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Chapitre 27

Fonctions de deux variables

– Rappeler la notion de norme, définir les parties bornées et les parties ouvertes de R2_. – Notion de limite et de continuité pour les fonctions de deux variables.

– Notions de dérivées partielles, de fonctions de classeC1.

– Notion d’intégration, passage en coordonnées polaires, formule de Green-Riemann.

Sommaire

II) Calcul différentiel . . . . 4

1) Dérivées partielles premières . . . 4

2) Dérivée suivant un vecteur . . . 6

3) Fonctions de classe C1 . . . 6

4) Dérivées partielles d’ordre 2 . . . 9

III) Calcul intégral. . . . 10

1) Intégration sur un pavé . . . 10

2) Intégration sur un fermé borné . . . 11

3) Passage en coordonnées polaires . . . 11

4) Formule de Green-Riemann . . . 11

IV) Exercices . . . . 12

I)

Fonctions continues

1)

Définitions

On rappelle que R2 est un R-espace vectoriel1 muni du produit scalaire canonique : si u = (x, y) et v = (x0, y0) alors (u|v) = x x0+ y y0, et de la norme euclidienne : _{kuk =}px2_{+ y}2_{, celle-ci ayant les}

propriétés suivantes :

– ∀ u = (x, y) ∈ R2_{,kuk ¾ 0.}

– _{∀ u ∈ R}2,_{kuk = 0 ⇐⇒ u = 0.} – _{∀ u ∈ R}2,λ ∈ R, kλuk = |λ|.kuk.

– ∀ u, v ∈ R2,ku + vk ¶ kuk + kvk (inégalité triangulaire). On définit alors les notions suivantes :

– Distance euclidienne : la distance de u_{∈ R}2 à v_{∈ R}2est la norme de la différence : d(u, v) = ku − vk. 1. C’est aussi un espace affine

– Partie bornée : une partie A de R2est dite bornée lorsqu’il existe un réel M tel que : ∀x ∈ A, kxk ¶ M.

– Boule ouverte : soit u _{∈ R}2 et r > 0, la boule ouverte de centre u et de rayon r est l’ensemble

B(u, r) = {v ∈ R2/ ku − vk < r}. De même on peut définir les boules fermées et les sphères. Remarque: Si u= (x, y) alors le pavé ouvert : ]x −pr

2; x+ r p 2[×]y − r p 2; y+ r p

2[ est inclus dans B(u, r). – Partie ouverte : une partie A de R2est dite ouverte lorsque A est une réunion (quelconque) de boules

ouvertes, ou encore : ∀u ∈ A, ∃r > 0, B(u, r) ⊂ A. Par convention, l’ensemble vide est considéré comme une partie ouverte.

Exemples:

– R2est une partie ouverte de R2.

– Une boule ouverte est une partie ouverte de R2.

– Un demi-plan ouvert (i.e. bord exclu) est une partie ouverte. – Une réunion quelconque de parties ouvertes est une partie

ouverte.

– Une intersection finie de parties ouvertes est une partie ouverte.

– Une boule fermée n’est pas une partie ouverte de R2_.

A

u r

D

Soit A une partie de R2, soit f : A→ R une fonction, et soit a = (x0, y0) ∈ A. La première application

partielle de f en a est la fonction f_1,a : t _{7→ f (t, y0}) (on fixe la deuxième variable à y₀), et la deuxième application partielle de f en a est la fonction f_2,a : t _{7→ f (x0}, t) (on fixe la première variable à x0).

Exemple: Soit f(x, y) =_x2x_+y2+y2₊₁, la première application partielle de f en a= (0, 0) est f1,a(t) =

t2

1+t2, et la deuxième application partielle de f en a est f2,a(t) =_1+tt2.

Remarque: Les applications partielles permettent de se ramener aux fonctions d’une variable réelle.

2)

Limite

D

Soit A une partie non vide de R2 et a ∈ R2_{, on dit que a est adhérent à A lorsque toute boule} ouverte de centre a rencontre A :_{∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ;.}

D

Soit f : A_{→ R une fonction, et soit a ∈ R}2 un point adhérent à A, soit` ∈ R, on dit que f admet pour limite` en a lorsque : ∀ " > 0, ∃ α > 0, ∀ u ∈ A, ku − ak < α =⇒ |f (u) − `)| < ".

Notation : lim

Fonctions continues Chapitre 27 : Fonctions de deux variables

Remarques:

– Pour que A∩ B(a, α) ne soit jamais vide, il est nécessaire que a soit adhérent à A.

– On peut remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges, cela ne change pas le sens de la définition. – lim

a f = ` ⇐⇒ lima | f − `| = 0.

Exemple: Les fonctions coordonnées, soit c1: R2→ R définie par c1(x, y) = x et c2: R2→ R définie par c2(x, y) = y. Soit a= (x0, y0) ∈ R2, on a : lim_a c1= x0= c1(a) et lim_a c2= y0= c2(a).

