Expression de la différence d'ordre nième d'une fonction, au moyen de la dérivée du même ordre de cette fonction

(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A. P ICART

Expression de la différence d’ordre nième d’une fonction, au moyen de la dérivée du même ordre de cette fonction

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 12 (1873), p. 418-422

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(2)

(•)

( 4 i 8 )

EXPRESSION BE LA DIFFÉRENCE D'ORDRE n D U N E FONCTION,

au moyen de la dérivée du même ordre de cette fonction;

PAR M. A. PICART.

Soit y =zf[x) : on donne successivement à la va- riable les valeurs x , x -h A, j - f a f t , . . . , x-\-nh\ la fonction prend les valeurs correspondantes ƒ (x), f (x-f-A), f(x -f- ih),.. ., ƒ (x -h rili) ; sa différence nième est alors

I .2

4-1)

Il s'agit d'exprimer cette différence au moyen <le la dé- rivée ri^ème de la fonctî«ôfi f{x). (Posons

ou

i . :

1 7 X —

ou, en remplaçant h par

(3)

**(4*9)**

et considérons la fonction

**- « M * ) - A**

Elle s'annule pour z = x, en vertu de (i), et pour s = X ; car elle devient, p<rar cette valeur de z.

et la quantité entre parenthèses est égale à zéro; doncsa dérivée s'annule pour une valeur zt de z intermédiaire entre a: et X (on suppose la fonction f (x) finie et con- tinue dans l'intervalle d e x à X ) . Or

1 . 2

Cette fonction <j>'{z) s'annule aussi pour z = X; donc la dérivée y"(z) doit s'annuler pour une valeur z^de z comprise entre zx et X (pourvu que ff(x) soit continue dans l'intervalle de x à X). Or

27.

(4)

OU

I .2

) / X -

Cette dérivée seconde s'annule aussi pour z = X\ car elle devient, pour cette valeur de z,

et l'on sait que l'expression

(n — I ) ( / I — 1 . 2

est nulle pour toutes les valeurs entières et positives de p inférieures à n — i, et égale à i . a.. . (n — i) (—î)""*1, pour p = n — i] donc la dérivée tierce s'annule pour une valeur z% de z comprise entre £2 et X [pourvu que fff{x) soit continue de x à X ] .

Or

H- (/f — l ) ( « — 2) A (X— z\ —

Cette dérivée s'annule aussi pour z = X; donc la dé- rivéfe quatrième s'annulera pour une valeur z* de -z comprise entre z8 et X. En* continuant ainsi, on verra que la dérivée niètne de la fonction ?(*) doit s'annuler pour

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une valeur zn de z comprise entre x et X. Or on a

1 . 1

— (— if{n~ I ) ( / I — a ) . . . 3 . 2 . i A ,

donc

\ôn~t~~...

A ^ j 1 . 2 . . . (« — 1)

ou, en mettant, à la place de z^rt, x -h ÔrcA (o <^ 9 <^ i), et à la place de X, x 4- w/*⁷

L 2 :

et Ton a ainsi la formule remarquable

( l ) < / W ( * + î ^

— ^ "' 1 . 2 . 3 . . . ( « — i

ô étant un nombre positif plus petit que i.

(6)

On en déduit, lorsqu'on fait tendre h vers o,

•fit / \ n(n — i)

lim ;

1.2. . . (n — i)

.2.. . ( » - !

OU

(a) l i m - ^ ^ = / < • ) ( * ) .

La formule (i) n'a été établie que dans l'hypothèse où la fonction f (x) et ses n — i premières dérivées sont continues, et la nihme déterminée, dans l'intervalle de x à X^par suite, la formule (a) implique que la fonction f (oc) et ses n — i premières dérivées soient continues pour la valeur de x que l'on considère, et que la n^ihne dérivée soit déterminée.