Aide à la construction et l'évaluation des preuves mathématiques déductives par les systèmes d'argumentation

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Nadira Boudjani

To cite this version:

Nadira Boudjani. Aide à la construction et l’évaluation des preuves mathématiques déductives par les systèmes d’argumentation. Autre [cs.OH]. Université Montpellier, 2018. Français. �NNT : 2018MONTS060�. �tel-02117931�

Préparée au sein de l’école doctorale

I2S

Et de l’unité de recherche

LIRMM

Spécialité:

Informatique

Présentée par

Nadira Boudjani

boudjani@lirmm.fr

Aide à la Construction et

l’Évaluation des Preuves

Mathématiques Déductives

par les Systèmes

d’Argumentation

Soutenue le 05/12/2018 devant le jury composé de

M. Christian BESSIERE DR U. de Montpellier Invité M. Abdelkader Gouaich MC U. de Montpellier Co-encadrant Mme. Souhila Kaci PR U. de Montpellier Directrice de thèse

Mme. Marie-Christine Lagasquie-Schiex PR U. Paul Sabatier Examinateur (président du jury) M. Farid Nouioua MC U. de Marseille Examinateur

Mme. Gabriella Pigozzi MC U. Paris-Dauphine Examinateur M. Christian Retoré PR U. de Montpellier Examinateur M. Nicolas SABY MC U. de Montpellier Invité M. Leendert Van Der Torre PR U. du Luxembourg Rapporteur Mme. Serena VILLATA CR CNRS-HDR, I3S Rapporteur

L’apprentissage des preuves mathématiques déductives est fondamental dans l’enseignement des mathématiques. Cependant, l’enquête TIMSS (Trends in Interna-tional Mathematics and Science Study) menée par l’IEA ("InternaInterna-tional Association for the Evaluation of Educational Achievement") en mars 2015, montre que les étu-diants éprouvent de plus en plus de difficultés pour comprendre et écrire les preuves mathématiques. Pour pallier ce problème, plusieurs travaux en didactique des mathé-matiques utilisent l’apprentissage collaboratif en classe. L’apprentissage collaboratif consiste à définir un objectif commun pour un groupe d’étudiants afin de favoriser le "travailler ensemble". Il repose sur le débat et l’argumentation. Ce "travailler en-semble" se traduit par des discussions et des débats où chacun exprime ses points de vue sous forme d’arguments et de contre-arguments. L’argumentation utilisée dans ces approches est basée sur des discussions informelles qui permettent aux étudiants d’exprimer publiquement leurs déclarations et de les justifier pour construire des preuves déductives. Ces travaux ont montré que l’argumentation est une méthode adaptée et intéressante pour l’apprentissage des preuves mathématiques car :

(i) elle améliore la pensée critique et les compétences métacognitives telles que l’auto-critique et l’auto-évaluation ; (ii) elle augmente la motivation des étudiants par les interactions sociales ; et (iii) elle favorise l’apprentissage entre les étudiants. Du point de vue des enseignants, certaines difficultés surgissent avec ces approches concernant l’évaluation des preuves déductives produites par les étudiants. En ef-fet, l’évaluation des résultats (qui comprend non seulement la preuve finale mais aussi les étapes intermédiaires, les discussions, les conflits qui peuvent exister entre les étudiants durant le débat) introduit une charge de travail importante pour les enseignants ce qui va limiter l’acceptation de telles démarches comme outils péda-gogiques.

Dans cette thèse, nous proposons un système pour la construction et l’évaluation des preuves mathématiques déductives. Ce système peut être considéré comme un outil pédagogique avec un double objectif : (i) permettre aux étudiants de construire des preuves mathématiques déductives indirectement à partir d’un débat argumen-tatif structuré ; et (ii) aider les enseignants à évaluer ces preuves et toutes les étapes intermédiaires afin d’identifier les lacunes et fournir des retours constructifs aux étudiants.

Plus spécifiquement, le système utilise le cadre de l’argumentation en intelligence artificielle qui permet à la fois de structurer le débat entre les étudiants et d’avoir

une analyse afin de proposer aux enseignants les composantes les plus pertinentes du débat.

