Autre Classication

Soit A une matrice de Cartan généralisée de type Tp,q,r, p ≥ q ≥ r; son diagramme de

Dynkin S(A) est de la forme :

et soit c = 1

p + 1q + 1r alors A est de type ni (resp.ane ou indéni) si et seulement si c > 1

(resp. c = 1 ou c < 1).

En eet, considérons le cas r ≥ 2 et supposons que la matrice A de Tp,q,r est de type ni,

alors S(A) admet une branche. Donc A est de type E6, E7, E8 ou Dl.(l ≥ 4). donc

E6 = T3,3,2, E7 = T4,3,2, E8 = T5,3,2 et Dl= Tl−2,2,2(l ≥ 4);

d'où on a : c = 1

p +1p +1r = l−21 + 1 (resp.76 ou 1312 ou 3110)

Si A est de type Dl (resp. de type E6 ou E7 ou E8) ; dans tous les cas c > 1. Réciproquement si c = 1

p +1q + 1r > 1 (p ≥ q ≥ r); donc c ≤ 3r et plus exactement 1 < c < 3r.

Ainsi r < 3; donc r = 2. D'où p ≥ q ≥ 2 et1

p +1q +1r > 1.

Si q = r = 2 alors A est de type Dl.

Si q = 3 et r = 2 ; nous avons pour p = 3 (resp.4 ou 5) ; soit T3,3,2 = E6 (resp.T4,3,2 = E7 ou T5,3,2 = E8). Pour p ≥ 6 et q > 3 et r = 2, on a 1_p + 1_q + _r1 < 1₆ +1₃ + 1₂ = 1; ce qui est contradictoire.

Si A est de type ane et A = Tp,q,r (p ≥ q ≥ r), alors A est de la forme E6(1), E7(1) ou E8(1); c'est à dire E6(1) = T3,3,3, E(1)7 = T4,4,2 et E8(1) = T6,3,2.Dans les 3 cas, on a

c = 1 p + 1 q + 1 r = 1 3+ 1 3+ 1 3 = 1 4+ 1 4+ 1 2 = 1 6+ 1 3+ 1 2 = 1.

Réciproquement si c = 1, on a c = 1

p +1q+ 1r = 1, (p ≥ q ≥ r ≥ 2), d'où 1 ≤ 3r soit r ≤ 3, r ≥ 2

et r ≤ 3 implique que r = 2 ou r = 3 ; par suite 1

p+ 1q = 12 si r = 2 (resp. 23 si r = 3)

Comme p, q ∈ N? _{on a : p = q = 4 ou p = 6 et q = 3 si r = 2, (resp.p = q = 3 si r = 3) ;} A = T4,4,2 ou T6,3,2 si r = 2 et A = T3,3,3 si r = 3. Dans ces trois cas, A est de type ane, donc Tp,q,r est de type ane si et seulement si c = 1_p +1_q +1_r = 1.

Soit A une matrice hyperbolique de type Tp,q,r donc c = 1_p+1_q+1_r < 1et A hyperbolique.

Dénissons l'ensemble

Γ = {T3,3,2, T4,3,2, T5,3,2, T3,3,3, T4,4,2, T6,3,2, Tl−2,2,2 (l ≥ 4)}

Les seuls diagrammes de type ni ou ane et qui sont de type Tp,q,r sont les éléments de Γ, or

d'après le théorème (2.9) si A est une matrice hyperbolique et S(A) son diagramme de Dynkin alors rang S(A) ≤ 10.

D'autre part, T3,3,3, T4,4,2, T6,3,2 sont anes,on peut avoir des diagrammes hyperboliques à partir de ces derniers en ajoutant un sommet ; T4,3,3, T5,4,2, T7,3,2 sont hyperboliques. Pour les autres, le seuls diagrammes qu'on peut obtenir des diagrammes de Γ en ajoutant un sommet sont T4,3,3, T_5,4,2, T_7,3,2._{Par conséquent, les seuls diagrammes hyperboliques de type Tp,q,r sont T4,3,3}, T_5,4,2

et T7,3,2.

D'après la démonstration du théorème (2.9) et d'après le théorème (2.10), les seuls dia- grammes hyperboliques de rang 10 sont E10, BE10, CE10 et DE10. En combinant les notations de [6] et les notations ci-dessus, on obtient

T7,3,2= E10= H410, BE10= H210, CE10= H310 et DE10= H110.

