Algèbres de Kac-Moody indéfinies et représentations

RABAT No _{d’ordre : 2269}

TH`

ESE DE DOCTORAT D’ETAT

Pr´esent´ee par

MALIKA AIT BEN HADDOU

Pour obtenir le grade de Docteur d’Etat Es-Sciences Math´ematiques

Discipline:

Math´

ematiques

Sp´

ecialit´

e:

Alg`

ebres de Lie

Titre:

ALGEBRES DE KAC-MOODY INDEFINIES

ET REPRESENTATIONS

Soutenue le: 08 Juillet 2005 Devant le jury:

Pr´esident:

M. EL Kadiri Professeur `a la facult´e des Sciences de Rabat Examinateurs:

A. Awane Professeur `a la facult´e des Sciences de Ben M’Sik - Casablanca. H. Bouzraa Professeur `a la facult´e des Sciences de Mekn`es .

F. Chaoui Professeur `a la facult´e des Sciences de Rabat. H. Essannouni Professeur `a la facult´e des Sciences de Rabat. E.H. Saidi Professeur `a la facult´e des Sciences de Rabat. M.B.Sedra Professeur `a la facult´e des Sciences de Kenitra. M. Souidi Professeur `a la facult´e des Sciences de Rabat.

Facult´e des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat - Maroc

A la m´

emoire de mon p`

ere

qui m’a toujours encourag´e `a faire ce travail, que Dieu l’ait en sa sainte misricorde, en compagnie de mes oncles d´ec´ed´es.

A ma m`

ere

A mes Fr`

eres et Soeurs

A mes Neveux

A mes Oncles

A mes Cousins et Cousines

A

et

Remerciements

A mon d´efun maˆıtre et directeur de th`ese Monsieur le Professeur Mostafa.ZAOUI. Aucune d´edicace ne saurait exprimer mon grand amour et ma reconnaissance. Vous m’avez guid´e le long de mon parcours au sein de la facult´e des Sciences de Rabat. Vous m’avez enseign´e la th´eorie des alg`ebres de Lie avec passion, disponibilit´e et grande comp´etence.

Vous m’avez fait le grand honneur d’encadrer mes travaux d’abord pour l’obtention du diplˆome des ´etudes sup´erieures puis pour l’obtention du Doctorat d’ Etat. Votre rigueur, votre dynamisme, votre gentillesse et votre comp´etence vous ont valu l’estime de tous et m’ont toujours inspir´e un grand respect et un grand amour. Que ce travail puisse ˆetre le t´emoignage de l’estime, de la profonde gratitude et de la haute consid´eration que j’ai pour vous.

Votre m´emoire demeurera aussi grande que vous l’´etiez; que Dieu fasse qu’on y reste tous fid`eles et vous ait en sa m´esiricorde.

A Monsieur le Professeur E.H. SAIDI.

Vous m’avez accueilli dans votre laboratoire de physique des hautes ´energies. J’ai ´et´e profond´ement touch´ee par la bienveillance et la cordialit´e de cet Accueil. Mon travail au pr`es de vous et de votre agr´eable ´equipe ´etait riche et tr`es instructif. Vous m’avez guid´e au cours de la r´ealisation de ce travail. Vos pr´ecieux conseils et votre disponibilit´e m’ont beaucoup touch´e. Je les garderai `a jamais comme souvenir pr´ecieux qui ont marqu´e ma formation acad´emique. Que ce travail soit le t´emoignage de mon admiration et de ma profonde gratitude.

A Monsieur le Professeur M. ELKADIRI.

Vous m’avez fait un grand honneur en acceptant de pr´esider le jury de cette th`ese. Vous m’avez enseign´e l’analyse durant mon parcours universitaire avec humeur et rigueur. Je vous remercie infiniment de votre aide et de vos encouragements. Votre gentillesse, votre d´evouement et votre savoir font de vous un maˆıtre digne de respect. Veuillez trouver ici l’assurance de mon admiration, de ma gratitude et de mes respectueuses consid´erations.

A Monsieur le Professeur M. SOUIDI.

Je suis tr`es honor´ee de votre pr´esence parmi les membres de mon jury de th`ese. Que ce travail soit un t´emoignage de mon admiration, de mon respect et de mon estime.

A Monsieur le Professur H. ESSANNOUNI.

Vous me faite un grand honneur en acceptant de faire partie de mon jury de th`ese. Veuillez accepter, Monsieur, ma consid´eration et ma reconnaissance.

A Madame le Professeur Assistant F.CHAOUI.

Vous me faites le privil`ege de si´eger parmi le jury de ma th`ese. Veuillez trouver, dans ce travail, l’expression de ma sinc`ere gratitude et de ma profonde admiration pour tous vos encouragements.

A Monsieur le Professeur A.AWANE. (Facult´e des Sciences, Ben M’sik-Casablanca). C’est pour moi un immense plaisir de voir un des grands professeurs de la facult´e des Sciences de Casablanca si`eger parmi le jury de ce travail. Veuillez accepter ma grande admiration et ma tr`es haute reconnaissance.

A Monsieur le Professeur H.BOUZRAA (Facult´e des Sciences, Mekn`es).

Je suis heureuse de vous avoir parmi mon jury. Je garderai un excellent souvenir de votre soutient. Veuillez trouver dans ce travail l’expression de ma sinc`ere reconnaissance.

A Monsieur le Professeur M. B.SEDRA (Facult´e des Sciences, Kenitra)

Je suis tr`es honor´ee de votre pr´esence parmi les membres de mon jury de th`ese. Que ce travail soit un t´emoignage de mon admiration, de mon respect et de mon estime.

Je remercie vivement les Professeurs Y.RAMI et N.ElADNANI de la facult´e des Sci-ences de Mekn`es pour leur aide, leur soutien et pour tout ce qu’ils ont fait pour moi.

Je tiens aussi `a remercier infiniment le Professeur N.BENAMARA de la facult´e des Sci-ences de Mekn`es; qu’il trouve ici le t´emoignage de ma profonde gratitude et mon grand estime .

Je voudrais aussi remercier tous les membres du d´epartement de Math´ematiques et In-formatique de Mekn`es, les Docteurs, A.El RHALAMI, A.GHANMI et F. El WASSOULI

Mes remerciements s’adressent aussi :

• `a tous les membres du d´epartement de Math´ematiques et Informatique de Rabat en particulier KOUBIDA, RABIA et MARIA.

• `a tous les membres du laboratoire de Physique des Haues Energies de Rabat en particulier au Docteur M.KESSABI, A. El BOUKILI et M. NACIRI.

Introduction . . . 3

1 Algèbres de Kac-Moody 7 1.1 Réalisation d'une matrice carrée complexe . . . 7

1.2 Algèbre de Lie g (A) . . . 10

1.2.1 Algèbre de Lie auxiliaire eg(A) . . . 10

1.2.2 Algèbre de Lie g(A) . . . 13

1.3 Algèbre dérivée de g(A) . . . 15

1.4 Graduation de g (A) . . . 16

1.5 Centres de g(A) et g0_{(A) . . . 18}

1.6 Algèbre associée à une sous-matrice principale . . . 18

1.7 Forme bilinéaire invariante . . . 19

1.8 Groupe de Weyl . . . 22

2 Algèbres de Lie hyperboliques 29 2.1 Classication des matrices de Cartan généralisées . . . 29

2.1.1 Matrices de Vinberg . . . 29

2.1.2 Propriétés des matrices de Cartan de types ni et ane. . . 30

2.1.3 Classication des matrices de types ane et ni . . . 31

2.2 Matrices hyperboliques . . . 35

2.3 Autre Classication . . . 42

3 Système de Racines 49 3.1 Dénitions et Propriétés . . . 49

3.2 Description de Kac des racines imaginaires . . . 55

3.3 Existence des racines imaginaires . . . 56

3.5 Système de racines d'une algèbre hyperbolique. . . 57

3.6 Description des racines imaginaires de l'algèbre hyperbolique . . . 61

4 Représentations des algèbres de Lie hyperboliques 69 4.1 Dénitions : . . . 69

4.2 Représentations irréductibles de poids maximal d'une algèbre de Kac-Moody . . . 70

4.2.1 Dénitions : . . . 70

4.2.2 Modules de poids maximal : . . . 72

4.3 Algèbres de Lie graduées et représentations . . . 74

4.4 Représentations de l'algèbre de Lie g . . . 76

4.5 Réalisation d'une algèbre de Lie ane de type X_l(1) . . . 79

4.6 Représentations d'une Algèbre de Lie hyperbolique . . . 82

5 Secteur Indéni : Des Applications 89 5.1 Algèbres KM revisitées . . . 91

5.2 Invariance hyperbolique . . . 98

5.3 Limite QFT4 des super-cordes IIB . . . 102

5.4 Classication des super CFT4 . . . 104

5.5 Singularités indénies . . . 106

6 Conclusion et perspective 113

Introduction

En 1968, les mathématiciens Kac et Moody avaient introduit séparément de nouvelles al-gèbres g(A), qui portèrent depuis leurs noms. Ces alal-gèbres constituent une généralisation natu-relle des algèbre de Lie semi-simples usuelles en dimension innie. Elles trouvent des applications fondamentales en physique théorique.