Nous avons implanté et validé ce système par une étude expérimentale qui a évalué son acceptabilité par les étudiants, pour la construction collaborative des preuves déductives, et par les enseignants pour l’évaluation et la rédaction de re-tours. L’expérimentation a montré que notre système, qui se base sur les systèmes d’argumentation, est approprié à la représentation et la structuration des preuves déductives. Le système permet aux étudiants, sans prérequis en argumentation, de construire et structurer des preuves déductives. L’acceptabilité du système a été éva-luée comme étant OK par les étudiants. Cette expérimentation a montré aussi que les différentes représentations proposées par le système aident les enseignants dans l’évaluation des preuves mathématiques déductives. Ces représentations facilitent la correction des preuves et la compréhension du raisonnement suivi par les étudiants lors de la construction des preuves déductives.

Learning deductive proofs is fundamental for mathematics education. Yet, many students have difficulties to understand and write deductive mathematical proofs which has severe consequences for problem solving as highlighted by several stu-dies. According to the recent study of TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), the level of students in mathematics is falling. Students have difficulties to understand mathematics and more precisely to build and structure mathematical proofs.

To tackle this problem, several approaches in mathematical didactics have used a social approach in classrooms where students are engaged in a debate and use argu-mentation in order to build proofs. The term "arguargu-mentation" in this context refers to the use of informal discussions in classrooms to allow students to publicly express claims and justify them to build proofs for a given problem. The underlying hypo-theses are that argumentation : (i) enhances critical thinking and meta-cognitive skills such as self monitoring and self assessment ; (ii) increases student’s motivation by social interactions ; and (iii) allows learning among students. From instructors’ point of view, some difficulties arise with these approaches for assessment. In fact, the evaluation of outcomes – that includes not only the final proof but also all intermediary steps and aborted attempts – introduces an important work overhead. In this thesis, we propose a system for constructing and evaluating deductive ma-thematical proofs. The system has a twofold objective : (i) it allows students to build deductive mathematical proofs using structured argumentative debate ; (ii) it helps the instructors to evaluate these proofs and assess all intermediary steps in order to identify misconceptions and provide a constructive feedback to students. The sys-tem provides students with a structured framework to debate during construction of proofs using the proposed argumentation frameworks in artificial intelligence. These argumentation frameworks are also used in the analysis of the debate which will be used to represent the result in different forms in order to facilitate the evaluation to the instructors. The system has been implemented and evaluated experimentally by students in the construction of deductive proofs and by instructors in the eva-luation of these proofs. The experimental study shows that students, with no prior knowledge on formal argumentation, are able to build deductive proofs using formal argumentation frameworks. The usability of the system is evaluated as being "ok" on the SUS scale. This experiment also showed that the different representations pro-posed by the system help instructors in the evaluation of deductive mathematical

proofs. These representations facilitate the correction of proofs and the understan-ding of the students’ reasoning when constructing proofs.

Je tiens à remercier ma directrice de thèse Souhila KACI ainsi que mon co-encadrant Abdelkader GOUAICH d’avoir dirigé cette thèse.

Merci pour leur disponibilité, leur intérêt et conseils durant ces trois années et aussi pour leur soutien et encouragements dans les moments difficiles.

Je remercie les membres du jury d’avoir accepté d’évaluer mes travaux de thèse. Merci pour leur intérêt, questions et commentaires.

Je remercie les étudiants et enseignants qui ont participé aux expérimentations afin de validé les résultats de cette thèse.

Je remercie mes amis doctorants que j’ai rencontrés à Montpellier. Vous étiez pour moi comme une deuxième famille.

Je tiens à remercier, du plus profond de mon cœur, mes parents, mes soeurs ainsi que mon fiancé. Merci pour votre amour.

Je remercie également le gouvernement algérien de m’avoir donné l’opportunité de réaliser ma thèse dans les meilleurs conditions.