Propriétés : on retrouve les propriétés usuelles, à savoir :

– Si la limite existe alors elle est unique.

– Si f a une limite finie en a, alors f est bornée au voisinage de a. – Si lim a f = ` et lima g= ` 0_{, alors :} – lim a (f + g) = ` + ` 0_. – lim a f × g = ` × ` 0_. – _{∀ λ ∈ R, lim} a λf = λ`. – Si`06= 0, alors lim a f g = ` `0.

– Soit f : A _{→ R avec lim}

a f = b, et g : J → R avec Im(f ) ⊂ J et limb g = `, alors lima g◦ f = `

(composition des limites).

La limite (lorsqu’elle existe) ne dépend pas du « chemin » suivi.

Exemples:

– La fonction f(x, y) =x_x22+y_{− y}22 est définie continue sur{(x, y) ∈ R

2_{/ |x| 6= |y|}. Si on fait tendre (x, y) vers (0, 0)} suivant la direction u_{= (1, a) [i.e. y = ax] avec |a| 6= 1, alors on trouve f (x, y) =}1+a2

1−a2 −→

(x,y)→(0,0) 1+a2

1−a2, on en déduit que f n’a pas de limite en(0, 0).

– La fonction f(x, y) = _x2x_+y2y2 a pour limite 0 en(0, 0), car |f (x, y)| ¶ |y|.

3)

Continuité

Soit A_{⊂ R}2, l’ensemble des fonctions de A vers R est noté F (A, R), il est facile de voir que pour les opérations usuelles sur les fonctions, c’est une R-algèbre.

D

Soit f : A_{→ R et soit a ∈ A, on dit que f est continue en a lorsque lim}

a f = f (a). Si f est continue

en tout point de A, on dit que f est continue sur A, l’ensemble des fonctions continues sur A est noté C0(A, R).

Propriétés : théorèmes généraux

– C0_{(A, R) est une R-algèbre.}

– Si f, g : A→ R sont continues sur A et si g ne s’annule pas, alors _gf est continue sur A.

– Si f : A_{→ R est continue sur A, et si g : J → R est continue sur J avec Im( f ) ⊂ J, alors g ◦ f est} continue sur A.

Il en découle en particulier que toute fonction polynomiale ou rationnelle en x et y, est continue sur son ensemble de définition.

THÉORÈME27.1 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soit f : R2→ R une fonction continue, et soit λ ∈ R, alors l’ensemble : O =¦(x, y) ∈ R2 / f (x, y) > λ© est un ouvert.

Preuve: Soit a ∈ O , f est continue en a et f (a) > λ, en prenant " = f (a) − λ > 0, il existe r > 0 tel que

u∈ B(a, r) =⇒ | f (u) − f (a)| < ", ce qui entraîne f (u) > λ, donc B(a, r) ⊂ O , ce qui prouve que O est un ouvert. ƒ

THÉORÈME27.2

Ð Ð Ð

Si f est continue en a= (x0, y0) ∈ A, alors la première application partielle de f en a est continue

en x₀, et la deuxième est continue en y₀. Mais la réciproque est fausse.

Preuve: Soit_{" > 0, il existe r > 0 tel que ∀ u ∈ A, ku − ak < r =⇒ |f (u) − f (a)| < ". Soit t ∈ R, si |t − x0}| < r, alors k(t, y0) − ak = |t − x0| < r, donc | f (t, y0) − f (a)| < ", c’est à dire |f1,a(t) − f1,a(x0)| < ", ce qui prouve que f1,aest continue en x₀. Le raisonnement est similaire pour f_2,a.

Donnons un contre-exemple pour la réciproque : f(x, y) = ¨ x y

x2_+y2 si(x, y) 6= (0, 0)

0 si_{(x, y) = (0, 0)} , en considérant les directions u= (1, 1) et v = (1, −1), on voit que la fonction f n’a pas de limite en (0, 0), donc f n’est pas continue en (0, 0), par contre les deux applications partielles de f en (0, 0) sont continues en 0 car elles sont nulles. ƒ

4)

Extension

Soit A un partie de R2 et f : A_{→ R}2, alors pour tout couple(x, y) de A, f (x, y) est un couple de réels dont les deux composantes sont fonctions de x et y, par conséquent il existe deux fonctions : f1, f2: A→ R

telles que :

∀(x, y) ∈ A, f (x, y) = ( f1(x, y), f2(x, y)).

Par définition, les fonctions f₁et f₂sont les fonctions composantes de f .

D

– Une telle fonction f est dite continue en a∈ A lorsque les fonctions composantes sont continues

en a.

– Soit` = (`₁,`<sub>2</sub>) ∈ R2 et soit a<sub>∈ R</sub>2 adhérent à A, on dit que f admet pour limite` en a lorsque

fonctions composantes admettent pour limite respectivement`<sub>1</sub> et`₂en a.

Remarques:

– Cela s’applique aussi aux fonctions à valeurs complexes. – Cette définition se généralise aux fonctions à valeurs dans Rn.

