DM08: Révisions sur la dérivation en vue des épreuves communes Correction
A. ROC: "restitution organisée de connaissances".f
est définie et dérivable en tant que fraction rationnelle, sauf pour les valeurs dex
qui annulent son dénominateur.Donc
f
est définie sur2
3
fD
=
− −
ℝ
, et dérivable sur2
3
− −
ℝ
.Soient
a h
,
des réels tels quea
∈
D
f ,a
+ ∈
h
D
f, eth ≠
0
. Le rapportf a
(
h
)
f a
( )
h
+
−
est bien défini.
(
)
(
)(
) (
)(
)
on a multiplié chaque fraction "en haut et en bas" par le dénomil faut mettre au même dénominateur!
(
)
( )
1
1
1
1
(
)
( )
3(
)
2
3
2
1
3
2
3(
) 2
3(
)
2 3
2
3(
) 2 3
2
f a
h
f a
f a
h
f a
h
h
h
a
h
a
a
a
h
h
a
h
a
a
h
a
+
−
=
+
−
=
−
+
+
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
+
+
[
]
(
)(
)
[
]
(
)(
)
inateur de l'autrene pas développer le dénominateur, c'est long et ça ne sert à rien pour l'instant
en revanche, développer et
3
2
3(
) 2
1
3(
)
2 3
2
3
2
3
3
2
1
3(
)
2 3
2
a
a
h
h
a
h
a
a
a
h
h
a
h
a
+ −
+
+
=
+
+
+
+ −
+
+
=
+
+
+
simplifier le numérateur; attention au signe - : mettre des crochets!
1
3a
h
=
+
2
−
3a
−
3
h
−
2
(
3(
)
2 3
)(
2
)
1
a
h
a
h
+
+
+
=
−
3 h
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
on peut simplifier par h avec le 1/h qui est resté "devant"
il est encore inutile de développer le dénominateur
lorsque
0, le premier facteur du dé
3(
)
2 3
2
3
3(
) 2 3
2
3
3
3
2 3
2
h
a
h
a
a
h
a
a
h
a
→
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
+
nominateur
→
(3
a
+
2)
Donc(
)(
)
(
)(
) (
)
2 0 0(
)
( )
3
3
3
lim
lim
3
3
2 3
2
3
2 3
2
3
2
h hf a
h
f a
h
a
h
a
a
a
a
→ →+
−
−
−
−
=
=
=
+
+
+
+
+
+
Ainsi, pour tout
2
3
x
∈
− −
ℝ
, on a(
)
23
'( )
3
2
f
x
x
−
=
+
.B. Entraîne-toi à utiliser les formules Fonction D. de définition D. de dérivabilité Fonction dérivée 8
( )
f x
=
x
ℝ
ℝ
f x
'( )
=
8
x
7( )
9
f x =
ℝ
ℝ
f x =
'( )
0
1
( )
5
4
f x
x
=
+
4
5
− −
ℝ
4
5
− −
ℝ
(
)
25
'( )
5
4
f x
x
−
=
+
(
2)
( )
2
3
2
1
f x
=
x
×
x
+
x
+
ℝ
+ * +ℝ
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 21
'( )
2
3
2
1
6
2
2
1
3
2
1
2
6
2
15
6
1
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
×
+
+
+
×
+
=
×
+
+
+
×
+
−
+
=
5 2( )
6
4
3
1
f x
= −
x
+
x
−
x
+
ℝ
ℝ
f x
'( )
= −
30
x
4+
8
x
−
3
(
2)
(
)
( )
2
4 3
1
f x
=
x
+
x
+
ℝ
ℝ
(
)(
)
(
)
( )
2 2 2 2'( )
4
3
1
2
4 3
12
4
6
12 18
4
12
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
5
8
( )
3
2
x
f x
x
+
=
+
2
3
− −
ℝ
2
3
− −
ℝ
( )(
) (
)( )
(
)
(
)
(
)
2 2 25 3
2
5
8 3
'( )
3
2
15
10 15
24
14
3
2
3
2
x
x
f x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
−
−
=
−
=
+
+
−
(
3 2)(
2)
( )
5
4
6 7
3
f x
=
x
+
x
+
x
+
x
ℝ
ℝ
(
2)(
2) (
3 2)
(
)
4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 2'( )
