Théorie de dégradation du béton et développement d'un nouveau modèle d'endommagement en formulation incrémentale tangente. Calcul à la rupture et application au cas des chevilles de fixation ancrées dans le béton

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Théorie de dégradation du béton et développement d’un

nouveau modèle d’endommagement en formulation

incrémentale tangente. Calcul à la rupture et application

au cas des chevilles de fixation ancrées dans le béton

Hung Ung Quoc

To cite this version:

Hung Ung Quoc. Théorie de dégradation du béton et développement d’un nouveau modèle d’endommagement en formulation incrémentale tangente. Calcul à la rupture et application au cas des chevilles de fixation ancrées dans le béton. Mécanique [physics.med-ph]. Ecole des Ponts ParisTech, 2003. Français. �tel-00005760�

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THESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR

DE

L’ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES

Spécialité : Structures et Matériaux présentée par

Hung UNG QUOC

Sujet de la thèse :

THEORIE DE DEGRADATION DU BETON ET DEVELOPPEMENT D’UN NOUVEAU MODELE D’ENDOMMAGEMENT EN FORMULATION

INCREMENTALE TANGENTE.

CALCUL A LA RUPTURE APPLIQUE AU CAS DES CHEVILLES DE FIXATION ANCREES DANS LE BETON

soutenue le 4 décembre 2003 devant le jury composé de

Présidente : F. LENE

Rapporteurs : A. MILLARD R. ELIGEHAUSEN

Examinateurs : P. ACKER

C. LABORDERIE

Directeurs de thèse : P. de BUHAN G. MOUNAJED

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REMERCIEMENTS

Une page ne peut en aucun cas refléter totalement mes reconnaissances durant les années de thèse. J'espère n'oublier personne.

J’adresse tout d'abord mes remerciements les plus respectueux à Françoise LENE qui ma fait l’honneur de présider mon jury de thèse.

Mes plus vifs remerciements sont également adressés à Rolf ELIGEHAUSEN et Alain MILLARD pour leur lecture et leur lourde tâche de rapporteurs.

Je remercie aussi Paul ACKER et Christian LABORDERIE qui m’ont fait l’honneur d’accepter d’être mes examinateurs. Leurs idées me seront sans nul doute très utiles pour la suite de cette recherche.

J’exprime toutes mes profondes reconnaissances à Ghassan MOUNAJED pour son accueil et sa direction scientifique au sein du laboratoire MOdélisation, CAlcul et Développement -CSTB. Il m’a fait confiance pour un tel travail de recherche, m’a témoigné sa compétence scientifique, ses expériences, son dévouement et m’a offert une grande disponibilité durant toute ma thèse. Sans lui, la thèse n’aurait sûrement pas vu le jour.

J’ai l’honneur d’être dirigé par Patrick de BUHAN dans la partie Calcul à la Rupture. J'ai bénéficié, grâce à lui, d'un professeur vrai, non seulement sur le plan scientifique, mais aussi sur le plan humain. Je tiens à lui témoigner toute ma gratitude pour l’aide et le temps précieux qu’il m’a apportés.

Mes professeurs à l’École Nationale Supérieure de Génie Civil de Hanoi m’ont transmis, pendant des années universitaires, les connaissances du français, du métier de génie civil et la passion de la recherche. Ils m’ont aussi apporté leur soutien et leurs encouragements, au-delà de mon parcours scolaire. Qu’ils en soient remerciés !

À ces remerciements, je souhaite associer Hocine BOUSSA pour sa gentillesse, pour tous ses conseils et sa forte volonté quant aux discussions scientifiques.

Un grand merci à tous mes collègues MOCADiens et du CSTB : permanents, ingénieurs, chercheurs, thésards, stagiaires avec qui j’ai vécu des moments inoubliables de ma jeunesse, dans une superbe ambiance de recherche. Je remercie tout particulièrement Abdellah MENOU pour tous les moments que nous avons traversés ensemble pendant ces trois ans de thèse.

Je tiens à exprimer tout au fond de mon cœur mes reconnaissances à ma famille qui m’offre toujours un appui sûr par son soutien et son encouragement, malgré la distance. C’est grâce à son amour éternel que je peux franchir les obstacles les plus difficiles. Mes plus vifs remerciements vont également à tous mes amis qui sont toujours disponibles pour partager

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Théories de dégradation du béton et développement d’un nouveau modèle d’endommagement déviatorique en formulation incrémentale tangente.

Calcul à la rupture appliqué au cas des chevilles de fixation

Résumé

Cette recherche s’inscrit dans le cadre général de l’étude du comportement du béton. Elle a pour objectif le développement de nouveau modèle de comportement répondant aux exigences particulières requises pour une exploitation industrielle. Après une analyse des différents modèles proposés, un premier développement a concerné les modèles basés sur la théorie de la fissuration distribuée. Une nouvelle formulation de la théorie a permis de résoudre le problème de blocage de contraintes. Cependant, l’analyse menée a montré des limites inertes à cette théorie malgré l’amélioration effectuée.

Ensuite, une analyse des mécanismes physiques de dégradation du béton a été menée et a permis de développer le nouveau modèle d’endommagement MODEV. Ce modèle se base sur la théorie de la thermodynamique appliquée au cas des matériaux hétérogènes et fragiles. Le modèle MODEV introduit deux modes d’endommagement: extension et glissement. Il considère également que le glissement relatif entre les lèvres des microfissures est responsable de l’irréversibilité de déformation. Cette déformation devient fonction de l’endommagement et de l’indice d’hétérogénéité du matériau. L’effet unilatéral est pris en compte selon un processus de durcissement/adoucissement élastique lié à la re-fermeture/re-ouverture des fissures. Le modèle est écrit dans le cadre des matériaux non standard généralisés en formulation incrémentale tangente et implémenté dans le code de calcul général aux éléments finis SYMPHONIE. La validation du modèle a été effectuée sur la base de plusieurs essais issus de la littérature.

La deuxième partie de cette recherche a concerné l’élaboration du logiciel CHEVILAB pour l’évaluation de la capacité portante des chevilles de fixation. Cet outil est basé sur l’approche cinématique par l’extérieur de la théorie du calcul à la rupture. La solution est obtenue en prenant le minimum des majorations du chargement ultime

Abstract

This research is achieved in the general frame work of the study of the concrete behaviour. It has for objective the development of a new behaviour model satisfying to the particular requirements for an industrial exploitation. After the analysis of different existent models, a first development has concerned models based on the smeared crack theory. A new formulation of the theory permitted to overcome the stress locking problem. However, the analysis showed the persistence of some limits inert to this approach in spite of this improvement. Then, an analysis of the physical mechanisms of the concrete degradation has been achieved and permitted to develop the new damage model MODEV. The general formulation of this model is based on the theory of the thermodynamics and applied to the case of the heterogeneous and brittle materials.