THÉORÈME27.3 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Soit f : A→ R2_{, a∈ R}2_{adhérent à A, et` = (`} 1,`2) alors lim a f = ` ssi : ∀" > 0, ∃α > 0, ∀u ∈ A, ku − ak < α =⇒ k f (u) − `k < ".

Preuve: maxn| f1(u) − f1(a)|, |f2(u) − f2(a)| o

¶ k f (u) − f (a)k = p

| f1(u) − f1(a)|2+ |f2(u) − f2(a)|2. ƒ Remarque: On en déduit que f est continue en a∈ A ssi lim_a f = f (a).

Il est facile de vérifier que_C0(A, R2) est un R-espace vectoriel pour les opérations usuelles [c’est même une C-algèbre si on remplace R2par C], et que la composée de deux fonctions continues est continue.

II)

Calcul différentiel

1)

Dérivées partielles premières

Soit U un ouvert de R2et soit a= (x₀, y₀) ∈ U, il existe " > 0 tel que B(a,p2") ⊂ A, par conséquent le pavé ouvert]x0− "; x0+ "[×]y0− "; y0+ "[ est inclus dans U, donc la première application partielle de f

Calcul différentiel Chapitre 27 : Fonctions de deux variables

D

Si la première (respectivement la deuxième) application partielle de f en a est dérivable en x₀ (respectivement y₀), on dit que f admet une dérivée partielle par rapport à x (respectivement par rapport à y) en a, on la note : ∂ f_{∂ x}(a) (respectivement ∂ f_{∂ y}(a)). Si f admet une dérivée partielle par rapport à x en tout point de U, alors on définit la fonction : ∂ f_{∂ x} : U → R

(x, y) 7→ ∂ f_{∂ x}(x, y)

, (même chose par rapport à y).

Les applications partielles sont des fonctions de R dans R, on peut donc utiliser les théorèmes généraux pour étudier leur dérivabilité, et les règles de dérivation usuelles pour les calculs.

Exemple: Soit f(x, y) = _x2x_+y2+y2₊₁ et soit a= (x, y), on a f1,a(t) =

t2+y

t2_+y2₊₁ qui est dérivable sur R d’où

∂ f ∂ x(a) =

2x

(x2_+y2₊₁₎2; d’autre part f2,a(t) =

x2_+t

x2_+t2₊₁ qui est dérivable sur R, d’où

∂ f ∂ y(a) =

x2_(1−2y)−y2₊₁

(x2_+y2₊₁₎2 .

THÉORÈME27.4 (première application)

Ð Ð Ð Ð

Si f : U → R admet un extremum local en a = (x0, y0) ∈ U, et si f admet ses deux dérivées

partielles en a, alors ∂ f_{∂ x}(a) = 0 et ∂ f_{∂ y}(a) = 0, mais la réciproque est fausse.

Preuve: Supposons que a soit un maximum local, il existe donc r> 0 tel que B(a, r) ⊂ U et ∀ u ∈ B(a, r), f (u) ¶ f (a), par conséquent∀ t ∈]x0− r; x0+ r[, f (t, y0) ¶ f (a), c’est à dire f1,a(t) ¶ f1,a(x0), or la fonction f1,a(t) est dérivable en x₀et x₀est à l’intérieur de l’intervalle_]x0− r; x0+ r[, d’où f1,a0 (x0) = 0, c’est à dire ∂ f_{∂ x}(a) = 0, le raisonnement

est le même pour la deuxième variable. ƒ

x −2 −1 0 1 _y −1 0 1 2 z −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 z= x2+ 3y2+ 2x − 4y minimum en M(−1,2 3,− 7 3) x −2 −1 0 1 2 y −2 −1 0 1 2 z −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 z= x2_{− y}2_,

pas d’extrêmum en(0, 0) (point col)

Exemples:

– Soit f(x, y) = x2+ 3y2+ 2x − 4y, f admet ses deux dérivées partielles sur R2, qui sont∂ f_{∂ x}(x, y) = 2x + 2 et

∂ f

∂ y(x, y) = 6y − 4, ces deux fonctions s’annulent pour x = −1 et y = 2/3, donc le seul point où il peut y avoir

un extremum est a= (−1, 2/3). On a f (x, y) = (x + 1)2+ 3(y − 2/3)2− 7/3, or f (−1, 2/3) = −7/3, on voit donc que f(x, y) ¾ f (a), f présente donc un minimum global en a.

– Soit f(x, y) = x2_{− y}2_{, f admet ses deux dérivées partielles sur R}2_et∂ f

∂ x(x, y) = 2x et ∂ f

∂ y(x, y) = −2y, donc

le seul point où f peut présenter un extremum est a= (0, 0), on a f (a) = 0, or si t > 0, on a f (t, 0) = t2_{> 0} et f(0, t) = −t2_{< 0, donc f ne présente pas d’extremum en a (ce qui fournit un contre-exemple pour la} réciproque du théorème).