1 Introduction 1

1.1 Contexte et problématique . . . 2

1.1.1 Techniques de preuves mathématiques . . . 2

1.1.2 Apprentissage collaboratif des mathématiques . . . 5

1.2 Proposition . . . 6

1.3 Structure de la thèse . . . 7

I

État de l’art

11

2.2 Argumentation informelle et semi-formelle . . . 15

2.2.1 Argumentation informelle . . . 15

2.2.2 Argumentation semi-formelle . . . 15

2.3 Preuves mathématiques et argumentation . . . 18

2.3.1 Rapport entre les preuves mathématiques et argumentation . . 19

2.3.2 Argumentation informelle, apprentissage collaboratif et preuves mathématiques . . . 20

2.3.3 Les preuves mathématiques dans le modèle de Toulmin . . . . 21

2.4 Quelques outils de construction de preuves mathématiques . . . 23

2.4.1 Assistants de preuves mathématiques . . . 23

2.4.2 Environnement de preuves mathématiques . . . 25

2.5 Conclusion . . . 27

3 Preuves mathématiques et argumentation formelle 33 3.1 Introduction . . . 34

3.2 Systèmes d’argumentation . . . 35

3.2.1 Système d’argumentation de Dung . . . 35

3.2.2 Système d’argumentation à base de préférences . . . 38

3.2.3 Système d’argumentation bipolaire . . . 39

3.2.4 Système d’argumentation avec défi récursif . . . 43

3.2.5 Système d’argumentation avec défi et support récursifs . . . . 44 vii

3.2.6 Système d’argumentation structuré : ASP IC . . . 47

3.3 Systèmes d’argumentation et preuves mathématiques . . . 49

3.3.1 Le modèle de dialogue de Lakatos . . . 49

3.3.2 Adaptation et implantation du modèle de dialogue de Lakatos 50 3.4 Conclusion . . . 54

II

Proposition

57

4.2 Modélisation du système de construction et d’évaluation des preuves mathématiques déductives . . . 60

4.2.1 Interaction entre étudiants . . . 60

4.2.2 Arguments et leur validité . . . 61

4.2.3 Relations et leur validité . . . 63

4.2.4 Validité des relations . . . 66

4.2.5 Les actions . . . 67

4.3 Processus du système . . . 69

4.3.1 Étape de construction . . . 70

4.3.2 Étape de représentation et d’analyse du graphe de débat . . . 70

4.3.3 Étape d’évaluation . . . 83

4.4 Présentation de CLEAR . . . 86

4.5 Conclusion . . . 88

5 Expérimentation 91 5.1 Introduction . . . 92

5.2 Expérimentation avec les étudiants . . . 92

5.2.1 Expérimentation pilote 1 . . . 92

5.2.2 Expérimentation pilote 2 . . . 94

5.2.3 Expérimentation 3 : avec les étudiants en Mathématiques . . . 98

5.2.4 Expérimentation 4 : avec les étudiants en Informatique . . . . 101

5.3 Expérimentation avec les enseignants . . . 106

5.3.1 Description de l’expérimentation . . . 107

5.3.2 Variables observées . . . 108

5.3.3 Résultats et discussion . . . 108

5.4 Conclusion . . . 110

III

Conclusion générale et Perspectives

115

6.3 Retour sur la thèse . . . 120

A Annexe 123

A.1 Construction de la preuve déductive : étudiants . . . 123 A.2 Évaluation des preuves déductives : enseignants . . . 125

1.1 Construction collaborative des preuves mathématiques dans le système. 7

1.2 Représentations du débat dans le système. . . 8

1.3 Évaluation des preuves mathématiques dans le système. . . 9

2.1 Schéma du modèle de Toulmin. . . 18

2.2 Exemple du modèle de Toulmin. . . 18

2.3 Représentation de la preuve de Théétète par Toulmin,Toulmin et col-lab. (1984). . . 22

2.4 Représentation de l’argument de Zermelo pour l’adoption de l’axiome de choix par le modèle de Toulmin,Alcolea Banegas (1998). . . . 22

