Sous-algèbres de Cartan des algèbres de Kac-Moody réelles presque déployées

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Submitted on 15 Sep 2006

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réelles presque déployées

Hechmi Ben Messaoud, Guy Rousseau

To cite this version:

Hechmi Ben Messaoud, Guy Rousseau. Sous-algèbres de Cartan des algèbres de Kac-Moody réelles

presque déployées. J. Math. Soc. Japan, 2006, 58, pp.1009-1030. �hal-00094860�

des alg` ebres de Kac-Moody r´ eelles presque d´ eploy´ ees

par

Hechmi Ben Messaoud et Guy Rousseau

Abstract. The classification of almost split real forms of symmetrizable Kac-Moody Lie algebras is a rather straightforward infinite-dimensional generalization of the classification of real semi-simple Lie algebras in terms of the Tits index [J. of Algebra 171, 43-96 (1995)].

We study here the conjugate classes of their Cartan subalgebras under the adjoint groups or the full automorphism groups. Maximally split Cartan subalgebras of an almost split real Kac-Moody Lie algebra are mutually conjugate and one can generalize the Sugiura classification (given for real semi-simple Lie algebras) by comparing any Cartan subalgebra to a standard maximally split one. As in the classical case, we prove that the number of conjugate classes of Cartan subalgebras is always finite.

Introduction. Les formes r´ eelles des alg` ebres de Kac-Moody complexes g´ en´ eralisent les alg` ebres de Lie semi-simples r´ eelles. Outre leur int´ erˆ et math´ ematique, ces formes ont des applications diverses en Physique Th´ eorique. La non-conjugaison des sous-alg` ebres de Borel des alg` ebres de Kac-Moody fait apparaˆıtre, dans le cas ind´ ecomposable, deux types de formes r´ eelles : les formes presque d´ eploy´ ees et les formes presque compactes. Ces formes ont ´ et´ e ´ etudi´ ees s´ epar´ ement et respectivement dans [Ro1], [Ro3] et [B ₃ R] pour les alg` ebres de Kac-Moody sym´ etrisables et dans [Ro2] et [BMR1] pour les alg` ebres de Kac- Moody affines (voir aussi [Ro5] pour une revue d’ensemble). On s’int´ eresse ici ` a l’´ etude des classes de conjugaison des sous-alg` ebres de Cartan (en abr´ eg´ e SAC ) pour les formes r´ eelles presque d´ eploy´ ees des alg` ebres de Kac-Moody sym´ etrisables. Le cas des formes presque compactes (des alg` ebres affines) fait l’objet d’une ´ etude ` a part [BMR2].

Au paragraphe 1, nous rappelons les r´ esultats g´ en´ eraux sur les alg` ebres de Kac-Moody complexes, leurs groupes d’automorphismes et leurs formes r´ eelles. Nous y fixons ´ egalement les notations utilis´ ees dans la suite. Si g _R est une forme r´ eelle presque d´ eploy´ ee associ´ ee

`

a une semi-involution σ ⁰ d’une alg` ebre de Kac-Moody complexe g, il existe une semi- involution de Cartan (ou compacte) ω <sup>0</sup> qui commute ` a σ ⁰ et on a la d´ ecomposition de

Classification AMS (2000) :17B67.

Mots clefs: Alg` ebre de Kac-Moody, sous-alg` ebre de Cartan, forme r´ eelle presque d´ eploy´ ee.

Cartan g _R = k ⊕ p par rapport ` a l’involution de Cartan σ = σ ⁰ ω ⁰ (qui est non triviale).

Le groupe commutatif Γ engendr´ e par σ ⁰ et ω ⁰ agit sur le groupe de Kac-Moody G associ´ e ` a l’alg` ebre d´ eriv´ ee g ⁰ , sur le groupe Aut(g) (resp. Int(g) = ˜ G) des automorphismes (resp. des automorphismes int´ erieurs) de g et sur le groupe G ^∗ =Aut ₁ (g ⁰ ) des automor- phismes de premi` ere esp` ece de g ⁰ . On consid` ere les groupes G _R = G ^σ

, Aut(g) ^σ

, ˜ G _R = ˜ G ^σ

et G ^∗ _R = (G ^∗ ) ^σ

ainsi que K = G ^Γ , ˜ K = ˜ G ^Γ et K ^∗ = (G ^∗ ) ^Γ (cf. 1.11). Le couple (G _R , K) est la g´ en´ eralisation la plus naturelle dans ce cadre de la paire sym´ etrique associ´ ee ` a une alg` ebre de Lie semi-simple r´ eelle; mais les couples ( ˜ G _R , K) et (G ˜ ^∗ _R , K ^∗ ) sont a priori (et a posteriori) aussi int´ eressants.

Au paragraphe 2, on fixe une forme presque d´ eploy´ ee g _R d’une alg` ebre de Kac-Moody g ind´ ecomposable, sym´ etrisable et de dimension infinie. Une sous-alg` ebre de Cartan (en abr´ eg´ e SAC ) h _R de g _R correspond ` a une sous-alg` ebre de Cartan σ ⁰ −stable h de g; on montre que cette SAC est conjugu´ ee par ˜ G _R ` a une SAC Γ−stable. On obtient ainsi (th´ eor` eme 2.7) une correspondance bijective entre les classes de conjugaison sous Aut(g) ^σ

, ou G ^∗

R (resp. ˜ G _R ) des sous-alg` ebres de Cartan de g <sub>R</sub> et les classes de conjugaison sous K <sup>∗</sup> (resp. ˜ K) des sous-alg` ebres de Cartan Γ−stables de g (c’est ` a dire des sous-alg` ebres de Cartan σ−stables de g _R ). Malheureusement, les moyens employ´ es ne permettent pas ` a cette ´ etape d’obtenir le r´ esultat analogue pour G <sub>R</sub> et K; cela nous conduit ` a continuer de travailler avec des sous-alg` ebres de Cartan quelconques de g <sub>R</sub> . Heureusement si h <sub>R</sub> est une SAC de g <sub>R</sub> , il existe une semi-involution de Cartan ω <sup>0</sup> de g qui commute ` a σ ⁰ et stabilise h, de plus ω ⁰ est unique modulo un automorphisme de g _R qui fixe h point par point (1.10);

la d´ ecomposition correspondante h _R = h ⁺ _R ⊕ h ⁻ _R avec h ⁺ _R = h _R ∩ k et h ⁻ _R = h _R ∩ p est donc intrins` eque (1.12); on note h ⁺ et h ⁻ les sous-espaces complexes engendr´ es par h ⁺

R et h ⁻

R . D’apr` es [B 3 R] on sait que G <sub>R</sub> agit transitivement sur les sous-alg` ebres toriques d´ e- ploy´ ees maximales (SAT DM ) de g _R et aussi sur les sous-alg` ebres de Cartan maximalement d´ eploy´ ees (SACM D) de g _R , qui sont les SAC contenant une SAT DM (i.e. telles que h ⁻

R

soit maximale). On montre que le groupe K agit transitivement sur les SACM D σ−stables de g _R (proposition 2.6). Comme dans le cas classique [Su], on va comparer toute SAC de g _R ` a l’une de ces SACM D ^d h que l’on fixe (parmi les SACM D σ−stables).

On montre que, ` a conjugaison pr` es par G _R (resp. K ), on peut supposer que toute SAC (resp. SAC σ−stable) h _R de g _R est standard relativement ` a ^d h _R i.e. v´ erifie h ⁻ _R ⊂ ^d h ⁻ _R , cf.

2.10. De plus la classe de conjugaison sous le groupe G _R (resp. K , ˜ K ou K ^∗ ) de h _R est en correspondance bijective avec la classe de conjugaison de h ⁻ sous le normalisateur de

d h dans G _R (resp. K, ˜ K ou K ^∗ ) et donc sous l’image W _G

R (resp. W _K , W K ˜ ou W _K

) de

celui-ci dans le groupe de Weyl W de (g, ^d h) (th´ eor` eme 2.12). Un sous-espace de ^d h ⁻ est dit

admissible s’il peut s’´ ecrire sous la forme h ⁻ avec une SAC standard h _R . Le centralisateur

dans g _R d’un sous-espace admissible est une alg` ebre de Lie r´ eductive r´ eelle (2.8); on peut

donc, comme dans le cas classique [Su], caract´ eriser les sous-espaces admissibles de ^d h ⁻ en termes de syst` emes de racines r´ eelles ”d´ eploy´ ees” fortement orthogonales de ∆(g, <sup>d</sup> h) (proposition 2.15). Puis on montre que les orbites de ces syst` emes de racines fortement orthogonales (` a l’´ equivalence R pr` es de 2.15) sont les mˆ emes sous W G

R ou W K (2.20) et sont en nombre fini (2.21). On obtient donc le th´ eor` eme suivant, qui r´ esume les th´ eor` emes 2.7, 2.17, 2.20 et 2.22:

Th´ eor` eme Soit g <sub>R</sub> une forme r´ eelle presque d´ eploy´ ee d’une alg` ebre de Kac-Moody g (ind´ ecomposable, sym´ etrisable et de dimension infinie). Les trois ensembles suivants sont finis et en correspondance bijective naturelle:

- les classes de conjugaison sous Aut(g) ^σ

ou G ^∗

R (resp. G ˜ _R ou G _R ) des SAC de g _R , - les classes de conjugaison sous K ^∗ (resp. K ˜ ou K ) des SAC σ-stables de g _R ,

- les classes de conjugaison sous W K

(resp. W K ˜ ou W K ) des syst` emes de racines r´ eelles d´ eploy´ ees fortement orthogonales modulo R.

