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Formule de Taylor-Lagrange 2

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Academic year: 2021

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Khôlle d’analyse

Samuel Rochetin

Mardi 20 mars 2018

Exercice. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R, majorée, telle que f00≥ 0. Montrer que f est constante.

Solution. Supposons que f ne soit pas constante. Alors ∃x0∈ R, f0(x0) 6= 0.

Supposons que f0(x0) > 0.

Soit x ∈ R.

La formule de Taylor-Lagrange appliquée en a = x0 et b = x donne

l’exis-tence de c strictement compris entre x0et x tel que f (x) = f (x0) + f0(x0)(x −

x0) +

f00(c)

2! (x − x0)

2.

Par hypothèse, f00(c) ≥ 0 donc f (x) ≥ f (x0) + f0(x0)(x − x0).

Par comparaison, lim

x→+∞f (x) = +∞ donc f n’est pas majorée.

Contradiction.

Si nous supposons f0(x0) < 0, il vient de même lim

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