Fonction logarithme népérien 4ème Sc Expérimentales

Fonction logarithme népérien 4ème Sc Expérimentales

Exercice 1

Soit fla fonction définie sur

[

0,+∞

[

par

   = > − = 0 ) 0 ( f 0 x si x x ln x ) x ( f et soit (C) sa courbe représentative

1) a) Montrer que f est continue à droite en 0

b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement 2) a) Dresser le tableau de variation de f

b) Etudier la branche infinie de (C)

c) Déterminer le point I intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses autre que O. d) Construire la courbe (C)

3) Soit g la restriction de f à l’intervalle

a) Montrer que g réalise une bijection de

[

1,+∞

[

sur un intervalle J que l’on précisera b) Etudier la dérivabilité de 1

g− à droite en -1 4) Construire (C’) la courbe représentative de 1

g− dans le même repère 5) a) Calculer ln

b) En déduire l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x=e.

Exercice 2

A) Soit f la fonction définie par : f(x)=ln(1+2x) et soit (C) sa courbe représentative 1) Déterminer le domaine de définition de f et étudier ses variations

2) Soit gla fonction définie par : g(x)=f(x)−x a) Montrer que l’équation g(x)=0admet dans

    ∞ + , 2 1

- exactement deux solutions 0 etα

et que 1<α<2

b) En déduire le signe de g(x) sur_ , +∞_ 2

1

c) Etudier les positions relatives de (C) et la droite ∆:y=x 3) a) Montrer que ∀x∈     ∞ + , 2 1 - on a :       + + = 2 x 1 ln x ln ) x ( f

b) Etudier alors la branche infinie de (C) b) Tracer (C) et ∆

4) a) Montrer que f admet une fonction réciproque 1

f− définie sur un intervalle J que l’on précisera

b) Construire la courbe(C′)représentative de 1

f− dans le même repère

5) Soit Α(α) l’aire de la partie du plan limitée par les courbes (C) et(C′) et les droites d’équations :

0

B) Soit la suite (U_n)définie sur IN par 1) Montrer que ∀n∈IN on a : 1≤

2) Montrer que la suite (U_n)est strictement croissante

3) En déduire que la suite (U_n) est convergente et calculer sa limite Exercice 3

Dans le graphique ci-contre :

Γ est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie sur l’intervalle

et dérivable sur

]

0, +∞

[

.

*Les points O, A et B appartiennent à *La droite (AC) est la tangente à

*Γ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de

1) Par une lecture graphique : a) Déterminer f(0) ,f(2) ,f(2e), f b) Déterminer lim f(x)

x→+∞ et xlim→+∞

c) Justifier que la restriction g de f à l’intervalle admet une fonction réciproque g−

2) On admet que g est définie par

ζ la courbe représentative de g et par plan.

Tracer ζ et ζ′.

3) Soit D la partie du plan limité par les axes a) Hachure D.

b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que c) Calculer l’aire D.

Exercice 4

A) Soit ϕ la fonction définie sur 1) a) Montrer que ϕ est dérivable sur b) Déterminer _lim (x) 1 x ϕ + → et xlim→+∞

c) Dresser le tableau de variation de B) Soit f la fonction définie sur

]

1

définie sur IN par : U₀ =1 et U_n+1 =f(U_n) ∀n∈IN

α ≤ ≤Un

est strictement croissante

est convergente et calculer sa limite

est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, e2 C définie sur l’intervalle

[

0, +∞

[

Les points O, A et B appartiennent à Γ. B La droite (AC) est la tangente à Γ au point A.

admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞. O

(2e) f et (2) f′ ′ . x ) x ( f lim +∞ .

c) Justifier que la restriction g de f à l’intervalle

[

2 ,+∞

[

1

− _{et préciser l’ensemble de définition de}

2) On admet que g est définie par 1 ln 2 ln , pour tout x la courbe représentative de g et par ζ′ celle de 1

g− dans un repère orthonormé

3) Soit D la partie du plan limité par les axes (O ,i) et (O, j) et les courbes b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que ∫₂2eg(x)dx=e2 −

