Singularités indénies

Au début, rappelons brièvement que, comme pour les super CFT4, les singularités de la surface complexe K3 sont généralement présentées en deux cathégories essentielles. Les sin- gularités ADE ordinaires et les singularités \ADE _{anes dont les équations caracteristiques ont}

été données auparavant, voir eqs(5.4-5.5). Pour xer les idées, signalons à titre d'exemple que les équations typiques décrivant les géométries mirroir des variétés de Calabi-Yau sont de la forme P (y) =Pa_αy_{α. Pour le cas de la géométrie \}ADE _{ane qui nous intérèssent dans cette}

présentation, l'équation de géométrie algèbrique s'écrit comme,

P (y₁, ..., y_n+4) =

n+4

X

α=1 a_αy_α,

avec aα = aα(w) des fonctions holomorphes de variable complexe w et yα sont des variables

(invariants toriques) contraintes par la relation,

n Y j=1 yqij j = n+4_Y α=n+1 y−qiα α . (5.10)

Les charges entières qi

j sont données par l'opposé de la matrice de Cartan Kij de l'algèbre KM

sous jacente. Les quatres variables yα, n < α < n + 5, dénissent la courbe elliptique E (un tore

réel),

E = y2+ x3+ z6+ µxyz = 0,

de la variété de Calabi-Yau sur laquelle se contracte la singularité ane. Noter que dans cette relation les variables complexes (y, x, z) sont les coordonnées homogènes de l'espace projectif pondéré WP2_{(3, 2, 1). Par identication, nous déduisons ainsi les représentations des variables} yα pour n < α < n + 5,

yn+1= y2, yn+2= x3, yn+3 = z6, yn+4= xyz.

Pour les n autres variables complexes yα denissant la géométrie \ADE; leurs réalisations en

terme des variables y, x et z est obtenu en résolvant l'eq(5.10). Noter aussi que ces equations jouent un rôle important dans l'étude la compactication des supercorde IIB ; en particulier pour leur connection remarquables avec la théorie des jauge et la physique des D-branes4_{. Notons enn} que la géométrie algèbrique des variétés,

y2+ x3+ z6+ µ₀xyz + n

X

i=1

aiyi = 0,

a été étudié avec détails dans la litérature de mathématique physique spécialisée. Un exemple simple de variété parmi d'autre est celui donné par la surface complexe bA2 dont l'équation est

b

A2 : y2+ x3+ z6+ µ0xyz + v ¡

bz3+ cxz + dy¢= 0. 4_{Les D-branes sont les objets solitoniques de supercordes type II.}

Les paramétres de déformations complexes µ0, b, cet d ont des interprétations physiques. Leurs brations sur une courbe rationnelle (sphère réelle S2_{) portent des informations sur la nature des} groupes de jauge des théories quantiques des champs résultantes et la nature des branes sondant la singularité. Comme on pourrait avoir noté ; nous n'avons parlé jusqu'ici que de singularités (géométries) ordinaires ou anes donnant lieu à des théories des champs quantiques ordinaires ou anes. Mais, les résultats présentés auparavant stipulent qu'en plus des QFT4ordinaires et anes supersymétriques N = 2, il existe une troisième classe de super QFT4. Par correspondence N = 2 QFT↔ singularité ADE, il s'ensuit qu'il devrait y exister une troisième classe de singularités. Ce sont ces singularités qui nous intéréssent dans cette section. Une recherche dans la litérature a révélé que ces singularités indénies n'ont pas été étudié. A notre connaissance, des relations type eqs (5.4-5.5) restent encore à découvrir. Dans notre article [14], nous nous sommes penchés sur cette question. Mais devant la nature du problème qui fait intevenir le secteur indéni des algèbres de Kac-Moody, nous nous sommes contentés de nous limiter dans un premier temps aux singularités classées par le secteur hyperbolique. Nous avons étudié l'extension des solutions anes pour des géométries avec des singularités hyperboliques. A titre d'exemples illustratifs, nous donnons un de nos résultats partiels dans cette matière ; il concerne les deux géométries hyperboliques H4 3 et E10 suivantes, H₃4 : y2+ x3+ z6t−1+ xyz +£az6+ btz6+ ctxz4+ dyz3t¤= 0, (5.11) E10 : y2+ x3+ z7t−1+ xyz + a0t6+ a1t4x + a2t2x2+ b1yt4+ 6 X s=1 cst6−szs = 0, (5.12)