Ces algèbres de Kac-Moody (KM) ont fait apparaitre des notions nouvelles qu'on ne rencontre pas dans le cas classique,telles que les systèmes de racines innis incluant les racines réelles et les racines imaginaires dont les multiples sont aussi des racines et qui peuvent ˆetre de multipli-cité plus grande que 1 (soit une dimension de leurs espaces de racines est plus grande que 1), les groupes de Weyl innis, etc. Les algèbres KM de dimension innie ont fait l'objet de plusieurs re-cherches durant les dernières années . Cet interˆet trouve son origine dans les connexions multiples avec d'autres disciplines en mathématiques ainsi que leurs applications en physique quantique, notamment dans la construction de modèles réalistes de physique des particules élémentaires ou encore dans l'étude des théories conformes à deux dimensions (CFT2), des phénomènes critiques et des transitions de phases de la mécanique statistique. En particulier l'espace des états des théories physiques est souvent considéré comme l'espace de représentation d'une algèbre KM de dimension innie.

Strictement parlant, les algèbres KM sont associées avec la donnée des matrices A assez particu-lières ( matrices de Cartan généralisées avec des entrées qui sont entières) dénies comme suit :

A = (aij)i,j∈I2 telle que

             aij ∈ Z ∀ (i, j) ∈ I2 a_ii= 2 ∀ i ∈ I aij ≤ 0 ∀i 6= j a_ij = 0 ⇔ a_ji= 0

où I est un ensemble ni, non vide ; leur construction est basée sur la méthode de Serre utilisant la formulation de Chevalley. Outre la richesse de la structure KM et ses généralisations type Borcherds (matrices de Cartan généralisées avec des entrées réelles).

parmi les motivations qui nous ont poussées á etudier ces algèbres, le fait quélles constituent un champ plus large, prometteur et ouvert à la recherche.

Aussi les questions d'ordre du jour est de déterminer explicitement le système de racines en parti-culier leurs multiplicités.Il s'agit aussi de trouver des représentations des algèbres KM indénies. le cas des algèbres KM de type ni et ane est parfaitement connu.

Le secteur indéni est un des trois secteurs de la classication de Vinberg des algèbres de Lie, qui intéresseraient aussi bien les algèbristes que les physiciens de hautes énergies.

Pour les algèbristes, l'utilité de ces algèbres apparait au niveau de leurs représentations irréduc-tibles. La classication des représentations irréductibles, de dimensions nies des algèbres KM ordinaires est bien connue. Celles des algèbres KM anes ont été bien étudiées. Cependant pour les algèbres KM indénies auxquelles nous nous intéressons ici [14](chp.4) est l'unique travail à notre connaissance qui traite les représentations d'une sous-classe d'algèbres hyperboliques dé-nie par la condition que leurs sous diagrammes de Dynkin sont soit de type ni, soit de type ane et dont une grande partie de ce travail lui a été consacrée.

Par ailleurs, des solutions à la physicienne, notamment celles utilisant un arsenal de mathéma-tique physique comme celui de la théorie quanmathéma-tique de champs ou de géométrie algèbrique, sont trés utiles pour le développement de représentations. Elles peuvent jouer le rˆole de lanterne dans des études mathématiques approfondies, comme nous le verrons sur des cas explicites dans le développement de cette thèse. A titre d'exemple, il sut de signaler que la dualité de Seiberg en théorie de jauge supymétrique est intimement liée avec le groupe de Weyl des algèbres de Kac-Moody.

Pour les physiciens théoriciens, l'étude des représentations unitaires des algèbres KM constituent un outil fondamental pour la construction de modèles physiques quasi-réalistes du monde micro-scopique. Elles sont aussi intéressantes dans la recherche de symètriques inédites de la nature. Comme son nom l'indique, le secteur indéni des algèbres KM est un champ encore vierge ; il est donc candidat par excellence pour la recherche de nouvelles symétries physiques.

L'objet principal de ce travail est l'exploration des algèbres KM indénies et de leurs représen-tations ; en particulièr celles ayant des réalisations en physique mathématique, comme en théorie des cordes et théorie de jauge supersymétriques.

Pour A = (aij)−1≤i,j≤l une matrice hyperbolique Lorentzienne , A

0

= (aij)0≤i,j≤lla sous-matrice principale obtenue de A en éliminant la première ligne et la première colonne et g(A) (resp.g(A0)₎ l'algèbre KM associée à A (resp.à A0

) ; {α−1, ...., αl}est la base des racines de g(A), {α0, ...., αl}

la base des racines de g(A0

) on a : α−1 = −δ − ∧0 où δ est l'unique vecteur à une constante multiplicative près qui vérie A0

δ = 0 _{et ∧0 tel que {α0}, α₁, ...., α_l, ∧₀} _{une base de ~}0∗ _espace

duale de la sous-algèbre de Cartan de g(A0

); δ est alors une racine imaginaire isotrope (δ|δ) = 0) et ∧0 est une racine imaginaire isotrope (∧0|∧0 = 0).

En utilisant la caractérisation de g(A0

), sa forme bilinéaire invariante nous avons montré que pour le cas A0 6= A(2)_{2l on a :}

Une caractérisation des racines imaginaires pour les algèbres hyperboliques, Lorentziennes non simplement lacés.

Théorème

Soit A = (aij)li,j=−1 une matrice hyperbolique Lorentzienne tel que sa sous-matrice ane A0 6= A(2)_2l (l ≥ 1) _alors, K = ³ Z₊δ + Z₊(δ − ∧₀)´ [ n_Xl j=1 k_jα_j+ nδ + m(δ − ∧₀) / m 6= 0, l X j=1 kj ma0j ≤ 1, kj ∈ Z ∗ − ∀j = 1, .., l o et ∆im + = [ w∈W w(K).

Motivé par des résultats partiels sur le secteur indéni, notamment la classication des al-gèbres hyperboliques obtenu par Wanglai-Li et autres, et par des considérations physiques concer-nant la compactication des supercordes type IIB sur des variétés de Calabi-Yau à trois dimen-sions complexes (CY3) avec des géométries ADE, nous avons étudié la construction explicite des systèmes de racines ainsi que le groupe des Weyl des algèbres KM hyperboliques à la Wanglai-Li. Le théorème 5.2 expose ces résultats. Nous avons aussi exploité nos résultats théoriques pour donner des réalisations physiques en supercordes type IIB. Les propriétés des algèbres KM nous ont permis de montrer, entre autre, l'existance de trois classes de modèles de champs conformes supersymétriques (super CFT4), et de conjecturer l'existance d'une troisième (classe indénie) de singularités des variétés de Calabi-Yau à trois dimensions.

Cette thèse est organisée en cinq chapitres, une conclusion et des annexes contenant certains de nos travaux de recherches.

Dans le premier chapitre, nous donnons, entre autres, une présentation générale sur les algèbres KM ; le groupe de Weyl et la forme bilinéaire invariante.

Dans le deuxième chapitre, on étudie les classications des algèbres KM hyperboliques et leurs diagrammes de Dynkin associés. Un accent est mis sur la classication des algèbres KM de type ni et ane, et sur la classication de Wanglai-Li et celle de Kac.

En particulier nous donnons une démonstration de la classication des algèbres KM hyperbo-liques, autre que celle faite par Kac.

Le troisiéme chapitre expose les propriétés essentielles des systèmes de racines (racines réelles et racines imaginaires), et une caractérisation des racines imaginaires des algèbres hyperboliques. Les représentations des algèbres KM hyperboliques restent encore un champ ouvert, contraire-ment aux représentations des algèbres KM de type nies et de type anes.