Remarque: Soit f : U→ R définie par f (x, y) = 2x − y + 1 avec U = B0_{(0, 1), alors en notant u = (x, u) et n(2, −1)} on a f(x, y) = (u | n) + 1 et donc 1 − kuk × knk ¶ f (u) ¶ 1 + kuk × knk, c’est à dire 1 −p5 ¶ f (u) ¶ 1 +p5, f est donc bornée, mais on voit que les bornes sont atteintes lorsque u= ±_knkn , f a donc un maximum et un minimum sur U. Mais si on observe les deux dérivées partielles : ∂ f_{∂ x(x, y) = 2 et} ∂ f_{∂ y(x, y) = −1, ont voit qu’elles ne s’annulent jamais,} le théorème ne s’applique donc pas sur U, car ici, U n’est pas un ouvert. Par contre, Le théorème s’applique sur la boule ouverte B_{(0, 1) et permet de dire que si f ne présente pas d’extrêmum local sur la boule ouverte.}

2)

Dérivée suivant un vecteur

Soit U un ouvert de R2, soit a_{∈ U, soit f : U → R, et soit h = (h1}, h₂) ∈ R2 non nul, il existe r> 0 tel que B(a, r) ⊂ U, comme lim

t→0a+ th = a, il existe " > 0 tel que t ∈] − "; "[=⇒ a + th ∈ B(a, r) et donc a+ th ∈ U, on peut alors considérer la fonction gh,a: t7→ f (a + th), c’est une fonction de R dans R définie

au moins sur] − "; "[.

D

Si la fonction g_h,a ci-dessus est dérivable en 0, on dit que f admet une dérivée en a suivant le vecteur h, et on pose g_h0_,a(0) = D_h(f )(a).

Exemple: Soit f(x, y) = sin(x y) + x − y, soit a = (0, 0), et soit h = (1, −2), on a alors gh,a(t) = f (t, −2t) = − sin(2t2) + 3t, cette fonction est dérivable en 0 et gh0,a(0) = 3, donc f admet une dérivée en a suivant le vecteur h et

D_h(f )(a) = 3.

Cas particuliers :

– f admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en a = (x₀, y₀) ssi f admet une dérivée en a suivant le vecteur(1, 0).

Preuve: On a gh,t= f (x0+ t, y0) = f1,a(x0+ t), donc gh,aet dérivable en 0 ssi f1,aest dérivable en x0. Si c’est

le cas, alors Dh(f )(a) =∂ f_{∂ x}(a). ƒ

– f admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en a= (x₀, y₀) ssi f admet une dérivée en a suivant le vecteur(0, 1).

Preuve: On a gh,t= f (x0, y0+ t) = f2,a(y0+ t), donc gh,aet dérivable en 0 ssi f2,aest dérivable en y0. Si c’est

le cas, alors Dh(f )(a) =∂ f_{∂ y}(a). ƒ

3)

Fonctions de classe C1

D

Soit U un ouvert de R2, soit f : U_{→ R une fonction, on dit que f est de classe C}1 sur U lorsque : ∀ a ∈ U, ∀ h ∈ R2\ {(0, 0)}, f admet une dérivée en a suivant le vecteur h et l’application :

D_h(f ) : U → R

a 7→ Dh(f )(a)

est continue sur U.

Exemple: Soit f(x, y) = x2_{+ x y, soit a = (x}

0, y0) et soit h = (h1, h2), on a gh,a(t) = f (x0+ th1, x0+ th2) = (x0+ th1) + (x0+ th1)(y0+ th2), cette fonction est dérivable en 0 et gh0,a(0) = h1(2x0+ y0) + h2x0, donc Dh(f ) :

(x, y) 7→ h1(2x + y) + h2x, cette fonction est continue sur R2, et par conséquent f est de classeC1sur R2.

Remarque: Si f est de classeC1_{, alors en tout point a de U, f admet ses deux dérivées partielles (en prenant}

h= (1, 0) et h = (0, 1)), de plus les deux dérivées partielles sont continues sur U car : D_(1,0)(f )(a) = ∂ f_{∂ x}(a) et D_(0,1)(f )(a) =∂ f_{∂ y}(a).

Calcul différentiel Chapitre 27 : Fonctions de deux variables THÉORÈME27.5 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Si f admet ses deux dérivées partielles en tout point de U et si celles-ci sont continues sur U, alors f admet un développement limité d’ordre 1 en tout point a_{∈ U, c’est à dire :}

