Fonction racine nième (n☻IN, nÃ2)

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Fonction racine nième (n ☻IN , n à 2)

I. Racine nième.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit fn la fonction définie sur [0;+õ[ par fn(x)=xⁿ. f_n est définie, dérivable et donc continue sur [0;+õ[ et ┐x>0, f_n′(x)=nxⁿ⁻¹

fn′(x) est donc toujours du signe de x d’où fn est strictement croissante sur [0;+õ[.

f_n(0)=0ⁿ=0 et lim

x↔+õf_n(x)= lim

x↔+õxⁿ=+õ

Donc d’après un corollaire du TVI, ┐a☻[0;+õ[ l’équation fn(x)=a admet une solution unique dans [0;+õ[.

Définition :

Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2.

L’unique réel positif γ solution de l’équation f_n(x)=a c'est-à-dire l’unique réel positif γ tel que f_n(γ)=a, c'est-à-dire tel que γⁿ=a est appelé la racine n-ième de a. On note γ = ⁿ a.

Exemples :

n 0=0 car 0ⁿ=0 ³8=2 car 2³=8

Propriétés :

Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2.

° Si a=0, ⁿ a=ⁿ 0=0 ° Si a>0, ⁿ a=a

1 n

Démonstration :

Si a>0, xⁿ=a ñ lnxⁿ=lna ñ nlnx=lna ñ lnx=1

nlna(car ný0) ñ lnx=lnaⁿ¹ ñ x=a

1 n

Exemple : ³ 8=8¹³=2

II. Etude de la fonction racine nième

1. Définition Soit n un entier supérieur ou égal à 2,

On appelle fonction racine nième la fonction gn définie sur [0;+õ[ par gn(x)=ⁿ x=xⁿ¹ =



0 si x=0 e

1 nlnx

si x>0

2. Dérivée

┐x>0, posons u(x)=1

nlnx alors ┐x>0, gn(x)=ⁿ x=x

1

n=e

1 nlnx

=e^u(x).

Sur ]0;+õ[, la fonction gn est dérivable comme composée de fonctions dérivables et

┐x>0, g_n′(x)=u′(x)e^u(x)= 1 nxe

1 nlnx

>0 car 1

nx>0 et e^u(x)>0 Etude de la dérivabilité en 0.

τ0(h)= g_n( 0+h)−g_n( 0)

h = g_n(h)−g_n( 0)

h = h

1

n−0

h =hⁿ¹⁻¹=h¹⁻ⁿⁿ =e

1−n n lnh

nÃ2 donc 1−n<0 donc 1−n n <0 lim

h↔0lnh=-õ donc lim

h↔0

1−n

n lnh=+õ D’où lim

h↔0τ0(h)= lim

X↔+õe^X=+õ donc gn n’est pas dérivable en 0.

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3. Continuité

gn est dérivable sur ]0;+õ[ donc gn est continue sur ]0;+õ[

Etude de la continuité en 0.

lim

x↔0 x>0

gn(x)= lim

x↔0 x>0

e

1 nlnx

= lim

X↔-õe^X=0. Or gn(0)=0 donc lim

x↔0gn(x)=gn(0) donc gn est continue en 0.

En conclusion : g_n est continue sur [0;+õ[

4. Tableau de variations

Les informations des questions précédentes permettent de déterminer le tableau des variations de f :

x −∞ +∞

signe de f ′(x) +

+õ f

0

5. Représentation graphique

Dans un repère orthonormal, les courbes des fonctions f_n : x→xⁿ et g_n : x →ⁿ x définies sur [0;+õ[ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Exemple : pour n=3

f3 : x→x³ sur [0;+õ[ g3 : x →³ x sur [0;+õ[

III. Exercices

Exercice 1

Simplifier les écritures des nombres suivants :

A=³ 64 B=³ 2׳ 2⁵ C= ⁴ 256 D=

( )



4

a

2 5

10

F= a

Exercice 2

Etudier les fonctions ci-dessous : (a) f : x→ 2

4 x

(a) f : x→³ x²+1

2

0 1

1

x y

Βg₃

Βf3 y=x