2.5 Les cinq façons de combinaison du modèle de Toulmin,Aberdein (2006) . . . 23

2.6 Représentation d’une preuve dans Isabelle. . . 24

2.7 Preuve de tri d’une liste écrite par Coq. . . 25

2.8 Présentation du théorème à prouver dans Proof Designer. . . 26

2.9 Preuve initiale dans Proof Designer. . . 27

2.10 Application d’une définition dans Proof Designer. . . 28

2.11 Les sous-preuves dans Proof Designer. . . 29

2.12 Preuve finale de ∪F ⊆ ∪G dans Proof Designer. . . 30

2.13 Présentation du théorème à prouver dans EPGY. . . 31

2.14 Construction de preuves dans EPGY. . . 32

3.1 Graphe de défi de SA. . . 35

3.2 Graphe d’attaque de SAP . . . 38

3.3 Graphe de défi de SAc. . . 38

3.4 Graphe de défi et support de SAB. . . 39

3.5 Graphe de défi, support et défi supporté de SAB. . . 40

3.6 Graphe de défi, support et défi médiatisé de SAB. . . 41

3.7 Graphe de défi, support et défi prolongé de SAB. . . 41

3.8 Graphe de défi de SAc correspondant à SABN. . . 42

3.9 Graphe de défi de SAc correspondant au SABD. . . 43

3.10 Graphe de défi de SAR . . . 44

3.11 Graphe de défi et support de SABR. . . 45 xi

3.12 Graphe de défi et support de SABRL. . . 45

3.13 Codage des relations de défi et de support récursifs dans les SAB, Cayrol et collab. (2016). . . 46

3.14 SAB associé au SABRL. . . 47

3.15 SMA associé au SAB. . . 47

3.16 Format d’échange d’arguments d’un dialogue de Lakatos à l’étape k. . 53

3.17 Système d’argumentation de Dung associé au format d’échange d’ar-gument de la Figure3.16. . . 54

4.1 Relation de déduction entre A1 et A3. . . 64

4.2 Relation de déduction entre les arguments A3, A5, A6 et A4 . . . 65

4.3 Relation de défi entre A2 et A1. . . 66

4.4 Relation de défi entre l’argument Ainf 3 et la relation ”A2 défie A1”. . 66

4.5 Relation de défi entre l’argument Ainf 4 et la relation «A2 déduit A4». 67 4.6 Processus du système de construction et d’évaluation des preuves ma-thématiques déductives. . . 69

4.7 Graphe du débat complet. . . 71

4.8 Le SABRL correspondant au graphe de débat. . . 75

4.9 Le SAB associé au SABRL. . . 76

4.10 Le SMA associé au SAB. . . 77

4.11 Graphe de débat de la preuve de a2 = 4. . . 78

4.12 La projection de EP sur le graphe de débat de l’Exemple 44. . . 80

4.13 Le graphe de preuve correspondant au graphe de débat initial . . . . 81

4.14 Le passage d’un graphe de débat à un graphe de preuve. . . 82

4.15 Syntaxe de la représentation intermédiaire. . . 83

4.16 Algorithme du passage d’un graphe de preuve à la représentation intermédiaire . . . 84

4.17 Représentation intermédiaire du graphe de preuve de l’Exemple 52 (1/2). . . 85

4.18 Représentation intermédiaire du graphe de preuve de l’Exemple 52 (2/2). . . 86

4.19 L’interface de CLEAR. . . 87

5.1 Statut de CLEAR par étudiant. . . 104

5.2 Score moyen de CLEAR. . . 104

5.3 Temps de correction moyen des preuves par les méthodes (M1),(M2),(M3) et (M4). . . 110

5.4 Rapidité et Facilité moyennes estimées de la correction des méthodes selon les enseignants. . . 111

5.5 Note moyenne de la facilité estimé de la compréhension du raisonne-ment des étudiants par les enseignants. . . 112

5.6 Classement des méthodes sur la facilité de correction, compréhension du raisonnement et rédaction d’un retour. . . 113

