Khôlle d’analyse
Samuel Rochetin
Mardi 20 mars 2018
Exercice. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R, majorée, telle que f00≥ 0. Montrer que f est constante.
Solution. Supposons que f ne soit pas constante. Alors ∃x0∈ R, f0(x0) 6= 0.
Supposons que f0(x0) > 0.
Soit x ∈ R.
La formule de Taylor-Lagrange appliquée en a = x0 et b = x donne
l’exis-tence de c strictement compris entre x0et x tel que f (x) = f (x0) + f0(x0)(x −
x0) +
f00(c)
2! (x − x0)
2.
Par hypothèse, f00(c) ≥ 0 donc f (x) ≥ f (x0) + f0(x0)(x − x0).
Par comparaison, lim
x→+∞f (x) = +∞ donc f n’est pas majorée.
Contradiction.
Si nous supposons f0(x0) < 0, il vient de même lim