Enfin, au paragraphe 3, nous appliquons ces r´ esultats aux 5 formes r´ eelles presque d´ eploy´ ees des alg` ebres affines de type A ⁽¹⁾ ₁ ou A ⁽²⁾ ₂ : il y a 1, 2 ou 3 classes de conjugaison de SAC , selon la forme et le groupe. En particulier la forme r´ eelle d´ eploy´ ee de A ⁽²⁾ ₂ a 3 classes de conjugaison de SAC (que ce soit sous le groupe Aut(g) ^σ

ou sous le groupe G _R ), cf. 3.2.1:

une classe de conjugaison de sous-alg` ebres de Cartan maximalement d´ eploy´ ees et deux classes de conjugaison de sous-alg` ebres de Cartan maximalement compactes (SACM C = SAC avec h ⁺

R maximale). Ainsi la conjugaison des SACM C dans le cas classique [W;

1.3.3.3] ou dans le cas affine presque compact [BMR1], [BMR2] ne se g´ en´ eralise pas au cas presque d´ eploy´ e.

1. Automorphismes et formes r´ eelles des alg` ebres de Kac-Moody

1.1. On consid` ere une alg` ebre de Kac-Moody complexe sym´ etrisable g que l’on suppose construite comme dans [K] et avec toutes ses composantes de dimension infinie. Pour les r´ esultats standard suivants, on renvoie ` a [K] et [PK] ou parfois ` a [KP ₁ ], [KP ₂ ], [Ro2], [Ro3] ou [B 3 R]. Il existe une matrice de Cartan g´ en´ eralis´ ee (encore appel´ ee matrice de Kac-Moody) A = (a _i,j ) _i,j∈I telle que g = g(A) soit engendr´ ee par l’alg` ebre de Cartan standard h et des ´ el´ ements e i , f i pour i ∈ I. On a la d´ ecomposition g = h ⊕ L

α∈∆

g _α , o` u ∆ d´ esigne le syst` eme de racines ∆(g, h) ⊂ h ^∗ \{0}. On note Π = {α _i , i ∈ I } la base (standard) de ∆. L’ensemble des racines positives (resp. n´ egatives) est ∆ ⁺ = ∆ ∩ L

i∈I

N α i

(resp.

∆ ⁻ = −∆ ⁺ ).

Les coracines αˇ i dans h sont telles que a i,j = α j (αˇ i ) pour tout i, j. Le groupe de

Weyl W de (g, h) est engendr´ e par l’ensemble S des r´ eflexions fondamentales r _i d´ efinies

par r i (h) = h − α i (h)αˇ i pour h ∈ h. Une racine r´ eelle est une racine conjugu´ ee par W ` a

une racine dans Π, leur ensemble est not´ e ∆ ^re . Les ´ el´ ements de ∆ ^im = ∆ \ ∆ ^re sont les racines imaginaires. Le centre de g est c = {h ∈ h; α(h) = 0, ∀α ∈ Π}, il est contenu dans h ⁰ = ⊕

i∈I C αˇ i qui est l’intersection de h avec l’alg` ebre d´ eriv´ ee g ⁰ de g.

1.2. On d´ efinit un groupe G (ne d´ ependant que de l’alg` ebre d´ eriv´ ee g ⁰ ) agissant sur g par la repr´ esentation adjointe Ad : G −→ Aut(g). Il est engendr´ e par des sous-groupes V α , pour α racine r´ eelle, chacun isomorphe au groupe additif g _α par un isomorphisme exp tel que Ad ◦ exp = exp ◦ad. On note V + (resp. V − ) le sous-groupe de G engendr´ e par les V α

pour α ∈ (∆ ^re ) ⁺ (resp. (∆ ^re ) ⁻ ).

Le groupe H associ´ e ` a la sous-alg` ebre de Cartan standard h ⁰ de g ⁰ est l’ensemble des g ∈ G qui agissent sur g _α (pour α ∈ ∆ ∪ {0}) par multiplication par un scalaire α(g) d´ ependant multiplicativement de α (en particulier H fixe h = g ₀ ). Ainsi, pour h ∈ H et X ∈ g _α , on a h exp(X)h ⁻¹ = exp(α(h)X) et donc H normalise V _α , en particulier H normalise V + et V ₋ . On note B ⁺ = HV + et B ⁻ = HV ₋ ; ce sont les sous-groupes de Borel standard positif et n´ egatif.

Soit N le normalisateur de H dans G. Le groupe N/H s’identifie au groupe de Weyl W de ∆(g, h). On a les d´ ecompositions suivantes du groupe G (cf. [PK] ou [KP1]) :

D´ ecomposition de Bruhat : G = B ⁺ W B ⁺ = V ₊ N V ₊ . D´ ecomposition de Birkhoff : G = B ⁻ W B ⁺ = V ₋ N V ₊ .

Dans les deux d´ ecompositions, la composante suivant N est unique et tout ´ el´ ement g de G s’´ ecrit de mani` ere unique g = vnu, avec u ∈ V ₊ , n ∈ N et v ∈ V _± ∩ nV ₋ n ⁻¹ .

1.3. Une sous-alg` ebre de Cartan (SAC en abr´ eg´ e) de g est une sous-alg` ebre de Lie ad g −diagonalisable (pour des valeurs propres complexes) maximale. Les SAC de g sont conjugu´ ees par G.

Si h est une SAC de g, elle contient le centre c de g et c’est la seule SAC de g contenant h ⁰ = h ∩ g ⁰ . De plus la sous-alg` ebre h ⁰ (resp. h/c, h ⁰ /c) est une SAC de g ⁰ (resp. g/c, g ⁰ /c) et toute SAC de g ⁰ (resp. g/c, g ⁰ /c) est ainsi obtenue. On obtient donc ainsi des bijections entre les ensembles de SAC de g, g ⁰ , g/c ou g ⁰ /c, cf. [BMR2; 1.15].

Une sous-alg` ebre de Borel (SAB) de g est une sous-alg` ebre de Lie compl` etement r´ esoluble maximale de g. C’est le cas des sous-alg` ebres b ⁺ = h ⊕ L

α∈∆+

g _α

[ou b ⁻ =

h⊕ L

α∈∆−

g _α

] appel´ ees respectivement sous-alg` ebre de Borel standard positive ou n´ egative.

Ces sous-alg` ebres de Borel b ⁺ et b ⁻ ne sont pas conjugu´ ees par G; leurs stabilisateurs re-

spectifs dans G sont les sous-groupes de Borel B ⁺ et B ⁻ . Les sous-alg` ebres de Borel con-

jugu´ ees par G ` a b ⁺ (resp. b ⁻ ) sont dites positives (resp. n´ egatives). Si g est ind´ ecomposable,

toute SAB est positive ou n´ egative. On a la mˆ eme correspondance que pour les sous-

alg` ebres de Cartan entre les sous-alg` ebres de Borel de g, g ⁰ , g/c ou g ⁰ /c.

Une sous-alg` ebre parabolique positive (resp. n´ egative) est une sous-alg` ebre de g con- tenant une sous-alg` ebre de Borel positive (resp. n´ egative).

Un automorphisme (lin´ eaire ou semi-lin´ eaire) de g agit de mani` ere compatible ` a Ad sur G et donc transforme deux SAB conjugu´ ees en deux SAB conjugu´ ees; il est dit de premi` ere esp` ece (resp. seconde esp` ece) s’il transforme une SAB positive en une SAB positive (resp. n´ egative). Si g est ind´ ecomposable, tout automorphisme est de premi` ere ou de seconde esp` ece.

1.4. Automorphismes de g.

Soit h la SAC standard de g. On d´ efinit dans [PK] un groupe ˜ H qui agit sur G et g et qui v´ erifie Ad( ˜ H) = exp ad(h). L’involution de Cartan ω de g est d´ efinie par ω(e i ) = −f i , ω(f i ) = −e i et ω(h) = −h pour h ∈ h; elle d´ epend donc du choix de l’´ epinglage (h, Π, (e i , f i ) _i∈I ) de 1.1. Le groupe des automorphismes int´ erieurs de g est l’image Int(g) := Ad( ˜ H n G) du produit semi-direct de ˜ H et G. Son groupe d´ eriv´ e est le groupe adjoint Ad(G) (not´ e aussi Int ⁰ (g) ou Int(g ⁰ )) ou groupe des automorphismes int´ erieurs de l’alg` ebre d´ eriv´ ee g <sup>0</sup> . Ces groupes sont intrins` equement d´ efinis par g (cf.

[Ro2]).

On consid` ere le groupe Aut(A) des permutations ρ de I telles que a <sub>ρi,ρj</sub> = a <sub>i,j</sub> pour i, j ∈ I . On en d´ eduit une action fid` ele de Aut(A) sur g ⁰ en posant ρ(e i ) = e ρi et ρ(f i ) = f ρi ; cette action commute ` a ω, et ρ(h <sup>0</sup> ) = h <sup>0</sup> , o` u h ⁰ = h ∩ g ⁰ = ⊕ C αˇ _i ; plus pr´ ecis´ ement, ρ(αˇ i ) = α ρi ˇ . D’apr` es [PK], le groupe Aut(A) n Int(g) (resp. (Aut(A) n Ω) n Int(g), o` u Ω d´ esigne le groupe commutatif engendr´ e par les involutions de Cartan des composantes de g, avec Ω = {1, ω} dans le cas ind´ ecomposable) est le groupe Aut 1 (g ⁰ ) des automorphismes de premi` ere esp` ece (resp. le groupe Aut(g ⁰ ) de tous les automorphismes) de g ⁰ (ou g/ c ou g ⁰ / c ). On peut prolonger l’action de Aut(A) de h ⁰ ` a h, et donc de g <sup>0</sup> ` a g, par le choix d’un suppl´ ementaire h ⁰⁰ de h ⁰ dans h. On peut ainsi consid´ erer Aut(A) comme un groupe d’automorphismes (dits de diagramme) de (g, h), commutant ` a ω et normalisant Aut 1 (g <sup>0</sup> ) et Ω, et consid´ erer Aut(g <sup>0</sup> ) comme un groupe d’automorphismes de g, mais ces d´ efinitions ne sont pas intrins` eques (cf. [Ro2]).