f(a + h) = f (a) + h1 ∂ f ∂ x(a) + h2 ∂ f ∂ y(a) + khk"(h) avec lim h→(0,0)"(h) = 0. Preuve: On a (avec a= (x, y) et h = (h1, h2)) : f(x + h₁, y+ h2) − f (a) − h1 ∂ f ∂ x(a) − h2 ∂ f ∂ y(a) = f (x + h1, y+ h2) − f (x, y + h2) + f (x, y + h2) − f (a) − h1 ∂ f ∂ x(a) − h2 ∂ f ∂ y(a) = h1 ∂ f ∂ x(x + θh1, y+ h2) + h2 ∂ f ∂ y(x, y + θ0h2) − h1 ∂ f ∂ x(a) − h2 ∂ f ∂ y(a) avec θ, θ0∈]0; 1[ d’où | f (x + h1, y+ h2) − f (a) − h1 ∂ f ∂ x(a) − h2 ∂ f ∂ y(a)| ¶ |h1|| ∂ f ∂ x(x + θh, y + h2) − ∂ f ∂ x(a)| + |h2|| ∂ f ∂ y(x, y + θ0h2) − ∂ f ∂ y(a)| ¶ khk  |∂ f ∂ x(x + θh, y + h2) − ∂ f ∂ x(a)| + | ∂ f ∂ y(x, y + θ0h2) − ∂ f ∂ y(a)| 

les deux dérivées partielles étant continues, le terme entre parenthèses tend vers 0 lorsque h tend vers(0, 0), ce qui

termine la preuve. ƒ Le plan d’équation : z= f (a, b) + (x − a)∂ f ∂ x(a, b) + (y − b) ∂ f ∂ y(a, b)

est appelé plan tangent à la surface z= f (x, y) au point M(a, b, f (a, b)).

x −1 −2 0 1 2 y −2 −1 0 1 2 z −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 M THÉORÈME27.6 Ð Ð Ð Ð

Si f admet ses deux dérivées partielles en tout point de U et si celles-ci sont continues sur U, alors f est de classe_C1 sur U. De plus, pour tout vecteur h_{∈ R}2, on D_h(f )(a) = h₁∂ f_{∂ x}(a) + h₂∂ f_{∂ y}(a).

Preuve: Soit a= (x, y) ∈ U et soit h = (h1, h2) ∈ R2, on a gh,a(t) = f (x + th1, y+ th2) et gh,a(0) = f (a), d’où : g_h,a(t) − g_h,a(0) t = 1 t  th₁∂ f ∂ x(a) + th2 ∂ f ∂ y(a) + N(th)"(th)  , ce qui donne : g_h,a(t) − g_h,a(0) t = h1 ∂ f ∂ x(a) + h2 ∂ f ∂ y(a) ± khk"(th),

si t→ 0, alors la limite de l’expression ci-dessus est h1∂ f_{∂ x}(a) + h2∂ f_{∂ y}(a), ce qui prouve que f admet une dérivée en a

suivant le vecteur h et que Dh(f )(a) = h1∂ f_{∂ x}(a) + h2∂ f_{∂ y}(a). ƒ

D

Si f est de classe_C1sur U, alors on pose pour a_{∈ U : Gradf}(a) =∂ f_{∂ x}(a),_{∂ y}∂ f(a), c’est le gradient

de f en a. En prenant le produit scalaire canonique de R2, le développement limité d’ordre 1 de f en a s’écrit : f(a + h) = f (a) + (Grad_f(a)|h) + o

0(h).

Sur une courbe de niveau de f ( f(x, y) = λ) la relation ci-dessus devient (Grad_f(a)| h

khk) = o0(1) ce qui

entraîne que la tangente à cette courbe « au point a » est la droite orthogonale au vecteur gradient.

x 0 1 2 3 4 5 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 0 1 2 3 4 z= 0.5 z= 1.5 z= 2.5 z= 3.5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z= 0.5 z= 1.5 z= 2.5 z= 3.5 M −−−→ Gradf(M) z= f (x, y) = x ye−x

courbes de niveau même chose dans le plan xO y

Propriétés :

– Une fonction de classeC1 _{sur U est continue sur U.}

Preuve: Soit f : U → R une fonction de classe C1_{, et soit a ∈ U, on peut écrire pour h voisin de (0, 0) :}

f(a + h) = f (a) + h₁∂ f_{∂ x}(a) + h₂∂ f_{∂ y}(a) + khk"(h), on voit que lim

h→(0,0)f(a + h) = f (a), i.e. f est continue en a. ƒ – C1_{(U, R) est une R-algèbre pour les lois usuelles sur les fonctions, c’est en fait une sous-algèbre de}

C0(U, R).