A.1 Connexion à CLEAR : étudiant. . . 123

A.2 Sélection de la branche de l’exercice à prouver dans CLEAR. . . 124

A.3 Sélection de l’exercice à prouver dans CLEAR. . . 125

A.4 Espace de construction de la preuve dans CLEAR. . . 126

A.5 Ajout d’une relation dans CLEAR. . . 126

A.6 Ajout d’un argument formel dans CLEAR. . . 127

A.7 Ajout d’un argument informel dans CLEAR. . . 127

A.8 Connexion à CLEAR : enseignant. . . 128

A.9 Choix de la preuve à évaluer dans CLEAR. . . 128

A.10 Choix de la méthode d’évaluation dans CLEAR. . . 129

2.1 Tableau comparatif entre l’argumentation informelle et l’argumenta-tion semi-formelle dans la construcl’argumenta-tion des preuves mathématiques. . 29 4.1 Tableau comparatif : CLEAR et les environnements de preuves

pré-sentés. . . 88 5.1 Nombre d’arguments, relations et actions durant la construction de

la preuve (expérimentation pilote 1). . . 94 5.2 Nombre d’arguments, relations et actions durant la construction de

la preuve (expérimentation pilote 2). . . 96 5.3 Évaluation de CLEAR par les étudiants selon notre questionnaire

(expérimentation pilote 2). . . 97 5.4 Moyenne et écart-type du nombre d’arguments, relations et actions

durant la construction des preuves par les étudiants en mathématiques.101 5.5 Évaluation de CLEAR par les étudiants en mathématiques selon notre

questionnaire. . . 103 5.6 Moyenne et écart-type du nombre d’arguments, relations et actions

durant la construction des preuves par les étudiants en informatique. 105 5.7 Évaluation de CLEAR par les étudiants en informatique selon notre

questionnaire. . . 105 5.8 Classement des retours par catégorie. . . 110 5.9 Caractéristiques des méthodes par les enseignants. . . 114

Introduction

Sommaire

1.1 Contexte et problématique . . . 2

1.1.1 Techniques de preuves mathématiques . . . 2

1.1.2 Apprentissage collaboratif des mathématiques . . . 5

1.2 Proposition . . . 6

1.3 Structure de la thèse . . . 7

1.1

Contexte et problématique

L’enquête TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) est une étude internationale menée par l’IEA ("International Association for the Evalua-tion of EducaEvalua-tional Achievement") qui a pour objectif de mesurer les performances des élèves en mathématiques et en sciences. Les conclusions de l’enquête menée en 2015 (T) montrent que le niveau des étudiants en mathématiques est en baisse et que les étudiants rencontrent des difficultés pour maîtriser le "langage" qui permet de comprendre et à écrire des preuves mathématiques.

Les preuves mathématiques représentent un sujet de recherche central en didac-tique des mathémadidac-tiques. Une preuve mathémadidac-tique est la traduction d’un raison-nement qui permet d’établir un résultat à partir de certaines hypothèses. Sous sa forme la plus simple, une preuve mathématique peut être considérée comme une suite de déclarations logiquement ordonnées qui, à partir d’hypothèses, conduit à une conclusion. La conclusion représente le résultat de la preuve et ce résultat doit être accepté du moment où les toutes étapes intermédiaires sont acceptées. Nous voyons clairement la distinction entre le résultat de la preuve et les étapes qui per-mettent de l’établir. Cette distinction est importante à comprendre, car certains étudiants peuvent accepter un résultat mathématique mais éprouver des difficultés à le prouver.

1.1.1

Techniques de preuves mathématiques

Une preuve mathématique peut être construite par plusieurs techniques : la preuve déductive (ou directe), la preuve inductive, la preuve par contraposée et la preuve par l’absurde.

1.1.1.1 Preuve déductive

La preuve par déduction, dite aussi preuve directe, est la technique la plus uti-lisée. Il s’agit de prouver un énoncé en partant directement des hypothèses et en arrivant à la conclusion par une suite d’implications logiques. L’énoncé du problème fournit une ou plusieurs proposition(s) donnée(s) comme prémisse(s), et demande à inférer un résultat, la conclusion.

Le processus de preuve est de nature récursive ; par conséquent le statut de certaines propositions change. Par exemple, pour établir un résultat intermédiaire, une sous-preuve est utilisée et une même proposition qui avait le statut de prémisse devient alors une conclusion de cette sous-preuve.

Exemple 1 Nous voulons démontrer «si m est un entier impair et n est un entier pair alors m + n est un entier impair».