Dans le quatriéme chapitre, nous étudions les représentations de plus haut poids des algèbres hyperboliques.

Dans le cinquiéme chapitre, nous donnons le système de racines des algèbres hyperboliques Lo-rentziennes simplement lacés. Nous montrons entre autres, l'existance de trois classes principales de théories des champs superconformes à quatre dimensions :

En suite nous conjecturons la correspondance tripartite entre les trois secteurs : algèbres KM, les trois types des super(CFT4) et les singularités des CY3.

Nous terminons cette étude par une conclusion et des annexes exibant certains de nos résultats originaux.

Algèbres de Kac-Moody

En 1968 les mathématiciens Kac dans [1] et Moody dans [2] avaient introduit indépen-damment de nouvelles algèbres g (A) qui portèrent depuis leurs noms. Ces algèbres, de dimensions innies, constituent une généralisation naturelle des algèbres de Lie semi-simples usuelles [2, 3] ; elles sont associées avec la donnée de matrices A assez particulières (matrices de Cartan gé-néralisées) et leur construction est basée sur la méthode de Serre utilisant la formulation de Chevalley.

Dans ce chapitre, nous donnons une présentation générale de la structure des algèbres de Kac-Moody (algèbres KM) [5, 6]. Nous commençons par rappeler quelques propriétés sur la réalisation minimale d'une matrice de Cartan généralisée A (avec des entrées aij ∈ Z) en termes

d'un triplet d'objets. Ensuite nous montrons comment à partir de cette réalisation, nous pouvons construire l'algèbre de Lie g (A) assoicée. Vu que les algèbres de Kac-Moody qui nous intéréssent ici ne sont en fait qu'une classe d'algèbre de Lie admettant elles aussi une extension encore plus générale (algèbres de Borcherds par exemple qui font intervenir des aij ∈ R [7, 8, 9, 10]), nous

allons faire notre étude, à chaque fois que c'est possible, pour des matrices carrées complexes

A = (aij) d'ordre n. Une fois les g (A) construites, nous passons à l'examen de quelques unes

des propriétés particulières de ces algèbres. Nous terminons cette présentation par l'étude des propriétés de la forme bilinéaire (.|.), généralisant la forme de Killing des algèbres semi-simples, et du groupe de Weyl W associé avec ces algèbres.

1.1 Réalisation d'une matrice carrée complexe

Étant donnée une matrice complexe carrée d'ordre n et de rang l, A = (aij)n_i,j=1, alors

doué d'un crochet ([, ]) antisymétrique satisfaisant l'identité de Jacobi [11, 12]. Pour établir la correspondence matrice A ←→ algèbre de Lie g (A), nous allons procéder en deux étapes. Dans la première, qui concerne la réalisation minimale entre autres, on étudie avec détails le triplet réalisant la matrice complexe A. Dans la deuxième étape, qui sera développée dans la section suivante, on complétera la construction de g (A) et on donnera des propriétés. Comme signalé, la correspondence A ←→ g (A) repose essentiellement sur le fait que la matrice A peut être réalisée en terme de triplet, (}, π, πν_{) .}

Dénition 1.1 On dira que le triplet (}, π, πν_{) est une réalisation de A s'il vérie les}

pro-priétés suivantes

i) ~ désigne un espace vectoriel complexe de dimension nie et ~∗ _{son dual.}

ii) Les ensembles π = {α1, .., αn} ⊂ }∗ et πν = {αν1, .., ανn} ⊂ } sont respectivement des

sous-familles de }∗ _{et } ; ils sont linéairement indépendants.}

iii)π et πν _{satisfont la factorisation remarquable suivante,}

hαν_i, α_ji = a_ij i, j = 1, 2, .., n,

où h , i : } × }∗_{→ C désigne hh, αi = α (h).}

Si de plus dim (}) − n = n − l, on dira alors que (~, π, πν_{) est une réalisation minimale de A.}

La réalisation minimale de A est unique à un isomorphisme près. Deux réalisations minimales (}, π, πν_{) et (}}

1, π1, πν1) sont dites isomorphes, s'il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels Φ : } → }1 tel que :

Φ(πν) = πν₁ et Φ∗(π1) = π où Φ∗ _{est l'isomorphisme Φ}∗_{: }}∗

1 → }∗ induit par Φ ; c'est à dire hh, Φ∗(β)i = hΦ (h) , βi ∀h ∈ }, β ∈ }∗₁.

Proposition 1.2 Si (}, π, πν_{) est une réalisation de A, alors dim (}) ≥ 2n − l. De plus}

il existe une réalisation minimale unique à un isomorphisme près de A. Cet isomorphisme est unique si et seulement si detA 6= 0.

Pour la démononstation, voir [5, 6]. Remarques :

i) Si (}, π, πν_{) est une réalisation de la matrice A, alors (}}∗_{, π}ν_{, π)est une réalisation de sa}

ii) Deux matrices complexes carrées A et B de même ordre sont dites équivalentes si B peut être obtenue de A après un réarangement des indices ; c'est à dire une permutation des lignes de A et la même permutation pour ses colonnes. Les réalisations minimales des matrices A et B sont isomorphes si et seulement si A et B sont équivalentes.

Proposition 1.3 Soient A1 et A2 deux matrices carrées complexes de réalisations mini-males respectives (}1, π1, πν1) et (}2, π2, πν2). Alors la somme directe de ces deux matrices,

Ã

A1 0

0 A₂

!

,

admet la réalisation minimale suivante : ³

}1⊕ }2, (π1× {0}) ∪ ({0} × π2), (πν1 × {0}) ∪ ({0} × πν2) ´ appelée somme directe des deux réalisations.

La somme dirécte de deux réalisations ainsi dénie nous permet de classier plus loin des matrices particulières et leurs algèbres de Lie associées. Ceci nous amène à dénir la notion de décomposabilité des matrices. Une matrice A, ou encore sa réalisation minimale, est dite décomposable si, après réarangement des indices de A, elle se décompose en une somme directe non triviale. Si après réarangement des indices, on peut décomposer une matrice A en une somme directe de matrices indécomposables, la réalisation minimale correspondante de A est aussi une somme directe des réalisations minimales indécomposables correspondantes.

Dans la suite, nous xons notre attention sur les réalisations minimales, auxquelles nous nous référons par réalisations tout court.

Terminologie : Par analogie avec la théorie des algèbres de Lie semi-simples de dimensions nies, on utilise là aussi une terminologie standard ; en particulier :

 π est appelée base des racines,  πν _{est la base des coracines,}

 Les éléments de π (resp. πν_{) sont appelés racines simples (resp.coracines simples).}

 Les ensembles Q, Q+ et Q− Q = n X i=1 Zαi, Q+= n X i=1 Z+αi, Q−= −Q+

dénissent respectivement le treillis (réseau) des racines , treillis des racines positives et treillis des racines négatives. Si α est une racine, α =Pn

i=1kiαi ∈ Q, le nombre htα := n X i=1 ki

est appelé hauteur de α. On peut aussi introduire un ordre partiel dans }∗_{. λ ∈ }}∗ _{est plus}

grande ou égale à µ ∈ }∗ _{(λ ≥ µ) si la di érence λ − µ ∈ Q} +.

Avec ces outils en main, nous passons maintenant à construire l'algèbre de Lie g(A) associée à la matrice A.

1.2 Algèbre de Lie g (A)

Dans cette section, nous construisons l'algèbre de Lie g (A) en utilisant la réalisation minimale de la matrice A en suivant la construction de Serre [2, 3].

Tout d'abord nous dénissons une algèbre de Lie auxiliaire par laquelle on construit l'algèbre de Lie g(A) adequate associée à A.