15
8
7
3
5
4
6 14
3
105
45
56
24
70
15
56
12
84
18
175
172
36
84
18
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
C. Avec des tangentes.
1°)
f
est définie et dérivable en tant que fraction rationnelle, sauf pour les valeurs dex
qui annulent son dénominateur. Doncf
est définie et dérivable sur4
5
− −
ℝ
.L'équation est de la forme
T
a|
y
=
f a x
'( )(
−
a
)
+
f a
( )
. Or(
)
25
'( )
5
4
f a
a
−
=
+
, et( )
1
5
4
f a
a
=
+
. D'où l'équation:(
)
25
1
'( )(
)
( )
(
)
5
4
5
4
y
f a x
a
f a
y
x
a
a
a
−
=
−
+
⇔
=
−
+
+
+
. On peut la laisser "comme ça" (il n'y a pas de simplification "intéressante").(
)
25
1
|
(
)
5
4
5
4
aT
y
x
a
a
a
−
=
−
+
+
+
2°)
f
est définie et dérivable surℝ
en tant que polynôme (on pourra développer si l'on veut voir que c'en est bien un). Doncf
est définie et dérivable surℝ
.L'équation est de la forme
T
a|
y
=
f a x
'( )(
−
a
)
+
f a
( )
, avec1
2
a =
. Orf a
'( )
=
( )
1
×
(
3
a
2+
10
a
+
1
)
+
(
a
+
1
) (
×
6
a
+
10
)
=
3
a
2+
10
a
+ +
1 6
a
2+
10
a
+
6
a
+
10
=
9
a
2+
26
a
+
11
, donc 21
1
1
1
26
9
105
'
9
26
11 9
11
13 11
2
2
2
4
2
4
4
f
= ×
+
×
+
= ×
+
+
=
+
+
=
et 21
1
1
1
3
1
3
27
81
1
3
10
1
3
5 1
2
2
2
2
2
4
2
4
8
f
=
+
×
×
+
×
+
=
×
×
+ +
=
×
=
. D'où l'équation: 3105
1
81
105
105
81
105
24
'( )(
)
( )
(
)
4
2
8
4
8
8
4
8
y
f a x
a
f a
y
x
y
x
y
x
==
−
+
⇔
=
−
+
⇔
=
−
+
⇔
=
−
105
3
4
y
x
⇔
=
−
Donc 1 2105
|
3
4
T
y
=
x
−
.3°) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de cette tangente (la tangente à la courbe représentative de la fonction
(
)
(
2)
( )
1
3
10
1
f x
=
x
+
×
x
+
x
+
au point d'abscisse1
2
) avec l'axe des abscisses.Il suffit de prendre l'équation de la tangente que vous avez trouvée à la question 2°, et de remplacer
y
par0
, car l'axe des abscisses est constitué par les points qui ont un "y =
0
" ("altitude nulle"); cela vous donne une équation "enx
" , à résoudre pour trouver l'abscisse demandée.105
105
105
105
105
105
0
3
3
3
4
x
4
x
4
x
4
4
4
=
− ⇔
=
⇔
× ÷
= ÷
⇔
×
105
4
x ÷
3
4
"diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse"105
4
3 4
12
4
3
105
105
105
35
x
x
x
x
= ×
×
⇔
= ×
⇔
=
⇔
=
⇔
=
Donc l'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses est
4
35
x =
. D. Problème de synthèse.Cet exercice est extrait des épreuves communes 2014.
Question1°): En tant que "fraction rationnelle" (ou fonction inverse), g est définie et dérivable sauf pour les valeurs de x qui annulent son dénominateur, c'est-à-dire x=0.
g est donc définie et dérivable sur
ℝ
*.Question 2°): Dès que l'on vous parle de "tangentes parallèles à", pensez: "parallèles" --> "même coefficient directeur", on obtient donc une condition sur f'(a).
H admet une tangente parallèle à la droite
D y
|
= −
2
x
+
3
ena ∈ ℝ
* ssig a = −
'( )
2
. Or surℝ
*,{
}
2 2 22
'( )
2
2
2
2
1
1;1
g a
a
a
a
a
−
= − ⇔
= − ⇔ − = −
⇔
= ⇔
∈ −
Il y a donc deux solutions,
a = −
1
eta =
1
, donc H admet des tangentes parallèles à D en deux points distincts. On ag −
( 1)
= −
2
etg
(1)
=
2
, donc les coordonnées de ces deux points sont (1;2) et (-1;-2).Question 3°a):
g
est dérivable surℝ
*, donc pour touta ∈ ℝ
*, H admet une tangente au point d'abscisse a, d'équation:|
'( )(
)
( )
a
T
y
=
g a x
−
a
+
g a
. Cette équation est équivalente à:2 2
2
2
2
2
(
)
x
a
y
x
a
y
a
a
a
−
−
=
−
+
⇔
=
+
2a
2 22
2
x
2
2
2
4
y
y
x
a
a
a
a
a
a
−
−
+
⇔
=
+
+
⇔
=
+
Question 3°b): Se rappeler que pour montrer que le point M(x;y) appartient à la courbe de f, il faut vérifier que f(x)=y. De la même manière, pour prouver que M(x;y) appartient à une certaine droite, il faut que ses coordonnées x et y vérifient l'équation de la droite. Sur
ℝ
*:(
)
2(
)
2 2 22
4
4
4
4
;
4
4
8
4
4
8
aM
T
a
a
a
a
a
a
∈
⇔
= −
×
+
⇔
=
+
⇔
=
−
−
2a
24a
+
a
2 2 24
8 4
4
4
8
0
2
0
a
a
a
a
a
a
⇔
= +
⇔
−
− =
⇔
− −
=
On reconnaît une équation du second degré, avec
∆ =
b
2−
4
ac
=
9
>
0
, donc elle admet deux solutions distinctes, et par suite il existe deux tangentes à la courbe H passant par M.NB: Les deux solutions de l'équation sont 1