Le sous-groupe Tr = Tr(g, g ⁰ , c) des transvections de g (not´ e Aut(g, g ⁰ ) dans [KW;

4.20]) est form´ e des automorphismes de g qui induisent l’identit´ e sur g ⁰ (resp. g/ c ou g ⁰ / c );

il commute ` a Int(g) et ω, et est isomorphe au groupe additif des applications C −lin´ eaires de g/ g

dans c (cf. [Ro2]). Le groupe des automorphismes (resp. des automorphismes de premi` ere esp` ece) de g est Aut(g) = Aut(g ⁰ ) n Tr (resp. Aut 1 (g) = Aut 1 (g ⁰ ) n Tr).

1.5. Automorphismes semi-lin´ eaires.

On note Aut _R (g) le groupe des automorphismes de g qui sont soit C -lin´ eaires soit semi-

lin´ eaires (ou antilin´ eaires i.e. φ(λx) = ¯ λφ(x) pour λ ∈ C et x ∈ g). Le groupe Aut(g) est

distingu´ e dans Aut _R (g) et d’indice 2. On appelle semi-involution de g un automorphisme semi-lin´ eaire d’ordre 2. Pour toute semi-involution σ ⁰ , on a la d´ ecomposition en produit semi-direct :

Aut _R (g) = {1, σ ⁰ } n Aut(g).

Si σ ⁰ est une semi-involution de g, l’alg` ebre de Lie r´ eelle g _R = g ^σ

est une forme r´ eelle de g, au sens o` u l’application ´ evidente de g _R ⊗

R

C dans g est un isomorphisme d’alg` ebres de Lie complexes; de plus, σ <sup>0</sup> est la conjugaison de g par rapport ` a g _R . On obtient ainsi une correspondance bijective entre semi-involutions et formes r´ eelles. La forme r´ eelle normale (ou d´ eploy´ ee) standard est la sous-alg` ebre de Lie r´ eelle de g engendr´ ee par les e i , f i , αˇ i , et h <sup>00</sup> <sub>R</sub> , o` u h ⁰⁰ _R est une forme r´ eelle de h ⁰⁰ sur laquelle ∆(g, h) prend des valeurs r´ eelles. La semi-involution correspondante σ _n ⁰ est la semi-involution normale.

1.6. Structure de Aut _R (g).

La semi-involution normale σ _n ⁰ commute ` a Ω et Aut(A), elle normalise Int(g) et T r(g, g ⁰ , c) mais ne commute pas avec eux. La d´ ecomposition suivante de Aut _R (g) (resp.

Aut _R (g ⁰ )) se d´ eduit donc de celle de Aut(g) (resp. Aut(g ⁰ )) : Aut _R (g) = ({1, σ _n ⁰ } × (Ω o Aut(A))) n

Ad(G. H) ˜ n T r .

Aut _R (g ⁰ ) = ({1, σ _n ⁰ } × (Ω o Aut(A))) n Ad G. H ˜

. Les groupes Ω et Aut(A) commutent d` es que g est ind´ ecomposable.

On note Int _{T r} (g) = Ad(G. H) ˜ n T r le groupe des automorphismes “presque int´ erieurs”

et Ext _R (g) = {1, σ ⁰ _n } × (Ω o Aut(A)).

La classe de conjugaison d’un ´ el´ ement φ de Aut _R (g) d´ etermine donc un ´ el´ ement φ ₁ de {1, σ _n ⁰ }, un ´ el´ ement Φ de Aut(A), et une orbite cl(φ 2 ) dans Ω. On a φ 1 = 1 (resp. σ _n ⁰ ) si et seulement si φ est lin´ eaire (resp. semi-lin´ eaire). Lorsque g est ind´ ecomposable, on a φ 2 = 1 (resp. ω) si et seulement si φ est de premi` ere (resp. seconde) esp` ece. Dans le cas o` u g est affine et si φ est lin´ eaire de premi` ere (resp. seconde) esp` ece, φ induit l’identit´ e (resp. moins l’identit´ e) sur g/ g

et le centre c.

1.7. Forme bilin´ eaire invariante.

Le choix fait en 1.4 d’un suppl´ ementaire h ⁰⁰ de h ⁰ dans h permet de d´ efinir une forme (. , .) C -bilin´ eaire invariante non d´ eg´ en´ er´ ee sur g comme dans [K; Chap 2]. Elle est invari- ante sous l’action de Aut _R (g ⁰ ).

1.8. Semi-involutions de Cartan.

La semi-involution de Cartan standard ω ⁰ de g est le produit commutatif ω ⁰ = ωσ _n ⁰ = σ _n ⁰ ω. On appelle semi-involution de Cartan (SIC) de g tout conjugu´ e de ω ⁰ par un auto- morphisme de g ; c’est donc une semi-involution de seconde esp` ece.

Dans [Ro2], on caract´ erise comme suit les semi-involutions de Cartan: une semi- involution σ ⁰ de g est de Cartan si et seulement si il existe une sous-alg` ebre de Cartan h stable par σ ⁰ , et une forme bilin´ eaire invariante B fix´ ee par σ ⁰ (i.e. B(σ ⁰ x, σ ⁰ y) = ¯ B(x, y), x, y ∈ g) telles que la forme bilin´ eaire B σ

, d´ efinie par B σ

(X, Y ) = −B(X, σ ⁰ Y ), soit hermitienne non d´ eg´ en´ er´ ee et d´ efinie positive sur la somme ⊕g _α des espaces radiciels correspondants (pour ω ⁰ la forme B associ´ ee est celle choisie en 1.7). L’orthogonal, pour B σ

, de g ⁰ est le centre c et, si g est affine, la forme hermitienne induite sur g ⁰⁰ = g ⁰ / c est d´ efinie positive [K; 11.7].

Ces semi-involutions sont aussi appel´ ees semi-involutions compactes et les formes r´ eelles correspondantes sont appel´ ees formes r´ eelles compactes. D’apr` es ce que l’on vient de dire, toute alg` ebre de Kac-Moody sym´ etrisable a une forme compacte unique ` a conjugaison pr` es.

On sait [Ro2; 4.4] que deux sous-alg` ebres de Cartan de g stables par une SIC ω ⁰ sont conjugu´ ees par U = G ^ω

. Ainsi les couples (ω ⁰ , h) form´ es d’une sous-alg` ebre de Cartan h stable par une SIC ω ⁰ sont conjugu´ es.

1.9. Formes r´ eelles presque d´ eploy´ ees ou presque compactes.

La forme r´ eelle correspondant ` a une semi-involution de premi` ere esp` ece (SI 1) (resp.

de seconde esp` ece (SI2)) est dite presque d´ eploy´ ee (resp. presque compacte).

D’apr` es [Ro2; 3.6], toute semi-involution de g est conjugu´ ee par Tr = Tr(g, g <sup>0</sup> , c) ` a une semi-involution contenue dans Aut _R (g ⁰ ). D’apr` es [KW; 4.39], toute involution de seconde esp` ece de g est conjugu´ ee par Tr ` a une involution contenue dans Aut(g ⁰ ).

Dans la suite de cet article on supposera donc que toutes les involutions ou semi- involutions qui interviendront seront dans Aut(g ⁰ ) ou Aut _R (g ⁰ ). Si l’on ne veut pas faire cette restriction, il faudra rajouter le groupe Tr(g, g ⁰ , c) dans les th´ eor` emes de conjugaison qui vont suivre.

Proposition 1.10.

1) Toute semi-involution de g stabilise une sous-alg` ebre de Cartan de g.

2) Soit σ ⁰ une semi-involution de g (dans Aut _R (g ⁰ )). Pour toute sous-alg` ebre de Cartan σ <sup>0</sup> - stable h de g, il existe une SIC θ <sup>0</sup> (dans Aut <sub>R</sub> (g <sup>0</sup> )) stabilisant h et commutant ` a σ ⁰ . De plus θ ⁰ est unique ` a conjugaison pr` es par un ´ el´ ement de H ˜ ^σ

, c’est ` a dire par un automorphisme int´ erieur de g qui fixe h (point par point) et commute ` a σ ⁰ .

3) Deux SIC qui commutent et stabilisent une mˆ eme sous-alg` ebre de Cartan sont ´ egales.

D´ emonstration.

C’est une cons´ equence directe des r´ esultats 3.11, 3.12, 4.5 et 4.6 b de [Ro2]; on peut voir aussi [KP2].

1.11. D´ efinitions.

1) Une semi-involution de Cartan ω ⁰ de g est dite adapt´ ee ` a σ <sup>0</sup> si elle commute ` a σ ⁰ . On consid` ere une SIC ω <sup>0</sup> adapt´ ee ` a σ ⁰ et on note σ = σ ⁰ ω ⁰ = ω ⁰ σ ⁰ et Γ = hσ ⁰ , ω ⁰ i = {1, σ ⁰ , ω ⁰ , σ}.