The MODEV model considers two damage mechanisms: extension and sliding. The model considers also that the relative tangent displacement between micro cracks lips is responsible of the strain irreversibility. Thus, the rate of inelastic strain becomes function of the damage and the heterogeneity index of the material. The unilateral effect is taken in account as an elastic hardening or softening process according to closing or re-opening of cracks. The model is written within the framework of non standard generalised materials in incremental tangent formulation and implemented in the general finite element code SYMPHONIE. The validation of the model has been achieved on the basis of several tests issued from the literature. The second part of this research has concerned the development of the CHEVILAB software. This simulation tool based on the limit analysis approach permit the evaluation of the ultimate load capacity of anchors bolts. The kinematics approach of the limit analysis has been adapted to the problem of anchors while considering several specific failure mechanisms. This approach has been validated then

(6)

Table des matières

TABLE DES MATIERES

TU

TABLE DES MATIERESUT... 1

TU

INTRODUCTION GENERALEUT... 5

TU

PREMIERE PARTIE : DEVELOPPEMENT DE NOUVEAUX MODELES DE

COMPORTEMENT DU BETONUT... 9

TU

CHAPITRE I:UT TUETUDE BIBLIOGRAPHIQUE – ANALYSE DES MODELES

THEORIQUES EXISTANTS POUR LE BETONUT... 11

TU

I.1.UT TUIntroductionUT... 12

TU

I.2.UT TUModèles de fissurationUT... 13

TU

I.2.1.UT TUGénéralitésUT... 13

TU

I.2.2.UT TUMéthode classique de fissurationUT... 13

TU

I.2.3.UT TUMéthode d’une seule fissuration discrèteUT... 15

TU

I.2.4.UT TUThéorie de la fissuration distribuéeUT... 16

TU

I.2.5.UT TUDiverses approches basées sur la théorie de la fissuration distribuéeUT... 21

TU

I.3.UT TUClasse de modèles élastoplastiquesUT... 26

TU

I.3.1.UT TUModèle de Reynouard (1974)UT... 26

TU

I.3.2.UT TUModèle de Frantzeskakis (1987)UT... 26

TU

I.3.3.UT TUModèle d’endommagement – plasticité sans dégradation de rigiditéUT... 27

TU

I.4.UT TUClasse de modèles d’endommagementUT... 29

TU

I.4.1.UT TUGénéralitésUT... 29

TU

I.4.2.UT TUThéorie de l’endommagement classique [Ref. 69]UT... 29

TU

I.4.3.UT TUModèle de Mazars (1984) [Ref. 72, Ref. 74]UT... 31

TU

I.4.4.UT TUModèle de La Borderie (1991) [Ref. 66]UT... 33

TU

I.4.5.UT TUModèle d’endommagement de Lubliner, Olivier et al. (1989) [Ref. 70]UT... 34

TU

I.4.6.UT TUModèle de Simo et al. (1995) [Ref. 117]UT... 35

TU

I.4.7.UT TUModèle de Ramtani (1990) [Ref. 111]UT... 36

TU

I.4.8.UT TUThéorie de J.W. Ju (1989) [Ref. 60]UT... 37

TU

I.5.UT TULes autres classes de modèlesUT... 40

TU

I.5.1.UT TUModèle microplanUT... 40

TU

I.5.2.UT TUModèle de fissuration intégréeUT... 41

TU

I.6.UT TUConclusionsUT... 46

TU

CHAPITRE II:UT TUDEVELOPPEMENT D’UN MODELE AMELIORE BASE SUR LA

THEORIE DE LA FISSURATION DISTRIBUEEUT... 47

TU

II.1.UT TUIntroductionUT... 48

TU

II.2.UT TUNouvelle loi locale de la fissureUT... 49

TU

II.2.1.UT TUExpression de la nouvelle loiUT... 49

TU

II.2.2.UT TUDiscussionUT... 50

TU

II.3.UT TUTraitement simultané de plusieurs fissuresUT... 52

TU

II.3.1.UT TULoi générale de comportement du matériau fissuréUT... 52

TU

II.3.2.UT TULes cas particuliersUT... 53

TU

II.4.UT TUImplantation du modèle et validationUT... 55

(7)

TU

CHAPITRE III:UT TUELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT

DEVIATORIQUE (MODEV) POUR LE COMPORTEMENT DU BETON.UT... 63

TU

III.1.UT TUIntroductionUT... 64

TU

III.2.UT TUBases théoriques du modèleUT... 65

TU

III.3.UT TUModèle élastique endommageableUT... 68

TU

III.3.1.UT TUApproche thermodynamique du modèle d’endommagementUT... 68

TU

III.3.2.UT TUCritère d’endommagementUT... 70

TU

III.3.3.UT TULoi d’évolution des variables d’endommagementUT... 72

TU

III.3.4.UT TUMatériau non standard généraliséUT... 75

TU

III.3.5.UT TUModélisation du comportement unilatéralUT... 77

TU

III.3.6.UT TUFormulations totale sécante et incrémentale tangenteUT... 78

TU

III.3.7.UT TURemarques pour le nouveau modèle élastique endommageable (MODEV)UT.... 80

TU

III.4.UT TUModèle d’endommagement avec effet anélastiqueUT... 82

TU

III.4.1.UT TUPrincipeUT... 82

TU

III.4.2.UT TUCas d’un matériau standard généraliséUT... 83

TU

III.4.3.UT TUMatériau non standard généraliséUT... 85

TU

III.4.4.UT TUEffet unilatéralUT... 87

TU

III.4.5.UT TUEffet cinématique de l’endommagementUT... 89

TU

III.4.6.UT TUFormulation tangente incrémentaleUT... 90

TU

III.5.UT TUConclusionsUT... 94

TU

CHAPITRE IV:UT TUIDENTIFICATION ET VALIDATION DU MODELE MODEVUT... 95

TU

IV.1.UT TUIntroductionUT... 96

TU

IV.2.UT TUIdentification des paramètres du modèle MODEVUT... 97

TU

IV.2.1.UT TULes paramètres du modèleUT... 97

TU

IV.2.2.UT TUIdentificationUT... 100

TU

IV.3.UT TUValidation théorique du modèle MODEVUT... 103

TU

IV.3.1.UT TUContinuité du modèleUT... 103

TU

IV.3.2.UT TUComportement uniaxial cyclique du bétonUT... 104

TU

IV.4.UT TUValidation pratique du modèle MODEVUT... 106

TU

IV.4.1.UT TUCas test A du projet MECA : Elément soumis à un chargement uniaxial

cycliqueUT 106

TU

IV.4.2.UT TUCas test B du projet MECA : Elément soumis à la traction puis au cisaillement.UT

108

TU

IV.4.3.UT TUCas test C du projet MECA : Poutre en béton armé en flexionUT... 111

TU

IV.4.4.UT TUCas test D du projet MECA : Boite de cisaillementUT... 117

TU

IV.4.5.UT TUPoutre en flexion cycliqueUT... 121

TU

IV.4.6.UT TUPoutre entaillée soumise à un effort de cisaillementUT... 123

TU

IV.4.7.UT TUApplication industrielle au cas 3D de cheville de fixationUT... 124

TU

(8)

TU

V.2.UT TUExpérimentation et méthode empiriqueUT... 136

TU

V.2.1.UT TUDivers modes de ruptureUT... 136

TU

V.2.2.UT TUMéthode empiriqueUT... 137

TU

V.3.UT TUModélisations des ancrages par la méthode des éléments finisUT... 139

TU

V.4.UT TUConclusionUT... 140

TU

CHAPITRE VI:UT TUELABORATION D’UN OUTIL NUMERIQUE CHEVILAB POUR LES

PROBLEMES DE FIXATION BASE SUR L’APPROCHE DE CALCUL A LA RUPTUREUT

141

TU

VI.1.UT TUIntroductionUT... 142

TU

VI.2.UT TUPrincipe de l’approche « Calcul à la rupture »UT... 143

TU

VI.2.1.UT TUDomaine K des chargements potentiellement supportablesUT... 143

TU

VI.2.2.UT TUApproche statique par l’intérieurUT... 143

TU

VI.2.3.UT TUApproche cinématique par l’extérieurUT... 144

TU

VI.3.UT TUTenue d’une cheville de fixation dans le béton : Position du problème.UT... 146

TU

VI.4.UT TUCas de la sollicitation axialeUT... 148

TU

VI.4.1.UT TUUtilisation d’un mécanisme de cône en translationUT... 148

TU

VI.4.2.UT TUOptimisation la surface de discontinuitéUT... 150

TU

VI.5.UT TUCheville sous traction et cisaillement au centreUT... 156

TU

VI.5.1.UT TUMécanisme de cône incliné en translationUT... 156

TU

VI.5.2.UT TUOptimisation de la surface de discontinuitéUT... 158

TU

VI.5.3.UT TURésultatsUT... 159

TU

VI.6.UT TUCheville sous traction et cisaillement à proximité du bordUT... 162

TU VI.6.1.UT TUMécanisme 1UT... 163 TU VI.6.2.UT TUMécanisme 2UT... 164 TU VI.6.3.UT TUMécanisme 3UT... 167 TU