(1) si m est impair alors m = 2k1+ 1, où k1 est un entier

(2) si n est pair alors n = 2k2, où k2 est un entier

(3) de (1) et (2), on a m + n = 2k1+ 1 + 2k2

(4) de (3), on a m + n = (2k1+ 2k2) + 1

(5) de (4), on a m + n = 2(k1+ k2) + 1

(6) de (5), m+n est un entier impair

Dans cet exemple, à partir des prémisses «m est un entier impair» et «n est un entier pair» nous avons déduit la conclusion «m+n est un entier impair». Le passage entre les lignes se fait comme suit : à partir des lignes (1) et (2) on déduit la ligne (3) ; la ligne (3) déduit la ligne (4) ; la ligne (4) déduit la ligne (5) ; et la ligne (5) déduit la conclusion. Chaque conclusion devient une prémisse pour déduire une nouvelle conclusion jusqu’à arriver à déduire la conclusion «m+n est un entier impair». 1.1.1.2 Preuve inductive

Une preuve inductive, dite aussi preuve par récurrence, consiste à démontrer une propriété qui porte sur tous les entiers naturels (ou plus généralement tout ensemble muni d’un bon ordre). Soit P cette propriété. Pour démontrer P nous vérifions qu’elle est vraie pour un entier naturel donné n0 puis nous supposons qu’elle est vraie pour

n et nous démontrons que cela implique qu’elle est vraie pour n + 1. L’objectif de la preuve inductive est de généraliser des cas particuliers. Si la propriété est vraie pour un certain entier naturel n, elle est également vraie pour son successeur. Formellement, une preuve inductive est définie comme suit :

Soit P une propriété qui porte sur un entier naturel n. Soit n0 un entier donné.

Démontrer que P (n) est vraie pour tout n > n0 se déroule en deux étapes :

1. Vérifier que la propriété P (n0) est vraie.

2. Supposer que pour un entier naturel n > n0 la propriété P (n) est vraie et

démontrer que la propriété P (n + 1) est vraie. Exemple 2 Soit (Un) une suite définie par :

 U0 = 2

Un+1 = 1 + 1+1Un

Nous voulons démontrer que pour tout entier naturel 1 ≤ Un≤ 2.

1. U0 = 2 donc 1 ≤ U0 ≤ 2. La propriété est vraie pour n0 = 0.

2. Supposons que la propriété est vraie pour n. Démontrons qu’elle vraie pour n+1. (1) 1 ≤ Un≤ 2 (2) de (1), 2 ≤ 1 + Un≤ 3 (3) de (2), 1 3 ≤ 1 1+Un ≤ 1 2 (4) de (3), 1 + 1 3 ≤ 1 + 1 1+Un ≤ 1 + 1 2 (5) de (4), 4 3 ≤ Un+1≤ 3 2 (6) de (5), 1 ≤ 4 3 ≤ Un+1≤ 3 2 ≤ 2 (7) de (6), 1 ≤ Un+1≤ 2

La propriété reste donc vraie pour n + 1. Donc elle est vraie pour tout entier naturel n.

1.1.1.3 Preuve par contraposée

En logique, la contraposée de la proposition «A implique B» est l’implica-tion «non B implique non A». Ce raisonnement s’appuie sur l’équivalence entre une implication logique et sa contraposée. La preuve par contraposée consiste donc à démontrer la contraposée d’une proposition, ce qui est équivalent à démonter la proposition initiale. Cette technique se justifie lorsque la contraposée est plus facile à démontrer que la proposition initiale.

Exemple 3 Nous souhaitons établir le résultat suivant : «Si n2 _{est pair alors n est}

pair ». Pour cela nous allons essayer de prouver la contraposée de cette proposition qui est : «Si n est impair alors n2 _{est impair ».}

(1) Si n est impair alors n = 2k + 1, où k est un entier (2) de (1), n2 = (2k + 1)2 (3) de (2), n2 = (2k)2 + 4k + 1 (4) de (3), n2 = 2(2k2 + 2k) + 1 (5) de (4), n2 _{est impair}

(6) Donc Si n est impair alors n2 _{est impair. On conclut «Si n}2 _{est pair alors n est pair».}

1.1.1.4 Preuve par l’absurde

La preuve par l’absurde est une technique qui permet de démontrer qu’une pro-position est vraie en montrant que son contraire est faux. Elle s’appuie sur la règle en logique classique : Si "non P" est faux, alors P est vraie. Donc pour démontrer une proposition P , nous supposons "non P" et montrons que cette hypothèse conduit à une contradiction, ce qui prouve "non (non P)". En logique classique, "non (non P)" est équivalent à "P".