2) La forme r´ eelle g _R = g ^σ

admet une d´ ecomposition de Cartan (associ´ ee ` a σ ou ω ⁰ ):

g _R = k ⊕ p o` u k = g ^σ _R , p = g ^−σ

R , k _C = k ⊗ C = g ^σ , p _C = p ⊗ C = g ^−σ .

Plus g´ en´ eralement les notations e _R et e pour des sous-espaces de g signifient que e _R = e ^σ

et e = e _R ⊗ C .

On note u = g ^ω

= k ⊕ ip la forme compacte associ´ ee ` a ω ⁰ .

3) On associe ` a ces sous-alg` ebres plusieurs sous-groupes des groupes de 1.2 et 1.4 : G _R = G ^σ

; U = G ^ω

; K = G ^Γ = U ∩ G _R = U ^σ = G ^σ _R .

G ˜ := Int(g); G ˜ _R = ˜ G ^σ

; K ˜ = ˜ G ^Γ G ^∗ := Aut 1 (g ⁰ ); G ^∗ _R = (G ^∗ ) ^σ

; K ^∗ = (G ^∗ ) ^Γ . On a:

Ad(K ) ⊂ K ˜ ⊂ K ^∗

∩ ∩ ∩

Ad(G _R ) ⊂ G ˜ _R ⊂ G ^∗

R

∩ ∩ ∩

Ad(G) ⊂ G ˜ ⊂ G ^∗ .

1.12. Sous-alg` ebres de Cartan.

1) Si h est une sous-alg` ebre de Cartan σ <sup>0</sup> -stable de g, on dit que la sous-alg` ebre h _R = h ^σ

de g _R est une sous-alg` ebre de Cartan de g _R .

Avec les notations de 1.11, on consid` ere maintenant une sous-alg` ebre de Cartan σ- stable h _R de g _R , c’est-` a-dire une sous-alg` ebre de Cartan Γ-stable h = h _R ⊗ C de g. On a la d´ ecomposition h _R = h ⁺

R ⊕ h ⁻

R , o` u h ⁺

R = h _R ∩ k = h ^σ _R (resp. h ⁻

R = h _R ∩ p = h ^−σ

R ) est la partie

compacte ou torique (resp.d´ eploy´ ee ou vectorielle) de h _R . On note h ⁺ = h ^σ et h ⁻ = h ^−σ .

2) Consid´ erons le syst` eme de racines ∆ = ∆(g, h) de g par rapport ` a h, il est stable par Γ. Pour α ∈ ∆, −α = ω ⁰ (α) = conj ◦ α ◦ ω ⁰ , o` u conj est la conjugaison complexe, ainsi α prend des valeurs imaginaires pures sur h ∩ u = h <sup>+</sup> <sub>R</sub> ⊕ ih <sup>−</sup> <sub>R</sub> ; c’est-` a-dire que α est r´ eelle sur h ⁻

R et imaginaire pure sur h ⁺

R ; ceci justifie les termes ”compacte” et ”d´ eploy´ ee” ci-dessus.

En particulier h ⁻ _R est une sous-alg` ebre torique d´ eploy´ ee (SAT D) de g <sub>R</sub> , c’est-` a-dire que h ⁻ _R est commutative et l’action adjointe de h ⁻

R sur g _R est diagonalisable. Le centre c _R de g _R est une SAT D.

Les racines d´ eploy´ ees (on dit ”r´ eelles” dans le cas classique) de ∆ sont celles de

∆ d = {α ∈ ∆; α(h ⁺ _R ) = 0} = {α ∈ ∆; σ ⁰ (α) = α = −σ(α)}, elles prennent des valeurs r´ eelles sur h _R .

Les racines unitaires (on dit ”imaginaires” dans le cas classique) de ∆ sont celles de

∆ u = {α ∈ ∆; α(h ⁻ _R ) = 0} = {α ∈ ∆; σ(α) = α = −σ ⁰ (α)}, elles prennent des valeurs imaginaires pures sur h _R . Ces racines nous int´ eressent peu ici.

Les racines complexes sont celles de ∆ _C = ∆ \ (∆ d ∪ ∆ u ).

Si α est une racine d´ eploy´ ee, g _α est stable par σ ⁰ et (g _α ) ^σ

est une forme r´ eelle de g _α . On note ∆ _dr l’ensemble des racines d´ eploy´ ees de ∆ ^re , i.e. ∆ _dr = ∆ ^re _d .

3) La sous-alg` ebre de Cartan h _R de g _R est dite maximalement d´ eploy´ ee (SACM D) si h ⁻

R +c _R est une sous-alg` ebre torique d´ eploy´ ee maximale (SAT DM ), c’est-` a-dire h ⁻

R un sous-espace de Cartan de g _R ; on dit aussi alors que h est une SAC maximalement d´ eploy´ ee pour σ ⁰ .

La sous-alg` ebre de Cartan h _R de g _R est dite maximalement compacte (SACM C) ou fondamentale (cf. [W; page 99]) si h ⁺

R est une sous-alg` ebre de Cartan de k, c’est-` a-dire si h ⁺ est une sous-alg` ebre ad g -diagonalisable maximale de k _C ; on dit aussi alors que h est une SAC maximalement compacte pour σ ⁰ .

4) Remarque: Si h est une SAC σ ⁰ −stable de g, il existe une SIC ω ⁰ de g qui commute ` a σ ⁰ et stabilise h; de plus ω ⁰ est unique modulo le groupe ˜ H ^σ

qui fixe point par point h (cf.

1.10). Toutes les d´ efinitions pr´ ec´ edentes sont donc possibles sans pr´ esupposer l’existence de la semi-involution ω ⁰ et ind´ ependamment du choix de celle-ci.

5) Si r est une sous-alg` ebre r´ eductive de g contenant une SAC de g, alors l’alg` ebre d´ eriv´ ee r ⁰ est semi-simple; c’est une sous-alg` ebre alg´ ebrique de g ⁰ au sens de [KW; 2.11] et on lui associe un sous-groupe alg´ ebrique connexe R de G qui conjugue les SAC de r. En particulier, si r est Γ-stable, le sous-groupe R ^Γ = R ∩ K est transitif sur les SACM C (resp. SACM D) Γ-stables de r.

6) Puisque Γ est suppos´ e dans Aut _R (g ⁰ ), la d´ ecomposition de 1.4 donne Aut(g) ^σ

= Aut(g ⁰ ) ^σ

n Tr ^σ

et Aut(g) ^Γ = Aut(g ⁰ ) ^Γ n Tr ^Γ . D’autre part Tr stabilise toutes les SAC de g. Ainsi les classes de conjugaison de SAC sont les mˆ emes sous Aut(g) ^σ

et Aut(g ⁰ ) ^σ

ou sous Aut(g) ^Γ et Aut(g ⁰ ) ^Γ .

1.13. Groupes de Cartan.

1) Le groupe H associ´ e ` a la sous-alg` ebre de Cartan h est le tore alg´ ebrique Hom _Z (P, C ^∗ ) = Q ˇ ⊗ C ^∗ o` u P est le r´ eseau des poids dual sur Z de Q ˇ = ⊕

i∈I Z αˇ i [KW; page 133]. Si on identifie le groupe ˜ H de 1.4 ` a son image Ad( ˜ H), on a Ad(H) ⊂ H ˜ = Hom <sub>Z</sub> (Q, C <sup>∗</sup> ) = Pˇ ⊗ C <sup>∗</sup> , o` u Q = ⊕

i∈I Z α i est le r´ eseau des racines [KW; page 137] et Pˇ son dual. Il y a un homomorphisme naturel de Q dans P , on note Q ⁰ son image et P ⁰ le dual de celle-ci (contenu sans cotorsion dans Pˇ). Ainsi Ad(H) = Hom _Z (Q ⁰ , C ^∗ ) = P ⁰ ⊗ C ^∗ . Le centre Z (G) de G est Ker(Ad) = Hom _Z (P /Q ⁰ , C ^∗ ) = (c ∩ Q ˇ) ⊗ C ^∗ ⊂ H, cf. [PK]. Si g est affine, Q ⁰ = Q/ Z δ, o` u δ est la plus petite racine imaginaire positive.

2) Si Y est un suppl´ ementaire de P ⁰ dans Pˇ, on a ˜ H = (Y ⊗ C ^∗ ) × Ad(H ) donc ˜ G = Ad( ˜ H n G) = (Y ⊗ C ^∗ ) n G/Z (G). Toute SIC ω ⁰ stabilisant h stabilise cette d´ ecomposition puisqu’elle induit moins l’identit´ e sur P , Q et Q ⁰ . Le tore alg´ ebrique H correspondant ` a h est stable par ω ⁰ et si on pose H _t = Hom _Z (P, S ¹ ) = H ^ω

et H _v = Hom _Z (P, R ^∗ + ), on a H = H t × H v ; on dit que H t (resp. H v ) est la partie torique ou compacte (resp. vectorielle ou d´ eploy´ ee) de H .

Notons ici, avec les notations de 1.2, la d´ ecomposition d’Iwasawa du groupe de Kac-Moody G (cf. [PK] ou [KP ₁ ]) :

G = G ^ω

H _v V _± = U H _v V _± (unique).