VI.7.UT TUElaboration l’outil de calcul CHEVILABUT... 170

TU

VI.8.UT TUConclusionUT... 172

TU

CHAPITRE VII:UT TUVALIDATION DE L’OUTIL NUMERIQUE CHEVILABUT... 173

TU

VII.1.UT TUIntroductionUT... 174

TU

VII.2.UT TUValidation théorique du logiciel CHEVILABUT... 175

TU

VII.3.UT TUValidation expérimental du logiciel CHEVILABUT... 177

TU

VII.3.1.UT TUDomaine d’application du logicielUT... 177

TU

VII.3.2.UT TUCalibration et validationUT... 177

TU

VII.4.UT TUComparaison MODEV - CHEVILAB - EssaiUT... 182

TU

VII.5.UT TUConclusionsUT... 184

TU

CHAPITRE VIII:UT TUDISCUSSION SCIENTIFIQUEUT... 185

TU

VIII.1.UT TUIntroductionUT... 186

TU

VIII.2.UT TUModèle d’endommagement MODEVUT... 187

TU

VIII.2.1.UT TUGénéralités sur les théories et les modèles pour le béton :UT... 187

TU

VIII.2.2.UT TUMODEV et les autres modèles d’endommagementUT... 188

TU

VIII.3.UT TULogiciel CHEVILABUT... 190

TU

VIII.3.1.UT TURappel sur les méthodes empiriques existantes [Ref. 77]UT... 190

TU

VIII.3.2.UT TUPourquoi utiliser le logiciel CHEVILAB ?UT... 191

(9)

Table des matières TU PerspectivesUT... 195 TU ANNEXESUT... 197 TU REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUESUT... 209

(10)

Introduction générale

(11)

Les qualités mécaniques et le coût relativement peu élevé du béton en font le matériau de construction le plus utilisé dans le Génie Civil. Ainsi, les techniques d’assemblage entre le béton et l’acier se sont développées tout au long de l’histoire de la construction : béton armé, constructions mixtes…

Outre ses qualités intrinsèques, le béton courant présente des propriétés spécifiques liées notamment à l’hétérogénéité de ce matériau: faible résistance en traction, faible déformation à la rupture, sensibilité aux effets du gel, faible résistance aux produits chimiques…. Les ingénieurs, qui connaissent bien ces inconvénients, peuvent, pour des cas courants, y remédier pour concevoir des ouvrages fiables. La première étape vers une exploitation optimisée de ce matériau hétérogène passe par une connaissance fine de son comportement vis-à-vis des différentes sollicitations d’origine thermique, mécanique, hydrique ou chimique. Les travaux de recherche engagés au sein du pôle Modélisation Calcul et Développement (MOCAD) du CSTBTP

1

PT

sont principalement axés sur cette problématique. Un effort important a été engagé sur cet axe majeur de recherche depuis plusieurs années afin d’établir une base scientifique et un ensemble d’outils avancés permettant la modélisation et la simulation des structures et des ouvrages en béton armé. Ces efforts concernent notamment le lancement de plusieurs recherches dans le domaine du couplage thermo-hygro-mécanique [Ref. 97, Ref. 98], de la fissuration [Ref. 36, Ref. 37] et du comportement au feu du béton.

Nous nous limiterons ici à l’analyse du comportement du béton sous sollicitations mécaniques et à l’étude des différents mécanismes de dégradation. L’objectif est l’élaboration d’un modèle de comportement adapté à ce matériau hétérogène.

Le béton a un comportement complexe difficile à représenter par une seule loi macroscopique homogène. Cette difficulté est liée notamment à la forte hétérogénéité du béton qui est un matériau composite constitué de granulats de différentes tailles, d’une matrice cimentaire et de cavités. A cela s’ajoutent des microfissures distribuées de manière aléatoire et présentes même à l’état dit vierge, c’est-à-dire avant toute sollicitation externe [Ref. 111]. Selon la nature et l’intensité de la sollicitation, le béton se déforme de manière complexe en faisant intervenir une ou plusieurs combinaisons de mécanismes élémentaires : élasticité, endommagement, glissement, frottement, fissuration… Des recherches ont été lancées depuis le début du XXP

e

P

siècle sur le comportement mécanique du béton dans l’espoir de mieux comprendre les mécanismes de dégradation de ce matériau. Plusieurs théories appliquées à des matériaux tel que le béton ont été développées. On peut citer l’approche locale de fissuration, la mécanique de la rupture [Ref. 20], la théorie de la plasticité, la théorie de l’endommagement, la méthode de la fissuration distribuée, l’approche par homogénéisation… Ceci a conduit à l’élaboration de plusieurs modèles spécifiques aux bétons. Nous pouvons citer les modèles d’endommagement isotropes de Mazars [Ref. 72], de La Borderie [Ref. 66], les modèles anisotropes de Simo et Ju [Ref. 117] et de Ramtani [Ref. 111], les modèles de fissuration multiple, fixe ou tournante [Ref. 114, Ref. 115, Ref. 105], le modèle des micro – plans d’Olzbolt, de Bazant…[Ref. 102, Ref. 105, Ref. 4], les modèles basés sur la théorie de

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Pour établir un tel modèle, nous devons partir des observations expérimentales à l’échelle mésoscopique et microscopique afin d’identifier les différents mécanismes élémentaires à l’origine de la dégradation du béton. En plus de ces considérations, nous devons prendre en compte également les autres phénomènes propres aux bétons comme l’effet unilatéral, l’apparition de la déformation résiduelle, le comportement cyclique… Ceci devrait conduire à l’établissement d’un modèle théorique général du comportement applicable aux matériaux fragiles et hétérogènes et plus particulièrement aux bétons.

Outre ces considérations théoriques, il faut garder comme objectif l’exploitation industrielle de ce nouveau modèle en adoptant les critères suivants :

- Les paramètres doivent être limités en nombre et facilement identifiables par des expériences simples (par exemple : traction simple, compression simple).

- Le modèle doit être numériquement robuste et doit assurer une convergence rapide. - Le modèle doit être facilement intégrable en 2D et 3D dans un code de calcul aux éléments finis.

En matière d’assemblage, le premier code européen sur l’utilisation des chevilles a été présenté en annexe du guide UEAtc en juin 1992TP

2

PT

. Il a été ensuite repris et développé dans le guide d’Agrément Technique Européen terminé en Juin 1997TP

3

PT

et accepté en octobre 1997 par la commission européenne. Entre temps, un nombre important de travaux de recherche a été mené partout dans le monde, en particulier à l'IWB de Stuttgart en Allemagne, au CSTB en France, à Austin en Texas, en Floride et au Japon. Par ailleurs, des essais ont été réalisés en grand nombre sur la base de ce guide, principalement en Allemagne et en France (CSTB) en vue de la délivrance d’agréments nationaux. Ces essais et les études statistiques ou analytiques associées ont permis de valider les méthodes et les modèles du guide sur les milliers d’ancrages, sur différents types de fixation, dans différentes compositions de béton et de nombreuses configurations.

Toutefois, si les modèles décrivant le comportement en traction des ancrages peuvent être considérés comme fiables, quelques études ont montré qu’il n’en est pas de même pour les modèles décrivant le comportement des ancrages soumis à des sollicitations tangentes situées dans un plan normal à l’axe des fixations. En outre, les modèles actuellement disponibles sont semi-empiriques et basés sur une approche statistique. Ils ne sont prédictifs que sur un domaine restreint des paramètres et au prix de l’introduction de certains facteurs d’influence. Aussi, est-il apparu nécessaire de reprendre l’étude du comportement des ancrages soumis à des sollicitations tangentes sur des bases purement scientifiques. Les études expérimentales ont montré que les modèles proposés dans le guide ATE pour des chevilles soumises à des efforts de traction sont fiables dans le cas où la rupture se produirait par arrachement d’un cône de béton. Par contre, ils ne le sont pas toujours pour des chevilles soumises à des sollicitations tangentes.

