Résumé fonction réciproque fonction racine nième

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 1

Résumé fonction réciproque

Ⅰ Fonction réciproque a) Théorèmes

Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼 * alors 𝑓 réalise une bijection de 𝐼 sur 𝑓(𝐼) = 𝐽

* alors 𝑓 admet une fonction réciproque notée 𝑓−1 _{définie sur 𝐽.}

* Les fonctions 𝑓 et 𝑓−1 _{ont même sens de variation.}

* Si 𝑓 est continue sur 𝐼 alors 𝑓−1 est continue sur 𝐽.

* 𝐶_𝑓−1 = 𝑆_∆(𝐶_𝑓) avec ∆∶ 𝑦 = 𝑥 * On pose 𝑀′ _{= 𝑆} ∆(𝑀) si 𝑀(𝑥 , 𝑦) ∈ 𝐶𝑓 alors 𝑀′(𝑦 , 𝑥) ∈ 𝐶𝑓−1 * ∀𝑥 ∈ 𝐽 on a (𝑓 𝜊 𝑓−1_{)(𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐼 on a (𝑓}−1 _{𝜊 𝑓)(𝑥) = 𝑥} * (𝑓 −1_{(𝑥) = 𝑦} 𝑥 ∈ 𝑓(𝐼) ) ⇔ ( 𝑓(𝑦) = 𝑥 𝑦 ∈ 𝐼 ) ∆∶ 𝑦 = 𝑥 𝐶_𝑓−1 𝐶𝑓 ∆∶ 𝑦 = 𝑥 𝐶_𝑓−1 𝐶_𝑓 b) Dérivabilité de la fonction 𝒇−𝟏

* Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 est dérivable en un réel 𝑎 et

𝑓′(𝑎) ≠ 0 alors 𝑓−1 est dérivable en 𝑏 = 𝑓(𝑎) et (𝑓−1)′_{(𝑏) =} 1

𝑓′(𝑓−1_(𝑏))

* Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et ∀𝑥 ∈ 𝐼 ;

𝑓′_{(𝑥) ≠ 0 alors 𝑓}−1 _{est dérivable sur 𝐽 = 𝑓(𝐼) et ∀𝑥 ∈ 𝐽 ; (𝑓}−1₎′_{(𝑥) =} 1

𝑓′_(𝑓−1_(𝑥)) * On a : lim 𝑥→𝑥0± 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 = 0 ± _{donc 𝐶}

𝑓 admet à gauche (resp à droite) en 𝑥0 une demi tangente horizontale.

La fonction 𝑓 est continue en 𝑥₀ ⇔ 𝑓−1 _{est continue en 𝑓(𝑥}

0) = 𝑦0 (𝑓−1(𝑦0) = 𝑥0 𝑦₀ ∈ 𝐽 ) ⇔ ( 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 𝑥₀ ∈ 𝐼 ) 𝑥 → 𝑥0± 𝑦 → 𝑦0± lim 𝑥→𝑥0± 𝑓−1(𝑦)−𝑓−1(𝑦0) 𝑦−𝑦0 = lim𝑥→𝑥0± 𝑥−𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)= lim𝑥→𝑥0± 1 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 ⏟ 0± = ±∞

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alors 𝑓−1 n’est pas dérivable à gauche (resp à droite) en 𝑦₀ et la courbe 𝐶_𝑓−1 aura à gauche

(resp à droite) en 𝑓(𝑥₀) = 𝑦₀ une demi tangente verticale.

* On a : lim

𝑥→𝑥0±

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0 = ±∞ donc 𝐶𝑓 admet à gauche (resp à droite) en 𝑥0 une demi tangente verticale.