où (x, y, z) sont les coordonnées homogènes de l'espace projectif pondéré WP2_{(3, 2, 1) et où t} doit être diérent de zéro. Certes, à ce niveau on est encore loin de la possibilité d'émettre une conclusion générale ; nos résultats préliminaires nécéssitent un approfondissement. Toutefois, il est intéréssent de noter qu'il existe une classe de singularités indénies et de géométries associées allant au de là des singularités ordinaires et anes. Les solutions particulières et explicites ob- tenues (5.11-5.12) laissent supposer l'existence d'une troisième classe de géométries des variétés de CY3. Ce résultat partiel, appuyé par la correspondence

algèbre KM ↔ N = 2QFT4 ↔ singularités,

nous a poussé à proposer dans [14] la conjecture suivante.

Conjecture 5.7 Il existe trois principales classes de singularités pour les variétés de Calabi-Yau threefolds (CY3). Ces géométries sont en correspondence 1 :1, d'une part avec les trois secteurs des algèbres de Kac-Moody décrits par le théorème de Vinberg, et d'autre part avec les N = 2 QFT4 résultant de la compactication de la supercorde type IIB.

Une façon de construire des Calabi-Yau threefolds décrit par une géométrie dotée de singulari- tés indénies est de procéder comme suit : (i) Fixer une matrice de Cartan d'une algèbre indénie K−_{ij et considere des 2-cycles irreductibles avec des intersections donnée par Ci}· C_i = K−_{ij. (ii)} Idendier une base de la variété CY3 sur laquelle ces cycles se contracte. Si la première étape ne pose pas de problèmes l'identication de bases appropriées restent encore étudier.

[1] S.J. Gates Jr., M.T. Grisaru, M. Rocek and W. Siegel, Superspace, or One thousand and one lessons in supersymmetry (2001), hep-th/0108200.

[2] Wess, Julius ; Bagger, Jonathan. Supersymmetry and supergravity. Princeton Series in Phy- sics. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1983. i+180 pp. ISBN : 0-691-08327-4 ; 0- 691-08326-6

[3] E Saidi, Cours délivré au DESA-PHE, Introduction aux théories supersymétriques, Lab/UFR-PHE 2001, Rabat.

[4] Olshanetsky, M. A. ; Perelomov, A. M. Quantum integrable systems related to Lie algebras. Phys. Rep. 94 (1983), no. 6, 313404

M.Ait Ben Haddou, Thèse de 3ème cycle, Reprèsentations des algèbres de Lie anes, Frome hermitienne et applications aux equations desolitons (1994), Fac Sciences, Rabat.

[5] M Green, Shwarz, Witten, Superstrings, Cambridge Press (1987) [6] J Polshinski, Superstrings, Cambridge Press (2001).

[7] A Djouadi, A Djouadi, The Anatomy of Electro-weak symmetry breaking I & II, LPT-Orsay- 05-18, e-Print Archive hep-ph/0503172, hep-ph/0503173.

[8] D. Friedan, Z.A. Qiu, S.H. Shenker, DETAILS OF THE NONUNITARITY PROOF FOR HIGHEST WEIGHT REPRESENTATIONS OF THE VIRASORO ALGEBRA, Com- mun.Math.Phys.107 :535,1986

[9] A.A. Belavin, Alexander M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov, INFINITE CONFORMAL SYM- METRY IN TWO-DIMENSIONAL QUANTUM FIELD THEORY, Nucl.Phys.B241 :333- 380,1984.

[10] Thibault Damour, Marc Henneaux, Bernard Julia, HYPERBOLIC KAC-MOODY ALGE- BRAS AND CHAOS IN KALUZA-KLEIN MODELS, Phys.Lett.B509 :323-330,2001,e-Print Archive : hep-th/0103094

Kleinschmidt, Axel ; Nicolai, Hermann. IIB supergravity and $E\sb {10}$. Phys. Lett. B 606 (2005), no. 3-4, 391402.

