Décomposition de Dunford

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2.4 Décomposition de Dunford

Référence :X. Gourdon, Les maths en tête, Algèbre, Ellipses, 2009. Leçons concernées : 153, 154, 155, 157.

Soit K un corps et E un K-espace vectoriel de dimension finie.

Théorème 1. Soit f P LpEq tel que son polynôme caractéristique f soit scindé sur K.

Alors il existe un unique couple pd, nq P LpEq2 _{tel que f “ d ` n, n soit nilpotent, d soit}

diagonalisable, et que d ˝ n “ n ˝ d.

De plus, d et n sont des polynômes en f.

Lemme 2. Soit f P LpEq et P P KrXs un polynôme annulateur de f. Soit P “ M↵1

1 ¨ ¨ ¨ Ms↵s

sa décomposition en facteurs irréductibles et Ni:“ ker Mi↵ipfq. Alors on a E “ N1‘¨ ¨ ¨‘Ns

et pour tout i, la projection sur Ni parallèlement à Àj‰iNj est un polynôme en f.

Démonstration. La première assertion résulte directement du lemme des noyaux.

Étape 1 : on note, pour tout i, Qi “±j‰iMj↵j, qui sont premiers entre eux dans leur

ensemble, et donc, d’après le théorème de Bézout, il existe U1, . . . , Us P KrXs tels que

U1Q1` ¨ ¨ ¨ ` UsQs“ 1 et donc

idE “ U1˝ Q1pfq ` ¨ ¨ ¨ ` Us˝ Qspfq.

On note alors Pi “ UiQi et pi“ Pipfq de sorte qu’on a idE “∞sj“1pj p˚q. On remarque que

les pi sont des polynômes en f. On commence par montrer que les pi sont des projecteurs.

Pour j ‰ i, P divise QiQj et donc

pi˝ pj “ QiQjpfq ˝ UiUjpfq “ 0.

Ainsi, pour tout i, par p˚q, pi“∞s_j“1pi˝ pj “ p2i.

Étape 2 : on montre ensuite par double inclusion que Imppiq “ Ni. Soit y “ pipxq P

Im_ppiq. On a

M↵i

i pfqpyq “ Mi↵ipfq ˝ Pipfqpxq “ Uipfq ˝ P pfqpxq “ 0

et donc Imppiq Ä ker Mi↵ipfq “ Ni. Réciproquement, si x P Ni, on a d’après p˚q, x “

∞s

j“1pjpxq. Or pour j ‰ i, pjpxq “ UjQjpfqpxq “ 0 car Mi↵i divise Qj et donc x “ pipxq P

Im_ppiq.

Étape 3 : on montre enfin par double inclusion que kerppiq “Àj‰iNj. Soit x P Nj, alors

pipxq “ UiQipfqpxq “ 0 car Mj↵j divise Qi et doncÀj‰iNj Ä kerppiq. Réciproquement, si

xP kerppiq, par p˚q, x “∞j‰ipjpxq PÀj‰iImppjq “ Àj‰iNj. Cela conclut la preuve du

lemme.

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Démonstration (Théorème). Existence : on applique le lemme précédent à P “_± f “ s

i“1pX ´ iq↵i avec Mi “ X ´ i. On reprend les notations du lemme et on pose

d_“∞s_{i“1 i}pi qui est alors diagonalisable (diagonale dans une base adaptée à la

décompo-sition E “ N1‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Ns). On pose également n “ f ´ d “∞s_i_“1pf ´ iqpi grâce à p˚q. On

sait que pi˝ pj “ 0 si i ‰ j, p2i “ pi et, puisque les pi sont des polynômes en f, que les pi

et f commutent, ainsi, par récurrence, on obtient que pour tout q P N, nq “

s

ÿ

i“1

pf ´ iqqpi.

Or, si q “ maxi↵i, pour tout i, pf ´ iqqpipxq “

`

pX ´ iqqPi

˘

pfqpxq “ 0 car f divise

pX ´ iqqPi. Ainsi n est nilpotent et puisque ce sont des polynômes en f, d et n commutent,

et on a l’existence.

Unicité : soit pd1_{, n}1_{q un autre tel couple. Alors d}1_{et n}1_{commutent avec d}1_`n1 _{“ f et donc}

avec d et n qui sont des polynômes en f. Ainsi, d et d1 _{sont simultanément diagonalisables,}

et donc d ´ d1 _{est diagonalisable. Or on a d ´ d}1 _{“ n}1_{´ n qui est nilpotent par le binôme de}

Newton, puisque n et n1 _{commutent. Ainsi d “ d}1 _{et donc n “ n}1_.