), comme l’ensemble de toutes les images des éléments de A :
f (A) = {x0 ∈ E0, ∃a ∈ A, x0 = f (a)}. On nomme souvent l’image de E l’ensemble f (E) ⊂ F .
– Pour toute partie A0 de E0, on définit l’image réciproque de A0 par f , notée
f−1(A0), comme l’ensemble de tous les éléments de E dont l’image est incluse dans A0 :
f−1(A0) = {x ∈ E, f (x) ∈ A0}.
Remarque :
– La notation f−1(A0)ne suppose pas que f soit bijective. Ainsi, pour un y ∈ E0, on ne peut utiliser la notation
f−1(y)que si f est bijective, alors que la notation f−1({y})a un sens quelle que soit l’application f .
– Dire que f : E → F est surjective est équivalent à dire que f (E) = F .
V.5
Restrictions et Prolongements
Définition V.10
Soient E et F deux ensembles, f : E → F
– Soit A ⊂ E. On appelle restriction de f à A l’application notée f|A et définie par
f|A: x ∈ A 7→ f (x) ∈ F.
– Soit E0 un ensemble tel que E ⊂ E0. On appelle prolongement de f à E0 toute
application : g : E0 → F dont la restriction à E est f ; c’est-à-dire toute application
Remarque :
– Par exemple, l’exponentielle complexe, telle qu’on l’a définie dans le cours sur les complexes, est un pro-longement de x ∈ R 7→ ex
∈ R.
– Trouver un prolongement g d’une application f : E → F à E0 ⊂ E est en soit une chose très simple : il suffit
de donner une valeur arbitraire à tous les g(x) où x 6= E. La difficulté, et donc l’intérêt d’un prolongement apparait lorsque l’on désire que le prolongement de f conserve une propriété de f : continuité, dérivabilité, linéarité,...
VI
Cardinal
VI.1
Ensembles finis
Pour tou n ∈ N∗
, nous noterons [[1, n]] l’ensemble des entiers k tels que 1 6 k 6 n. Définition VI.1
Un ensemble E est dit fini lorsqu’il existe un entier n ∈ N∗et une bijection f : E → [[1, n]].
Proposition VI.2 Soient p, n ∈ N∗.
1./ S’il existe une injection f : [[1, p]] → [[1, n]] alors n > p. 2./ S’il existe une surjection f : [[1, n]] → [[1, p]] alors n > p. 3./ S’il existe une bijection f : [[1, n]] → [[1, p]] alors n = p.
Démonstration : Le troisième cas est évidemment une conséquence des deux premiers ; 1./ Prouvons par récurrence sur p > 1 :
P(p) :
∀n ∈ N∗, Si f : [[1, p]] → [[1, n]] est injective, alors p 6 n.
– p = 1 : clair puisque n > 1.
– Soit p > 1, pour lequel le prédicat P(p) est vrai.
Soit alors n > 1, et f : [[1, p + 1]] → [[1, n]] une application injective.
• Si f (p + 1) = n, l’application g : x ∈ [[1, p]] 7→ f (x) ∈ [[1, n − 1]] est bien définie, car l’injectivité de f induit l’inexistence d’un entier k 6 p antécédent de n. En tant que restriction d’une application injective, g est aussi injective. D’après l’hypothèse de récurrence, n − 1 > p, i.e n > p + 1.
• Si j := f (p + 1) 6= n, on pose ψ la bijection de [[1, n]] dans lui-même qui échange j et n, et laisse stables tous les autres éléments de [[1, n]]. Alors, ψ ◦ f : [[1, p + 1]] → [[1, n]]est injective, en tant que composée de deux injections, et envoie p + 1 sur n. Le cas précédent permet de conclure.
2./ Supposons qu’il existe une surjection f : [[1, n]] → [[1, p]]. Il suffit, d’après ce qui précède,
de construire une injection g : [[1, p]] → [[1, n]]. Pour tout k ∈ [[1, p]], il existe au moins un antécédent par f . Notons-le g(k). On a ainsi construit notre application g, dont l’injectivité est immédiate puisque si g(k) = g(k0), alors f (g(k)) = f (g(k0)), et donc
k = k0. On conclut en appliquant le1.