El Hassan Saidi, HYPERBOLIC INVARIANCE IN TYPE II SUPERSTRINGS. LAB-UFR- HEP0502, GNPHE-0502, VACBT-0502, Feb 2005. 19pp. Talk given at IPM String School & Workshop (ISS2005), Qeshm Island, Iran, 5-14 Jan 2005, e-Print Archive : hep-th/0502176 [11] Seiberg, N. The power of dualityexact results in 4D SUSY eld theory. Internat. J. Modern

Phys. A 16 (2001), no. 27, 43654376.

[12] Cachazo, F. ; Fiol, B. ; Intriligator, K. ; Katz, S. ; Vafa, C. A geometric unication of dualities. Nuclear Phys. B 628 (2002), no. 1-2, 378.

[13] Ait Ben Haddou, M. ; Belhaj, A. ; Saidi, E. H. Geometric engineering of ${\scr N}=2 \rm CFT\sb 4$ based on indenite singularities : hyperbolic case. Nuclear Phys. B 674 (2003), no. 3, 593614,

[14] Ait Ben Haddou, Malika ; Saidi, El Hassan. Explicit analysis of Kähler deformations in 4D ${\scr N}=1$ supersymmetric quiver theories. Phys. Lett. B 575 (2003), no. 1-2, 100110. [15] Malika Ait Ben Haddou, El Hassan Saidi, hyperbolic Invariance. UFR-HEP0401, GNPHE-

0401, May 2004. 41pp. e-Print Archive : hep-th/0405251 ,

[16] Ahl Laamara, R. ; Ait Ben Haddou, M. ; Belhaj, A. ; Drissi, L. B. ; Saidi, E. H. RG cascades in hyperbolic quiver gauge theories. Nuclear Phys. B 702 (2004), no. 1-2, 163188

[17] Ait Ben Haddou, M. ; Belhaj, A. ; Saidi, E. H. Classication of ${\scr N}=2$ supersymmetric $\rm CFT\sb 4s$ : indenite series. J. Phys. A 38 (2005), no. 8, 17931805

[18] Abounasr, R. ; Ait Ben Haddou, M. ; El Rhalami, A ; Saidi, E. H. Algebraic geometry reali- zation of quantum Hall Soliton. J. Math. Phys. 46 (2005), no. 2, 022302, 15 pp.

[19] M Ait Ben Haddou, E.H Saidi, QFT realisation of KM theory I. General Setting, Contri- bution to Tenth Workshop between High Energy and Mathematical Physics, Lab/UFR-PHE 0507.

[20] M Ait Ben Haddou, E.H Saidi, QFT realisation of KM theory II. Generating functional of Dynkin diagrams, Lab/UFR-PHE 0506.

[21] M Alaoui, M Ait Ben Haddou, Algèbres de Borcherds en Théorie M, mémoire de DESA, Lab/UFR-PHE (2005)

[22] M Ait Ben Haddou, K El Haddad, Superalgèbres de Borcherds, mémoire de DESA Lab/UFR-PHE (2005)

[23] Bessis, D. ; Itzykson, C. ; Zuber, J. B. Quantum eld theory techniques in graphical enume- ration. Adv. in Appl. Math. 1 (1980), no. 2, 109157

Conclusion et perspective

Dans ce travail, nous avons étudié les algèbres de Kac-Moody indénies et des représen- tations ainsi que des applications en théorie quantique des champs et en supercorde type IIB. Ces algèbres, peu connues, constituent une généralisation non triviale des algèbres semi-simples et anes et, comme nous l'avons montré, ont des réalisations physiques extraordinaires. Un in- térêt particulier a été réservé à la sous classe des algèbres hyperboliques vues leurs proximités structurales avec les algèbres ordinaires et anes.

