Matrices hyperboliques

Dénition 2.5 Une matrice de Cartan généralisée indécomposable est dite de type hyper- bolique (resp. de type strictement hyperbolique) si elle est de type indéni et tout sous diagramme propre connexe de S (A) est de type ni ou ane (resp.de type fini).

Ou encore : A est hyperbolique (resp. strictement hyperbolique) si toute sous matrice prin- cipale propre est de type ane ou ni (resp. de type ni)

Proposition 2.6 Soit A =

Ã

2 −a

−b 2

!

une matrice de Cartan généralisée d'ordre 2 indé- composable, avec a et b sont des entiers positifs, alors ;

(a) A est de type ni si est seulement si a.b 6 3 (b)_{A est de type ane si et seulement si a.b = 4}

(c)A est de type strictement hyperbolique si et seulement si a.b > 4.

Preuve : Selon la valeur det A = 4 − a.b, on distingue trois cas possibles : 1- detA = 0 si et seulement si a.b = 4 donc si et seulement si A et de type ane. 2- detA > 4 si et seulement si a.b 6 4 donc si et seulement si A et de type ni

3- det A < 0 si et seulement si a.b > 4 donc si et seulement si A et de type strictement hyperbolique.

Dans la suite, nous parlererons d'une matrice hyperbolique (resp.strictement hyperbo- lique) pour désigner une matrice de Cartan généralisée de type hyperbolique (resp.strictement hyperbolique). D'après la proposition précédente les matrices hyperboliques d'ordre 2 sont en nombre inni. Dans la suite on ne considère que les matrices hyperboliques d'ordre n > 3. La classication des matrices hyperboliques a été faite en 1988 par Wanglai-Li dans [9] et bien avant pour n > 7.

Lemme: 2.7 Si A est une matrice hyperbolique d'ordre n et S1 un sous diagramme propre ane connexe de S (A) alors S1admet (n − 1) sommets.

Preuve : Supposons que S1 admet n sommets.

Soit S2(6= S1) un sous-diagramme de S(A) connexe contenant S1.

Puisque tout diagramme de type ni ou ane n'admet aucun sous-diagramme propre de type ane nécessairement on a S2= S(A) et S1 admet alors n − 1 sommets.

Lemme: 2.8 Soit A = (aij)ni,j=1 une matrice hyperbolique .

Supposons aij 6= 0 et soit S2 un sous-diagramme de S(A) constitué par les sommets i et j. (a) si n = 3, alors S2 est l'un des diagrammes suivants :

◦ ◦, ◦=⇒◦, ◦≡V◦, ◦⇐⇒◦, ◦≡V◦

(b) Si n = 4, alors S2 est l'un des trois premiers diagrammes ci-dessus. (c) Si n ≥ 5, alors S2 est l'un des deux premiers diagrammes précédents. Théorème 2.9

a) L'ordre d'une matrice strictement hyperbolique est inférieur ou égal à 5 . b) L'ordre d'une matrice hyperbolique est inférieur ou égal à 10.

Preuve.

Soit A une matrice hyperbolique et S(A) son diagramme de Dynkin. Supposons que l'ordre de S(A) = n > 10.

Si S(A) est un cycle, alors nécessairement S(A) admet un double segment. On élimine un sommet convenable pour obtenir un diagramme S1 de rang n − 1 qui est une chaîne admettant un double segment situé à l'intérieur de la chaîne c'est à dire ni au début, ni à la n de la chaîne.

S1 est donc soit de type ni ou de type ane ; il doit être de type F4, F4(1) ou E6(2) mais chacun de ces diagrammes est de rang inférieur à 9. Par suite S(A) ne peut pas être un cycle.

Si S(A) admet un cycleS1 alors nécessairement ce cycle est de type A(1)n−2 (l ≥ 9) d'après le

lemme (2.7),rang S1 = n − 1 ≥ 10.