] [

1,+∞ par : ln(x 1) 1 x x ) x ( + − − = ϕ

est dérivable sur

] [

1,+∞ et que ∀x∈

] [

1,+∞ ;

( ) x ( = ϕ′ ) x ( ϕ +∞

c) Dresser le tableau de variation de ϕ, en déduire que ∀x∈

] [

1,+∞ : ϕ

] [

1,+∞ par : f(x)=xln(x−1) et soit (C) sa courbe

IN

B

A O e2

et préciser l’ensemble de définition de 1

g− . 2

x≥ . On désigne par dans un repère orthonormé (O, i,j)du

et les courbes ζ et ζ′. 3 − . 2 ) 1 x ( 2 x − − 0 ) x ( > ϕ sa courbe

1) a) Montrer que f est dérivable sur

] [

1,+∞ et que ∀x∈

] [

1,+∞ : f′(x)=ϕ(x) b) Déterminer _limf(x) 1 x→+ et lim f(x) x→+∞

c) Dresser le tableau de variation de f

2) a) Montrer que le point I(2 ,0) est un point d’inflexion de (C) b) Donner une équation cartésienne de la tangente à (C)au point I

c) Déterminer l’intersection de (C)avec la droiteD:y=xet étudier les positions relatives de(C) et D

d) Construire (C)(on précisera la nature de la branche infinie au voisinage de +∞ ) 3) a) Montrer que f est une bijection de

] [

1,+∞ surIR

b) Montrer que 1

f− la fonction réciproque de fest dérivable sur IRet calculer

( )

f−1 ′(1+e) c) Tracer dans le même repère la courbe(C′)représentative de 1

f−

4) Soit Α l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C)l’axe des abscisses et les droites d’équations x=2 et x=3 a) Vérifier que ∀ x>1 ; 1 x 1 1 x 1 x x2 − + + = − b) En déduire Α Exercice 5

1) Dans la figure ci-contre, C et Γ sont

les courbes représentatives dans un repère orthonormé, des deux fonctions u et v définies sur IR₊ par u(x)=−x2 +x et v(x)=xlnx pour x>0, v(0)=0

Par une lecture graphique

a) Reconnaître la courbe de chacune des fonctions u et v. b) Donner le signe de u(x)−v(x) .

2) Soit f la fonction définie sur IR₊ par f(0)=0 et

x ln x 2 1 x 4 3 3 x ) x ( f 2 2 3 − + − = si x>0.

f est-elle dérivable à droite en 0 ?

3) a) Vérifier que pour tout x≥0;f′(x)=u(x)-v(x).

b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C et Γ et les droites d’équations x =0et x =1.

4) On désigne par ζf la courbe représentative de f . a) Etudier les variations de f.

b) Montrer que la courbe ζ_f coupe l’axe (O,i,) en un seul point autre que O.

On notera α l’abscisse de se point. Vérifier que 1,5<α<1,6. c) Tracer ζf(on précisera la demi-tangente à ζfau point O).

Exercice 6

A) Soit gla fonction définie sur

]

0,+∞

[

par : g(x)=x4 −1+3lnx 1) a) Calculer _limg(x)

0 x→ +

et limg(x) x→+∞

b) Dresser le tableau de variation deg c) Calculer g(1)

2) En déduire que : si 0<x<1 alors g(x)<0 et si x>1 alors g(x)>0 B) Soit f la fonction définie sur

]

0,+∞

[

par : ₃

x x ln 3 x ) x ( f = − − 1) Déterminer _limf(x) 0 x→ + et lim f(x) x→+∞ 2) a) Montrer que ∀x∈

]

0,+∞

[

: ₄ x ) x ( g ) x ( f′ = b) Dresser le tableau de variation de f

3) a) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans

] [

0 ,1 une unique solution α et que 6 , 0 5 , 0 <α<

b) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans

]

1, +∞

[

une unique solution β et que 1

, 3 3<β<

4) On désigne par (C)la courbe représentative de f (unité graphique 2 cm ) a) Montrer que la droite D:y=x−3 est une asymptote à (C)

b) Etudier la position de(C) par rapport à D c) Tracer D et (C)