1.2.1 Algèbre de Lie auxiliaire eg(A)

Soit A = (aij)n_i,j=1une matrice complexe carrée d'ordre n et soit (}, π, πν)une réalisation

de A . Une algèbre de Lie auxiliaire ˜g(A) est dénie à partir des générateurs ei, fi, i = 1, ..., n,

et } satisfaisant les relations de commutations suivantes :              [h, h0_{] = 0, ∀ h, h}0 _{∈ },} [ei, fj] = δijανi, [h, ei] = hh, αii ei, ∀i = 1, .., n, [h, fi] = − hh, αii fi, ∀ h ∈ }. (1.1)

L'unicité de la réalisation de A montre que ˜g(A) dépend uniquement de A. Si nous dénotons par ˜η+ (resp ˜η− ) la sous-algèbre de ˜g(A) engendrée par {ei}1≤i≤n (resp. {fi}1≤i≤n), alors nous avons :

Théorème 1.4

a) L'application ˜w : ei → −fi, fi → −ei, h → −h (h ∈ ~) se prolonge en un automorphisme

de l'algèbre ˜g(A) qui est une involution (d'ordre 2).

b) ˜η+ (resp ˜η− ) est l'algèbre de Lie libre engendrée par {ei}1≤i≤n (resp. {fi}1≤i≤n). c) ˜g(A) = ˜η+⊕ } ⊕ ˜η−; (somme directe d'espaces vectoriels).

d) L'application µ n L i=1 Cf_i ¶ ⊕ } ⊕ µ n L i=1 Ce_i ¶

→ ˜g(A) _{est injective.}

Démonstration : La preuve de (a) s'ensuit directement des relations dénissant ˜g(A). Pour établir (b), nous allons procéder en étapes en utilisant l'homomorphisme de ˜g(A) avec l'algèbre de Lie des endomorphismes gl (T (V )) et les propriétés de l'algèbre de Lie sous-jacente

de T (V ) dénotée Tl(V ). Pour cela, considérons un espace vectoriel complexe V de dimension n,

de base {v1, ..., vn} et son algèbre tensorielle T (V ) donnée par,

T (V ) =M s≥0 Ts(V ), où T0_{(V ) = C de base {1} , T}1_{(V ) = V, T}s_{(V ) = V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V} | {z } sfois noté V⊗s_{, s ≥ 2, de base}

{v_i1 ⊗ ... ⊗ v_is, 1 ≤ i_j ≤ n}_{. Pour tout λ ∈ }}∗_{, on dénit l'action de ˜g(A) sur T (V ) par :}

                                   h.1 = hh, λi 1, h ∈ }, h.(vi1 ⊗ ... ⊗ vis) = hh, λ − (αi1 + ... + αis)i vi1⊗ ... ⊗ vis, h ∈ }, f_j.1 = v_j, fj. (vi1 ⊗ ... ⊗ vis) = vj⊗ vi1⊗ ... ⊗ vis, j = 1, ...., n, ej.1 = 0, ej.vi = δji D αν j, λ E 1, ej.(vi1 ⊗ ... ⊗ vis) = vi1 ⊗ ej. (vi2 ⊗ ... ⊗ vis) +δji1 D αν j, λ − (αi2+ ... + αis) E vi2 ⊗ ... ⊗ vis, j = 1, ...., n.

L'application ϕλ: ˜g(A) → gl(T (V ))ainsi dénie est une représentation de l'algèbre de Lie ˜g(A).

L'étape suivante est de montrer que l'application ˜η−→ g est un isomorphisme d'algèbres de Lie,

où g est la sous-algèbre de Tl(V ) engendrée par {v1, .., vn} qui n'est autre que l'algèbre de Lie

libre sur {v1, .., vn}. Pour λ ∈ }∗, l'application

ϕ : ˜η₋ → (T (V ))_l

y → ϕ (y) = ϕ_λ(y) (1) = y.1,

qui envoie chaque fi en vi (ϕ(fi) = fi.1 = vi) est donc un homomorphisme d'algèbres de Lie. Si

on pose £ fi1, .., fir−1, fir ¤ =£fi1, £ ..,£fir−1, fir ¤¤ ...¤, (1.2)

nous avons alors

ϕ ([fi1, .., fir]) = ϕλ([fi1, .., fir]) (1) = ([ϕλ(fi1), .., ϕλ(fir)]) (1),

ce qui est aussi égale à [vi1, ..., vir]. Par usage de ce qui précède, ϕ

¡£

[fi1, .., fir] ,

£

fj1, .., fjρ

¤¤¢ peut s'écrire aussi comme

ϕ_λ¡£[fi1, .., fir] , £ fj1, .., fjρ ¤¤¢ (1) =£[vi1, .., vir] , £ vj1, .., vjρ ¤¤ ,

et est égal à £ ϕ ([fi1, ., fir]) , ϕ ¡£ fj1, .., fjρ ¤¢¤ .

Par ailleurs vu que ˜η−est constituée des combinaisons linéaires des éléments de la forme [fi1, .., fir],

il s'ensuit que ϕ est un homomorphisme d'algèbres de Lie. D'autre part g est constitué des élé-ments de la forme [vi1, .., vis]qui est l'image de [fi1, ., fir]par ϕ alors ϕ(˜η−) = g. Puisque g est

l'algèbre de Lie libre sur {v1, .., vn} ,alors ˜η est nécessairement l'algèbre de Lie libre sur {f1, .., fn}. En appliquant ˜w à ˜η−, on conclut que ˜η+ est aussi l'algèbre de Lie libre sur {e1, .., en} ce qui termine la démonstration de (b).

Pour démontrer (c), il sut d'utiliser le fait que T (V ) est l'algèbre enveloppante de ˜η−[13]. Pour

plus de détails voir [6].

La preuve de (d) est évidente. Dénition 1.5

Soit M un groupe abélien, une algèbre de Lie g est dite graduée si g est somme directe de sous-espaces vectoriels,g = L

α∈M

gα telle que [gα, gβ] ⊂ gα+β; ∀α, β ∈ M.

Théorème 1.6

i) ˜g(A) est une algèbre de Lie Q-graduée plus précisément : relativement à } on a la décom-position en espaces de racines de g(A),

˜ g(A) =   M α∈Q+,α6=0 ˜ g−α   ⊕ ˜g0⊕   M α∈Q+,α6=0 ˜ gα  

où ˜gα = {x ∈ ˜g(A) / [h, x] = hh, αi x, ∀ h ∈ ~} .De plus ˜gα peut être caractérisée par : ˜g0 = }et

pour α ∈ Q+, α 6= 0, ˜ g_α = X α_i1+...+αir=α C [e_i1, ..., e_ir] , g˜_−α = X α_i1+...+αir=α C [f_i1, ..., f_ir] .

avec dim ˜gα < +∞, ˜gα ⊂ ˜η±, pour ±α ∈ Q+, α 6= 0 et [˜gα, ˜gβ] ⊂ ˜gα+β.

ii) Il existe un unique idéal r de ˜g(A) maximal parmi les idéaux gradués d'intersection nulle avec h. L'idéal r s'écrit comme la somme directe des idéaux eη+∩ret eη−∩r : r = (η+∩r)⊕(η+∩r), avec r ∩ η± des idéaux de ˜g(A).

Pour prouver ce théorème considérons l'application ad : ˜g(A) → gl (˜g (A)) ( représentation adjointe de ˜g(A) [11]) qui pour tout x ∈ ˜g(A), nous avons x → adx : ˜g(A) → ˜g(A) agissant

comme y → adx (y) = [x, y]. Soit h ∈ } et regardons l'action de adh sur ˜g(A), £

h, h0¤ = 0 ∀h0 ∈ }

[h, ei] = < h, αi > ei i = 1, ..., n.

[h, fi] = − < h, αi > fi. (1.3)

Puisque adh agit diagonalement sur ˜g(A), nous avons la décomposition ˜ g(A) = ˜g0⊕ Ã M α∈}∗ ˜ gα ! . (1.4) Pour α ∈ Q+, posons Mα = X α_i1+..+αir=α C [ei1, ..., eir] , M−α = X α_i1+..+αir=α C [fi1, ..., fir] ,

on a alors Mα⊂ ˜gα, M−α ⊂ ˜g−α et } ⊂ ˜g0. D'après le théorème 1-1,

˜ g(A) =   M α∈Q+,α6=0 M−α   ⊕ } ⊕   M α∈Q+,α6=0 Mα   .

Il s'ensuit donc que M±α = ˜g±α pour α ∈ Q+, α 6= 0 et } = ˜g0 et ˜gα = {0}pour α /∈ Q+∪ Q−.

On a alors ˜ g(A) =   M α∈Q+ ˜ g−α   ⊕ } ⊕   M α∈Q+ ˜ gα   , α 6= 0.