Ainsi S(A) peut prendre une des trois formes qui sont comme suit :

Or ces diagrammes admettent respectivement les sous-diagrammes propres connexes suivants :

qui ne sont ni de type ni, ni de type ane.

Si S(A) admet des branches : Les sommets de S(A)qui sont des branches et d'après

la table ni et ane prennent une des formes suivantes :

or les trois derniers diagrammes sont de type ane et comme n > 10 ; d'après le lemme (2.8), un sommet qui est une branche dans S(A) ne peut prendre que la forme D4.

Supposons alors que S(A) admet plus d'une branche : S(A)admet donc le sous- diagramme S1 :

S1 est ane ; d'où le rang égal à n − 1 ≥ 10. Donc S(A) s'obtient en ajoutant un sommet à S1; il est donc l'un des diagrammes suivants

Or ces diagrammes admettent respectivement les sous-diagrammes suivants :

qui ne sont ni de type ni ni de type ane. Donc S(A) ne peut pas avoir plus qu'une branche si

n > 10.

Si S(A) admet une seule branche nécessairement S(A) admet un sous-diagramme de la forme Dn−1 ou bien de la forme A(2)2n−5 ou Bn−2(1) . Or si on ajoute un sommet à chacun de ces

diagrammes on ne peut pas trouver un diagramme hyperbolique pour n > 10. Si S(A) est une chaîne, on a deux cas :

1er_{cas : S(A) admet un seul segment double 0=⇒0 alors nécessairement S(A) possède comme}

sous-diagramme propre F4(1) ou E6(2), or pour n > 1 ceci est impossible.

2eme_{cas : S(A) admet 2 segments double de la forme 0=⇒0 alors S(A) possède comme sous-}

diagramme propre Cl(1) ou A (2) 2l ou D

(2)

d'après le lemme (2.7) l = n − 2; donc S(A) s'obtient de ces derniers diagrammes par l'ajout d'un sommet. S(A) admettra dans ce cas F4(1) ou E6(2) comme sous-diagramme ce qui est impossible. De cette discussion, on peut aussi conclure facilement que les diagrammes strictement hyperboliques sont de rang ≤ 5. .

Théorème 2.10 Si 3 ≤ n ≤ 10 les diagrammes de Dynkin des matrices hyperboliques sont

listés dans la table Hyp (3.10) [18] ou [9]. Ils sont en nombre de 238 diagrammes hyperboliques, 35 parmi-eux sont strictement hyperboliques et 142 sont symétriques ou symétrisables.

Preuve. Soit A une matrice hyperbolique d'ordre n (3 ≤ n ≤ 10). Alors S(A) peut être obtenu des diagrammes de la table Fin et A en ajoutant un sommet et des segments joignant ce sommet au diagramme original de sorte que tout sous-diagramme connexe soit dans les tables ane ou ni. Ceci peut être traité cas par cas. .Donnons quelques exemples :

Table Hyp.2, a, b ∈ N ; ab > 48, a ≥ b.

Table Hyp 3,

Table Hyp 4,

Table Hyp 6,

Table Hyp 7,

Table Hyp 9,

Table Hyp 10,

Remarques :

1) Les diagrammes de Dynkin hyperboliques simplement lacets, c'est à dire tous les sommets sont connectés par un seul segment, sont en nombre de 18 :

H₁(4), H₂(4), H₃(4), H₁(5), H₈(5), H₁(6), H₅(6), H₆(6), H₁(7), H₄(7), H₁(8), H₄(8), H₅(8), H₁(9), H₄(9), H₅(9), H₁(10), H₄(10).

2) La plupart des matrices strictement hyperboliques d'ordre n ≥ 3 sont des matrices d'ordre 3 ; les autres sont H8(4), H13(4), H14(4), H7(5); leur diagrammes de Dynkin sont ;

3) Les matrices hyperboliques pour cette classication sont notées Hn

i , 3 ≤ n ≤ 10et qu'on

va adopter tout au long de ce travail. Cependant beaucoup de chercheurs utilisent une autre notation que nous allons aborder dans la section suivante.