En fait l'algèbre de Lie E10 fait partie d'une classe d'algèbre KM qu'on appelle exceptionnelles A1× A2, ..., E10, ...., Ek = Tn−3 dont le déterminant est égale à 9 − k, sachant que si Ek est de

type ni son treillis est le groupe de Picard des surfaces de Del Pezzo [31].

D'après ce qui précède, les seuls matrices hyperboliques de rang 7, 8 et 9 sont dans la liste suivante.

T4,3,3, T5,4,2, AEn, BEn, CEn (n = 7, 8 ou 9)

Nous terminons ce chapitre par deux propriétés importantes des algèbres KM hyperboliques qui font parties des algèbres de Lie Lorentziennes.

Théorème 2.11 [2] Soit A une matrice hyperbolique symétrisable alors A est non singulière et (.|.) admet la signature (n − 1, 1).

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Système de Racines

Les racines réelles et imaginaires des algèbres de Kac-Moody ont été introduites par Kac [1]. Dans [2], il a aussi introduit la notion de racines imaginaires strictes. Moody à son tour, a déni les racines réelles appelées racines de Weyl dans [3]. La notion de racines imaginaires n'a pas de contrepartie dans le cas des algèbres de Lie semi-simples de dimensions nies. Dans [4, 1], Kac a également donné les expressions explicites des racines imaginaires pour les algèbres de Kac-Moody anes. Moody a donné dans [5] une caractérisation des racines imaginaires pour les algèbres de Kac-Moody hyperboliques symétrisables[6, 7, 8, 9].

Dans ce chapitre nous commencons par rappeler les résultats concernant les racines réelles et imaginaires des algèbres KM puis nous passerons à la description détaillée des racines réelles et imaginaires des algèbres de Lie hyperboliques. Ces dernières forment une sous-classe particulière des algèbres KM indénies ; elles font objet d'intérêt de plus en plus croissant par les physiciens et constituent un champ de recherches en plein essor.

3.1 Dénitions et Propriétés

Soit g(A) une algèbre de Kac-Moody associée à une matrice de Cartan généralisée A, ∆ son système de racines et W son groupe de Weyl.

Une racine α ∈ ∆ est appelée réelle s'il existe w ∈ W telle que w(α) est une racine simple. Une racine qui n'est pas réelle est appelée imaginaire.

Notons ∆re_{, ∆}re

et imaginaires positives respectivement, alors ;

∆ = ∆ret ∆im

∆re = ∆re₊ t (−∆re₊)

∆im = ∆im₊ t (−∆im₊ ), _(3.1)

toutes ces réunions sont disjointes. Soit α ∈ ∆re_{, alors α = w(α}

i) pour un certain αi∈ Πet un w ∈ W .

On dénit la racine duale de α par :

αν = w(αν_i) ∈ ∆νre. _(3.2)

Cette dénition est indépendante de la représentation α = w(αi). En eet si α = w

0

(αj) est une

autre représentation, il s'ensuit de l'identité w (αi) = α = w

0

(α_j), _que

w0−1w (αi) = αj.

D'aprés (3.2), nous avons également,

w (αν_i) = w0(αν_j)

Cette correspondence nous permet de dénir la bijection W -equivariante suivante : ∆re 7−→ ∆νre

α 7−→ αν _(3.3)

Proposition 3.1 Soit α ∈ ∆re _{, alors on a :}

(a) mult α = 1

(b) kα est une racine si et seulement si k = ±1 (c) < αν_{, α >= 2}

(d) Si β ∈ ∆, il existe alors des entiers positifs p et q tels que :

β + kα ∈ ∆ t {0} si et seulement si −p ≤ k ≤ q. (e) si ±α /∈ Π, il existe i tel que : |htwi(α)| < |htα|.

Preuve Soit α ∈ ∆re_,

a) On a : α = w(αi); w ∈ W,

b) On a w(kαi) = kw(αi) = kα.Comme w ∈ W et W permute les racines, alors kα est une

racine si et seulement si k = ±1.

c) Si α = w(αi) alors αν = w(ανi),d'où :

< αν, α >=< w(αν_i), w(αi) >=< ανi, αi >= 2.

Pour la preuve de d) et e) on renvoie à [4]. Pour tout α ∈ ∆re_{, on dénit ω}

α ∈ GL(~∗) par :

ωα(λ) = λ − hαν, λi α, λ ∈ ~∗.