3./ S’il existe une bijection f : [[1, n]] → [[1, p]] alors n > p car f est surjective (cf 2.), et
VI.2
Cardinal d’un ensemble fini
Définition VI.3
Deux ensembles E et F sont ditséquipotents lorsqu’il existe une bijection f : E → F . D’après le3. de la proposition VI.2 , un ensemble fini E ne peut être en bijection qu’avec un seul ensemble du type [[1, n]]. En effet, si f : E → [[1, n]] et g : E → [[1, p]] sont bijectives, alors f ◦ g−1 : [[1, p]] → [[1, n]] est bijective, comme composée de deux bijection, et d’après
cette proposition, n = p. On peut donc définir : Définition VI.4 (Cardinal)
Soit E un ensemble fini non vide. On appelle cardinal de E l’unique n ∈ N∗ pour lequel
E est équipotent à [[1, n]]. On note n = Card E = ]E = |E|. On posera que l’ensemble ∅ est de cardinal 0.
Dénombrer une ensemble E, pour un enfant comme pour un adulte, consiste à constru-ire une bijection entre E et un ensemble du type [[1, n]]. Pour nous, grâce à la transitivité de la notion d’équipotence, il suffira de construire une bijection entre E et un autre ensemble F dont on connaîtra le cardinal. Clarifions cela :
Corollaire VI.5
Soient E et F deux ensembles finis.
1. S’il existe une injection f de E dans F , alors ]E 6 ]F . 2. S’il existe une surjection f de E dans F , alors ]E > ]F . 3. S’il existe une bijection f de E dans F , alors ]E = ]F .
Démonstration : Notons n = ]E et p = ]F . Il suffit d’exhiber deux bijections
ϕ : E → [[1, n]]et ψ : F → [[1, p]],
et de considérer ψ ◦ f ◦ ϕ−1 :]]1, n]] → [[1, p]].Cette application est injective si f l’est, en tant que composée d’injections et surjective si f l’est. On conclut avec la proposition VI.2.
VI.3
Finitude, Injectivité, Surjectivité
Si f : E → F est bijective, d’après le corollaire VI.5, E et F ont même cardinal. Lorsque les ensembles de départ et d’arrivée ont même cardinal, on a de plus : Proposition VI.6
Soient E et F deux ensembles finis et de même cardinal, et f : E → F . Alors
f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective .
Démonstration : Nous supposerons que E = F = [[1, n]], quitte à composer f à droite et à
gauche par une bijection.
– Montrons que l’injectivité implique la surjectivité par récurrence sur n > 1.
L’initial-isation est évidente. Pour l’hérédité, à nouveau, nous distinguerons les cas f (n + 1) =
g : [[1, n]] → [[1, n]]. Le dernier cas se ramène au premier comme dans la preuve de la proposition précédente.
– Montrons que la surjectivité implique la bijectivité. Pour tout x ∈ [[1, n]], l’ensemble
{k ∈ [[1, n]]/f (k) = x} des antécédents de x est non vide. Posons alors :
g(x) = le plus petit élément de {k ∈ [[1, n]]/f (k) = x}.
g est alors par construction injective. D’après la première partie de cette preuve, elle est donc bijective. Or pour tout x ∈ [[1, n]], f g(x)
= x, soit f ◦ g = Id. En composant à droite par g−1,on trouve f = g−1.
Proposition VI.7
Soit E un ensemble fini et F ⊂ E. Alors, 1. F est fini, et ]F 6 ]E.
2. F = E ⇐⇒ ]F = ]E.
Démonstration : 1. j : x ∈ F 7→ x ∈ E est une injection, donc F est de cardinal 6 à celui de
E.
2. Il n’y a que le sens ⇐ qui nécessite une preuve. Si F et E ont même cardinal, alors d’après la proposition VI.6, f est surjective, i.e tout élément y ∈ E est l’image d’un
x ∈ F : y = j(x) ⇒ y = x ⇒ y ∈ F . Donc F ⊂ E, qui implique que E = F .