De plus puisque Mα = ˜gα pour ±α ∈ Q+, α 6= 0il s'ensuit que dim(˜gα) ≤ n|htα| < +∞, ˜gα ⊂ ˜η±

et ˜gα ⊂ eη± pour ±α ∈ Q+, α 6= 0, [˜gα, ˜gβ] ⊂ ˜gα+β qui est facile à vérier.

Pour la démonstration de (ii), nous renvoyons aux références [5, 6].

1.2.2 Algèbre de Lie g(A)

Ayant décrit ˜g(A), nous sommes maintenant en position de construire l'algèbre de Lie g (A). Celle-ci est donnée par,

g(A) = ˜g(A)/r. (1.5)

On dira alors que g(A) est l'algèbre de Lie associée à la matrice complexe A d'ordre n. On gardera les mêmes notations pour les images des ei, fiet } dans g(A). La sous-algèbre } de g(A)est appelée

Théorème 1.7

a) g(A) est une algèbre de Lie Q-graduée,

g (A) = M α∈Q gα où gα = ˜g/rα, rα = r ∩ ˜gα et où £ gα, gβ ¤ ⊂ gα+β, ∀α,β ∈ Q.

De plus gα = {x ∈ g(A)/ [h, x] = hh, αi x, ∀h ∈ }} est de dimension nie ;

g0 = ˜g0= }, gαi = Cei, g_−αi = Cfi (i = 1, .., n)

b) si gα6= {0}, alors α = 0, α > 0 ou α < 0. Si α > 0 (resp. α < 0), gα est l'espace vectoriel

engendré par les éléments de la forme [ei1, ..., eir](resp[fi1, ...., fir]), tels que αi1 + ... + αir = α

(resp. αi1+ ... + αir = −α). En particulier gsαi = 0 si |s| > 1.

Si gα 6= {0} et α 6= 0, α est appelé racine de g(A), gα est appelé espace de racine lié à α et

le nombre multα := dim gα : est appelé multiplicité de α.

Une racine α > 0 (resp. α < 0) est appelée positive (resp. négative). L'équation g (A) = ⊕

α∈Qgα est appelée décomposition de g(A) en espaces de racines

relative-ment à }.

c) Soit η+(resp. η− ), la sous-algèbre de g (A) engendrée par {e1, .., en} (resp {f1, .., fn}) ;

alors η₊=M α>0 g_α ' ˜η₊/r ∩ ˜η₊, η₋=M α<0 g_α' ˜η₋/r ∩ ˜η₋

et g(A) = η−⊕ } ⊕ η+ est la décomposition triangulaire de g(A).

d) Tous les idéaux de g(A) sont Q-gradués et g(A) ne contient aucun idéal non nul qui admet une intersection nulle avec }.

(e) ˜w induit un automorphisme involutif w de g(A) avec w(ei) = −fi, w (fi) = −ei, w (h) = −h _{pour tout h ∈ }. w est appelé involution de Chevalley de g(A). De plus w (gα}) = g_−α,

mult (α) = mult(−α) et w interchange η+ en η−.

f) Notons par ∆, ∆+ et ∆− la famille des racines, de toutes les racines positives et des

racines négatives respectivement. Alors ∆ = ∆+∪ ∆− (réunion disjointe) et ∆−= −∆+. g) (g(A), ~, π, πν_{) s'appelle le quadruplet associé à A, l'entier n s'appelle le rang de g(A).}

Dénition 1.8

1) Une matrice A = (aij)n_i,,j=1 complexe carrée d'ordre n est dite matrice de Cartan

géné-ralisée s'elle satisfait les conditions suivantes :

(C1) : aii= 2, i = 1, ..., n

(C2) : aij ∈ Z−, i, j ∈ {1, ..., n} ; i 6= j

(C₃) : a_ij = 0 =⇒ a_ji = 0. _(1.6)

2) Soit A une matrice de Cartan généralisée, alors l'algèbre de Lie g(A) associée à A est appelée algèbre de Kac-Moody associée à A.

Remarques :

i) La matrice de Cartan généralisée A associée aux algèbres de Kac-Moody (objet principal de cette thèse) est très particulière ; puisque ses entrées sont des entiers. Pour le cas général décrit jusqu'à présent, bien qu'il existe des algèbres de Lie associées comme c'est le cas des algèbres de Borcherds [7, 8, 9, 10], on n'y trouve que quelques propriétés caractérisant ces algèbres.

ii) Pour deux matrices carrées A et A0 _{de même ordre, il existe un isomorphisme entre les}

deux quadruplets (g(A), }, π, πν_{)et (g(A}0_{), }}0_{, π}0_{, π}0ν_{)si et seulement si A et A}0 _{sont équivalentes.}

La preuve s'ensuit facilement des deux paragraphes précédents.

iii) Le quadruplet associé à la somme directe des matrices Aiest isomorphe à la somme directe

des quadruplets associés aux Ai. Le système des racines de l'algèbre de Lie g(A) avec A = ⊕Ai

est la réunion des systèmes de racines des g(Ai)

1.3 Algèbre dérivée de g(A)

Comme pour les algèbres de Lie semi-simples usuelles, l'algèbre dérivée de g(A) est dénie par g0_{(A) = [g(A), g(A)].}

Proposition 1.9

g0(A) est la sous-algèbre de g(A) engendrée par {ei, fi}1≤i≤n. D'où

g0(A) = η₋⊕ ~0⊕ η₊, }0 =

n

X

i=1

Cαν_i.

De plus g(A) = g0(A) + } et g(A) = g0_{(A) si et seulement si det A 6= 0.}

Preuve : Soit a la sous-algèbre de Lie de g(A) engendrée par les {ei, fi}1≤i≤n et b = η₋ ⊕ } ⊕ η₊, _{il sut de montrer que b ⊂ a ⊂ g}0_{(A) ⊂ b. En eet, on a η}

[ei, fi] = ανi, ∀i = 1, ..., n, alors }0⊂ a, d'où b ⊂ a. D'autre part soit h ∈ } tel que < h, αi >6= 0,

[h, e_i] = hh, α_ii e_i ∀h ∈ }

d'où ei ∈ g0(A). De même pour fi ∈ g0(A) , Ainsi a ⊂ g0(A). Par ailleurs vu que b est un idéal

de g(A), d'où g(A)/b ' }/}0 _{est abélienne, donc g}0_{(A) ⊂ b.}

Remarque : L'algèbre g0_{(A) peut-être construite d'une manière similaire à la}

construc-tion de g(A) et parfois il est utile de considérer g0_{(A) plutôt que g(A). Ainsi, on donne une}

construction directe de ˜g0_{(A) l'algèbre de Lie engendrée par 3n générateurs e}

i, fi, ανi, 1 ≤ i ≤ n

satisfaisant les relations,              h αν i, ανj i = 0 [ei, fj] = δijανi [αν i, ej] = aijej [αν i, fj] = −aijfj , i, j = 1, .., n .

Notons par ˜η+(resp ˜η−) la sous-algèbre de ˜g0(A)engendrée par {ei}(resp. {fi}).

Pour dénir l'algèbre de Lie g0_{(A)on a besoin de dénir la notion de graduation.}

1.4 Graduation de g (A)

Etant donné une algèbre de Lie g engendrée par le système de générateurs {a1, ..., an}.On

veut dénir une graduation sur g : soit M un groupe abélien et {λ1, ..., λn} des éléments de M.

On attribue un degré à chacun des générateurs ai comme suit

deg ai= λi, i = 1..., n.