La présente recherche a pour but de donner des éléments de réponse face à ces deux problématiques relatives au matériau béton et à la structure des fixations.

Dans un premier temps, il s’agit d’élaborer un modèle de comportement du béton prédictif et simple. Pour atteindre cet objectif, nous avons mené une étude bibliographique sur les

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modèles existants. Cette étude a été complétée par une analyse physique visant à construire les idées de base pour la conception du nouveau modèle. Le modèle a été développé dans le cadre de la théorie de la thermodynamique des milieux continus en tenant compte des non-linéarités liées au matériau. Ce modèle a été intégré dans le code de calcul aux éléments finis SYMPHONIE après identification des paramètres influents. Par ailleurs, le modèle a fait l’objet d’une validation théorique et expérimentale sur des corps d’épreuve en béton, et sur des ancrages constitués d’une cheville métallique ancrée dans le béton.

Le deuxième axe de cette recherche a concerné le développement d’un outil de calcul simplifié pour les fixations métalliques ancrées dans un massif en béton. Cet outil, fondé sur l’approche calcul à la rupture, permet d’évaluer la charge ultime et le mode de rupture correspondant. Cette étude a permis de montrer la possibilité d’adaptation de l’approche cinématique par l’extérieur au cas de cheville de fixation. Les premiers résultats analytiques sont obtenus sur des mécanismes simples de ruptures. Pour des mécanismes relativement complexes, une mise en œuvre numérique a été effectuée afin d’obtenir une estimation des charges ultimes et des modes de rupture les plus probables. Finalement, l’outil a été validé par comparaison avec des résultats d’essais et des calculs aux éléments finis.

Ainsi, la thèse est constituée des deux parties :

La première est consacrée au développement de nouveaux modèles de comportement du béton. Elle débute par une synthèse bibliographique (chapitre I). On tentera de classifier les modèles : Modèles de fissuration, modèle par analogie avec la plasticité, modèles de type d’endommagement… Aussi, la description en détail de quelques modèles permet d’en comprendre la conception pour traiter les phénomènes non-linéaires de fissuration et de rupture et d’avoir une connaissance générale sur le comportement du béton. Le chapitre II vise à une amélioration du modèle de la fissuration distribuée permettant une description plus fidèle du comportement mécanique du béton. Cependant, pour des applications plus évoluées, cette méthode apparaît encore non satisfaisante. Au chapitre III, un nouveau modèle d’endommagement est élaboré en tenant compte des non-linéarités du béton : endommagement, dissymétrie, unilatéralité, anélasticité… Ce modèle, intitulé MODEV, est construit sur la base d’analyses physiques de plusieurs mécanismes de dégradation et est formulé dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles. Le chapitre IV présente dans un premier temps l’identification des paramètres du modèle par des essais élémentaires. Dans un second temps, une validation théorique et expérimentale du modèle est effectuée par comparaison avec les résultats expérimentaux et aussi avec les résultats issus des autres modèles.

La deuxième partie concerne l’élaboration d’un outil de calcul appliqué à la tenue des chevilles de fixation. Le chapitre V porte sur les techniques de fixation, les méthodes de calcul proposées et les problématiques existantes concernant le manque de méthode scientifique simplifiée pour les fixations et la modélisation mécanique pour le matériau béton. Puis, au chapitre VI, on élabore un outil numérique, d’évaluation de la résistance mécanique

(14)

PREMIERE PARTIE :

DEVELOPPEMENT DE NOUVEAUX MODELES DE

COMPORTEMENT DU BETON

(15)

(16)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton

CHAPITRE I:

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE – ANALYSE DES MODELES

THEORIQUES EXISTANTS POUR LE BETON

(17)

I.1.

Introduction

Le béton, largement utilisé dans la construction, présente un comportement mécanique très complexe dû à son caractère hétérogène et fragile. Cette hétérogénéité favorise le développement de divers modes de rupture et de propagation de fissures. Ceci rend difficile de trouver un modèle physique respectant ces modes d’une manière fiable tout en restant simple d’utilisation.

Plusieurs recherches expérimentales contribuent à mieux comprendre le comportement mécanique de ce matériau surtout avec l’apparition des fissurations et de la phase de rupture [Ref. 111, Ref. 96, Ref. 44…]. Si l’on considère un échantillon de béton sous chargement monotone croissant, par exemple en traction simple, on observe d’abord une microfissuration qui se propage dans toutes les directions. La continuité de ces microfissures engendre l’amorce et la propagation d’une macrofissure perpendiculaire à la direction de la contrainte principale majeure avant la rupture. Pendant cette phase, le béton présente un comportement adoucissant et anisotrope.

A ce phénomène s’ajoute le comportement dissymétrique en traction et en compression. La résistance en compression est beaucoup plus élevée que celle en traction. De plus, un béton préalablement fissuré en traction récupère sa rigidité quand on le comprime. Ce phénomène est dû à la refermeture des fissures.

Les études expérimentales menées sur la loi de comportement du béton montrent également l’existence de déformations anélastiques.

Face à la complexité du comportement du béton (hétérogénéité, aspect multiphasique, fissuration, anisotropie, unilatéralité avec déformation permanente…) plusieurs modèles mécaniques ont été proposés. Nous citerons :

- Les modèles de la fissuration distribuée, - Les modèles microscopiques,

- Les modèles de plasticité

- Les modèles locaux, non locaux, - Les modèles d’endommagement…

Ce chapitre est consacré à l’analyse des divers modèles existants. L’objectif est de mieux connaître l’état de l’art et d’en tirer les conclusions utiles pour notre recherche.

(18)

I.2.

Modèles de fissuration

I.2.1. Généralités

A nos jours, la modélisation complète du comportement du béton pose encore des problèmes, surtout en présence de la fissuration. Plusieurs modèles locaux ou non, basés sur mécanique de la rupture ou la mécanique d’endommagement ont été proposés. Cette première partie de l’étude bibliographique est consacrée à analyse des différents modèles basés su la théorie de fissurations du béton.

I.2.2. Méthode classique de fissuration

I.2.2.1. Mécanique linéaire de la rupture

Cette méthode est décrite par Lemaître J., Chaboche J.L [Ref. 69].

Selon la direction de la sollicitation par rapport à celle de la fissuration, on distingue trois modes de fissuration :

X2

X3

X1

Mode I Mode II Mode III

Les modes de fissure

Mode I : mode d’ouverture

Mode II : mode de cisaillement plan Mode III : mode de cisaillement antiplan.

Coordonnées polaires et distribution de contrainte au voisinage de la pointe de fissuration pour le Mode I

r θ x y a x y _σ

Ce mécanisme s’applique dans l’hypothèse d’un matériau élastique linéaire. La solution du problème asymptotique au voisinage de la pointe de la fissure où le champ de contraintes est singulier est traitée par Westergaard :

(19)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton ) , r ( f ). , a ( K_II ₁₂ _II 12 = σ θ σ ∞ _(I.2)

Pour le Mode III

) , r ( f ). , a ( KIII 13 III 13 = σ θ σ ∞ _(I.3)

Où a est la demie - longueur de la fissuration, K sont des facteurs d’intensité qui dépend du mode de chargement, de la longueur de fissure et de la géométrie de structure.

Selon la solution de Muskhelishvili, l’expression générale des facteurs d’intensité s’écrit : f.

a K=σ∞ π

(I.4) Où f est une fonction de la géométrie de structure, de fissure et type de chargement.

Lorsque la valeur de facteur d’intensité dépasse un seuil KBCB, la fissuration commence à

propager. KBCB est une caractéristique du matériau.