D'après la proposition (3.1)a, on a hαν_{, αi = 2;donc ω}

αest une réexion relative à α.

Supposons que α = ω (αi), alors ωα = ωωiω−1 ∈ W (facile à vérier). D'où ωα ∈ W.

Proposition 3.2 Soit A une matrice de Cartan généralisée indécomposable et (.|.) la forme bilinéaire symétrique standard invariante sur g(A), on a pour α ∈ ∆re_,

a) (α|α) > 0, b) αν _{= 2ν}−1_{(α) / (α|α) ,} c) Si α =X i kiαi, alors ki(αi|αi) ∈ (α|α) Z; ∀ i. Preuve :

a) (α|α) = (ω (αi) |ω (αi)) = (αi|αi) > 0, (ω ∈ W ) d'après les résutats du chapitre 1.

b) on a : ν (αν) (h) = (αν|h) = (ω (αν_i) |h) = εihh, ω (αi)i = εihh , αi = εi ¡ ν−1(α) |h¢. (3.4) Or (α|α) = (αi|αi) = 2ε−1_i , (3.5)

puisque A = DB et D = diag (ε1, ..., εn); en remplaçant l'eq(3.5) dans l'eq(3.4) on obtient : αν = 2ν_(α|α)−1(α).

c) Si α =X j kjαj , montrons que kj(αj|αj) ∈ (α|α) Z. On a : αν = w(αν_i) ∈X j Zαν_j = 2ν−1(α) (α|α) = 2ν −1 (α|α)  X j kjαj   = 2 (α|α) X j k_jν−1(α_j) = 2 (α|α) X j k_jα ν j ²j = X j k_j(αj|αj) (α|α) α ν j. Donc kj(α_(α|α)j|αj) ∈ Z, ou encore kj(αj|αj) ∈ (α|α)Z

Pour donner une caractérisation de toutes les racines, en particulier les racines imaginaires, on a besoin d'introduire la notion du cône de Tits [10].

Soit A = (aij)ni,j=1 une matrice réelle carrée d'ordre n et de rang l. Une réalisation réelle de A

est un triplet (}R, π, πν) où }Rest un espace vectoriel réel de dimension 2n−l ; π = {α1, ...., αn} ⊂

}∗

R et πv = {αv1, ...., αnv} ⊂ }R sont des sous familles dans }∗_R et }Rrespectivement. Comme noté

auparavant (voir chapitre 1), elles satisfont :

< αν_i, αj >= aij, i, j = 1, 2, .., n.

Si (}R, π, πν) est une réalisation de A sur R, alors (} = C ⊗R}R, π, πν)est une réalisation de A dans C ; }R peut s'injecter dans } par l'application :

h 7−→ 1 ⊗ h.

Donc on peut écrire }R⊂ }. On vérie facilement que }Rest stable par l'action de W . La famille C = {h ∈ }_R | < h, αi> ≥ 0, pour i = 1, .., n}

est appelée chambre fondamentale, les familles ω(C), ω ∈ W sont appelées chambres de Weyl et leur union X = ∪

w∈Wω(C) est appelée cône de Tits. Par dualité, on peut travailler sur } ∗ R et on a donc : Cν = {λ ∈ }∗_R | < αν_i, λ > ≥ 0, _{pour i = 1, ..., n} ,} Xν = ∪ w∈Wω(C ν₎

Le théorème suivant donne une caractérisation de la chambre C, du cône de Tits X et X,◦

l'intérieur de X.

Théorème 3.3 a) La chambre fondamentale C est un domaine fondamental pour l'action de

W sur X, c'est à dire tout orbite W h de h ∈ X intersecte C exactement en un point. De plus,

W _{opère transitivement sur les chambres.}

b) la chambre C est donnée par,

C = {h ∈ }_R | ∀ω ∈ W, h − ω(h) =X i

ciανi où les ci ≥ 0}.

c) X = {h ∈ }R/ < h, α >< 0, pour un nombre ni de α ∈ ∆+}. En particulier, X est un cône convexe, c'est à dire si h1, h2∈ X, alors

th1+ (1 − t)h2 ∈ X, (0 ≤ t ≤ 1), et si h ∈ X, alors sh ∈ X (s ≥ 0).

d) L'intérieur de X ,

◦

X = {h ∈ }_R | < h, α > ≤ 0, _{pour un nombre ni de α ∈ ∆}+} e) Les conditions suivantes sont équivalentes :

i) |W | < +∞ ii) X = }R iii) |∆| < +∞, iv) |∆ν_{| < +∞,}

Pour h ∈ C, on dénit le sous -groupe Wh de W par : W_h = {ω ∈ W/ ω(h) = h} , alors on a le résultat suivant :

Proposition 3.4 a) Pour tout h ∈ C, le groupe Wh est engendré par les réexions fondamen-

tales qu'il contient.

b) Si h ∈ X, alors |Wh| < ∞ si et seulement si h ∈ ◦ X.