Si ceci dénit une M-graduation sur l'algèbre g alors cette graduation est unique. En fait si les

a_{i forment un système libre de générateurs de g, une telle graduation existe.En général, cette}

attribution de degré pour chaque ai donne une M-graduation de g si et seulement si l'idéal des

relations dénissant g dans l'algèbre de Lie libre engendrée para1, ..., an est gradué

Considérons maintenant l'algèbre de Lie g(A) associée à la matrice complexe A. Soit S = (s1, · · · , sn) un n-ulplet d'entièrs et posons

deg ei = − deg fi = si, (i = 1, ..., n)

deg ~ = 0, ∀ h ∈ },

on dénit ainsi une Z-graduation de g(A) appelée graduation de type S que nous écrivons comme suit,

g(A) =M j∈Z

Dans ce cas les sous-espaces gj(S)constitués d'éléments de degré j sont reliés à la décomposition

de Cartan usuelle g = L

α∈∆

gα utilisant les racines α de la façon suivante,

gj(S) =

M

α

gα, où la somme est sur les α =

X

i

kiαi ∈ Q,

où le degré j est donné par la relation

j =X

i kisi

Il est clair que si les nombres si> 0, pour tout i alors nous avons

g0(S) = ~, et dim gj(S) < ∞ pour tout j

Dans le cas spécial où l'ensemble S coincide avec 1 = (1, ..., 1), la quantité j =Pikisi coincide

avec la hauteur des racines α (htα = j) et la graduation de l'algèbre de Lie g(A) est appelée graduation principale ; ses composantes gj(1) s'écrivent comme

g_j(1) = M

htα=j gα(1)

Dans ce cas, nous avons,

g₋₁(1) = X i Ce_i, g0(1) = }, g1(1) = X i Cfi. Théorème 1.10

a) L'application ei → −fi, fi → −ei, ˜αi → −˜αi, 1 ≤ i ≤ n, peut s'étendre à un

automor-phisme involutif de l'algèbre de Lie ˜g0_{(A) ou bien se prolonge en un automorphisme qui est une}

involution noté ˜w.

b) ˜η+(resp. ˜η−) est isomorphe à l'algèbre de Lie libre sur les générateurs ei (resp. fi)

c) ˜g0_{(A) = ˜η}

−⊕ }0⊕ ˜η+ (somme directe d'espaces vectoriels) où } = n P i=1 Cαν i d) Soit Q = Pn i=1

Zαi un groupe abélien libre sur les générateurs α1, ..., αn et Q+= n

P

i=1

Z+αi.

Introduisant la Q-graduation dans ˜g0_{(A)en posant deg (e}

i) = αi, deg (fi) = −αi et deg (ανi) = 0, alors ˜ g0(A) =   M α∈Q+,α6=0 ˜ g0_+α   ⊕ ˜g0 0⊕   M α∈Q+,α6=0 ˜ g_−α0  

où ˜g0 0= }0 et pour α ∈ Q+ et α 6= 0, ˜ g_α0 = X α_i1+..+α_ir=+α C[ei1, ..., eir], ˜g0−α= X α_i1+..+α_ir=+α C[fi1, ..., fir], avec dim ˜g0 α< +∞, ˜g0α⊂˜η± pour ±α ∈ Q+et α 6= 0; et h ˜ g0 α, ˜gβ0 i ⊂ ˜g0 α+β.

e) Il exite un unique idéal maximal r' dans ˜g0_{(A)dont l'interaction avec }}0 _{est trivial. De plus} r0 _{= (r}0_{∩ ˜η}

−) ⊕ (r0∩ ˜η+) et (r0∩ ˜η±) sont des idéaux de g0(A). Donc on écrit g0(A) = ˜g0(A)/r0

et d'une façon simple on peut monter que l'algèbre de Lie g0_{(A) construite de cette manière est}

isomorphe à l'algèbre dérivée de g(A)

1.5 Centres de g(A) et g

_(A)

Proposition 1.11 [5, 6] Soit C = {h ∈ }/ hh, αii = 0, ∀ i = 1, ..., n} C = n \ i=1 ker αi,

Alors C est le centre de g(A) et de g0_{(A), noté aussi Z(g(A)) ou Z(g'(A)). De plus dim C = n−l.}

1.6 Algèbre associée à une sous-matrice principale

Soit A = (aij), une matrice complexe carrée d'ordre n et de rang l. Soit J une sous

famille de {1, .., n} et AJ = (aij), i, j ∈ J, une sous matrice principale de A. On peut alors

démontrer que l'algèbre de Lie g(AJ) associée à AJ peut être vue comme sous-algèbre de g(A).

Supposons que (}, π, πν_{) est une réalisation de A. Alors, il existe une réalisation (}}

J, πJ, πνJ) de AJ telle que }J ⊂ }, πJ ⊂ π et π_Jν ⊂ πν avec πJ ⊂ πsigniant que πJ est la restriction de π aux

éléments de hJ etc ....

Proposition 1.12

Soit A une matrice complexe carrée d'ordre n de rang l et AJ une sous - matrice principale

de A d'ordre m et de rang lJ.Supposons que les réalisations minimales (}, π, πν) et (}J, πJ, πνJ)

de A et AJ respectivement sont choisies telles que :

Alors l'algèbre de Lie g(AJ) peut être identiée d'une façon naturelle à une sous-algèbre de Lie

de g(A). Plus précisément,

g(A_J) ' }_J⊕   M β∈∆∩QJ g_β  

où QJ est le treillis des racines engendré par πJ. De plus si ∆J est le système des racines de g(A_J) _{alors ∆J} = ∆ ∩ Q_{J et la multiplicité de β comme racine de g(AJ}) _{est la même que celle} comme racine de g(A).

1.7 Forme bilinéaire invariante

La forme de Killing joue un rôle crucial dans la théorie classique des algèbres de Lie semi-simples complexes de dimensions nies. cependant on ne peut pas la dénir en dimension innie. Cependant Kac et Moody ont introduit une extension de la forme bilinéaire invariante symétrique non dégénérée sur l'algèbre complexe g(A) associée à une matrice complexe n × n symétrisable et qui joue un rôle important dans l'étude des algèbres de Lie g(A).

Par changement des générateurs de Chevalley comme suit ei7−→ ei, fi7−→ εifi (i = 1, .., n),

où les εi sont des nombres non nuls, on trouve alors ανi 7−→ ξiανi qu'on peut étendre à un

isomorphisme ~ −→ ~ (non unique si det A = 0). Ceci s'étends également à un isomorphisme :

g(A) −→ g(DA)où D = diag(ε1, .., εn).

Une matrice d'ordre n, A = (aij), est appelée symétrisable s'il existe une matrice diagonale

inversible D = diag(ε1, .., εn) et une matrice symétrique B = (bij) telle que :

A = DB. _(1.7)

Soient A une matrice symétrisable avec une décomposition (1.7) et (~, π, πν_{) une réalisation de}

A.

Fixons le sous-espace supplémentaire ~00 _{de ~}0 ₌ Pn

i=1Cανi dans ~. On dénit une forme

bilinéaire symétrique sur ~ à valeurs dans C par les égalités suivantes :

(αν_i|h) = < h, αi > εi, pour h ∈ ~, i ∈ {1, .., n}, (1.8)

(h0|h00) = 0, pour h0_{, h}00_{∈ ~}00_{. (1.9)}

Comme αν

1, .., ανn sont linéairement indépendants et d'après (1.7) et (1.8), on a :

Lemme: 1.13

a) Le noyau de la restriction de la forme bilinéaire (.|.) à ~0_{× ~}0 _{coincide avec le centre C de} g(A)

b) La forme bilinéaire (.|.) est non dégénérée sur ~. Preuve : a) se déduit du fait que :

C = {h ∈ ~/ < h, αi>= 0, ∀ i = 1, .., n}

= ©h ∈ ~0/ < h, αi>= 0, ∀ i = 1, .., n

ª

.

b) Soit h◦ ∈ ~ telle que (h◦|h) = 0 ∀h ∈ ~c'est à dire h◦ est un élément du noyau de (.|.) dans

~. En particulier pour h = αν i i ∈ {1, .., n}, on a : (h_◦|αν_i) = 0 = (αν_i|h_◦) =< h_◦|α_i> ε_i = 0, i ∈ {1, .., n} Comme εi 6= 0,alors h◦ ∈ n \ i=1 ker αi = C, d'où h◦∈ ~0. Soit h◦ = n P i=1

ciανi alors (h0|h) = 0 ∀ h ∈ ~ce qui donne n

P

i=1

(ciανi|h) = 0ou encore par l'aide

de (1.8),

n

X

i=1

c_iα_i(h)ε_i = 0, ∀ h ∈ ~,

dont la solution est donnée par ci = 0 ∀i = 1, .., n, (π est libre) et donc soit h◦ = 0. La forme

(.|.) est alors non dégénérée sur ~.

