Arithmétique, ensembles et racine carrée.

(1)

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

Mathématiques - 1 -

I – Arithmétique.

1°) Multiples et diviseurs.

Définition : Soient a et b deux entiers. On dit que a est un multiple de b s’il existe un entier k tel queakb. On dit alors que b est un diviseur de a.

Propriété : la somme de deux multiples de a est un multiple de a.

2°) Nombres pairs et impairs. Propriété : Soit n un nombre entier.

n est pair ssi il existe un entier p tel quen2p. n est impair ssi il existe un entier p tel quen2p1. Propriété : Le carré d’un nombre impair est impair.

3°) Nombres premiers.

Définition : Un nombre premier est un entier positif qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Remarque : 0 n’est pas premier car tout entier le divise. 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1.

Propriété : Tout entier positif supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers. Cette décomposition en produits de facteurs premiers est unique.

II – Racine carrée. 1°) Définition.

Définition : Soit a un nombre réel positif. On appelle racine carrée de a, notée a , le nombre réels positif donc le carré est égal à a.

 

a 2 a

Un carré parfait est le carré d’un nombre entier.

11 – Nombres et calculs

(2)

2°) Opérations.

Propriétés : Soient a et b deux nombres réels positifs, b non nul. b a ab   b a b a _

Propriété : Quels que soient les nombres réels a et b strictement positifs, on a ab  a  b.

3°) Valeur absolue.

Propriété : Soit a un nombre réel positif. a²  a .

III – Les notations liées aux ensembles. : symbole d’appartenance.

: symbole d’inclusion.

: ensemble vide, qui ne contient aucun élément. : infini

IV – Les ensembles de nombres.

Il existe différentes sortes de nombres. Pour les classer, on les a regroupés dans différents ensembles remarquables que nous allons énoncer.

1°) Les entiers.

Définition : Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0. On note cet ensemble

Définition : Les entiers relatifs sont tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls. On note cet ensemble , symbole vient du mot allemand "die Zahl" qui signifie le nombre.

2°) Les décimaux et les rationnels.

Définition : L'ensemble des décimaux est l'ensemble des quotients qui peuvent s’écrire sous la forme a_n 10 où a est un entier et n un entier positif. On note cet ensemble .

(3)

Définition : Les nombres rationnels sont les quotients de deux entiers, le dénominateur étant non nul. On note cet ensemble

3°) Nombres réels.

Définition : Soit une droite munie d’un repère d’origine O et d’une graduation. L’ensemble des abscisses de l’axe ainsi défini s’appelle l’ensemble des nombres réels, on note cet ensemble . Un tel axe est appelé droite des réels.

4°) Inclusion des ensembles.

Propriété : Les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs, qui sont aussi des décimaux qui sont des quotients :

5°) Nombres irrationnels.

Définition : Un nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. Propriété : Soit un entier n. n est soit un entier, soit un irrationnel.

6°) Encadrement.

Propriété : Pour tout nombre réel x, il existe un nombre décimal d et un entier naturel n tel que :

n

d x