3) Si h est une sous-alg` ebre de Cartan Γ-stable de g (cf. 1.12.1) le groupe H _R = H ^σ

se d´ ecompose : H _R = H ⁺

R × H ⁻

R , avec une partie torique ou compacte H ⁺

R = H _R ∩ H t et une partie vectorielle ou d´ eploy´ ee H ⁻

R = H _R ∩ H _v associ´ ees respectivement ` a h ⁺

R et h ⁻

R . De mˆ eme on a, avec des notations ´ evidentes, ˜ H _R = ˜ H ^σ

= ˜ H ⁺

R × H ˜ ⁻

R .

2. Formes presque d´ eploy´ ees des alg` ebres de Kac-Moody sym´ etrisables.

Dans ce paragraphe, on suppose g ind´ ecomposable et sym´ etrisable et on fixe une forme r´ eelle g _R presque d´ eploy´ ee c’est-` a-dire une semi-involution σ <sup>0</sup> de premi` ere esp` ece . Pour les principaux r´ esultats sur ces formes, on renvoie ` a [Ro3], [Ro4] et [B 3 R; §2 et §4].

2.1. a) Si a _R est une SAT DM de g _R , il existe une SAC h _R de g _R contenant a _R . Le centralisateur z de a _R dans g est une alg` ebre r´ eductive σ <sup>0</sup> -stable contenant h. Pour un bon choix du syst` eme de racines positives de ∆(g, h), l’espace p = z + b est une sous-alg` ebre parabolique σ ⁰ -stable minimale.

b) Une SAC σ ⁰ -stable h de g est contenue dans une sous-alg` ebre parabolique σ ⁰ -stable

minimale si et seulement si elle contient une SAT DM a _R [B 3 R; remarque 2.2], c’est-` a-dire

si et seulement si c’est une SACM D. Et alors la SAT DM a _R est unique: a _R = (h ⁻ + c) ^σ

.

c) Le groupe G _R est transitif sur les couples (h, p ) form´ es d’une SAC σ ⁰ -stable h

contenue dans une sous-alg` ebre parabolique p σ ⁰ -stable minimale et de mˆ eme signe ,

[B 3 R; 4.2.2] et donc sur les triplets (a _R , h, p ) comme en a), ou sur les SACM D, cf. b).

Th´ eor` eme 2.2. [B <sub>3</sub> R; 4.4]. On consid` ere :

(1) Les semi-involutions de premi` ere esp` ece σ ⁰ de g (2) Les involutions de seconde esp` ece θ de g

(3) La relation σ ⁰ ∼ θ si et seulement si (a) ω ⁰ = σ ⁰ θ = θσ ⁰ est une SIC,

(b) σ ⁰ et θ stabilisent une mˆ eme SAC h,

(c) h est contenue dans une sous-alg` ebre parabolique positive σ ⁰ -stable minimale.

Alors cette relation induit une bijection entre les classes de conjugaison sous G ˜ = Int(g) (resp. Aut(g ⁰ )) des semi-involutions de premi` ere esp` ece et celles des involutions de seconde esp` ece.

Proposition 2.3. Il existe une SIC ω ⁰ de g qui est adapt´ ee ` a σ ⁰ . De plus ω ⁰ est unique

`

a conjugaison pr` es par un automorphisme int´ erieur de g <sup>0</sup> commutant ` a σ ⁰ (i.e. par un φ ∈ G ˜ _R = ˜ G ^σ

). Pour toute SIC ω ⁰ adapt´ ee ` a σ ⁰ , on a σ ⁰ ∼ σ ⁰ ω ⁰ au sens de 2.2 .

N.B. : On a alors un groupe commutatif Γ = {1, ω ⁰ , σ ⁰ , σ = σ ⁰ ω ⁰ } et on dit que σ est l’involution de Cartan de g _R , c’est une involution de seconde esp` ece. Dans la suite on fixe ainsi ω ⁰ et Γ.

D´ emonstration.

Soit h une SAC σ ⁰ −stable contenue dans une sous-alg` ebre parabolique positive p σ <sup>0</sup> −stable minimale, cf. 2.1. Soit ω <sup>0</sup> une SIC qui stabilise h et commute ` a σ ⁰ , cf 1.10.

Il suffit de montrer que toute SIC θ ⁰ adapt´ ee ` a σ <sup>0</sup> est conjugu´ ee ` a ω ⁰ par ˜ G _R . La sous- alg` ebre q = p ∩ θ <sup>0</sup> (p) est de dimension finie et stable par σ <sup>0</sup> et θ <sup>0</sup> . D’apr` es [BM; 7.6], l’automorphisme involutif θ := σ ⁰ θ ⁰ = θ ⁰ σ ⁰ stabilise une SAC t _R de q _R := q ^σ

(qui est aussi une SAC de g _R ). D’apr` es 2.1.c, on peut supposer t _R = h _R en conjuguant par N _G

R (p).

Ainsi, les deux SIC θ ⁰ et ω ⁰ sont adapt´ ees ` a σ <sup>0</sup> et stabilisent la mˆ eme SAC h, elles sont donc conjugu´ ees par un automorphisme int´ erieur commutant ` a σ ⁰ et fixant h (cf. 1.10);

d’o` u le r´ esultat.

Corollaire 2.4. Si h est une SAC σ ⁰ -stable de g (i.e. h _R est une SAC de g _R ) il existe φ ∈ G ˜ _R tel que φ(h) soit stable par Γ.

D´ emonstration.

C’est une cons´ equence de 1.10 et 2.3.

Proposition 2.5. Soient h et h ₁ deux SAC Γ-stables de g; alors h et h ₁ sont conjugu´ ees par Aut(g) ^σ

, Aut(g ⁰ ) ^σ

ou G ^∗

R (resp. G ˜ _R ) si et seulement si elles le sont par K ^∗ (resp. K). ˜ D´ emonstration.

Les conditions suffisantes ´ etant claires, on montre les conditions n´ ecessaires. Soit

u ∈ Aut(g) ^σ

tel que u(h ₁ ) = h, d’apr` es 1.12.6 on peut supposer u dans Aut(g ⁰ ) ^σ

ou G ^∗ _R

(resp. G ˜ _R ); on pose ω ₁ ⁰ = uω ⁰ u ⁻¹ . Alors ω ⁰ et ω ₁ ⁰ sont deux SIC qui stabilisent h et commutent ` a σ <sup>0</sup> . D’apr` es 1.10, il existe h ∈ H ˜ _R tel que ω ⁰ = hω ₁ ⁰ h ⁻¹ = (hu)ω ⁰ (hu) ⁻¹ . Ainsi, l’automorphisme hu est dans le mˆ eme groupe que u, il commute ` a ω ⁰ et envoie h ₁ sur h . Si u ∈ Aut(g ⁰ ) ^σ

, alors hu ∈ Aut(g ⁰ ) ^Γ et, quitte ` a multiplier hu par σ, on peut supposer hu ∈ K ^∗ .

Proposition 2.6. Le groupe K = U ^σ = G ^Γ est transitif sur les SACM D Γ-stables de g. En particulier, les SAT DM σ−stables de g _R sont conjugu´ ees par K .

D´ emonstration.

Si h est une SACM D Γ−stable de g et p une sous-alg` ebre parabolique positive σ <sup>0</sup> −stable minimale contenant h, alors pour toute sous-alg` ebre de Borel b contenue dans p et contenant h, la paire (h, b) est σ−d´ eploy´ ee au sens de [KW, 5.15]. Le groupe G ^σ est transitif sur les paires σ−d´ eploy´ ees [KW, 5.32]; il en r´ esulte que deux SACM D Γ−stables sont conjugu´ ees par G ^σ . Soit g ∈ G ^σ tel que h et g(h) soient deux SACM D Γ−stables;

on ´ ecrit g = uhv selon la d´ ecomposition d’Iwasawa du groupe G (cf. 1.13.2). Le fait que h et g(h) soient stables par ω ⁰ entraine n := g ⁻¹ ω ⁰ (g) ∈ N le normalisateur de h dans G. Par ailleurs, on a n = g ⁻¹ ω ⁰ (g) = v ⁻¹ h ⁻² ω ⁰ (v) et d’apr` es l’unicit´ e de n dans la d´ ecomposition de Birkhoff du groupe G (cf. 1.2) on a n = h ⁻² , v = 1 et donc g = uh = σ(u)σ(h) = σ(g). Comme σ stabilise U = G ^ω

et H _v = Hom _Z (P, R ^∗ + ), on a d’apr` es l’unicit´ e de la d´ ecomposition d’Iwasawa u = σ(u) ∈ K et g(h) = u(h).

Toute SAT DM σ−stable a _R de g _R est contenue dans une SACM D Γ−stable de g (unique

`

a conjugaison pr` es par Z <sub>K</sub> (a <sub>R</sub> )). D’apr` es ce que l’on vient de voir, en conjuguant par K , on peut supposer que deux SAT DM σ−stables de g _R sont contenues dans une mˆ eme SACM D σ−stable et donc sont ´ egales, cf. 2.1; d’o` u le cas particulier.

Th´ eor` eme 2.7. Les classes de conjugaison sous Aut(g) ^σ

, Aut(g ⁰ ) ^σ

ou G ^∗ _R (resp. G ˜ _R ) des sous-alg` ebres de Cartan σ <sup>0</sup> -stables de g correspondent bijectivement aux classes de conjugaison sous K <sup>∗</sup> (resp. K) des sous-alg` ˜ ebres de Cartan Γ-stables de g.

D´ emonstration.

Cela r´ esulte de 2.4 et 2.5.