VII
Dénombrement
Commençons par une petite incursion dans les parties dans un ensemble fini.
VII.1
Cardinal d’unions
Définition VII.1
Soit E un ensemble.
1. Soient A, B deux parties de E. Elles sont dites disjointes lorsque A ∩ B = ∅. 2. Soit k ∈ N∗, et A
1, A2, . . . Ak des parties de E. On dit que ces parties forment une partition de E lorsque
E = ∪ki=1Ai et ∀j 6= i, Ai∩ Aj = ∅, i.e lorsque ∀x ∈ E, il existe un unique i ∈ [[1, k]] tel que x ∈ Ai.
Proposition VII.2
Soit E un ensemble fini.
1. Soient A et B deux parties disjointes de E. Alors
2. Soit k ∈ N∗, et A
1, A2, . . . Ak des parties de E2 à 2 disjointes. Alors CardA1 ∪ A2∪ . . . ∪ Ak = k X j=1 Card Aj.
3. Soit A une partie de E et ¯Ason complémentaire. Alors
Card ¯A = Card E − Card A.
4. Soient A, B deux parties de E. Alors,
Card A ∪ B=Card A + Card B − CardA ∩ B.
VII.2
Les coefficients binomiaux
Définition VII.3
Soient n, p ∈ N. On note np !
le nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments. Exemples : – Soient n, p ∈ N. Si n < p, alorsnp = 0. – Soit n ∈ N. Alorsn0 = n n
= 1car la seule partie sans élément de [[1, n]] est ∅ et sa seule partie à n éléments est elle-même.
– Soit n ∈ N. Alorsn1
= n, car il y a exactement n singletons dans [[1, n]].
Proposition VII.4
Soient n, p ∈ N tels que p 6 n. Alors np !
= n
n − p !
.
Démonstration : NotonsAp l’ensemble des parties à p éléments dans [[1, n]], et f : A ∈Ap 7→ ¯A ∈An−p, et g : A ∈An−p 7→ ¯A ∈Ap,
où ¯Aest le complémentaire dans [[1, n]] de A. Puisque le complémentaire du complémentaire de A est lui-même, on a à la fois f ◦ g = IdAn−p et g ◦ f = IdAp. Ainsi, d’après la propriété V.7,
f est bijective. On conclut avec la proposition VI.5 qui nous assure de l’égalité des cardinaux de l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée.
Il existe une relation de récurrence sur ces coefficients, qui est la base de la construction du triangle de Pascal :
Proposition VII.5
n p ! + n p + 1 ! = n + 1 p + 1 ! .
Démonstration : NotonsAn,pl’ensemble des parties à p éléments dans [[1, n]].
An+1,p+1 = {A ∈An+1,p+1/n + 1 ∈ A} | {z } =Ω1 ∪ {A ∈An+1,p+1/n + 1 /∈ A} | {z } =Ω2 ,
cette union étant clairement disjointe, si bien que n + 1
p + 1
!
= ]Ω1+ ]Ω2.A partir de là, nous
construisons deux applications dont la bijectivité est laissée au lecteur • ψ1 An,p −→ Ω1
B 7−→ B ∪ {n + 1}
est bijective, donc ]Ω1 =
n p ! , • ψ2 An,p+1 −→ Ω2 B 7−→ B
est bijective, donc ]Ω2= n
p + 1
!
,
Corollaire VII.6
Soient n, p ∈ N tels que p 6 n. Alors
n p ! = n! p!(n − p)! = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) p! .
Démonstration : Elle est basée sur la formule de récurrence précédente, grâce à laquelle on
prouve par récurrence que le prédicat suivant est vrai : P(n) : ∀p ∈ [[0, n]], n p ! = n! p!(n − p)! ! .
L’initialisation vous est laissée. Soit n ∈ N tel que P(n) est vrai.