La fonction 𝑓 est continue en 𝑥0 ⇔ 𝑓−1 est continue en 𝑓(𝑥0) = 𝑦0

(𝑓−1(𝑦0) = 𝑥0 𝑦₀ ∈ 𝐽 ) ⇔ ( 𝑓(𝑥₀) = 𝑦₀ 𝑥₀ ∈ 𝐼 ) 𝑥 → 𝑥0± 𝑦 → 𝑦0± lim 𝑥→𝑥0± 𝑓−1_{(𝑦)−𝑓}−1_(𝑦 0) 𝑦−𝑦0 = lim𝑥→𝑥0± 𝑥−𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)= lim𝑥→𝑥0± 1 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 ⏟ ±∞ = 0

alors 𝑓−1 _{est dérivable à gauche (resp à droite) en 𝑦}

0 et la courbe 𝐶𝑓−1 aura à gauche

(resp à droite) en 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 une demi tangente horizontale.

Ⅱ Fonction racine nième

a) Théorème et définition

* Soit un entier naturel 𝑛 ≥ 2 alors la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥𝑛 _{réalise une bijection de ℝ}

+ sur ℝ+

* L’application réciproque de 𝑓 est appelée la fonction racine 𝑛𝑖è𝑚𝑒

* Notation 𝑓−1(𝑥) = √𝑥𝑛 = 𝑥

1 𝑛

* Pour tout 𝑥 ∈ ℝ₊ ; √𝑥2 = √𝑥 = 𝑥12

* La fonction racine troisième est dite aussi la fonction racine cubique.

b) Conséquences

Soit un entier naturel 𝑛 ≥ 2

* La fonction 𝑥 ↦ √𝑥𝑛 réalise une bijection de de ℝ₊ sur ℝ₊

* 𝑛√𝑥 n’a un sens que lorsque 𝑥 ≥ 0

* ∀𝑥 ∈ ℝ+ on a : 𝑛√𝑥 ∈ ℝ+ * ∀𝑥 ∈ ℝ₊ ; ∀𝑦 ∈ ℝ₊ ; 𝑦 = √𝑥𝑛 ⇔ 𝑥 = 𝑦𝑛 * lim 𝑥→+∞√𝑥 𝑛 = +∞ * 𝑛√𝑥 = √𝑦𝑛 ⇔ 𝑥 = 𝑦 * 𝑛√𝑥 ≤ √𝑦𝑛 ⇔ 𝑥 ≤ 𝑦 * ∀𝑥 ∈ ℝ+ ; on a : √𝑥𝑛 𝑛 = 𝑥 * 𝑛√0= 0 et √1𝑛 = 1 b) Règles de calcul

Soit 𝑎 ∈ ℝ₊ et 𝑏 ∈ ℝ₊ , 𝑛 et 𝑝 deux entiers tels que : 𝑛 ≥ 2 et 𝑝 ≥ 2

* 𝑛√𝑎 × 𝑏 = √𝑎𝑛 × √𝑏𝑛 , (𝑎 × 𝑏)1𝑛 = 𝑎 1 𝑛× 𝑏 1 𝑛 * 𝑛√𝑎_𝑏= √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 , ( 𝑎 𝑏) 1 𝑛 =𝑎 1 𝑛 𝑏 1 𝑛 * 𝑛√𝑎𝑝 = ( √𝑎𝑛 )𝑝 , (𝑎𝑝_)𝑛1 _{= (𝑎}1_𝑛)𝑝

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 3 * √𝑛 𝑝√𝑎 = √𝑎𝑛𝑝 , (𝑎 1 𝑝₎ 1 𝑛 = 𝑎 1 𝑛𝑝 * 𝑛𝑝√𝑎𝑝 = √𝑎𝑛 , (𝑎𝑝) 1 𝑛𝑝 _{= 𝑎} 1 𝑛

c) Dérivabilité de la fonction racine nième

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et soit 𝑛 un entier naturel tel que 𝑛 ≥ 2

* Si 𝑓 est continue sur 𝐼 et pour tout ∈ 𝐼 , 𝑓(𝑥) ≥ 0 alors la fonction 𝑥 ↦ √𝑓(𝑥)𝑛 est continue sur 𝐼.

* Si 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et pour tout ∈ 𝐼 , 𝑓(𝑥) > 0 alors la fonction 𝑥 ↦ √𝑓(𝑥)𝑛

est dérivable sur 𝐼 et de

fonction dérivée : 𝑥 ↦ 𝑓′(𝑥)

𝑛( √𝑓(𝑥)𝑛 )𝑛−1

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