Puisque la forme bilinéaire (.|.) est non dégénérée on a un isomorphisme

ν : ~ −→ ~∗ _{dénie par :< h}

1, ν(h) >= (h|h1).En eet l'application ν : ν : ~ −→ ~∗

h 7−→ ν(h) : ~ −→ C h1 7−→ (h|h1)

est un isomorphisme d'après le théorème de la représentation de Riez. Cet isomorphisme induit une forme bilinéaire sur ~∗ _{dénie de la façon suivante : si λ, β ∈ ~}∗ _{on pose (λ|β) = (h}

λ|hβ)

avec λ = ν(hλ) et β = ν(hβ). On a ν(ανi) = εiαi et de(1 − 10) on en déduit que

(α_i|α_j) = ³ 1 εi ν(αν_i)|1 εj ν(αν_j) ´ = 1 εiεj ³ ν(αν_i)|ν(αν_j) ´ = 1 εiεj ³ αν_i|αν_j ´ = b_ij

d'où

(αi|αj) = bij = a_εij

i pour i, j ∈ {1, ..., n}. (1.11)

Théorème 1.14

Soit g(A) l'algèbre de Lie associée à la matrice symétrisable A. Fixons une décomposition de

A_{. Alors il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée à valeurs dans C ; (.|.) sur g(A)}

telle que :

a) (.|.) est invariante c.à.d ³[x, y]|z ´

= ³

x|[y, z]

´

pour tout x, y, z, ∈ g(A) b) (.|.)|~ est dénie par et elle est non dégénérée.

c) (gα|gβ) = 0 si α + β 6= 0.

d) (.|.)|gα×g−α est non dégénérée pour α 6= 0 ; donc gα et g−α ne sont pas orthogonaux par (.|.)

e) [x, y] = (x|y)ν−1_{(α) pour tout x ∈ g}

α, y ∈ g−α.

Supposons que A = (aij) est une matrice de Cartan généralisée symétrisable. Fixons une

décomposition

A = diag(ε1, ..., εn)(bij)ni,j=1 (1.12)

où les εi sont des nombres rationnels positifs et (bij) est une matrice symétrique rationnelle.

Puisqu'une telle décomposition existe, on peut alors supposer que A est indécomposable. Fixons une forme bilinéaire symétrique non dégénérée associée à la décomposition dénie précédemment. On a (αi|αj) = bij, (αi|αi) = bii= a_εii i > 0, i = 1, ..., n, (αi|αj) ≤ 0, pour i 6= j, αν_i = 2 (α_i|α_i)ν −1_(α i).

On peut donc écrire la matrice de Cartan :

aij = < ανi, αj >= αj(ανi) = αj ³ ₂ (αi|αi)ν −1_(α i) ´ = 2 (αi|αi) α_j ³ ν−1(α_i) ´ = 2 (αi|αi) < ν−1(α_i), α_j > où < ν−1(αi), αj > = < ν−1(αi), ν( αν j ε_j) >= ³ αν j ε_j|ν −1_(α i ´ = ³ ν(α ν j εj )|α_i ´ = (α_j|α_i) = (α_i|α_j)

c'est à dire A = (aij)ni,j=1= µ 2(αi|αj) (αi|αi) ¶_n i,j=1 Relations satisfaites par les générateurs de Chevalley

Soit A une matrice de Cartan généralisée n × n de rang l et (~, π, πν_{) une réalisation de A}

et de g(A) l'algèbre de Kac-Moody associée à A, d'aprés les relations de dénitions de ˜g(A) et l'injection ³_Mn i=1 Cfi ´ ⊕ h ⊕ ³_Mn i=1 Cei ´ −→ g(A) On a        [h, h0] = 0 ∀h, h0 ∈ ~ [ei, fj] = δijανi pour i, j = 1, .., n [h, e_i] =< h, α_i> e_i, [h, f_i] = − < h, α_i > f_{i pour i = 1, .., n} (1.13) Proposition 1.15 [6, 5]

Pour i 6= j, on a : (adei)1−aijej = 0 et (adfi)1−aijfj = 0 (1.14)

Dans le cas classique, c'est à dire, si A est une matrice de Cartan, on sait que les relations (1.13) et (1.14) dénissent complétement l'algèbre de Lie g(A) ; c'est le théorème de Serre [3]. O. Gabber et Kac dans [14] montrent que ceci reste vrai pour une matrice de Cartan généralisée symétrisable.

1.8 Groupe de Weyl

Soit A une matrice de Cartan généralisée d'ordre n et g(A) l'algèbre de Kac-Moody associée. Le but essentiel de ce paragraphe est de dénir le groupe de Weyl W d'une algèbre de Kac-Moody qui généralise le groupe de Weyl classique en dimension nie [3]. Pour cela, nous commençons par donner certaines remarques utiles sur la dualité des algèbres de Kac-Moody. Comme nous l'avons rencontré auparavant pour les matrices complexes, si A est une matrice de Cartan généralisée de réalisation (~, π, πν_{), sa transposée} T_{A l'est aussi et sa réalisation est}

(~∗, πν, π). De même si (g(A), ~, π, πν_{) est le quadruplet associé à A alors (g(}T_{A), ~}∗_{, π}ν_{, π) est}

le quadruplet associée à T_{A. Dans ce cas les algèbres de Kac-Moody g(A) et g(}T_{A) sont appelées}

algèbres duales. Notons que le dual du treillis des racines de g(A) est :

Qν =

n

X

i=1

qui est le treillis des racines de g(T_{A). De plus on a ∆}ν _{⊂ Q}ν _{⊂ ~}0 _{⊂ ~ où ∆}ν _{est le système des}

racines de g(T_{A). Contrairement au cas de dimension nie, il n'existe aucune bijection naturelle}

entre ∆ et ∆ν_.

Dénition 1.16 :

1) Pour i ∈ {1, ..., n}, on dénit : wi : ~∗ −→ ~∗ par :

wi(λ) = λ− < ανi, λ > αi (1.15)

pour λ ∈ ~∗_{. On a en particulier ; w}

i(αj) = αj − aijαi ∈ Q. Donc wi(Q) ⊂ Q. On a aussi wi(αi) = −αi, w2i = 1, et wi xe l'hyperplan {λ ∈ ~∗ / < ανi, λ >= 0}, de plus det(wi) = −1, wi

est appelée réexion fondamentale [11, 3, 2].

2) Le groupe W des automorphismes de ~∗ _{engendré par w}

1, .., wn, (W ⊂ Gl(~∗)), est appelé

le groupe de Weyl de g(A) et aussi de A. Parfois on note W = W (A) pour distinguer A. Remarques :

1) On remarque que la réexion fondamentale wi induit un automorphisme w_i∗ de ~ telle que < w∗

i(h), λ >=< h, wi(λ) >, ∀ h ∈ ~, ∀ λ ∈ ~∗ . Substituons (1.15) dans , on obtient : < w∗_i(h), λ >=< h, wi(λ) >=< h, λ− < ανi, λ > αi >

= < h− < h, αi> ανi, λ >,

ceci étant pour tout h ∈ ~ ; donc :

w∗_i(h) = h− < h, αi > ανi, ∀h ∈ ~. (1.16)

Comme les racines simples de g(T_{A) sont les α}ν

i, i = 1, ..., n;alors (1.16) signie que wi∗ est une

réexion fondamentale sur ~ pour chaque i ∈ {1, ..., n}.

2) Ainsi chaque réexion fondamentale wi sur ~∗ induit une réexion fondamentale w∗i sur ~.

3) Le sous groupe de GL(~) engendré par w∗

1, .., w∗nest le groupe de Weyl ; W (TA)de l'algèbre

de Kac-Moody g(T_{A)duale de g(A).}

Soit w = wi1...win ∈ W (A), alors w induit un automorphisme w∗ de ~ tel que :

< w∗(h), λ >=< h, w(λ) >; ∀h ∈ ~, ∀λ ∈ ~∗,

d'où w∗_{= w}∗ in...w

∗

i1. Par suite

Donc les groupes de Weyl W (A) et W (T_{A) sont des groupes linéaires contragrédients ; on peut}

donc les identier. On obtient :

< w(h), w(λ) >=< h, λ >, ∀ h ∈ ~, ∀ λ ∈ ~∗ _(1.17)

et wi(h) = h− < h, αi > ανi, ∀ h ∈ ~.

Théorème 1.17

a) w permute les racines, c'est à dire w(∆) = ∆, ∀w ∈ W . De plus, pour tout α ∈ ∆ et pour tout w ∈ W ; multα = multw(α).

b) Les réexions fondamentales satisfont les relations suivantes :

w_i2= 1, (w_iw_j)mij _{= 1,} pour i 6= j, (1.18)

où les entiers mij ≥ 2.

c) Pour une matrice de Cartan généralisée, les mij sont données par,

aijaji 0 1 2 3 ≥ 4

mij 2 3 4 6 ∞

d) W est le groupe de Coxeter avec les générateurs w1, .., wn et la relation (1.18) [11, 17].

e) W agit dèlement sur ∆.

