9
PGCD, égalité de Bézout
15
Leçon n° Niveau Terminale S SpéPrérequis divisibilité, nombres premiers
Références [44], [45], [46], [47]
15.1
PGCD : Plus grand commun diviseur
15.1.1 Définition
Définition 15.1 — Plus grand commun diviseur. Soient a, b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des diviseurs communs de a et de b admet un plus grand élément que l’on appelle le plus grand commun diviseur de a et de b.
R 15.2
1. b | a si et seulement si PGCD(a, b) = b. 2. Soient a et b deux entiers relatifs :
PGCD(a, b) = PGCD(|a| , |b|).
15.1.2 Propriétés
Propriétés 15.3 Étant donnés quatre nombres entiers a, b, c et d. 1. PGCD(a, b) = PGCD(b, a) ;
2. PGCD(ka, kb) = k PGCD(a, b) avec k ∈ Z. 3. Si a | c et b | d alors PGCD(a, b) | PGCD(c, d).
Dv
•Démonstration des propriétés15.3—
1. Triviale
2. Soit k 6= 0, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide sur a et b : a= bq0+ r0 b= r0q1+ r1 r0= r1q2+ r2 ... rn−2= rn−1qn+ rn rn−1= rnqn+1+ 0 (15.1)
Donc, d’après (15.1),PGCD(a, b) = rn. On multiplie les expressions de (15.1) par k : ka= kbq0+ kr0 kb= kr0q1+ kr1 kr0= kr1q2+ kr2 ... krn−2= krn−1qn+ krn krn−1= krnqn+1+ 0 D’oùPGCD(ka, kb) = krn.
3. CommePGCD(a, b) | a, a | c et PGCD(a, b) | b et b | d alors PGCD(a, b) divise c et d donc divisePGCD(c, d).
•
15.1.3 Algorithme d’Euclide, exemples
Théorème 15.4— Théorème d’Euclide. Soient a et b deux entiers non nuls. La suite des diviseurs euclidiennes :
— de a par b : a= bq0+ r0;
— de b par r0(si r0 6= 0) : b = q1r0+ r1;
— . . .
— de rn−1par rn(si rn6= 0) : rn−1 = rnqn+1+ rn+1
fini par s’arrêter un des restes riétant nul. Le dernier reste non nul est alors lePGCD(a, b) (si r0 = 0
alorsPGCD(a, b) = b).
Dv
•Démonstration du théorème15.4—Les inégalités b > r0 > r1 >· · · > rn >· · · ≥ 0
montrent que la suite(rk)k∈Nest une suite décroissante d’entiers naturels, cette suite est finie. D’autre part, considérons l’égalité a= bq0+ r0:
— tout diviseur de a et b divise a − bq0, c’est un diviseur de b et r0; — tout diviseur de b et r0divise bq0− r0, c’est un diviseur de b et r0.
Ainsi, les diviseurs communs de a et b sont ceux de b et r0et il va de même pour le plus grand d’entre eux :PGCD(a, b) = PGCD(b, r0).
On peut appliquer ce raisonnement à chaque égalité :
PGCD(a, b) = PGCD(b, r0) = · · · = PGCD(ri−1, ri−2).
Or si ri−2= ri−1qi+ 0 alors PGCD(a, b) = PGCD(ri−1, ri) = ri−1avec ri= 0. • On donne maintenant un algorithme qu’on peut écrire sur Xcas :
pgcdeuclide(a,b):={ local r; tantque b<>0 faire r := irem(a,b) a := b b := r ftantque
15.2 Nombres premiers entre eux 11
retourne(a) }
Exemple 15.5 CalculerPGCD(1636, 1128).
Dv
•Exemple15.5—On applique l’algorithme d’Euclide : 1636 = 1128 + 508 1128 = 2 × 508 + 112 508 = 4 × 112 + 60 112 = 60 + 52 60 = 52 + 8 52 = 6 × 8 + 4 8 = 4 × 2 + 0. Donc :PGCD(1636, 1128) = 4. •
15.2
Nombres premiers entre eux
15.2.1 Premiers résultats
Définition 15.6 Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, a et b sont premiers entre eux si et seulement siPGCD(a, b) = 1.