Preuve: Montrons par exemple la stabilité pour l’addition : si f , g sontC1sur U, soit a= (x, y) ∈ U, la première application partielle de f + g en a est f1,a+ g1,a: t7→ f (t, y) + g(t, y) or ces deux fonctions sont dérivables en x, donc f + g admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable et∂ (f +g)_{∂ x} (a) =∂ f_{∂ x}(a) +∂ f_{∂ y}(a), or ces deux fonctions sont continues sur U et donc ∂ (g+h)_{∂ x} est continue sur U. Le raisonnement est le même

Calcul différentiel Chapitre 27 : Fonctions de deux variables

pour la deuxième variable, finalement les deux dérivées partielles de f + g sont continues sur U, donc f + g est de classeC1_{sur U.}

ƒ

THÉORÈME27.7 (dérivée d’une composée : règle de la chaîne)

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soit U un ouvert de R2, soit I un intervalle de R, soit ϕ : I → R2 définie parϕ(t) = (u₁(t), u₂(t)) où u1et u2 sont de classeC1de I dans R, avec Im(ϕ) ⊂ U,et soit f : U → R une fonction de classe

C1sur U, alors la fonction f _{◦ ϕ : I → R est de classe C}1et : ∀ t ∈ I, ( f ◦ ϕ)0(t) = u01(t) ∂ f ∂ x(ϕ(t)) + u02(t) ∂ f ∂ y(ϕ(t)) Preuve: f ◦ ϕ(t) = f (u1(t), u2(t)), soit t0∈ I : f[ϕ(t)] − f [ϕ(t₀)] = [u₁(t) − u₁(t₀)]∂ f ∂ x(ϕ(t0)) + [u2(t) − u2(t0)] ∂ f ∂ y(ϕ(t0)) + N(ϕ(t) − ϕ(t0))"(ϕ(t) − ϕ(t0)). On divise tout par t− t0, il est clair que la somme des deux premiers termes va tendre vers u01(t0)∂ f_{∂ x}(ϕ(t0)) +

u0₂(t₀)∂ f

∂ y(ϕ(t0)),et c’est une fonction continue de t0, quant au reste, il devient : |t−t_t−t0|

0

Nϕ(t)−ϕ(t0)

t−t0 

"(ϕ(t) − ϕ(t0)), il est facile de voir que cette expression a pour limite 0 lorsque t tend vers t₀, ce qui termine la preuve. ƒ Exercice: La formule d’Euler. Soit f : U→ R une fonction de classe C1_{sur U homogène de rapportα > 0, i.e. :} ∀ a ∈ U, f (ta) = tαf(a). On a alors : x∂ f_{∂ x}(a) + y_{∂ y}∂ f(a) = αf (a).

Réponse: Posonsϕ(t) = (t x, t y) alors f ◦ ϕ est de classe C1au voisinage de 0+, et sa dérivée est : x∂ f_{∂ x}(ta) +

y∂ f

∂ y(ta), mais cette dérivée est aussi égale à αtα−1f(a), il suffit alors de prendre t = 1 pour avoir la formule.

THÉORÈME27.8 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soient U et V deux ouverts de R2, soitϕ : V → U définie par ϕ(x, y) = (ϕ₁(x, y), ϕ₂(x, y)) où ϕ₁ etϕ₂ sont de classe_C1à valeurs réelles, soit f : U _{→ R une fonction de classe C}1, alors la fonction

f _{◦ ϕ : V → R est de classe C}1 sur V et_{∀ a ∈ V :}

∂ (f ◦ ϕ) ∂ x (a) = ∂ ϕ1 ∂ x (a) × ∂ f ∂ x(ϕ(a)) + ∂ ϕ2 ∂ x (a) × ∂ f ∂ y(ϕ(a)) ∂ (f ◦ ϕ) ∂ y (a) = ∂ ϕ1 ∂ y (a) × ∂ f ∂ x(ϕ(a)) + ∂ ϕ2 ∂ y (a) × ∂ f ∂ y(ϕ(a))

Preuve: La première application partielle de f ◦ ϕ en a = (x, y) ∈ V est ( f ◦ ϕ)1,a(t) = f (ϕ1(t, y), ϕ2(t, y)), il suffit alors d’appliquer le théorème précédent en prenant u₁(t) = ϕ₁(t, y) et u₂(t) = ϕ₂(t, y). ƒ

4)

Dérivées partielles d’ordre 2

D

Soit U un ouvert de R2et soit f : U_{→ R une fonction de classe C}1 sur U, on dit que f est de classe C2sur U lorsque ses deux dérivées partielles sont de classe_C1 sur U.

Notations : ∂ ∂ x(∂ fx ) = ∂2_f ∂ x2; _{∂ y}∂ ( ∂ f x ) = ∂2_f ∂ y∂ x ∂ ∂ x(∂ fy ) = ∂2_f ∂ x∂ y; ∂ y∂ (∂ fy ) = ∂2_f ∂ y2 Remarques:

– Les fonctions polynomiales ou rationnelles en x et y sont de classeC2_{sur leur ensemble de définition.} – C2_{(U, R) est une R-algèbre pour les opérations usuelles sur les fonctions, c’est en fait une sous-algèbre de}

C1_{(U, R).}

THÉORÈME27.9 (de Schwarz (admis))

Ð

Ð Si f est de classeC2sur U alors : ∂

2_f

∂ x∂ y = ∂

2_f

∂ y∂ x.

III)

Calcul intégral

Nous ne définirons pas la notion d’intégrale double, nous donnerons seulement une technique de calcul qui permet de se ramener à deux intégrales d’une variable (théorème de Fubini2) ainsi que le passage en coordonnées polaires.

