Droites du plan.

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

Mathématiques - 1 -

I – Equation cartésienne de droite.

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé

 

Définition : On appelle vecteur directeur d’une droite d tout vecteur non nul dont la direction et celle de d. Remarques : une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires deux à deux.

Si A et B sont deux points distincts de d alorsABest un vecteur directeur de d.

2°) Equation cartésienne.

Propriété : Toute droite d a une équation de la formeaxbyc0appelée équation cartésienne de d ; Le vecteur _      a b

u est un vecteur directeur de d.

Réciproquement, si a, b et c sont trois réels, tels que

   

 

Remarque : Une droite a une infinité d’équations cartésiennes, à partir de l’une d’entre elles, on peut en obtenir d’autres en multipliant les coefficients de l’équation par un même réel non nul.

Propriété : Un point appartient à une droite ssi ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.

Remarque :

 Si a = 0 : Une droite d’équation de la formeykest parallèle à l’axe des abscisses et un de ses vecteurs directeurs esti(1;0).

 Si b= 0 : Une droite d’équation de la formexkest parallèle à l’axe des ordonnées et un de ses vecteurs directeurs est j(0;1).

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

Mathématiques - 2 -

II – Equation réduite d’une droite. 1°) Equation réduite.

Propriété : Toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la formeymxp. Cette équation est dite équation réduite de d.

Le vecteur _      m

v 1 est un vecteur directeur de d.

2°) Pente d’une droite.

Définition : Soit la droite d d’équation réduiteymxp. Le nombre m est appelé pente ou coefficient directeur de la droite d et le nombre p l’ordonnées à l’origine

Propriété :

Théorème : Dans un repère soient deux pointsA(x_A;y_A)etB(x_B;y_B), tels que x_A  x_B. Alors le coefficient directeur m de la droite (AB) est donné par

A B A B x x y y m    3°) Interprétation graphique.

III – Positions relatives de deux droites.

Deux droites du plan peuvent être soit sécantes, soit parallèles, soit confondues.

Propriété : Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur.

Deux droites du plan sont confondues ssi elles ont en plus la même ordonnée à l’origine.

Propriété : Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées d’équation cartésienneaxbyc0eta'xb'yc'0sont parallèles ssiab'ba'0