Propriété 15.7 Soient a et b deux entiers naturels non nuls. δ est lePGCD de a et de b si et seulement si, a
δ et δb sont des entiers premiers entre eux.
Dv
•Démonstration de la propriété15.7—On justifie que a δ et
b
δ sont des entiers naturels non
nuls.
Comme δ = PGCD(a, b), δ | a et δ | b donc il existe deux entiers relatifs k et k0 tels que
kδ= a et k0δ= b, d’où δ = a k = b k0. a δ = a a k = a ×ka = k ∈ Z b δ = b b k0 = b ×kb0 = k0∈ Z. Si d= PGCD(a δ, b
δ) alors, en utilisant la formule d’homogénéité, on obtient :
d= PGCD(a δ, b δ) = 1 δPGCD(a, b).
Or δ= PGCD(a, b) d’où d = 1. Réciproquement, si a
δ et b
δ sont premiers entre eux alorsPGCD( a δ,
b
δ) = 1. En utilisant une
nouvelle fois, la formule d’homogénéité : PGCD(a δ, b δ) = 1 PGCD(a, b)PGCD(a, b) = 1 et ainsi, δ= PGCD(a, b). • 15.2.2 Application Application 15.8 Factoriser 1234513991. Dv •Application15.8—On calculePGCD(12345, 13991). 13991 = 12345 × 1 + 1646 12345 = 1646 × 7 + 823 1646 = 823 × 2 + 0. Donc :PGCD(12345, 13991) = 823 et : 12345 = 15 × 823 13991 = 17 × 823 D’où : 12345 13991 = 1517. CommePGCD(15, 17) = 1, la fraction 15 17 est irréductible. • 15.2.3 Théorème de Gauss
Théorème 15.9— Théorème de Gauss. Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a | bc et a
etb sont premiers entre eux alors a | c.
Dv
•Démonstration du théorème15.9—Comme a | bc, il existe un entier k tel que bc = ka.
Comme a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et b tels que au+ bv = 1.
En multipliant par c cette dernière égalité, on obtient :
c= acu + bcv = acu + kav = a(cu + kv).
15.3 Égalité de Bézout 13
Proposition 15.10 Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a | c, b | c, a et b sont premiers entre eux alors ab | c.
Dv
•Démonstration de la proposition15.10—Comme a | c, il existe d ∈ Z tel que c = ad.
Comme b | c, il existe d0 ∈ Z tel que c = bd0. Donc ad = bd0. Comme a divise bd0 et PGCD(a, b) = 1, d’après le théorème de Gauss, a divise d0. Il existe donc d00 ∈ Z tel que
d0 = ad00. Donc :
c= d0b= ad00b.
•
15.3
Égalité de Bézout
Théorème 15.11 Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et d leur PGCD. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au+ bv = d. On appelle cette égalité, égalité de Bézout.
Dv
•Démonstration du théorème15.11—
— Soit E l’ensemble des entiers naturels non nuls de la forme ax+ by où x et y sont des entiers relatifs.
Eest une partie non vide de N. En effet, on a, par exemple, |a| ∈ E car, selon le signe de a, l’entier naturel |a| s’écrit a × 1 + b × 0 ou a × (−1) + b × 0. E étant une partie non
vide de N, E admet un plus petit élément n.
Par définition de E, il existe donc des entiers relatifs u et v tels que n= au + bv. Or d divise a et b donc d divise n, d’où d ≤ n.
— On montre que n divise a en écrivant la division euclidienne de a par n : a= nq + r avec 0 ≤ r < n et q ∈ Z. Donc :
r= a − nq = a − q(au + bv) = a(1 − qu) + b(−qv).
Ainsi r est de la forme ax+ by avec x et y des entiers relatifs. De plus, r < n donc, par définition de n, r /∈ E. Alors nécessairement r = 0 et donc n divise a.
— On montre de même que n divise b. D’où, par définition de d, n ≤ d. Finalement, on obtient d= n = au + bv.
•
Théorème 15.12— Théorème de Bézout. Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et v tels que au+ bv = 1.