Soit p ∈ [[0, n + 1]]. Si p = 0, c’est encore évident. Supposons donc p > 1 :
n + 1 p ! = n p ! + n p − 1 ! = n! p!(n − p)!+ n! (p − 1)!(n − p + 1)! = n! (p − 1)!(n − p)! 1 p + 1 n − p + 1 = n! (p − 1)!(n − p)! n + 1 p(n − p + 1) = (n + 1)! p!(n + 1 − p)!
Théorème VII.7 (Le Binôme de Newton) Soit n ∈ N∗ et a, b ∈ C. (a + b)n= n X k=0 n k ! akbn−k.
Démonstration : Prouvons par récurrence
P(n) : ∀a, b ∈ C, (a + b)n= n X k=0 n k ! akbn−k. !
On pourrait faire une jolie preuve par dénombrement, dans laquelle on montrerait que le nombre d’occurences du terme akbn−k dans le développement de (a + b)n vérifie la relation
de récurrence des coefficients binômiaux. Mais nous procéderons de manière beaucoup plus classique.
Soit n ∈ N∗ pour lequel ce prédicat est vérifié. Soit alors a, b ∈ C.
(a + b)n+1 = (a + b) n X k=0 n k ! akbn−k = n X k=0 n k ! ak+1bn−k | {z } posonsj=k+1 + n X k=0 n k ! akbn+1−k | {z } posonsj=k = n+1 X j=1 n j − 1 ! ajbn+1−j + n X j=0 n j ! ajbn+1−j = n X j=1 n j − 1 ! ajbn+1−j+ n n ! an+1b0 + n 0 ! a0bn+1+ n X j=1 n j ! ajbn+1−j = bn+1+ n X j=1 n j − 1 ! + n j !! ajbn+1−j+ an+1 = n + 1 0 ! a0bn+1−0+ n X j=1 n + 1 j ! ajbn+1−j+ n + 1 n + 1 ! an+1bn+1−(n+1) = n+1 X j=0 n + 1 j ! ajbn+1−j.
Remarque : Retenir les corollaires suivants : B ∀a, b ∈ C, n ∈ N∗, (a − b)n= n X k=0 n k (−1)kan−kbk. B ∀x ∈ C, n ∈ N∗, (x + 1)n= n X k=0 n k xk.
VII.3
Des cardinaux remarquables
Soient n, p ∈ N∗. Dans toute la suite, E sera un ensemble de cardinal n et F un ensemble
de cardinal p.
• Le nombre d’éléments du produit cartésien E × F est CardE × F= n × p .
• Le nombre d’applications d’un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments est
Card
F ([[1, p]], [[1, n]])= np . • Le nombre d’applications injectives de F dans E est
p(p − 1)(p − 2) . . . (p − n + 1) = p! (p − n)! si p > n, 0sinon.
• Le nombre de bijections de E dans E (on parle de permutations de E) est Card Bij ([[1, n]] = n! .
Démonstration : D’après la proposition VI.6, f : E → E est bijective si et seulement si elle
est injective. On utilise alors le point précédent en posant p = n.
• Le nombre de parties de E est
Card
P([[1, n]])= 2n = 2]E.
Démonstration : Toute partie de E posède un nombre k (et un seul) d’éléments compris au
sens large entre 0 et n. Ainsi, en utilisant le binôme de Newton, le nombre de parties de E est
n X k=0 n p ! = n X k=0 n p ! 1k1n−k= (1 + 1)n= 2n. •
VIII
Z et Q
Aucune construction de Z ni de Q n’est au programme. Nous utiliserons donc sans preuve les résultats que vous connaissez sur ces ensemble d’entiers depuis plusieurs an-nées. Je rappelle seulement deux théorèmes essentiels :
Théorème VIII.1
Soient a ∈ Z, b ∈ N∗. Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q, r) qui vérifie
a = bq + ret 0 6 r < b.
qs’appelle quotient et r reste dans la division euclidienne de a par b. Théorème VIII.2
Soit n ∈ N∗
, n > 2. Il existe un unique entier k > 1, une unique suite d’entiers premiers p1 < p2 < ... < pk et une unique suite d’entiers m1, m2, ...mk > 1 tels que
n = pm1 1 × p m2 2 × ... × p mk k .