5) Soit G la fonction définie sur

]

0,+∞

[

par : ₂ x 4 x ln 2 1 ) x ( G = + a) Montrer que ∀x∈

]

0,+∞

[

: ₃ x x ln ) x ( G′ =−

b) Soit Α(α) l’aire de la partie du plan limité par la courbe (C) la droite Det les droites α = x et x=1 Montrer que ₂ 2 3 4 1 6 2 ) ( α − α + α + α − = α Α cm2 Exercice 7 A)

1) Soit g la fonction définie sur

]

0 , +∞

[

par : g(x)=1+x−xlnx a) Dresser le tableau de variation de g

b) Montrer que l’équation g(x)=0admet une unique solution α dans

]

0 , +∞

[

et que 6 , 3 5 , 3 <α<

c) Déterminer le signe de g(x)sur

]

0 , +∞

[

2) Soit la fonction f définie sur

]

0 , +∞

[

par :

x 1 x ln 2 ) x ( f + + = et soit (C) sa courbe représentative

a) Montrer que ∀x∈

]

0 , +∞

[

on a

b) Soit la droiteD:y=2Etudier la position de

[On donnera les coordonnées du point I intersection de c) Construire(C)et D,(unité graphique 2 cm).

B) Soit h la fonction définie sur

[

1) a) Montrer que h est décroissante sur b) Montrer que ∀x∈

[

1 , α

]

on a

c) En déduire le sens de variation de h sur 2) a) Montrer que l’équation f(x)

3 2<β<

b) Montrer que∀x∈

[

2 , 3

]

on a c) Montrer que∀x∈

[

2 , 3

]

0≤f d) Montrer que∀x∈

[

2 , 3

]

, f( 3) Soit la suite (U_n)définie sur IN par a) Montrer que ∀n∈IN on a :2 b) Montrer que ∀n∈IN, Un₊1 −

et en déduire que ∀n∈IN, Un −β

c) En déduire que la suite (U_n) Exercice 8

On a représenté ci-contre la courbe C de la fonction logarithme népérien (« 1) Placer les points de la courbe C d’abscisse e et e.

2) Soit f la fonction définie sur

]

0 1 x ln x ln ) x ( f = 2 − + . On note C_f sa courbe représentative. a) Montrer que ₊ =+∞ → f(x) lim 0 x et que =+∞ +∞ → f(x) lim x . b) Calculer x ) x ( f lim x→+∞ .

Interpréter graphiquement le résultat. : ₂ ) x 1 ( x ) x ( g ) x ( f + =

′ et dresser le tableau de variation de f Etudier la position de(C)et D

[On donnera les coordonnées du point I intersection de (C)et D] et D,(unité graphique 2 cm).

[

1 , +∞

[

par h(x)=f(x)−x 1) a) Montrer que h est décroissante sur

[

α , +∞

[

on a : 2 1 4 ) 1 ( g ) x ( f 0≤ ′ ≤ =

c) En déduire le sens de variation de h sur

[

1 , α

]

x

)= admet une unique solutionβ dans

[

1

on a : f(x)∈

[

2 , 3

]

10 1 18 ) 2 ( g ) x ( f′ ≤ ≤ β − ≤ β − x 10 1 ) x (

définie sur IN par :

   = = + f(U ) U 2 U n 1 n 0 ∀n∈IN 3 U 2≤ _n ≤ β − ≤ β − Un 10 1 β −       ≤ 0 n U 10 1

est convergente et déterminer sa limite

la courbe C de la fonction logarithme népérien (« ln »). 1) Placer les points de la courbe C

[

∞ +

,

0 par

Interpréter graphiquement le résultat.

et dresser le tableau de variation de f

[

1 , +∞

[

et que

c) Montrer que pour tout réel x>0, x 1 x ln 2 ) x ( f′ = − .

d) Dresser le tableau de variation de f.

3) a) Etudier la position relative des courbes C_f et (C). b) Tracer Cf.