Dv
•Démonstration du théorème15.12—Si a et b sont premiers entre eux alorsPGCD(a, b) = 1 et donc, avec la propriété précédente, au + bv = 1.
Réciproquement, on suppose qu’il existe des entiers relatifs u et v tels que au+ bv = 1. Soit
D= PGCD(a, b) alors D divise a, D divise b donc D divise au + bv, d’où D = 1. •
Exemple 15.13 Résoudre l’égalité de Bézout suivante :
266u + 224v = PGCD(266, 224).
Dv
• Exemple15.13— On détermine tout d’abordPGCD(266, 244) avec l’algorithme d’Eu-clide :
266 = 1 × 224 + 42 224 = 5 × 42 + 14
42 = 3 × 4 + 0. D’oùPGCD(266, 224) = 14. On résout donc l’équation :
266u + 224v = 14. Par l’algorithme d’Euclide, on trouve :
14 = 224 − 5 × 42 14 = 224 − 5(266 − 244) 14 = 6 × 224 − 5 × 266. On obtient u= −5 et v = 6.
On peut montrer que toutes les solutions sont les couples : {(−5 + 224k, 6 − 266k), k ∈ Z} .
•
15.4
Applications
15.4.1 Décomposition en facteurs premiers et PGCD
Théorème 15.14— Théorème fondamental de l’arithmétique. Pour tout n ∈ N∗\ {1}.
1. Il existe k nombres premiers naturels, p1, . . . , pkdistincts deux à deux et des nombres entiers
non nuls α1, . . . , αktels que :
n= pα11· · · pαk
k .
2. Il y a unicité de cette décomposition à l’ordre des facteurs près.
Dv
15.4 Applications 15
Existence : La démonstration se fait par récurrence sur n. Initialisation : Si n = 2 alors n = 21.
Hérédité : Si n ≥ 2 alors n possède au moins un diviseur premier de p et l’on peut écrire
n = pm avec m < n. Si m = 1 alors c’est fini ! Sinon on applique l’hypothèse de
récurrence à m pour obtenir la décomposition sur n. Unicité : la démonstration de l’unicité se fait par récurrence sur n.
Initialisation : L’unicité est évidente pour n = 2. En effet, si 2 = qβ1
1 · · · qβm
m montre
que qi | 2 pour tout 1 ≤ i ≤ m, ce qui impose d’avoir m = 1, q1= 2 et β1= 1.
Hérédité : Si l’unicité est démontrée jusqu’au rang n, on suppose que :
n+ 1 = pα1
1 · · · pαkk = q β1
1 · · · qmβm
avec α1, . . . , αk, β1, . . . , βm∈ N∗et où les p1, . . . , pket q1, . . . , qmsont des nombres
entiers.
pk | q1β1· · · qmβm donc pk divise l’un des qi, par exemple pk | qm. Comme pk est
premier, cela entraîne que pk = qmet :
n+ 1 pk = pα1 1 · · · pαkk−1 = q β1 1 · · · qβmm−1.
On applique l’hypothèse de récurrence à cette décomposition en distinguant deux cas :
1. Si αk = 1 alors βm= 1 autrement qmdiviserait l’un des piavec i 6= m, ce qui
est absurde.
2. Si αk>1 alors βm>1 autrement pkdiviserait l’un des qiavec i 6= k, ce qui est
encore absurde.
•
Théorème 15.15 Soient a et b deux entiers naturels tels que :
a= pα11· · · pαk k et b= p β1 1 · · · pβkk. Alors : PGCD(a, b) = pδ1 1 · · · pδkk avec δi= min({αi, βi}). Dv
•Démonstration du théorème15.15—Soit d = pδ1
1 · · · pδkk. On vérifie que d est bien un
diviseur commun de a et de b. Réciproquement, soit d0un diviseur commun de a et de b. Tout facteur premier p de d est aussi un facteur premier de a et de b. Si pδ
i divise a et b alors δ ≤ αi
et δ ≤ βionc :
δ≤ δi = min({αi, βi}).
15.4.2 Applications de la vie de tous les jours
Problème 15.16 Un jardinier doit planter une haie autour d’une passerelle rectangulaire de longueur
10,2 m et de largeur 7,8 m. Il doit mettre un plant à chaque sommet d’un rectangle et espacer les plants régulièrement d’un nombre entier de centimètres.