Pour entreprendre cette étude, nous avons commencé par introduire les algèbres de Kac- Moody en utilisant la généralisation de la méthode de Serre utilisant la formulation de Chevalley. Ensuite, nous avons étudié la sous classe des algèbres hyperboliques et leurs classication. Cette dernière est gouvernée par les théorèmes de Wanglai-Li et Kac montrant l'existance de 238 algèbres hyperboliques. Après quoi, nous avons donné la construction des systèmes de racines des algèbres hyperboliques avec ses deux secteurs réel et imaginaire. Une construction explicite des systèmes des racines des hyperboliques avec un sous diagrame ane simplement lacé de corang un, a été développé dans le chapitre 5 (thèorème correspondant). Certains aspects des representations de ces algèbres, notamment celles de plus haut poids, ont été étudier dans le chapitre 4.

Dans le chapitre 5, nous avons étudié des applications en physique mathématique des algèbres de Kac-Moody indénies. Nous avons présenté quatre résultats principaux où ces struc- tures algèbriques apparaissent comme des symétries fondamentales. Ces réalisations concernent : (1) La construction explicite des systèmes des racines des algèbres KM hyperboliques ayant un sous-diagramme ane simplement lacé de corang 1 (voir théorème). Partant de résulats concer- nant les algèbres ADE semi-simples et leurs extensions anes, et utilisons des considérations

physiques, nous avons proposé la paramétrisation suivante des racines hyperboliques a,

a = nγ + mδ + kα; k2− nm ≥ 1; k, n, m ∈ Z, α ∈ ∆_{f inie}.

(2) La réalisation des symétries hyperbolique en théorie des supercorde IIB. Cette réalisation est associée avec l'axion χ, un champ qui a été derrière la découverte de la théorie F vivant à 12 dimensions d'espace temps [24], mais souvent ignoré dans des analyses physiques. Notre résultat (thérème 44 ), qui généralise les résultats connus, montre que la structure hyperbolique est eectivement portée par la variable χ.

(3) Il exite trois classes de théories modèles conformes supersymétriques à quatres dimensions (N = 2 CFT4) résultant de la compactication de la supercorde IIB sur des variétés de Calabi- Yau à trois dimensions complexes avec des géométries ADE. Ces théories sont classées par le théorème de Vinberg des algèbres de Kac-Moody (théorème 45 ).

(4) Comme pour les algèbres de Kac-Moody et les super CFT4, la géométrie ADE des variétés de CY3 est classée en trois catégories, en occurence les géométries ordinaires, anes et indénies. Ce résultat (Conjecture 46 ) a été testé sur des exemples d'algèbres hyperboliques et reste encore à prouver.

Notre projet d'étude du secteur indéni des algèbres de Kac-Moody ne se limite pas aux applications exposées dans ce chapitre. Ce projet, développé en collaboration avec le groupe de physique des hautes énergies de la faculté des sciences de Rabat, est ouvert sur d'autres applications ayant trait avec la théorie de supercordes et théorie M. Des résultats partiels ont été obtenus. Ils concernant les liens avec le soliton de Hall quantique, les surfaces complexes de Del Pezo, la théorie M et les algèbres de Borcherds entre autres. Pour plus de détails, nous renvoyons aux [18]-[22].

arXiv:hep-th/0307244 v3 25 Nov 2003

Indefinite Singularities: Hyperbolic Case

M. Ait Ben Haddou1,2,3∗, A. Belhaj2,4†and E.H. Saidi1,2‡

1 Lab/UFR-Physique des Hautes Energies, Facult´e des Sciences de Rabat, Morocco. 2-Groupement National de Physique des Hautes Energies, GNPHE; Siege focal, Rabat, Morocco.

3 D´epartement de Math´ematique & Informatique, Facult´e des Sciences, Meknes, Morocco. 4-Instituto de Fisica Teorica, C-XVI, Universidad Autonoma de Madrid, E-28049-Madrid, Spain.

November 11, 2006

Abstract

Using Katz, Klemm and Vafa geometric engineering method of N = 2 supersymmetric QFT4s and results on the classification of generalized Cartan matrices of Kac-Moody (KM) algebras, we study the un-explored class of N = 2 CFT4s based on indefinite singularities. We show that the vanishing condition for the general expression of holomorphic beta function of N = 2 quiver gauge QFT4s coincides exactly with the fundamental classification theorem of KM algebras. Explicit solutions are derived for mirror geometries of CY threefolds with hyperbolic singularities.