Exercice 9

1) Soit a un réel strictement positif et x un réel de l’intervalle

[

a, a+1

]

. a) Ordonner du plus petit au plus grand les réels

x 1 , a 1 et 1 a 1 + . b) En déduire que 1 a 1 + a 1 a ln ) 1 a ( ln + − ≤ ≤ . (1)

2) Soit (S_n) la suite définie pour n≥2 par

n 1 ... 2 1 1 S_n = + + .

a) Montrer, en utilisant (1), que S_n −1≤ln(n)≤S_n. b) En déduire n

nlim→+∞S puis _n S lim n n→+∞ .

3) On pose, pour tout entier naturel n≥2, U_n =S_n −ln(n). a) Montrer que la suite (U_n) est minorée.

b) Montrer que la suite (U_n) est décroissante. c) En déduire que la suite (Un) est convergente.

Exercice 10

Soit f la fonction définie par :       − + = x 1 x 1 ln ) x (

f et soit (C) sa courbe représentative (unité graphique 2 cm)

1) a) Montrer que le domaine de définition de f est

]

-1 , 1

[

b) Montrer que f est dérivable sur

]

-1 , 1

[

et que ∀x∈

]

-1 , 1

[

on a : ₂ x 1 2 ) x ( f − = ′

c) Montrer que f est impaire 2) Dresser le tableau de variation de f

3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la courbe au point O 4) a) Montrer que pour tout réel t on a :f′(t)≥2

b) En intégrant les deux membres de l’inégalité précédente sur un intervalle convenablement choisi, montrer que pour tout 0≤x<1 on a :f(x)≥2x

5) Construire T et (C)ainsi que les asymptotes de (C) 6) a) Soit λ ∈

] [

0 , 1, calculer en 2

cm Α(λ)l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x =0 , x=λ et y=0

b) Calculer lim ( ) 1 λ Α − → λ

7) a) Montrer que f admet une fonction réciproque 1

f− définie, continue et dérivable sur IR b) Construire la courbe(C′)représentative de 1

f−

Exercice 11

1) Soit gla fonction définie sur

]

0,+∞

[

par : g(x)=x−1+2lnx a) Etudier le sens de variation de g

b) Calculer g(1)puis déterminer le signe de g(x)sur

]

0,+∞

[

c) En déduire que : si 0<x<1 alors 0

x 1 g >      et si x>1 alors 0 x 1 g <     

2) On considère la fonction f définie sur

]

0,+∞

[

par :

   = > − = 0 ) 0 ( f 0 x si x ln x x ) x ( f 2

On désigne par (C) sa courbe représentative (unité graphique 2cm) a) Montre que f est dérivable à droite en 0

b) Calculer f′(x)pour tout x∈

]

0,+∞

[

et vérifier que ∀x>0 on a : 

     = ′ x 1 xg ) x ( f

c) Dresser le tableau de variation de f

d) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans

]

0,+∞

[

une unique solution α et que : 2 4 7 < α <

3) a) Vérifier que la demi tangente∆à la courbe (C)au point O a pour équation :

   ≥ = 0 x x y

b) Etudier la position de (C)par rapport à ∆ c) Tracer ∆et (C)dans le même repère 4) Soit λ un réel de l’intervalle

] [

0 ,1 a) Calculer en 2

cm , l’aire Α(λ)du domaine limité par la courbe (C)la droite ∆ et les droites d’équations respectives x=λ et x=1

b) Calculer _lim Α(λ)

+∞ → λ

5) On considère la suite (Un)n∈IN définie par U0 ∈

] [

0 ,1 et ∀n∈IN on a :Un+1 =f(Un)

a) Montrer que pour tout entier naturel n on a :0<U_n <1 b) Montrer que la suite (Un)n∈IN est croissante

c) En déduire que la suite (U_n)_n∈IN est convergente et calculer sa limite. Exercice 12

A) Soit gla fonction définie sur

]

0,+∞

[

par : g(x)=x+1+lnx 1) Etudier les variations de g

2) Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans

]

0,+∞

[

une unique solution α et que : 28 , 0 27 , 0 <α<

3) Déduire le signe de g(x)pour x∈IR₊∗

B) Soit f la fonction définie sur

]