Nous admettrons également la notion d’aire (qui est techniquement difficile à définir) et que si A est une partie du plan qui admet une aire, alors celle-ci est égale àRR

A1 d x d y.

Une partie fermée de R2 est une partie dont le complémentaire est une partie ouverte, on admettra que toute partie fermée bornée admet une aire.

1)

Intégration sur un pavé

THÉORÈME27.10 (de Fubini ou intégration par tranches)

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Si f est continue sur le pavé P= [a; b] × [c; d], alors : Z Z P f(x, y) d x d y = Z b a Z d c f(x, y) d y ! d x= Z d c Z b a f(x, y) d x ! d y.

Nous admettrons que dans R3 muni d’un repère orthonormé,RR_P f représente le volume algébrique de la partie de l’espace délimitée par la surface d’équation z= f (x, y) et les plans : z = 0, x = a, x = b, y =

c, y= d. x −3 −2 −1 0 1 2 y −3−2₋₁ 0 1 2 3 z 0 1 2 3 4 Exercices:

– Calculer l’intégrale sur P= [0; 1] × [0; 1] de f (x, y) = x(x + y). Réponse: D’après le théorème de Fubini,RR_P f =R1

0( R1

0 x(x + y) d y) d x = R1

0 x(x + 1/2) d x = 7/12. – Calculer le volume du domaine D= {M(x, y, z) / − 1 ¶ x, y ¶ 1, 0 ¶ z ¶ x2+ y2}.

Réponse: Il s’agit de calculer en faitRR_P f avec f(x, y) = x2_{+ y}2 _{et P = [−1; 1] × [−1; 1]. D’où V (D) =} RR

Px

2_{d x d y+}RR

P y

2_{d x d y= 8/3.}

Calcul intégral Chapitre 27 : Fonctions de deux variables

2)

Intégration sur un fermé borné

Le théorème de Fubini s’énonce différemment :

THÉORÈME27.11 (de Fubini, ou intégration par tranches)

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soit A un fermé borné de R2, soit P = [a; b] × [c; d] tel que

A_{⊂ P, on suppose qu’il existe deux fonctions continues α, β sur}

[a; b] telles que :

(x, y) ∈ A ⇐⇒ x ∈ [a; b] et α(x) ¶ y ¶ β(x) Si f : A_{→ R est une fonction continue, alors :}

Z Z A f(x, y) d x d y = Z b a Z β(x) α(x) f(x, y) d y ! d x. A b x a d c β(x) α(x) Exercices:

– Calculer l’aire du domaine D= {M(x, y) / x2+ y2− x ¶ 0; x2_{+ y}2_{− y ¶ 0}.}

Réponse: L’aire du domaine D est donnée par :A (D) =RR_D1 d x d y. Il est facile de voir que D est l’intersection entre le disque de centre_{(1/2, 0) de rayon 1/2 et le disque de centre (0, 1/2) et de rayon 1/2. D’où (x, y) ∈}

D ⇐⇒ 0 ¶ x ¶ 1/2 et α(x) ¶ y ¶ β(x) avec α(x) = 1₂−Æ1₄− x2_{etβ(x) =}p x(1 − x). L’aire recherchée est donc :A (D) =R₀1/2R_α(x)β(x)1 d yd x =R1/2 0 β(x) d x − R1/2 0 α(x) d x, ce qui donne A (D) = π−2 8 . On remarquera que l’on peut calculer cette aire de manière purement géométrique.

– Calculer le volume de la sphère de centre O et de rayon R> 0.

3)

Passage en coordonnées polaires

Soit A un fermé borné de R2avec A= {M(r cos(θ), r sin(θ)) / (r, θ) ∈ B} où B est un fermé borné de R2. On admettra que si f : A→ R est continue, alors :

Z Z A f(x, y) d x d y = Z Z B f(r cos(θ), r sin(θ))r dr dθ. Exercices:

– Calculer l’aire de la portion de plan délimitée par la cardioïde d’équation polaireρ = 1 + cos(θ).

Réponse: Le domaine demandé est D= {M(r cos(θ), r sin(θ)) / 0 ¶ r ¶ 1 + cos(θ), 0 ¶ θ ¶ 2π}, notons B l’ensemble des couples(r, θ) correspondants, B est un fermé borné de R2etRR_D1 d x d y=RR_Br d r dθ, ce qui

donneA (D) =R₀2πR₀1+cos(θ)r d rdθ =R2π 0 (1+cos(θ))2 2 dθ = 3π 2.

– Recalculer le volume de la sphère à l’aide d’un changement de coordonnées polaires.

Lorsque l’on intègre sur un disque, un secteur angulaire, ou une couronne, un passage en coordonnées polaires est souvent utile.

