Énoncé des exercices
Exercice 1 Pour n ∈ N∗et x ∈ R on pose Pn(x) = 1 + x + x2+ · · · + x2n= 2n
X
k=0 xk.
1. À l’aide de l’ordinateur, tracer les courbes des fonctions Pnpour −2 6 x 6 2 et 1 6 n 6 10. On utilisera la commande
plt.axis([−2,2,0,5])afin de cadrer la fenêtre graphique.
Que remarquez-vous sur les lieux où Pnatteint un minimum ?
2. Pour x , 1 et n ∈ N∗montrer que Pn0(x) = un(x)
(x − 1)2 où unest une fonction polynomiale à déterminer.
3. Pour n ∈ N∗donner l’allure du tableau de variations de la fonction Pn. Montrer en particulier que Pnpossède un
minimum unique sur R. Dans la suite on notera anle réel où Pnatteint son minimum.
4. Créer une fonction informatiqueAqui prend en argument un entier n ∈ N∗et renvoie une valeur approchée de an.
5. Représenter graphiquement anen fonction de n pour 1 6 n 6 500. Que peut-on conjecturer sur la limite de cette
suite ?
6. Déterminer un équivalent simple de la quantité ln(2n + 1 − 2nan) puis, en exploitant la relation P
0
n(an) = 0, en déduire la limite de la suite (an).
7. On pose maintenant an= −1 + hn. Déterminer un équivalent de hnlorsque n tend vers +∞.
Exercice 2 Pour n ∈ N∗on considère X1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur {−1, 1}.
On pose Sn= n X k=1 Xk, Pn= n Y k=1 Xk et An= D(X1, . . . , Xn) où D(x1, . . . , xn) = 1 + x1 1 · · · 1 1 1 + x2 . .. ... .. . . .. . .. 1 1 · · · 1 1 + xn .
1. Déterminer l’espérance et la variance de Sn et Pn.
2. Déterminer la loi de Pn. Les variables Snet Pnsont-elles indépendantes ?
3. Coder une fonction qui, étant donné un vecteur (x1, . . . , xn), renvoie la liste composée de 1 +
n X k=1 xk, n Y k=1 xk et D(x1, . . . , xn).
4. Effectuer plusieurs simulations avec n = 10. Conjecture? La prouver. 5. Tracer pour dix simulations la suite
A n n
16n6200.
6. Déterminer l’espérance et la variance de An.
Soit > 0. Montrer que lim n→+∞
P
|An|> n= 0.
Exercice 3 On considère la sérieX
n>1 anavec an= (−1)nln 1 +1 n .
1. Démontrer que la sérieXanconverge.
2. a) Vérifier avec le logiciel la relation
+∞ X n=1 an= ln 2 π . b) Démontrer avec rigueur ce résultat.
3. Montrer que le rayon de convergence de la série entièreXanxnest 1. On note f sa somme sur ]−1, 1[.
4. a) Faire un tracé de f avec le logiciel et vérifier que lim
x→1f (x) = ln 2
π
. b) Démontrer avec rigueur ce résultat.