Pour la démonstration du théorème 3.3 et la proposition 3.4, voir [4, 11]. Proposition 3.5 a) La famille ∆im

+ est invariante par W. b) Pour tout α ∈ ∆im

+ , il existe un unique β ∈ −Cν. De plus, β est un élément avec une hauteur minimale dans W.α.

Démonstration : a) On a ∆im

+ ⊂ ∆+\π; d'après le lemme 4, on a ωi(∆im+ ) ⊂ ∆, i = 1, ..., n.Donc ωi(∆im+ ) ⊂ ∆im

+ pour tout i ; d'où

W (∆im₊ ) ⊂ ∆im₊ b) Soit α ∈ ∆im

+ et β un élément de hauteur minimal dans W.α ⊂ ∆im+ . De la transformation ω_i(β) = β− < αν

i, β > αi et htωi(β) ≥ ht(β),on déduit que < ανi, β >≤ 0pour tout i ; soit aussi < αν

i, −β >≥ 0pour i = 1, ..., n; donc β ∈ Cν.D'après le théorème 3.3-a ; un tel β est unique.

Théorème 3.6 Soit A une matrice de Cartan généralisée symétrisable, indécomposable et (.|.) la forme bilinéaire invariante symétrique standard non dégénérée sur g(A) ; alors : une racine α est imaginaire si et seulement si (α|α) ≤ 0

Preuve :

Soit α ∈ ∆im

+ ; d'après la proposition 3.5 ; il existe un unique β ∈ −Cν tel que β = ω(α). Posons β =Pkiαi ∈ ∆im+ ; d'où (α|α) = (ω(α)|ω(α)) = (β|β) = X i ki(αi|β). Or (αi|β) = (ν−1(αi)|ν−1(β)) = ( (α_i|α_i) 2 α ν i|ν−1(β)) = (αi|αi) 2 < α ν i, β > . Comme β ∈ −Cν_{, alors < α}ν i, β >≤ 0, i = 1, ..n. D'où (α|α) = (β|β) ≤ 0.

Réciproquement si α est une racine telle que (α|α) ≤ 0. Alors d'après la proposition 3.3 ; α est nécessairement imaginaire.

Dénitions 3.7 Soit A une matrice de Cartan généralisée indécomposable et symétrisable, (.|.) la forme bilinéaire invariante standard pour λ ∈ ~∗_{; posons |λ|}2_{= (λ|λ) . Pour une racine réelle} α_{, il existe αi} ∈ π _{et ω ∈ W tel que α = ω(αi})_{; soit alors}

|α|2= (α|α) = |α_i|2= (α_i|α_i) .

On dit que α est une racine réelle courte (resp. longue) si |α|2 = min

i |αi|

2 _{(resp. |α|}2 ₌ max

i |αi| 2_).

Remarque : Ces deux dénitions sont indépendantes du choix de la forme bilinéaire symé- trique invariante standard.

Proposition 3.8 a) Si A est une matrice de Cartan généralisée indécomposable symétrique, alors toutes les racines réelles admettent la même longueur.

b)Si A est une matrice de Cartan généralisée indécomposable mais non symétrique et son diagramme de Dynkin S(A) est équipé de m èches de même direction alors ce sont des racines réelles dont le nombre des carrés de longueurs diérentes est(n + 1).

En particulier,

i) Si A est dans la table Fin, toute racine réelle est soit courte, soit longue.

ii) Si A est dans la table A et A 6= A(2)_2l (avec l > 1) ; toute racine réelle est soit courte, soit longue.

iii) Si A = A(2)2l (avec l > 1), il existe trois carrés de longueurs diérentes pour toutes les racines réelles.

Preuve

Il sut de démontrer cette proposition pour les racines simples. Ceci est clair puisqu'une èche dans S(A) est dirigée vers la racine simple courte.

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