Energiquement, si une fissure se propage, il y a une dissipation de l’énergie potentielle. Le taux de restitution d’énergie de fissuration G présente une quantité d’énergie disponible qui peut être utilisée pour créer le mécanisme de décohésion entre les deux lèvres de fissure. On introduit aussi GBCB la valeur seuil d’énergie (qui est en fonction de l’énergie dissipée par une

unité de surface de propagation de fissuration γ), à partir de la quelle la fissure commence à se propager (G et GBCB ne sont utilisées que pour le mode I de fissuration). γ est une constante

caractéristique du matériau. Pour ce qui concerne le facteur d’intensité, on a la relation :

planes ns déformatio en ²) 1 ( EG K planes s contrainte en G . E K I I ν − = = (I.5)

Il existe d’autres méthodes pour caractériser la singularité du champ de contraintes au voisinage de la pointe des fissures est l’étude de certains intégraux de contour. Ce sont l’intégral J de Race et l’intégral I de Bui [Ref. 20].

I.2.2.2. Mécanique non-linéaire de la rupture

La mécanique linéaire de la rupture n’est applicable que pour les matériaux quasi élastiques fragiles. Il s’agit ici d’un modèle applicable pour le comportement non-linéaire. Il existe deux approches : zone plastique au pointe de la fissure et analyse élastique non-linéaire.

L’essentiel de la première approche est d’estimer cette zone plastique non-linéaire et de prendre en compte l’énergie dissipée par micro fissure au voisinage de la pointe de fissure. Selon Irwin, pour le mode I, la longueur de la zone plastique ρ intervient sur l’expression du facteur d’intensité :

(20)

Exemple de zone plastique à la pointe de fissuration

a ρ ρ

Distribution modifiée de contrainte avec la zone plastifiée

Dugdale-Barenblatt introduit la notion de forces de cohésion ce qui conduit à une solution complète en plasticité plane avec le critère de Tresca :

2 Y 2 I K 16σ π = ρ (I.7) Où, σ_Y est le seuil d’élasticité du critère de Tresca.

Pour l’analyse élastique non-linéaire, la non-linéarité est traitée par une approche de type élasticité non-linéaire. Donc, cette approche n’est applicable qu’au cas de chargement monotone proportionnel. En supposant une loi d’écrouissage :

M

/ 1

~ε

σ (I.8) On a l’expression de l’intégral Rice :

M

p h a M

J = ( , )σ_∞ (I.9) Où, h est une fonction de la longueur de la fissuration a et l’exposant d’écrouissage M.

Cette méthode de fissuration considère la structure comme un milieu discontinu (avec des fissures existantes) et traite localement l’évolution des macrofissures. De ce fait, elle ne corresponde pas à l’objectif de la présente recherche qui vise à étudier le comportement du béton de l’état sain à l’état fissuré et de ruine appliqué a l’échelle de la structure.

I.2.3. Méthode d’une seule fissuration discrète

Il s’agit d’une méthode utilisée pour modéliser la fissuration avec la méthode des éléments finis (Ngo-Scordelis en 1967, Nilson en 1968) [Ref. 92, Ref. 95]. Selon cette méthode, la fissuration est simulée par la séparation des arrêtes des éléments voisins.

L’équation constitutive qui contrôle l’ouverture de la fissuration donne la relation entre la traction et le déplacement relatif à travers la fissure de façon incrémentale:

f f f _C _u t = ∆ ∆ (I.10) Où CP f P

est le module d’adoucissement.

Ce modèle simple pour une modélisation par éléments finis possède des problèmes liés à l’approche adoptée :

(21)

Des techniques spéciales sont utilisées pour remédier à ces inconvénients comme le remaillage et la création de la fissure au sein de l’élément. Cependant, ce type d’approche reste très dépendant du maillage et des techniques numériques utilisées et n’assure pas donc l’objectivité vis-à-vis du maillage.

I.2.4. Théorie de la fissuration distribuée

Cette théorie est initialisée par Rashid (1968) [Ref. 112] et puis développée par plusieurs auteurs : Willam, Crisfield, Bazant [Ref. 29, Ref. 124, Ref. 8…]

On présentera dans ce paragraphe cette théorie avec une réécriture tensorielle plus conforme à l’interprétation la généralité de la théorie que l’écriture matricielle souvent utilisée dans le cadre de cette approche.

On se place dans le cadre de l’hypothèse de petites perturbations et en considérant une cellule représentative de béton fissuré.

x y

ni

ti

Domaine fissuré

La déformation totale ∆ε est décomposée en deux composantes : la déformation de la fissuration _εf

∆ et celle du béton sain entre fissures _εb ∆ : f b _ε ε ε =∆ +∆ ∆ (I.11) Chaque famille de fissures est caractérisée par la même direction, c’est à dire le même vecteur normal UnUBiB. On peut considérer que la cellule est soumise à des sauts de déplacement

i

ξ

⎡ ⎤ ⎣ ⎦ de chaque famille de fissures. Au cours de chargement, nous avons :

[ ]

_∑

[ ]

_∑

(

[ ]

)

= = ∆ + ∆ = ∆ = ∆ n i ni ti n i i t n 1 i i 1 ξ ξ ξ ξ (I.12) Où et n_i t sont des vecteurs normaux et tangents de la fissuration, n est nombre de famille de _i

fissures.

(22)

Parallèlement, pour la contrainte de fissures dans leurs coordonnées propres, nous avons le vecteur :

(

)

∑

= = ∆ + ∆ = ∆ = ∆ n i f ti f ni n i f i f _s _s _n _s _t s 1 i i 1 (I.14)

et sa relation statique avec les contraintes globales :

i f

n si =∆σ.

∆ (I.15) L’équation constitutive du béton entre fissures a la forme :

b b

D ε

σ = ∆

∆ : (I.16) Où Dbest le tenseur de rigidité du matériau béton sain.

Tandis que l’équation constitutive de la fissure est : .

f f f

i i

s D e

∆ = ∆ (I.17) Où _{D est le tenseur de rigidité de la fissure considérée dans son plan.}f

A partir de (I.11) et (I.16), nous avons :

) ( : f b D ε ε σ = ∆ −∆ ∆ (I.18) En liaison avec les équations (I.14), (I.18) et (I.16), nous pouvons écrire :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_∆ ₋ _⊗ _∆ = ∆

∑

= − n i i f s i b n D n D 1 1 . . : ε σ σ (I.19) Nous pouvons ainsi démontrer que :

[

σ

]

σ σ = ⊗ ⊗ ∆ =_⎢⎣⎡ ⊗ ⊗ _⎥⎦⎤ ∆ ∆ ⊗ − − − : : . . 1 1 1 n D n n D n n D n s f s f s f (I.20)

Ce qui nous conduit à :

∑

= − _⊗ _∆ ⊗ − ∆ = ∆ n i i f s i b b _D _n _D _n D 1 1 _: : : ε σ σ (I.21) Enfin, nous arrivons à la loi de comportement du béton fissuré :

ε σ ∆ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ _⊗ _⊗ = ∆ − = −

∑

: : : 1 1 1 b n i i f s i b _n _D _n _D D I (I.22)

On peut encore écrire :

ε σ = Dbf: (I.23) Avec : Dbf I Db : n n s Df n :Db 1 1 − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ _⊗ _⊗ =

∑

(I.24)

(23)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton bf

=

σ D ε (I.25) Avec : _Dbf ₌_Db₋_{D N D}b ₍ f ₊_{N D N N D (I.26)}T b ₎−1 T b

Loi de comportement de la fissuration

0 0 I n n II t t s D e s D e ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ (I.27) Où DP I P

est le module de rigidité de la fissuration et DP

II

P

est le module de cisaillement de la fissuration. Cette loi de comportement de la fissure est sécante, cependant la même loi est utilisée dans la théorie comme la loi incrémentale. C'est-à-dire :

0 0 I n n II t t s D e s D e ∆ ⎡ ⎤ ∆ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = ⎨_∆ ⎬ ⎢ ⎥⎨_∆ ⎬ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Or, ceci n’est valable que si DP

I P et DP II P sont constants.