4)

Formule de Green-Riemann

Intégrale curviligne : Soient U un ouvert de R2, soient P, Q : U→ R deux fonctions de classe C1 sur

U et soit_{C une courbe incluse dans U, de classe C}1 et paramétrée par(x(t), y(t)) avec t ∈ [a; b]. On appelle intégrale curviligne suivant le chemin_{C de la forme différentielle P(x, y) d x + Q(x, y) d y, le} nombre noté I C  P(x, y) d x + Q(x, y) d y et défini par : I C  P(x, y) d x + Q(x, y) d y = Z b a P(x(t), y(t))x0(t)d t + Z b a Q(x(t), y(t))y0(t)d t.

Formule de Green3-Riemann: Soient U un ouvert de R2, soient

P, Q : U_{→ R deux fonctions de classe C}2sur U, soit K un fermé borné inclus dans U dont le bord est une courbeC de classe C1, paramétrée par (x(t), y(t)) avec t ∈ [a; b], et orientée dans le sens « intérieur à gauche » :

U K alors on a : Z Z K [∂ Q ∂ x(x, y) − ∂ P ∂ y(x, y)] d x d y = I C [P(x, y) d x + Q(x, y) d y].

Application: Soit K un fermé borné inclus dans U dont le bord est une courbeC de classe C1_{, paramétrée par} (x(t), y(t)) avec t ∈ [a; b], et orientée dans le sens « intérieur à gauche », alors en prenant par exemple P(x, y) = 0 et Q(x, y) = x, l’aire de K est : A (K) = Z Z K 1 d x d y= I C x d y= Z b a x(t)y0(t)d t = − Z b a y(t)x0(t) d t =1 2 Z b a [f (t), f0_{(t)] d t,}

car P_{(x, y) d x + Q(x, y) d y = x d y et} ∂ Q_{∂ x(x, y) −} ∂ P_{∂ y(x, y) = 1, on peut prendre également Q(x, y) = 0 et}

P(x, y) = −y. Lorsque l’on a un paramétrage polaire ρ(t) de cette courbe, alorsRR_K1 d x d y= 1 2 Rb a ρ 2_{(t) d t, car} Rb a[f (t), f 0_{(t)] d t =}Rb a ρ 2_{(t) d t.}

IV)

Exercices

R2 est muni de sa structure euclidienne canonique. Étudier la classe de la fonction f : R2 → R définie par f(x) = kxk et calculer ses dérivées partielles.

ÆExercice 27.2

Étudier la continuité des fonctions suivantes :

a) f (x, y) =    x+ y sin(x + y) si sin(x + y) 6= 0 1 sinon b) f (x, y) = ¨ ex− y si y ¾ x 1 sinon c) f (x, y) =    th(x 2 y2) si y 6= 0 1 sinon . ÆExercice 27.3

Étudier la classe des fonctions suivantes :

f(x, y) =

¨

ex si y ¾ 0

excos(y) sinon f(x, y) =    x3+ y3 x2+ y2 si(x, y) 6= (0, 0) 0 sinon

Exercices Chapitre 27 : Fonctions de deux variables

ÆExercice 27.4

Étudier les extremums locaux des fonctions suivantes :

a) f (x, y) = x2+ y4 b) f (x, y) = x2+ y3

c) f (x, y) = x2+ 3y2+ 2x − 4y d) f (x, y) = x4+ y4− 2(x − y)2

e) f (x, y) = x2+ 2x + 4x y + y2

.

ÆExercice 27.5

Soit U un ouvert de R2 et soit f : U _{→ R une fonction de classe C}3, on appelle LAPLACIEN de f

la fonction∆(f ) = ∂

2_f ∂ x2 +

∂2_f

∂ y2. On suppose que∆(f ) = 0 calculer le Laplacien de la fonction u

définie par u(x, y) = x∂ f

∂ x + y ∂ f ∂ y.

ÆExercice 27.6

On considère l’équation aux dérivées partielles suivante :

∂2_f ∂ x2 − 1 c2 ∂2_f ∂ t2 = 0 (E)

où f est de classe_C2, on pose u= x − ct, v = x + ct, et F(u, v) = f (x, t). a) Calculer ∂_{∂ x}2f2 et

∂2_f

∂ t2 en fonction des dérivées partielles de F .

b) Montrer que f est solution de l’équation(E) si et seulement si _{∂ u∂ v}∂2F = 0. c) En déduire toutes les solutions de(E).

ÆExercice 27.7

a) On considère la courbe paramétrée, dans un repère orthonormé, par ¨

x(t) = t − sin(t) y(t) = 1 − cos(t)

avec t_{∈ [0; π] (arche de cycloïde). Calculer l’aire de la portion de plan délimitée par cette} arche et l’axe de abscisses.

b) Calculer l’aire de l’astroïde paramétrée par (

x(t) = cos3(t) y(t) = sin3(t).

c) Calculer le volume d’un cône de hauteur h> 0 et de base circulaire de rayon r > 0.

d) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dans un repère orthonormé, on fait tourner la courbe de f autour de l’axe O x. Quel et le volume engendré ? Retrouver ainsi le volume du cône, de la sphère, ...