Contents

1 Introduction 1

2 Trivalent geometry and Beta function 3

2.1 Trivalent geometry . . . 3 2.2 Classification of N = 2 CFT4s . . . 6 ∗_{aitbenha@fsmek.ac.ma} †_{E-mail: adil.belhaj@uam.es} ‡_{E-mail: H-saidi@fsr.ac.ma} 1

4 Hyperbolic CFT4s 12 4.1 Flat ADE bundles on elliptic curve . . . 12 4.2 Flat Hyperbolic bundles on elliptic K3 . . . 13 4.3 Explicit solutions . . . 14

5 Conclusion and Outlook 18

Keywords: Geometric engineering of N = 2 QFT4s, Indefinite and Hyperbolic Lie algebras, CY threefolds with indefinite singularities, N = 2 CFT4s embedded in type II strings.

been subject to an intensive interest in connection with superstring compactifications on Calabi- Yau manifolds ( CY) [1, 2, 3, 4] and AdS/CFT correspondence [5, 6, 7, 8, 9]. An important class of these CFTs correspond to those embedded in type II string compactifications on elliptic fibered CY threefolds with ADE singularities preserving eight supersymmetries. These field models, which give exact solutions for the moduli space of the Coulomb branch and which admit a very nice geometric engineering [10] in terms of quiver diagrams, were shown to be classified into two categories according to the type of singularities: (i) N = 2 CFT4, based on finite ADE singularities; with gauge group G = Q_iSU (ni) and matters in both fundamental ni and bi-fundamental (ni,nj) representations of G. (ii) N = 2 CFT4 with gauge group G = Q

iSU (sin) and bi-fundamental matters only. This second category of scale invariant field models are classified by affine ADE Lie algebras. The positive integers si appearing in G are the usual Dynkin weights; they form a special positive definite integer vector s = (si) satisfying Kijsj= 0 and so

Kijnj= 0, (1)

where nj = nsj = and where K is the Cartan matrix. The appearance of this remarkable eq in the geometric engineering of N = 2 CFT4s is very exciting; first because 4d conformal invariance, requiring the vanishing of the holomorphic beta function, is now translated into a condition on allowed Kac-Moody-Lie algebras eq(1). Second, even for N = 2 CFT4based on finite ADE with mini fundamental matters, the condition for scale invariance may be also formulated in terms of Kas,

Kijnj= mi. (2)

The identities (1,2) can be rigorously derived by starting from mirror geometry of type IIA string on Calabi-Yau threefolds and taking the field theory limit in the weak gauge couplings grregime associated with large volume base ( Vr = 1/ε with ε → 0 ). In this limit, one shows that complex deformations ar,l of the mirror geometry scale as εl−kr−1 and the universal coupling

parameters Z(gr)_{( given by special ratios of ar,l and ar±1,l) behave as ε}−br _{where br is the beta}

function coefficient of the r-th U (nr) gauge sub-group factor of G. Scale invariance of the CFT4s requires br= 0 ∀r and turns out to coincide exactly with eqs(1,2) depending on the type of ADE singularities one is considering; i.e affine or finite. The third exciting feature we want to give here is that both eqs(1,2) can be viewed as just the two leading relations of the triplet

K(q)_ij nj = qmi; q = 0, +1, −1. (3)

The extra relation namely K(−)_ij nj = −mi describes the so called indefinite subset in the classi- fication of Kac-Moody-Lie algebras in terms of generalized Cartan matrices. If one forgets for a while the algebraic geometry aspect of singular surfaces and focus on the classification of N = 2

CFT4s embedded in type II strings on CY threefolds given in [10]; but will also open an issue to approach singularities based on indefinite Lie algebras.