On peut déterminer le module de rigidité en se basant sur l’énergie de fissuration GBf B à travers

la loi de comportement à la traction simple :

gf _g_f ft σ σ σ ε _εe ult ε _εf t ε t ε εult ft ft Et DI

Décomposition de déformation pour la traction pure

Supposons : gBfB =GBf/wB BcB où wBcB est la largeur de la bande de fissuration (selon Bazant) [Ref. 10],

on a : 0 2 1 t f I f ult f g d D k σ σ ε ε = =

∫

= (I.28)

avec k le coefficient caractérisé de la forme de la courbe adoucissante déformation – contrainte. Par exemple k=2 pour une courbe linéaire.

Finalement, on a l’expression : 2 1 I t c f f w D k G = − (I.29)

(24)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton θ 0 x y Un élément fissuré βG G _DII τ γ τ τ γe _γf

Comportement au cisaillement du matériau fisuré

1 II G D β β = − (I.30)

Le coefficient de conservation du cisaillement est inférieur à 1. On peut le prendre comme une constante (par exemple 0,1) ou une fonction de l’ouverture de la fissure de telle sorte que ce coefficient tend vers 0 quand la fissure est complètement ouverte en utilisant par exemple l’expression suivante : 1 p f n ult ε β ε ⎡ ⎤ = −_⎢ _⎥ ⎣ ⎦ (I.31)

On remarque que cette théorie n’est pas basée sur la thermodynamique des processus irréversibles. De ce fait, elle n’assure pas forcement la stabilité, ni la convergence de la solution notamment pour des cas de chargements relativement complexes. En effet, on rencontre sur le plan numérique, une surestimation de rigidité et un problème de blocage des contraintes. Par ailleurs, la détermination du coefficient de conservation de cisaillement reste arbitraire. Ces deux problèmes seront analysés en détails dans les paragraphes suivants. Nous proposons dans la suite une nouvelle formulation d’un modèle de fissuration multiple permettant de surmonter ces problèmes.

I.2.4.1. Modèle d’une seule fissure fixe

C’est le modèle le plus simple de la méthode de la fissuration distribuée. Dans ce modèle, on ne considère qu’une seule fissure fixe une fois la contrainte majeure principale à la traction atteint la résistance fBctB. Le comportement incrémental du matériau fissuré devient :

bf =

σ D ε avec _Dbf ₌_Db₋_{D N D}b ₍ f ₊_{N D N N D (I.32)}T b ₎−1 T b

Et N est la matrice de passage de dimension 3x2 pour un problème 2D :

2

cos sin cos

sin ² sin cos 2sin cos cos sin ²

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ N (I.33)

θ est l’angle entre la normale de la fissure et l’axe 0x du système des coordonnées global.

Le coefficient de conservation du cisaillement peut être une constance ou une fonction variable comme on a mentionné ci haut.

(25)

I.2.4.2. Modèle de fissure multiple

Pour simplifier, on ne considère toujours qu’une seule fissure. Mais dans ce modèle, on introduit des critères de l’apparition de nouvelle fissure. Une fois la nouvelle fissure se forme, on considère les anciennes fissures comme inactives mais en gardant leur direction (pour vérifier si elles sont réactivées ou non) et la quantité d’énergie dissipée par fissure. L’élément est complètement rompu quand la somme des énergies dissipées de toutes les fissures est égale une dissipation d’énergie critique qui conduit à la rupture.

Si une fissure se forme, le matériau devient orthotrope, la direction principale des déformations et des contraintes ne se coïncident pas en général. Ces directions peuvent aussi tourner quand le coefficient de conservation du cisaillement est non nul. La nouvelle contrainte majeure principale inclinée peut dépasser la résistance à la traction et crée ainsi une nouvelle fissure. Pour ce dernier, Rots [Ref. 114] donne un critère de formation de nouvelle fissure : Soit la condition de résistance est violée (c’est à dire la contrainte principale majeure est égale à fBtB), soit l’angle entre la direction principale des contraintes et celle de la fissure

active atteint un angle seuil α quelconque (par exemple α=15°).

Le coefficient de conservation de cisaillement est pris soit comme une constante, soit comme une fonction de la déformation principale majeure f

I

ε des déformations de fissures _{ε et de la}f

déformation de rupture ε_ult:

1 p f I ult ε β ε ⎡ ⎤ = −_⎢ _⎥ ⎣ ⎦ (I.34)

Ce modèle permet de traiter l’élément au cas où le chargement n’est pas proportionnel, mais le critère d’apparition de la nouvelle fissure reste arbitraire et ne se base pas sur une hypothèse valide.

I.2.4.3. Modèle de fissuration tournante

La méthode de fissuration tournante est un cas particulier de la méthode de la fissuration distribuée avec l’angle seuil α égal à 0°. Elle consiste en particulier à efforcer la coaxialité des directions principales de déformations et celles de contraintes.

1 1 p p ε σ ≡ 2 2 p p ε σ ≡ x y θ O

(26)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton 2( ) ii jj bf ii jj G σ σ βG ε ε − = = − (I.35)

Ce modèle impose donc une forme particulière du coefficient de cisaillement résiduel qui se déduit par l’expression suivante :

1 2( ) ii jj ii jj G σ σ β ε ε − = − (I.36)

Par conséquent, le module du cisaillement de la fissuration devient :

( ) 2( ) ( ) ii jj II ii jj ii jj G D G σ σ ε ε σ σ − = − − − (I.37)

Où, i et j représentent les directions principales initiales de chaque incrément.

Ce modèle se base sur l’hypothèse de coaxialité sans apporter une justification théorique ou expérimentale. Cependant, cette hypothèse permet de surmonter les problèmes de blocage des contraintes et de la surestimation de la rigidité. Ceci est assuré par le coefficient de conservation de cisaillement qui devient une fonction prédéfinie par (I.36) et qui peut atteindre des valeurs négatives.

Finalement, parmi les modèles de la théorie de la fissuration distribuée, ce modèle est bien apprécié pour sa simplicité. Plusieurs auteurs ont adopté ce modèle en proposant des améliorations, on peut citer Jirasek et Zimmermann [Ref. 56, Ref. 59].

I.2.5. Diverses approches basées sur la théorie de la fissuration distribuée

I.2.5.1. Théorie de la bande de fissuration

Bazant et Oh [Ref. 10] proposent cette théorie en se basant sur l’hypothèse d’existence d’une bande de fissuration d’une certaine largeur au sein du milieu fissuré. Cette hypothèse est justifiée du point de vue physique des matériaux hétérogènes.