Combien de plants au minimum peut-il planter ?
Dv
•Solution du problème15.16—On calculePGCD(102, 78) par l’algorithme d’Euclide : 102 = 78 × 1 + 24
78 = 24 × 3 + 6 24 = 6 × 4 + 0 On a de plus :
102 = 6 × 17 et 78 = 6 × 13.
Les plants devront être plantés à6 cm d’espacement chacun. Sur une longueur, on peut planter 17 plants et sur la largeur, 13 plants. Donc, on peut planter (13 + 17) × 2 = 60 plants. •
Problème 15.17 Une fleuriste dispose de244 lys, 366 roses et 183 œillets roses. En utilisant le tout,
quel nombre maximal de bouquets identiques peut-elle composer ?
Préciser la composition d’un bouquet.
Dv
•Solution du problème15.17—On a :
PGCD(244, 366, 183) = PGCD(PGCD(244, 366), 183) = PGCD(122, 183) = 61. On peut donc composer au maximum61 bouquets. La composition du bouquet est :
— 4 lys ; — 6 roses ; — 3 oeillets roses.
•
15.4.3 Équation de droite
L’ensemble des points M(x, y) vérifiant l’équation ax + by = c forme une droite. Les couples d’entiers relatifs vérifiant cette équation correspond aux points M de la droite dont les coordonnées sont entières. La résolution de l’équation dans l’ensemble des entiers relatifs permet de donner les coordonnées de ces points. Selon la valeur de c, la droite D peut ne jamais passer par des points de coordonnées entières ou bien posséder une infinité de points de coordonnées régulièrement répartis.
15.4 Applications 17 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 0 A(3, 1)
FIGURE15.1 – Résolution graphique de l’équation9x + 6y = 27. Existence de solutions car la droite
a un point à coordonnées entières.
2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 0
FIGURE15.2 – Résolution graphique de l’équation9x + 6y = 23. Non-existence de solutions car la
15.5
Questions du jury
15.5.1 Propositions personnelles de questions
Exercice 15.18 Dans la définition 15.11, pourquoi les diviseurs communs de a et de b ont un plus
grand élément ?
Exercice 15.19 Résoudre l’équation diophantienne :266u + 224v = 98. Exercice 15.20 Démontrer le théorème 15.14 et 15.15. Exercice 15.21 Donner une correction du problème 15.16 face à une classe de Term S. Exercice 15.22 Peut-on définir le PGCD de trois nombres entiers ? Résoudre alors le problème
15.17.
15.5.2 Questions proposées par [46]
Exercice 15.23 Expliquez comment définir lePGCD de deux nombres entiers naturels en utilisant
l’algorithme d’Euclide. Justifiez complétement votre définition et, en particulier, expliquez pourquoi l’algorithme d’Euclide aboutit après un nombre fini de calculs. Exercice 15.24 Connaissez-vous une interprétation géométrique de l’algorithme d’Euclide qui
per-met de calculer lePGCD de deux nombres entiers ?
Exercice 15.25 Déterminer les couples d’entiers relatifs dont lePGCD est 15 et la différence 105.
Exercice 15.26 Soient a, b, n ∈ N. Montrer que PGCD(a, b) = 1 entraîne que PGCD(a, bn) = 1.
La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 15.27 On suppose que les entiers u et v sont premiers entre eux et de parités différentes.
Démontrer que les entiers2uv, u2+ v2, u2− v2sont premiers entre eux deux à deux. 15.5.3 Questions proposées par [47]
Exercice 15.28 Est-ce qu’on peut résoudre l’équation suivante :4x − 2y = 5 avec x et y des entiers
relatifs ?
Exercice 15.29 Pouvez-vous montrer que l’algorithme d’Euclide s’arrête à un moment donné ? Exercice 15.30 À quoi servent les théorèmes de Bézout et Gauss ?
Bibliographie
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[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_
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[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.
[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF
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du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW
[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org
[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net
[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/
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http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/ TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.
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[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.
[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf
[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm
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[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf
[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.
[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html
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[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.
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[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF
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[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.
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