The triplet (3) is not the unique motivation for our interest in this third kind of N = 2 supersymmetric scale invariant field theory. There is also an other strong support coming from geometric engineering of N = 2 QFT4 [10, 11],[12]. There, the geometric engineering of fundamental matters requires the introduction of the so called trivalent vertex. This vertex has a Mori vector qτ = (1, −2, 1; 1, −1) with five entries ( sometimes called also CY charges ). The first three ones are common as they are involved in the geometric engineering of gauge fields and bi-fundamental matters. They lead to eq(1). The fourth entry is used in the engineering of fundamental matters of CFT4s based on finite ADE and lead to eq(2). But until now, the fifth entry has been treated as a spectator only needed to ensure the CY conditionP5_τ=1qτ = 0. Handling this vertex on equal footing as the four previous others gives surprisingly the missing third sector of eqs(3) we are after.

In this paper, we study the remarkable class of the yet un-explored N = 2 CFT4s associated with the third sector of eq(3). To achieve this goal, we have to prove that this kind of N = 2 CFTs really exist by computing the general expression of the holomorphic beta function and then show that the moduli space of their solutions is non trivial. To do so, we have to develop the following: (i) study indefinite singularities of CY threefolds in relation with the third sector of eqs(3). (ii) develop the geometric engineering of N = 2 QFT4s embedded in type II strings on these class of singular CY 3-folds and then solve N = 2 QFT4scale invariance constraint eqs. Moreover, as the algebraic geometry of CY manifolds with indefinite singularities, like the classification of indefinite Lie algebras, are still open questions, we will approach our problem throughout explicit examples. Fortunately, we dispose actually of partial results dealing the classification of a subset of indefinite Lie algebras. This concerns the so called hyperbolic subset having Dynkin diagrams very closed to the usual finite and affine Lie algebras. Since we know much about finite and affine ADE geometries, one suspects to get here also exact results for hyperbolic mirror geometries. In addition to the explicit results one expects, the study of hyperbolic singularities is particularly interesting because it will give us more insight on the way Katz, Mayr and Vafa basic result regarding ADE bundles on elliptic curve could be generalized to include indefinite singularities.

The presentation of this paper is as follows: In section 2, we review the computation of the general expression of beta function of N = 2 QFT4s based on trivalent geometry. Here we show that the general solutions for N = 2 CFT4 scale invariance condition coincides exactly with the Lie algebraic classification eq(3). The missing sector of N = 2 CFT4s turns out to be intimately related to the extra fifth entry of qτ. In section 3, we study indefinite Lie algebras and

2

Trivalent geometry and Beta function

In [10], trivalent geometry has been introduced to engineer N = 2 supersymmetric QFT4s ( with fundamental matter ) embedded in type IIA string theory on CY threefolds with ADE singularities. This geometry extends the standard ADE Dynkin diagrams and involves higher dimension vertices [10, 12]. In this section, we give the necessary tools one needs for the compu- tation of the holomorphic beta function of N = 2 QFT4s. Details and techniques regarding this geometry can be found in [10, 11] and subsequent works on this subject [12, 13],.

2.1 Trivalent geometry

To illustrate the ideas, we start by considering the case of a unique trivalent vertex; then we give the results for chains of trivalent vertices.

a) Case of one trivalent vertex

Since trivalent vertices depend on the kind of the Dynkin diagrams one is using, we will fix our attention on those appearing in linear chains ivolving Ak type singularities. A quite similar analysis is also valid for DE graphs. In the case of A type diagrams, trivalent geometry is described by the typical three dimensional vertices Vi,

V0= (0, 0, 0) ; V1= (1, 0, 0) ; V2= (0, 1, 0) ; V3= (0, 0, 1) ; V4= (1, 1, 1) (4) satisfying the following toric geometry relation

4 X i=0

qiVi= −2V0+ V1+ V2+ V3− V4= 0 (5)

The vector charge (qi) = (−2, 1, 1, 1, −1) is known as the Mori vector and the sum of its qi components is zero as required by the CY condition;P_iqi= 0. In type IIB strings on mirror CY3, the (V0, V1, V2, V3, V4) vertices are represented by complex variables (u0, u1, u2, u3, u4) constrained asQ_iuqi

i = 1 and solved by (1, x, y, z, xyz); see figure 1. In terms of these variables, the algebraic eq describing mirror geometry, associated to eq(5), is given by the following complex surface,