La multitude des microfissures fait apparaître cette bande de largeur wBcB. On suppose une

distribution uniforme de déformations εP

f P . ft z σ z ε ult ε t ε E Et

Comportement à la traction simple

Considérons une fissure de normale Oz dans le repère principal Oxyz :

1 0 1 1 0 x x y y ε ν ν σ ε ν ν σ − − ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪₌ ⎢₋ ₋ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪₊ ⎨ ⎬ _⎢ _⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ (I.38)

(27)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton 1 ( ) f t z f f C ε = −σ (I.39) On a 1 1 1 1 1 1 0 0 x x y y z t z ult E E E E E Sym E ε ν ν σ ε ν σ ε σ ε − − − − − − ⎡ − − ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪₌ ₋ ⎪ ⎪ ⎪₊ ⎪ ⎨ ⎬ _⎢ _⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ _⎢ _⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (I.40) Où 1 1 1 t f E = E C−

Finalement, la loi de comportement dans le repère de la fissuration s’écrit :

11 12 13 22 23 1 33 x x y y z z C C C C C Sym C ε σ ε σ ε µ− σ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪₌⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎨ ⎬ _⎢ _⎥⎨ ⎬ ⎪ ⎪ _⎢ _⎥⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (I.41)

Où CBijB sont des composantes de la matrice de complaisance du matériau sain et :

1 z t ult z E E ε µ ε ε − ₌ − − (I.42)

Pour déterminer CBfB, Bazant [Ref. 10] introduit en plus une propriété du matériau, c’est la

largeur de la bande de fissuration wBcB. Donc, les propriétés de rupture du matériau ne sont

caractérisées que par trois paramètres : énergie de rupture, limite de résistance uniaxiale et largeur de la bande de fissuration. Plusieurs de recherches et expériences ont été effectuées pour déterminer cette caractéristique du béton, on peut citer Olivier (1989) [Ref. 100], Bazant et al. (1989) [Ref. 11], Fokwa et Berthaud (1993) [Ref. 45] Le module de d’adoucissement étant une fonction de ces trois paramètres :

2 2 t c f f f w C G = (I.43) Les valeurs des trois paramètres de matériau en jeu sont déterminées d’après les résultats d’essais, celle optimale pour la largeur de bande de fissuration est environ 3dBa B(dBaB est

dimension d’un granulat).

Approche non locale :

La théorie de bande de fissuration suppose un saut brusque de déformation aux lèvres extrêmes de la bande. En réalité, il y a une distribution continue de déplacement à travers cette bande. A ce titre, on adopte une conception du milieu continu non locale introduite par

(28)

Chapitre I : Etude bibliographique - Analyse des modèles existants pour le béton V est défini à partir de la longueur caractéristique du matériau.

En se basant sur cette relation clé, on établit des équations de base de mouvement (ou de l’équilibre) : 2 1 ( ) ( ) (1 )( ), , 1 ² V ij j ij j i x x dV H V c H c u H ε ε α ε σ τ ρ λ = = − + = = + ∇

∫

(I.45)

Où c est un coefficient expérimental, c=0 formule purement non locale, c=1 formule purement locale.

² ²∇

λ _{est l’opérateur de Laplace à travers un volume représentatif de dimension l et λ est la} longueur caractéristique du matériau.

Vis à vis à la méthode des éléments finis, on applique une technique des couches des éléments de la taille l. Par conséquent, il y a de changement dans la propriété de connexion nodale et la numération des nœuds (Bazant et al.) [Ref. 9].

I.2.5.2. Modèle d’interaction des microfissures

Pour le béton, il existe une multiplicité des microfissures qui se développent dans la zone de fissuration avant qu’une fissure ne se produise. L’interaction desquelles est prise en compte dans ce modèle établi par Ozbolt et Bazant en 1996 [Ref. 105, Ref. 5].

∆ε σ E 3 1 4 5 2 ∆S S ∆ ε Influence de l’interaction des microfissures

Selon ce principe, on divise chaque incrément de chargement en deux sous-incréments :

- Incrément pur élastique, représenté par le point 3. Les microfissures sont capables de transmettre parfaitement les contraintes

- Incrément où les contraintes se relaxent, en quelque sorte comme on applique une pression sur la surface de fissure.

Dans la figure, si on traite le problème de façon élastoplastique, on a l’incrément de contrainte

∆S anélastique local résultant d’un incrément de déformation ∆ε : T∆ =S 32

T

. Mais en tenant compte de l’interaction des microfissures, l’incrément de contrainte devient par exemple

35

S

∆ = selon la figure.

(29)

Selon Kachanov [Ref. 61], la contrainte non locale est de la forme :

1 N p_µ p_µ µν p_ν ν = ∆ = ∆ +

∑

Λ ∆ (I.46) Où :

Le signe <> signifie un moyen sur la longueur de fissure.

N est nombre total des microfissures.

µν

Λ est le coefficient d’interaction de deux microfissures numéro µ et ν. On aΛ_µµ=0. Nous avons donc la contrainte normale à une microfissure selon l’incrément de contraintes :

(

) (

)

(

)

1 N n S nµ _µ µ n S nµ _µ µ µν n S nν _ν ν ν = ∆ = ∆ +

∑

Λ ∆ (I.47) Dans la quelle, Bazant [Ref. 5] introduit quelques hypothèses en vue de simplifier le problème L’influence de la microfissure à un point ξ de la macrostructure sur une microfissure à un point x est déterminée par la direction dominante de fissure à chaque point.

Au lieu de travailler avec la traction normale pour chaque fissure, on travaille avec la traction principale au niveau macroscopique.

(1) ₍₁₎ ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) V S x S x xξ S ξ dV ξ ∆ = ∆ + Λ

_∫

∆ (I.48) (1) ₍₁₎ ( ); ( ) S x S x

∆ ∆ sont des incréments des contraintes anélastiques non locales et locales qui sont normales à la direction dominante de la microfissure.

( , )xξ

Λ est la fonction d’influence des fissures, dépendant de l’état des contraintes et la géométrie de structure. Pour simplifier, cette fonction est utilisée dans certaine zone autour de la microfissure considérée.

En modélisant par la méthode des éléments finis, on utilise l’intégration numérique pour tous les éléments: (1) ₍₁₎ 1 N S_µ S_µ _µν S V_ν _ν ν = ∆ = ∆ +

∑

Λ ∆ ∆ (I.49)

µ, ν sont des points d’intégration.

∆VBνB est le volume de l’élément correspondant au point d’intégration ν.

(30)

Interaction entre des microfissures

r x y x y Y X ξ x x−ξ ψ ϕ

Quant à la fonction d’influence des microfissures :

( , )xξ k r f( ) ( )ϕ

Λ = (I.52)

r et ϕ sont des coordonnées polaires dont l’origine est le centre de la micro fissure (voir la figure ci-dessus).

Ce modèle local et sophistiqué tient en compte l’interaction entre les microfissures. Cependant, il pose des problèmes difficiles concernant la détermination le nombre de microfissures existantes et les coefficients d’interaction des microfissures. Du point de vue de l’application pratique, ce modèle serait très lourd, d’abord par rapport à la détection des microfissures dans l’élément, puis, vis-à-vis de l’interaction entre les fissures avec différentes directions, qui doit s’effectuer pour chaque incrément de chargement.

(31)

I.3.

Classe de modèles élastoplastiques

Il s’agit de considérer le comportement du béton comme élastoplastique adapté. Cette approche simple est facilement intégrable dans une méthode numérique de type éléments finis. Dû au comportement dissymétrique du béton en compression et en traction, on décompose le traitement selon ces deux cas :

En traction : La déformation à la rupture étant très faible (faible résistance et fragilité) on adopte souvent de modèle de fissuration élastique avec les critères de fissuration de Rankine, Ottosen

En compression, le comportement est quelque peu plus ductile, l’approche élastoplastique est adoptée. Plusieurs critères sont utilisés pour le béton comme le critère de Mohr Coulomb, Dracker-Prager, Nadaï…

I.3.1. Modèle de Reynouard (1974)

Reynouard [TRef. 113T] a établi un modèle de comportement du béton élastique jusqu’à la

rupture en traction et élastoplastique écrouissable associé en compression. S’il y a une fissure dans un élément, la rigidité devient nulle dans la direction perpendiculaire à la fissure. Le critère de ruine en déformation est appliqué.

I.3.2. Modèle de Frantzeskakis (1987)

Frantzeskakis C. [TRef. 46T] considère que le béton est élastique-fragile en traction et

élastoplastique écrouissable en compression.

Surface de charge et trajets de sollicitation dans le comportement du béton

(32)

Où c, d et α sont des paramètres du modèle dépendant des caractéristiques mécaniques du béton, fBcB(k) représente le seuil d’élasticité actuel.