0,+∞

[

par :

    = > + = 0 ) 0 ( f 0 x si 1 x x ln x ) x ( f

On désigne par (C) la courbe représentative de f (unité graphique 4 cm) 1) a) Montrer que f est continue à droite en 0

b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu 2) a) Montrer quefest dérivable sur

]

0,+∞

[

et que ∀x>0 on a : ₂

) 1 x ( ) x ( g ) x ( f + = ′ b) Vérifier que f(α)=−α

c) Dresser le tableau de variation de f 3) a) Calculer x ) x ( f lim x→+∞

et interpréter graphiquement le résultat obtenu b) Tracer la courbe (C)

4) Soit h la restriction de f à

[

α ,+∞

[

a) Montrer que h réalise une bijection de

[

α ,+∞

[

sur

[

−α, +∞

[

b) Montrer que 1

h− la fonction réciproque de hest dérivable sur

[

−α,+∞

[

et calculer

( )

h−1 ′(0)

c) Etudier la dérivabilité de 1

h− à droite en −α 5) Construire la courbe (C′)de 1

h− dans le même repère.

Exercice 13

Soit f la fonction définie par : f(x)=1+ln

[

x(2−x)

]

et soit (C) sa courbe représentative (unité graphi 4 cm)

1) Montrer que

]

0 , 2

[

est le domaine de définition de f et dresser le tableau de variation de f 2) a) Montrer que la droite d’équation x =1est un axe de symétrie de (C)

b) Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe (C)avec la droite (O,i)

r

.On notera x₀la plus petite de ces abscisses

3) Soit ϕla fonction définie sur

]

0 , 2

[

par :ϕ(x)=f(x)−x a) Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ

b) En déduire que l’équation ϕ(x)=0admet dans

]

0 , 2

[

exactement deux solutions dont l’une est 1 et l’autre sera notée α

c) Vérifier que x₀ <α<0,3 et que ln

[

α(2−α)

]

=α−1

d) Donner le signe de ϕ(x)et en déduire la position de la courbe (C)et la droite ∆:y=x 4) Tracer (C)et ∆ (on prendra x₀ =0,2)

5) Soit g la restriction de f à l’intervalle

] ]

0 , 1

b) Calculer g−1(x)pour tout x∈

c) Tracer la courbe(C′)de 1

g−

Exercice 14

On a représenté ci-dessous la courbe

2 2 ) 1 x ( x x ln x x ) x ( f + + + − = pour x>0 et

Le réel α est l’abscisse du point d’intersection de la courbe que le point O.

1) a) Par lecture graphique, donner le signe de b) Montrer que lnα=−(α+1).

2) On considère la fonction g définie sur courbe représentative de g . Montrer que =+∞ +∞ → g(x) lim x et que

3) a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle b) Dresser le tableau de variation de g.

4) a) Montrer que g(α)=1−α.

b) Construire alors, sur l’annexe, le point de la courbe c) Tracer la courbe Cg.

5) On désigne par A l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limité par les courbes

f

C et les droites d’équations x=α

a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que b) En déduire que A=α2 −α+

∈

] ]

0 , 1

la courbe Cf de la fonction f définie sur IR+

et f(0)=0.

est l’abscisse du point d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des abscisses autre

1) a) Par lecture graphique, donner le signe de f(x).

2) On considère la fonction g définie sur

[

α ,+∞

[

par 1 1 x x ln x ) x ( g + + = et on désigne par que 0 x ) x ( g lim x→+∞ = .

3) a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle

[

α ,+∞

[

, g′( b) Dresser le tableau de variation de g.

r l’annexe, le point de la courbe Cg d’abscisse

5) On désigne par A l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limité par les courbes α et x=1.

a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que :∫_α1f(x)dx=−

[

xg 1

+ par :

avec l’axe des abscisses autre

et on désigne par Cg la x ) x ( f ) x ( =− . d’abscisse α.

5) On désigne par A l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limité par les courbes Cg et

]

1_α +∫_α1g(x)dx )

x (