Pour la démonstration de ce théorème nous renvoyons le lecteur à [5, 6, 2, 1]. On peut citer quelques propriètés importantes du groupe de Weyl par les lemmes suivants :

Lemme: 1.18 Si β ∈ ∆+\{αi} alors (β + Zαi) ∩ ∆ ⊂ ∆+ (facile à verier).

Lemme: 1.19

Si α ∈ ∆+ et wi(α) < 0 alors α = αi. Autrement dit ∆+\{αi} est invariant par wi.

Preuve : Soit α ∈ ∆+ tel que wi(α) < 0. wi(α) = α− < αν_i, α > αi ∈ ∆ d'après le théorème 1.17

Si α 6= αi, d'après le lemme 1.18, on a wi(α) ∈ ∆+ ce qui est contradictoire, d'où α = αi. En

d'autre termes : wi(∆+\{αi}) ⊂ ∆+\{αi} c'est à dire ∆+\{αi}est invariant par wi.

Lemme: 1.20

Soit w ∈ W tel que w(αi) = αj. Alors :

a) w(αν

i) = ανj,

Preuve : (b) s'obtient de (a). En eet, soit λ ∈ ~∗

wwi = w(λ− < ανi, λ > αi) = w(λ)− < ανi, λ > w(αi)

= w(λ)− < wi(ανi), w(λ) > αj = w(λ)− < ανj, w(λ) > αj

= wj(w(λ)),

d'où wwi= wjw.

Pour la démonstration on utilise des résultats qui ont servis à démontrer le théorème 2.5 Dénition 1.21

W étant engendré par les wi, un élément w de W , s'écrit wi1...wir; on dira qu'il s'agit d'une

décomposition de longueur r de w. On appellera décomposition réduite de w, celle pour laquelle le minimum des longueurs possibles est atteint.

Lemme: 1.22

Condition d'échange :

Si w ∈ W admet pour décomposition w = wi1...wit et si w(αi) < 0, alors il existe s (1 ≤ s ≤ t)

tel que :

wi1...wis...witwi = wi1...wis−1wis+1wit ou encore où bien wwi = wi1....wis−1wis+1wit.

Comme αi∈ ∆+ et w(αi) < 0, il existe is pour lequel

wis+1....wit(αi) > 0 et wis....wit(αi) < 0.

D'après le lemme 1.18 on aura

wis+1...wit(αi) = αis.

Posons alors w0 _{= w}

is+1...wit d'où w 0

(α_i) = α_{is; on déduit d'après le lemme 1.20 que w}0w_i =

wisw 0 . d'où wwi = wi1..wisw 0 wi = wi1..wis−1w 0 w2_i = wi1..wis−1w 0 = wi1..wis−1wis+1..wit

Lemme: 1.23

Soit w = wi1...wit ∈ W une décomposition réduite de w et αi une racine simple. On désigne

par l(w) la longueur d'une décomposition réduite de w et αi une racine simple, on a :

a) l(wwi) < l(w) ⇐⇒ w(αi) < 0 ⇐⇒ l(wwi) = l(w) − 1.

b) l(wwi) > l(w) ⇐⇒ w(αi) > 0 ⇐⇒ l(wwi) = l(w) + 1.

c) l(wwi) = l(w) est impossible.

d) Condition d'échange.

Si l(wwi) < l(w), il existe s tel que : 1 ≤ s ≤ t et wiswis+1..wit = wis+1..witwi

Preuve : Si w(αi) < 0d'après ce qui précède l(wwi) < l(w) (1.22) et l(wwi) = l(w) − 1

Si w(αi) > 0 alors wwi(αi) < 0 et donc l(ww_i2) < l(wwi) c'est à dire l(w) < l(wwi), ceci montre

(a) et (b). La preuve de (c) est évidente.

Pour montrer (d), supposons que l(wwi) < l(w) alors w(αi) < 0 (d'après a) ; donc il existe

1 ≤ s ≤ t tel que : wiswis+1..wit = wis+1..wirwt.

Une autre propriété du groupe de Weyl est son invariance par rapport à la forme bilinéaire invariante non dégénérée.

Proposition 1.24

Soit A une matrice de Cartan généralisée symétrisable et (.|.) la forme bilinéaire invariante standard de g(A), alors la restriction de (.|.) à ~∗ _{est invariante par W.}

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Algèbres de Lie hyperboliques

Dès leurs apparitions, les diverses études ont permis le développement des algèbres de Kac-Moody et leurs représentations. La plupart de ces études ont cependant été consacrées aux algèbres de Lie anes et peu de recherches ont été réalisées pour la classe des indénies [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Les résultats obtenus pour le secteur indéni sont pour l'essentiel des résultats partiels et concernent généralement la sous classe des algèbres de KM hyperboliques auxquelles nous nous intéressons dans cette présentation. Dans ce chapitre, nous considérons des propriétés des algèbres de KM indénies avec un accent sur son sous ensemble hyperbolique. Nous commençons d'abord par étudier la classication des algèbres de Kac-Moody ; après quoi, nous abordons l'étude de la sous classe des hyperboliques à la Wanglai-Li.

2.1 Classication des matrices de Cartan généralisées

La classication des matrices de Cartan généralisées et par suite celle des algèbres de Kac-Moody est donnée par le théorème de Vinberg [17]. Celui-ci est l'objet central de cette section.

2.1.1 Matrices de Vinberg

Soit, tout d'abord, une matrice A carrée d'ordre n à coecients réels A = (aij)n_i,j=1 vériant

les propriétés suivantes : (C₁) A _{est indécomposable,} (C2) aij ≤ 0 pour i 6= j,

(C3) aij = 0 implique aij = 0.

Remarques 2.1 1) Une matrice de Cartan généralisée satisfait les conditions (C2) et (C3) et on peut supposer qu'elle vérie (C1) sans perte de généralité.

2) Comme dans [15] ; (Ÿ4) et [18] ; (Ÿ2), on peut établir une classication des matrices de Vinberg, c'est à dire des matrices vériant (C1), (C2) et (C3) .

Introduisons comme dans Kac, la notation : pour v ∈ Rn_{, v > 0 (resp. v > 0) si et seulement si}

toutes ses coordonnées sont positives (resp. strictement positives).

Théorème 2.2 Soit A une matrice réelle d'ordre n satisfaisant (C1), (C2) et (C3). Alors A _et T_{A sont simultanément et exclusivement dans les situations suivantes :}

(Fin) : detA 6= 0 ; il existe u > 0 tel que Au > 0 ;

Av > 0 _{implique v > 0 ou v = 0.} A et T_{A sont alors dites de type ni.}

(A) : Corang A =1 ; il existe u > 0 tel que Au = 0 ;

Av > 0 _{implique Av = 0}

A et T_{A sont alors dites de type ane.}

(_{Ind) : Il existe u > 0 tel que Au < 0 ;}

Av > 0, v > 0 implique v = 0

A _et T_{A sont alors dites de type indéni.}

Il est intéressant de remarquer que les trois classes (Fin) , (A) et (Ind) sont complètement caractérisées par l'existence du vecteur u donné dans cette classication.

Corollaires 2.3 Soit A une matrice satisfaisant (C1), (C2) et (C3) alors : (a) _{A est de type ni si et seulement s'il existe u > 0 tel que Au > 0.} (b) A est de type ane si et seulement s'il existe u > 0 tel que Au = 0. (c) _{A est de type indéni si et seulement s'il existe u > 0 tel que Au < 0.} Pour la démonstration du théorème et le corollaire précédents voir [15],[18],[17]. Remarque

La classication donnée par le théorème (2.2) sert aussi a classier les matrices de Borcherds [19, 20, 21, 22] qui sont une généralisation des matrices de Cartan généralisées voir aussi [27, 28, 29]. Ceci étant, dans le paragraphe suivant on cite quelques propriétés des algèbres KM de type ni et type ane [30, 16] qui donnent la classication de ces dernières.

2.1.2 Propriétés des matrices de Cartan de types ni et ane.

1). Soit A une matrice de Cartan généralisée indécomposable de type ane ou de type ni alors A est symétrisable.