La matrice tangente de rigidité DP

ep

P

s’écrit dans le cas plasticité non associée:

T e e ep e T e G F F G h ∂ ⎛∂ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ⎝∂ ⎠ = − ∂ ∂ ⎛ ⎞ + ⎜_⎝_∂ ⎟_⎠ _∂ D D σ σ D D D σ σ (I.55)

Quant à la rupture en compression, Frantzeskakis admet une rupture appelée : «écrasement» quand la surface de charge coïncide avec la surface ultime au cours de l’évolution de l’écrouissage.

Pour la rupture en traction, une surface immobile de fissuration est établie en se basant sur le critère de fissuration proposé par Ottosen [Ref. 101] en fonction des invariants du tenseur de contraintes: 2 2 1 2 1 0 c c c J J I a b f +λ f + f − = (I.56)

Où a, b et λsont des paramètres du modèle à identifier.

I.3.3. Modèle d’endommagement – plasticité sans dégradation de rigidité

Lubliner, Olivier et al. (1989) [Ref. 70] ont établi un modèle élastoplastique associé avec l’énergie en introduisant la variable plasticité - endommagement κ:

κ=0 : Matériau non endommagé et c=cB0B, qui est la cohésion initiale du matériau. κ=1 : Matériau totalement endommagé et c=0, c'est-à-dire le perte totale de cohésion.

σt

σc

εp _εp

gt

gc

Aspect énergétique dans la loi de comportement Du point de vue énergétique, dans le cas unidimensionnel, on a :

^ ^ 0 1 1 p p t t p t t c c p G g l d g G g l d ε ε κ σ ε κ σ ε = = = =

∫

(I.57)

(33)

La variable κ présente énergétiquement la loi de comportement adoucissant. Il est nécessaire de lier cette variable et la cohésion c afin de bien achever le modèle.

La relation entre c-κ est donc établie comme une relation de couplage plasticité et endommagement.

En résumé, les équations constitutives du modèle sont les suivantes :

1 : ( ' ) ( , , ) : ( , , ) p p T p D g loi d écoulement g G h c c k c σ ε σ ε ε λ κ σ κ ε σ κ κ − = + = = ∂ = = (I.58)

G est la surface d’écoulement, choisi dans ce modèle comme celui Mohr-Coulomb.

La loi de comportement dans le cas général de matériau non associé est exprimée : : : avec : : : ep g D f D D D H kh g H f D g = − = + (I.59)

Où f = ∂σF, et F( )σ =cselon le critère de Drucker-Prager.

En fait, ce modèle ne tient pas compte de la diminution de la rigidité, mais l’introduction de la variable κ énergétiquement déterminée par le comportement élastoplastique avec la perte de cohésion (comme un écrouissage négatif). Elle est donc comprise comme « endommagement » du matériau. La prise en compte de la dégradation du béton est ainsi développée par ces auteurs, elle sera décrite dans la partie consacrée aux modèles de type endommagement.

L’approche élastoplastique facilite numériquement les calculs et largement utilisée pour le béton comme le modèle de l’INSA – URGC structure, l’Université de Colorado à Boulder [Ref. 48]... Cependant, cette approche ne représente que l’aspect non-linéaire et la partie résiduelle de déformation du comportement du béton. Ces modèles ne tiennent pas compte la dégradation du béton, et sont difficilement adaptés au béton. De plus, nous pouvons s’interroger sur la pertinence de considérer un seul mécanisme de plastification pour expliquer la loi de comportement complexe d’un matériau hétérogène comme le béton. L’utilisation des paramètres d’écrouissage pour carreler ces modèles avec les essais uniaxiaux en traction et en compression sur le béton n’est pas suffisante pour assurer la prédictibilité de ces modèles en cas de chargement complexe. Cette difficulté se manifeste notamment en cas de chargement cyclique où ont lieu autres processus non-linéaires du comportement du béton : dégradation, unilatéralité…

(34)

I.4.

Classe de modèles d’endommagement

I.4.1. Généralités

Il s’agit d’une autre approche très utilisée pour modéliser le comportement du béton. Cette approche se base sur la théorie de la thermodynamique des processus irréversibles. De nombreux modèles d’endommagement associés avec les autres phénomènes non-linéaires ont été élaborés afin de traiter les différents phénomènes liés au comportement complexe du béton déjà mentionnés au début de ce chapitre. Parmi ces modèles, on peut citer le travail de Lemaître et Chaboche [Ref. 69], Mazars [Ref. 72], La Borderie [Ref. 66]…

Dans ce paragraphe, on analysera les modèles sur les aspects suivants :

- La définition des variables d’état (variables observables et variables internes) - Le choix de l’énergie libre, pour obtenir les lois d’état

- Détermination du potentiel de dissipation afin d’obtenir les lois complémentaires A ce stade, il importe de noter que, pour un modèle stable, le potentiel de dissipation et sa fonction duale doivent être convexes, positifs et nuls à l’origine.

I.4.2. Théorie de l’endommagement classique [Ref. 69]

I.4.2.1. Une théorie de l’endommagement isotrope

L’expression du potentiel thermodynamique énergie libre est établie en découplant la partie d’endommagement et celle de plasticité.

( , , )e ( , )

e T D p T Vk

ψ ψ ε= +ψ (I.60)

Où d est la variable scalaire d’endommagement. d=0 pour l’état vierge, d=1 pour l’état d’endommagement total. Où 1(1 ) : : 2 e e e d D ρψ = − ε ε (I.61)

On remarque que l’endommagement se traduit par une diminution de la rigidité du matériau. Dans ce cas, cette diminution affecte le milieu dans toutes les directions, autrement dit, c’est un modèle d’endommagement isotrope.

Les lois d’état s’écrivent de façon classique :

,

(1 ) : :

1 1

: : d'autre part nous avons

-2 2 e e e e e e _e T cte d D D w Y D Y d D σ ψ σ ρ ε ε ε ψ ρ ε ε = ∂ = = − = ∂ ∂ ∂ ⎞ = = − = _⎟ ∂ ∂ ⎠ (I.62)

Y est le taux de restitution de l’énergie élastique qui donne la dissipation due à

l’endommagement pour une évolution à contrainte constante. Selon l’analyse menée par Mazars [Ref. 72], cette quantité est en relation physique avec l’énergie de la fissuration. Le potentiel de dissipation dans le cas d’un découplage entre la dissipation due à la plasticité et à

(35)

Le potentiel de dissipation ϕ est une fonction des variables d’état, sa fonction duale ϕ∗_est

établie grâce à transformation Legendre-Frenchel. Nous obtenons ainsi la loi d’évolution en se basant sur le principe de maximale dissipation:

0 d Y ϕ∗ ∂ = ≥ ∂ (I.64)

ϕ∗_{est la fonction indicatrice de la surface seuil d’endommagement :}

( , ) 0 D f σ d = Avec : 0 D

f < Æ Il n’y a pas évolution de l’endommagement 0

D

f ≥ Æ Il y a évolution de l’endommagement.

On peut ainsi employer une surface exprimée en déformation :

( , ) 0 D

f ε d =

C’est la théorie la plus simple qui présente une démarche type pour établir un modèle d’endommagement.

I.4.2.2. Une théorie de l’endommagement anisotrope

L’expression du potentiel thermodynamique énergie libre est la même : ( , , )e ( , )

e T d p T Vk

ψ ψ ε= +ψ (I.65)

Cependant, la variable d’endommagement n’est plus un scalaire, mais un tenseur d’ordre 4. L’endommagement peut être différent selon la direction. Nous pouvons ainsi écrire :

1 (1 ) : : : 2 e e e d D ρψ = − ε ε (I.66)

Les lois d’état sont déduites :

1 (1 ) : : : et la contrainte effective: (1 ) : 1 ( : ) : 2 e e e e e e d D D D Y D d ψ σ ρ ε ε σ σ ε ψ ρ ε ε − ∂ = = − = = − ∂ ∂ = = − ∂ (I.67)

Le potentiel de dissipation possède deux termes liés respectivement à la plasticité et à l’endommagement, sa fonction duale s’écrit sous forme :