Remarque. On verra plus loin (cf. 2.10 et 2.20) qu’on peut remplacer ˜ G _R et ˜ K par G _R et K dans 2.4, 2.5 et 2.7.

Lemme 2.8. Soit h une SAC σ ⁰ −stable de g; alors le centralisateur z = zg (h ⁻ ) de h ⁻ dans g est une sous-alg` ebre r´ eductive de g.

D´ emonstration.

D’apr` es 1.12.4 on peut supposer h Γ−stable. Soient Π une base de racines de ∆ =

∆(g, h) et α ∈ ∆ ⁺ ; alors hα, h ⁻ i = 0 si et seulement si σ(α) = α, en particulier α ∈ ∆ ⁺ ∩ σ(∆ ⁺ ). Mais σ est de seconde esp` ece, donc ∆ ⁺ ∩ σ(∆ ⁺ ) est fini. Ainsi z = h ⊕

⊕

σα=α g _α

est de dimension finie.

Proposition 2.9. Soit h une SAC σ ⁰ -stable de g.

i) On suppose qu’il existe une SAC ¹ h σ ⁰ -stable de g telle que h ⁻ ⊂ ¹ h ⁻ (cf. 1.12.4); alors il existe g ∈ Z G

R (h ⁻ ) tel que ¹ h ⁺ ⊂ gh ⁺ . En particulier, si h ⁻ = ¹ h ⁻ , on a ¹ h ⁺ = gh ⁺ . Si ¹ h est Γ-stable, on peut supposer de plus gh Γ−stable.

Si h et ¹ h sont Γ-stables, on peut supposer de plus g ∈ K (donc gh Γ−stable).

ii) Il existe une SAC ^d h σ ⁰ -stable (resp. Γ-stable si h est Γ-stable) et maximalement d´ eploy´ ee pour σ ⁰ telle que h ⁻ ⊂ ^d h ⁻ ; de plus ^d h est unique ` a conjugaison pr` es par Z _G

R (h ⁻ ) (resp. Z K (h ⁻ ) ).

D´ emonstration.

i) Le centralisateur z = zg (h ⁻ ) de h ⁻ dans g est une alg` ebre r´ eductive, cf. 2.8. Le centre z <sub>0</sub> de z est σ <sup>0</sup> -stable et contenu dans h et <sup>1</sup> h. Si z est commutative, alors z = h = <sup>1</sup> h et donc g <sub>R</sub> est d´ eploy´ ee ou quasi-d´ eploy´ ee; sinon, l’alg` ebre d´ eriv´ ee z ⁰ de z est semi-simple et stable par σ ⁰ . Soit Z ⁰ le sous-groupe alg´ ebrique connexe de G associ´ e ` a z ⁰ (cf. 1.12.5).

La forme r´ eelle z ⁰ _R := (z ⁰ ) ^σ

est int´ erieure car h ⁺ _R ∩ z ⁰ _R en est une SAC compacte (pour toute SIC θ ⁰ de g adapt´ ee ` a σ ⁰ et stabilisant h). En conjuguant par un ´ el´ ement g de (Z ⁰ ) ^σ

⊂ Z G

R (h ⁻ ), on peut supposer ¹ h ⁺ _R ∩ z ⁰ _R ⊂ gh ⁺ _R ∩ z ⁰ _R (cf. 1.12.5). Comme h et ¹ h contiennent toutes les deux le centre de z, on a ¹ h ⁺

R ⊂ gh ⁺

R et donc ¹ h ⁺ ⊂ gh ⁺ . Si h et ¹ h sont Γ-stables, ¹ h ⁺

R ∩ z ⁰

R est C −diagonalisable dans k, on peut donc supposer g ∈ K .

Si ¹ h est Γ-stable, alors ω ⁰ vaut moins l’identit´ e sur ¹ h ⁻

R , donc stabilise h ⁻

R , h ⁻ , z et z’. En conjuguant par (Z ⁰ ) ^σ

⊂ Z G

R (h ⁻ ), on peut supposer h _R (et donc h) Γ−stable et on conclut avec l’alin´ ea pr´ ec´ edent.

ii) Soit ^d h une SAC de z qui est σ ⁰ -stable (resp. Γ-stable si h est Γ-stable) et maxi- malement d´ eploy´ ee pour σ ⁰ , alors ^d h est ´ egalement une SAC de g (qui est σ ⁰ -stable (resp.

Γ-stable) et maximalement d´ eploy´ ee pour σ ⁰ ) qui contient h ⁻ . Deux choix possibles de ^d h sont contenus dans z et sont donc conjugu´ es par (Z ⁰ ) ^σ

⊂ Z _G

R (h ⁻ ) (resp. (Z ⁰ ) ^Γ ⊂ Z _K (h ⁻ )).

2.10. D´ efinitions. Dans la suite, en plus de la SIC ω ⁰ , on se fixe une SACM D ^d h de g qui est Γ-stable; il n’y a qu’un seul choix modulo K , d’apr` es 2.6. On note ∆ = ∆(g, ^d h).

Une SAC σ ⁰ -stable h telle que h ⁻ ⊂ ^d h ⁻ est dite standard. Elle est dite sp´ eciale si de plus elle est Γ−stable et v´ erifie ^d h ⁺ ⊂ h ⁺ .

D’apr` es la proposition 2.9 et 2.1c (resp. et 2.6), toute SAC σ ⁰ -stable (resp. Γ-stable) est

conjugu´ ee par G _R (resp. K ) ` a une SAC sp´ eciale (donc standard et Γ−stable). On obtient ainsi un r´ esultat plus pr´ ecis que celui du corollaire 2.4.

Un sous-espace a ⁻ de ^d h ⁻ est dit admissible s’il existe une SAC standard h telle que h ⁻ = a ⁻ . D’apr` es 2.9.i, tout sous-espace admissible de ^d h ⁻ est la partie d´ eploy´ ee d’une SAC sp´ eciale.

Pour X = K , ˜ K, K ^∗ ou G _R , on note N X = N X ( ^d h) le normalisateur de ^d h dans X et W X

son quotient par le centralisateur de ^d h dans X .

Lemme 2.11. Soient X = G _R (resp. X = K, K ˜ ou K ^∗ ) et ¹ h, ² h deux SAC standard (resp. et Γ−stables). Alors ¹ h et ² h sont conjugu´ ees par X si et seulement si ¹ h ⁻ et ² h ⁻ sont conjugu´ ees par W _X .

D´ emonstration.

Soit g ∈ X tel que ² h = g. ¹ h, donc ² h ⁻ = g. ¹ h ⁻ . Alors ^d h et g. ^d h sont deux SACM D σ ⁰ -stables (resp. Γ-stables) de g contenant ² h ⁻ . D’apr` es 2.9.ii, il existe g ⁰ ∈ G _R (resp.

g ⁰ ∈ K ), g ⁰ fixant ² h ⁻ , tel que g ⁰ (g. ^d h) = ^d h. Ainsi g ⁰ g ∈ N _X et ² h ⁻ = g ⁰ g. ¹ h ⁻ .

Pour la r´ eciproque, on peut supposer, quitte ` a conjuguer, que <sup>2</sup> h <sup>−</sup> = <sup>1</sup> h <sup>−</sup> . D’apr` es 2.9.i, il existe g ∈ G _R (resp. g ∈ K ), g fixant ¹ h ⁻ , tel que g. ¹ h = ² h; d’o` u le r´ esultat.

Th´ eor` eme 2.12. Soit X = G _R (resp. X = K, K ˜ ou K ^∗ ). Les classes de conjugaison des SAC σ ⁰ −stables (resp. Γ−stables) de g sous X correspondent bijectivement aux classes de conjugaison des sous-espaces admissibles de ^d h ⁻ sous W X .

D´ emonstration.

Cela r´ esulte de 2.10 et 2.11.

Lemme 2.13. Soit h une SAC sp´ eciale diff´ erente de ^d h. Soit r := zg (h ⁻ ⊕ ^d h ⁺ ) et r ⁰ l’alg` ebre d´ eriv´ ee de r. Alors r est une sous-alg` ebre r´ eductive Γ-stable de g et h ⁻ ⊕ ^d h ⁺ en est le centre. De plus, la forme r´ eelle r ⁰ _R := (r ⁰ ) ^σ

est une alg` ebre de Lie semi-simple d´ eploy´ ee int´ erieure (i.e. r ⁰

R a mˆ eme rang que sa sous-alg` ebre compacte maximale (r ⁰ ) ^Γ ) . D´ emonstration.

Il est clair que r est r´ eductive (cf. 2.8) et que le centre c de r contient h ⁻ ⊕ ^d h ⁺ ; mais h et ^d h sont deux SAC Γ-stables de r, donc c ⊂ h ∩ ^d h = h ⁻ ⊕ ^d h ⁺ et on a ´ egalit´ e.

Comme h 6= ^d h, on a r ⁰

R 6= {0}; de plus ^d h = ^d h ⁻ + c et c ∩ ^d h ⁻ = h ⁻ , donc r ⁰

R est une

alg` ebre de Lie semi-simple d´ eploy´ ee de rang dim _C ( ^d h ⁻ ) − dim _C (h ⁻ ). Il est clair que (r ⁰ ) ^Γ

est de rang au moins dim _C (h ⁺ ) − dim _C ( ^d h ⁺ ) qui est ´ egal ` a dim _C ( ^d h ⁻ ) − dim _C (h ⁻ ); il y a

donc ´ egalit´ e et r ⁰ _R est int´ erieure.

Lemme 2.14. Soit h une SAC sp´ eciale telle que h 6= ^d h. Soit r := zg (h ⁻ ⊕ ^d h ⁺ ) et soit s le rang commun de l’alg` ebre d´ eriv´ ee r <sup>0</sup> et de (r <sup>0</sup> ) <sup>σ</sup> , cf. 2.13. Alors il existe dans ∆( <sup>d</sup> h, r <sup>0</sup> ) (⊂ ∆ <sup>re</sup> ( <sup>d</sup> h, g)) un syst` eme φ de racines d´ eploy´ ees fortement orthogonales de rang s tel que

h ⁻ =

⊕

α∈φ C α ˇ ⊥

∩ ^d h ⁻ = ∩

α∈φ Ker(α) ∩ ^d h ⁻

o` u

⊕

α∈φ C α ˇ ⊥

d´ esigne l’orthogonal, dans ^d h, de ⊕

α∈φ C α ˇ par rapport ` a la forme bilin´ eaire invariante de 1.7. En particulier (h ⁻ ) ^⊥ ∩ ^d h ⁻ est un sous-espace de racines de ^d h ⁻ au sens de [Su; Def. 7 p. 390].

N.B. Deux racines α et β sont fortement orthogonales si ni α + β ni α − β ne sont des racines.

D´ emonstration.

D’apr` es 2.13, l’alg` ebre de Lie semi-simple r´ eelle d´ eploy´ ee r ⁰

R est int´ erieure. Pour toute SAC t de r ⁰ , il existe, d’apr` es [Su; Prop. 11 p. 393], un syst` eme de racines fortement orthogonales de ∆(t, r ⁰ ) de rang s. La sous-alg` ebre a = ^d h ∩ r ⁰ est une SACM D Γ-stable de r ⁰ et a _R = a ⁻

R est une sous-alg` ebre de Cartan d´ eploy´ ee de r <sup>0</sup> <sub>R</sub> . En particulier ∆(a, r <sup>0</sup> ) est form´ e de racines r´ eelles d´ eploy´ ees de ∆ = ∆(g, <sup>d</sup> h). Soit φ un syst` eme de racines fortement orthogonales de ∆(a, r ⁰ ) de rang s. Ainsi, on a a = ⊕

α∈φ C α ˇ et le centre c de r est c = ∩

α∈φ Ker(α) qui est aussi, d’apr` es 2.13, (h <sup>−</sup> ⊕ <sup>d</sup> h <sup>+</sup> ); d’o` u h ^−σ = h ⁻ = ∩ α∈φ Ker(α)∩ ^d h ⁻ .

Proposition 2.15. Soit a ⁻ un sous-espace de ^d h ⁻ . Alors a ⁻ est admissible si et seulement si il existe dans ∆ _dr un syst` eme φ de racines (r´ eelles d´ eploy´ ees) fortement orthogonales tel que

a ⁻ =

⊕

α∈φ C α ˇ ⊥

∩ ^d h ⁻ = ∩

α∈φ Ker(α) ∩ ^d h ⁻ .

N.B. Si φ est un syst` eme de racines r´ eelles fortement orthogonales, alors t := ⊕

α∈φ C (e α + ω(e _α )) est une sous-alg` ebre torique de g ⁰ qui ne rencontre pas c. En particulier |φ| ≤ rg(g ⁰ /c).

D´ emonstration.

La condition est n´ ecessaire : tout sous-espace admissible de ^d h ⁻ est la partie d´ eploy´ ee d’une SAC sp´ eciale (cf. 2.10) puis on se ram` ene ` a 2.14.

Montrons que la condition est suffisante. Pour α ∈ φ, soit x α ∈ g _{R ,α} \{0} := (g _α ) ^σ

\{0}

(cf. 1.12.2) et soit t _α = x _α + σ(x _α ). Alors t _α ∈ k est ad g -diagonalisable ` a valeurs propres

imaginaires pures et ^d h ⁺ ⊂ Ker(α). Ainsi h = a ⁻ ⊕ [ ^d h ⁺ ⊕ (⊕ α∈φ C t α )] est une sous-alg` ebre

commutative ad g -diagonalisable et Γ-stable de g de mˆ eme dimension que ^d h; c’est donc une SAC Γ-stable de g et on a h ⁻ = a ⁻ ⊂ ^d h ⁻ . Donc h est standard et a ⁻ est admissible.

Remarque. Soit R la relation d’´ equivalence sur l’ensemble des syst` emes de racines r´ eelles d´ eploy´ ees de ∆ dr , d´ efinie par :

φRψ si et seulement si ⊕

α∈φ C α = ⊕

β∈ψ C β.

D’apr` es 2.15, deux syst` emes de racines fortement orthogonales φ et ψ de ∆ _d correspondent au mˆ eme sous-espace admissible de ^d h ⁻ si et seulement si ils sont R-´ equivalents; d’o` u le r´ esultat suivant :

Proposition 2.16. Soit X = K , K, ˜ K ^∗ ou G _R . Les classes de conjugaison des sous- espaces admissibles de ^d h ⁻ sous W _X correspondent bijectivement ` a celles des syst` emes de racines fortement orthogonales de ∆ dr modulo R.

N.B : La classe de ^d h ⁻ correspond au syst` eme vide de ∆ _dr .

Th´ eor` eme 2.17. Soit X = G <sub>R</sub> (resp. X = K, K ˜ ou K <sup>∗</sup> ). Les classes de conjugaison des SAC σ <sup>0</sup> −stables (resp. Γ−stables) de g sous X correspondent bijectivement aux classes de conjugaison des syst` emes de racines fortement orthogonales de ∆ dr modulo R sous W X .

D´ emonstration.

Cela r´ esulte de 2.12 et 2.16.

Proposition 2.18. Les groupes W K , W K ˜ et W G

R induisent sur la SAT DM a _R = ( ^d h ⁻ + c) ^σ

le groupe de Weyl relatif W ⁰ . Le groupe W _K

, induit sur a _R une extension de W ⁰ par certains automorphismes du diagramme de Dynkin relatif.

D´ emonstration.

D’apr` es 2.1c et [Ro4; 3.11] le groupe induit par W G

R est ´ egal ` a W <sup>0</sup> et est engendr´ e par les r´ eflexions par rapport aux racines relatives r´ eelles. De plus le groupe ˜ G (resp. G <sup>∗</sup> ) agit sur l’ensemble des sous-alg` ebres paraboliques de g en conservant (resp. permutant) les types. Si l’on admet provisoirement que W _K induit sur a _R le groupe W ⁰ , le raisonnement de la d´ emonstration de [Ro4; 3.11] montre donc que W K ˜ (resp. W K

) induit sur a _R le groupe W ⁰ (resp. une extension de W ⁰ par certains automorphismes du diagramme de Dynkin relatif). Il reste donc ` a voir que les r´ eflexions par rapport aux racines relatives r´ eelles sont induites par des ´ el´ ements de W _K .

Soit α ⁰ ∈ ∆ ⁰ = ∆(g, a) une racine relative r´ eelle non multipliable et g _α

= {x ∈

g / [h, x] = α ⁰ (h)x, ∀h ∈ a } l’espace propre correspondant. On note g(α ⁰ ) l’alg` ebre d´ eriv´ ee

de g _α

⊕ ^d h ⊕ g _−α

et G(α ⁰ ) le groupe semi-simple simplement connexe correspondant, cf.

[Bp2; §9] et [B ₃ R; 4.6]. L’espace propre g _α

est stable par σ ⁰ et g(α ⁰ ) est stable par Γ.

Ainsi g(α ⁰ ) ^σ

est une alg` ebre de Lie semi-simple r´ eelle de rang relatif 1, de SAT DM R h α

(si h α

est la coracine relative de α ⁰ ), de SACM D ^d h ∩ g(α ⁰ ) et de SIC ω ⁰ . Il est connu [H;

VII 2.4] qu’il existe k ∈ G(α ⁰ ) ^Γ tel que Ad(k).h α

= −h α

. Mais, par construction de G(α ⁰ ) et de G, l’inclusion de g(α ⁰ ) dans g s’int` egre en un morphisme canonique π : G(α ⁰ ) → G, qui est donc Γ−´ equivariant. Ainsi π(k) est dans G ^Γ = K et il induit la r´ eflexion r α

∈ W ⁰ sur a (puisque G(α ⁰ ) centralise Ker(α ⁰ ) dans a). D’apr` es 2.9i, en modifiant π(k) par un

´

el´ ement de Z K ( ^d h ⁻ ) = Z K (a), on peut supposer π(k) dans N K . D’o` u la proposition.

Proposition 2.19. Si α ∈ ∆ dr , sa restriction α ⁰ ` a a _R est une racine relative r´ eelle et la restriction est une application C −lin´ eaire injective de P

α∈∆

C α dans le dual a ^∗ .

Remarque. ∆ dr est un sous-syst` eme de racines r´ eelles clos de ∆ re , ´ eventuellement vide et non forc´ ement clos dans ∆. Son image ∆ <sup>0</sup> <sub>dr</sub> dans l’ensemble ∆ <sup>0</sup> <sub>re</sub> des racines relatives r´ eelles est r´ eunion d’orbites de W <sup>0</sup> , d’apr` es 2.18. On constate sur les tables de [B 3 R] que, dans le cas affine, ∆ ⁰ _dr est clos dans ∆ ⁰ _re .

D´ emonstration.

On a P

α∈∆

C α ⊂ {χ ∈ h ^∗ / χ(h ⁺ ) = 0}; il est donc clair que l’application restriction

`

a a = h ⁻ + c est lin´ eaire injective.

Si α ∈ ∆ _dr , σ ⁰ (α) = α; donc g(α) = g _α ⊕ C α ˇ ⊕ g _−α est une sous-alg` ebre Γ−stable isomorphe ` a sl 2 ( C ). Comme σ ⁰ (α ˇ) = α ˇ = −ω ⁰ (α ˇ), il existe e α dans g ^σ _α

tel que f α =

−ω ⁰ (e α ) ∈ g ^σ _−α

v´ erifie [e α , f α ] = α ˇ. Alors l’´ el´ ement m α = exp(e α )exp(−f α )exp(e α ) = exp(−f α )exp(e α )exp(−f α ) est dans N K , induit r α sur ^d h et stabilise a. Sa restriction w α

`

a a est dans W ⁰ et w α

(α ⁰ ) = −α ⁰ . Il en r´ esulte que α ⁰ est r´ eelle d’apr` es [Ro4; 3.11.2] ou car on sait que l’orbite sous le groupe de Weyl d’une racine imaginaire positive est enti` erement form´ ee de racines positives, cf. [Bp1; 2.4.1, 2.3.1 et 1.1.15] (ou [K; 5.4] pour les syst` emes de racines non relatives).

Th´ eor` eme 2.20. Les classes de conjugaison de syst` emes de racines fortement orthogonales de ∆ dr modulo R sous W K , W K ˜ ou W G

R sont les mˆ emes. En particulier les classes de conjugaison de SAC (resp. SAC σ−stable) de g _R sous G ˜ _R ou G _R (resp. K ˜ ou K) sont les mˆ emes.

D´ emonstration.

D’apr` es 2.19 les syst` emes φ sont d´ etermin´ es par leur restriction ` a a _R . On d´ eduit donc

la premi` ere assertion de 2.18, puis la seconde de 2.17 et 2.7.

Proposition 2.21. Tout syst` eme de racines r´ eelles d´ eploy´ ees fortement orthogonales est conjugu´ e par W K ` a un sous-syst` eme de ∆ de la forme ∆ <sup>m</sup> (J ) = ∆∩(⊕ <sub>i∈J</sub> Z α i ) pour J ⊂ I de type fini (i.e. ∆ <sup>m</sup> (J ) fini). Ainsi il n’y a qu’un nombre fini de classes de conjugaison sous W K de tels syst` emes de racines.

D´ emonstration.

Soit φ un syst` eme de racines fortement orthogonales de ∆ dr . Le produit w des r α

pour α ∈ φ est d’ordre 2 dans W et v´ erifie w(α) = −α , ∀α ∈ φ. D’apr` es 2.19 et sa d´ emonstration, w stabilise a _R = ( ^d h ⁻ + c) ^σ

, sa restriction w ⁰ ` a a _R est dans W ⁰ et w ⁰ est la sym´ etrie par rapport au sous-espace (admissible) a φ = ∩ α∈φ Ker(α)

∩ a _R , qui est de codimension | φ | d’apr` es 2.19. Mais, dans a <sub>R</sub> le cˆ one de Tits ouvert positif (associ´ e ` a ∆ ⁰ ) est un ouvert convexe, non vide, W ⁰ −stable et il est r´ eunion de facettes (facette de a _R = facette relative = R −facette) de type fini [Bp1; 4.4]. Ainsi a _φ rencontre (donc contient) une facette de type fini. Par ailleurs toute facette de type fini dans a _R est conjugu´ ee par le groupe de Weyl W ⁰ ` a une des facettes de type fini de la chambre fondamentale ferm´ ee de a <sub>R</sub> . Or cette chambre est l’intersection avec a <sub>R</sub> de la chambre fondamentale ferm´ ee C de <sup>d</sup> h et chacune de ses facettes de type fini est l’intersection avec a <sub>R</sub> d’une facette de type fini C J de C associ´ ee ` a une partie de type fini J de I, cf. [Ro3; §4] ou [Ro4; §3]. Ainsi,

`

a conjugaison pr` es par W <sup>0</sup> ou W <sub>K</sub> (cf. 2.18), le syst` eme φ est contenu dans l’ensemble

∆ ^m (J) = ∆ ∩ (⊕ i∈J Z α i ) des racines nulles sur C J , qui est fini, cf. [Ro4; 1.2] ou [B 3 R;

1.2].

Comme il n’y a qu’un nombre fini de parties de type fini J de I et qu’un nombre fini de racines dans ∆ ^m (J ), il est clair que le nombre de classes de conjugaison de syst` emes φ est fini.

Th´ eor` eme 2.22. Il n’existe qu’un nombre fini de classes de conjugaison de SAC Γ−

stables (resp. σ ⁰ −stables) de g sous K ^∗ , K ˜ ou K (resp. G _R ).

D´ emonstration.

Cela r´ esulte aussitˆ ot de 2.17 et 2.21.

§3. ´ Etude de quelques exemples.

On va utiliser librement dans ce dernier paragraphe des r´ ealisations comme alg` ebres de lacets des alg` ebres de Kac-Moody affines ainsi qu’un certain nombre de notations de [B 3 R].

3.1. Les trois formes r´ eelles presque d´ eploy´ ees de A ⁽¹⁾ ₁ . On consid` ere l’alg` ebre de Kac-Moody affine non tordue de type A ⁽¹⁾ ₁ :

g = sl 2 ( C [t, t ⁻¹ ]) ⊕ C c ⊕ C d,

l’´ el´ ement c est central et d = t _dt ^d . D’apr` es la table de [B <sub>3</sub> R; §6], il existe trois classes de conjugaison de formes r´ eelles presque d´ eploy´ ees de g correspondant aux trois semi- involutions de premi` ere esp` ece σ <sub>i</sub> <sup>0</sup> = σ i ω <sup>0</sup> , i = 1, 2, 3, o` u ω ⁰ est la semi-involution de Cartan standard :

ω ⁰

P (t) Q(t) R(t) −P (t)

=

− P ¯ (t ⁻¹ ) − R(t ¯ ⁻¹ )

− Q(t ¯ ⁻¹ ) P ¯ (t ⁻¹ )

et (−ω ⁰ ) fixe c et d

et les σ _i les involutions de Cartan qui seront explicit´ ees ci-dessous. La sous-alg` ebre de Cartan standard est h = C α ˇ⊕ C c ⊕ C d o` u α ˇ =

1 0 0 −1

et C c est le centre c. On note δ la forme lin´ eaire sur h nulle sur α ˇ et c, telle que δ(d) = 1 ; c’est la plus petite racine imaginaire positive. La racine positive α de sl 2 (telle que α(α ˇ) = 2 ) est prolong´ ee par 0 sur c et d. L’ensemble des racines r´ eelles de ∆ = ∆(g, h) est ∆ ^re = {±α + nδ; n ∈ Z } et (α 0 = δ − α, α 1 = α) est une base de racines de ∆. Les coracines correspondantes sont αˇ 0 = c − α ˇ et αˇ 1 = α ˇ. Les copoids fondamentaux sont p 0 = d et p 1 = d + ^α ₂ ^ˇ (modulo le centre). Le diagramme de Dynkin associ´ e ` a g est donc:

0 •< >• 1

Pour chacune des trois formes presque d´ eploy´ ees, la sous-alg` ebre de Cartan h est Γ−stable et h <sub>R</sub> est maximalement d´ eploy´ ee. On va d´ eterminer, les classes de conjugaison des sous-alg` ebres de Cartan Γ−stables de g, c’est-` a-dire celles des syst` emes de racines r´ eelles d´ eploy´ ees fortement orthogonales de ∆, modulo la relation d’´ equivalence R, cf. Th´ eor` eme 2.17. On rappelle que le syst` eme vide correspond ` a la classe de la sous-alg` ebre de Cartan maximalement d´ eploy´ ee standard h _R .

1) La forme r´ eelle d´ eploy´ ee A ⁽¹⁾ _1,2 associ´ ee ` a σ <sup>0</sup> <sub>1</sub> = ωω <sup>0</sup> = σ <sub>n</sub> <sup>0</sup> : L’involution de Cartan σ <sub>1</sub> = ω agit sur sl <sub>2</sub> ( C [t, t <sup>−1</sup> ]) par M (t) 7→ − <sup>t</sup> M (t <sup>−1</sup> ) et (−ω) fixe c et d. Dans ce cas, on a ∆ dr = ∆ <sup>re</sup> = {±α+nδ; n ∈ Z } et le rang maximal d’un syst` eme de racines r´ eelles d´ eploy´ ees fortement orthogonales est ´ egal ` a 1. De plus le groupe de Weyl W de ∆(g, h) admet des repr´ esentants dans K (2.18). Ainsi il existe dans ∆ dr = ∆ <sup>re</sup> deux classes de conjugaison, sous W <sub>K</sub> , de syst` emes (de rang 1) de racines fortement orthogonales modulo R (` a savoir la classe de α 0 et celle de α 1 qui sont ´ echang´ ees par l’automorphisme de diagramme involutif de A <sup>(1)</sup> <sub>1</sub> ). Il y a donc une seule classe de conjugaison de tel syst` eme sous W K

et deux classes sous W K ou W K ˜ .

Remarque : La classe de conjugaison (sous K ou K ^∗ ) de la sous-alg` ebre de Cartan Γ−stable associ´ ee ` a la classe d’une racine non compacte α + nδ (sous W _K ou W _K

) est celle de

h _n := C

0 t ⁿ

−t ⁻ⁿ 0

⊕ C c ⊕ C (d − n

2 α ˇ)