Exemple 4 Nous voulons démontrer «0 n’a pas d’inverse dans R». Pour cela, nous supposons que 0 a un inverse dans R.

(1) si 0 a un inverse dans R alors ∃a ∈ R tel que 0 × a = 1 (Définition de l’inverse). (2) ∀x ∈ R on a 0 × x = 0

(3) de (1) et (2), 0=1 : contradiction

(4) de (3), l’hypothèse «0 a un inverse dans R» est fausse (5) Donc «0 n’a pas d’inverse dans R».

Objectif de la thèse : Comme nous venons de le voir la preuve déductive est la technique de base sur laquelle sont construites les autres techniques. C’est un prére-quis fondamental pour comprendre comment établir un résultat en mathématiques. Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons principalement à la maîtrise de cette technique.

1.1.2

Apprentissage collaboratif des mathématiques

La didactique des mathématiques est définie par Artigue et Douady (1986) ; Douady (1984) comme suit :

« La didactique des mathématiques est l’étude de processus de transmission et d’acquisition des différents contenus de cette science, et qui propose de décrire et d’expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son ap-prentissage. Elle ne se réduit pas à chercher une bonne manière d’enseigner une notion fixée. »

Plusieurs travaux en didactique cherchent à favoriser un cadre d’apprentissage collaboratif. L’apprentissage collaboratif repose sur deux aspects : le débat et l’ar-gumentation. Un débat est un ensemble d’échanges de différents points de vue entre individus dans le but de résoudre un problème sur un sujet précis. EVELEIGH et TOZZI (2002) définissent le débat comme suit : « Le débat est un conflit socio-cognitif qui résulte de la confrontation de représentations, de points de vue sur un sujet provenant de différents individus en interaction. Il s’agit de convaincre son partenaire en utilisant l’argumentation et donc de débattre.»

L’apprentissage collaboratif se traduit dans le contexte de l’enseignement des mathématiques par regrouper des étudiants afin de travailler conjointement pour résoudre un problème commun. C’est donc un cadre social qui permet aux étudiants de s’engager dans des discussions et exprimer leurs points de vue sous forme d’ar-guments et de contre-ard’ar-guments afin d’établir un résultat qui permet de résoudre le problème posé.

Les discussions et débats entre les étudiants pour justifier ou critiquer publique-ment les déclarations avancées motivent les étudiants à s’engager davantage dans le processus d’apprentissage et augmentent la confiance et l’estime de soi Kirkpa-trick (2016).

Kirkpatrick (2016) montre par exemple que l’augmentation de la motivation chez les étudiants est liée à l’utilisation active de l’argumentation. Cette étude a prouvé que l’argumentation et le débat représentent une base efficace pour l’appren-tissage collaboratif des mathématiques.

Donc l’argumentation est une méthode qui favorise l’apprentissage des preuves mathématiques, car elle :

1. améliore la pensée critique et les compétences métacognitives telles que l’auto-critique et l’auto-évaluation,

2. augmente la motivation des étudiants par les interactions sociales, 3. favorise l’apprentissage en classes.

Cependant, nous pensons que les approches actuelles qui portent sur l’appren-tissage collaboratif informel ou semi-formel dans les classes de mathématiques pré-sentent deux principales limites :

(L1) Manque de structuration du débat : l’argumentation dans ces approches uti-lise des discussions informelles qui permettent aux étudiants d’exprimer pu-bliquement leurs déclarations et de les justifier pour construire des preuves déductives. Nous pensons que les débats qui conduisent à la construction des preuves mathématiques doivent être structurés. Cette structuration aidera les étudiants à mieux représenter leurs arguments et à expliciter leur raisonne-ment dans la construction des preuves. Cette explicitation du raisonneraisonne-ment fournit des données qui peuvent être exploitées par des algorithmes d’analyse. (L2) Difficulté de l’évaluation des débats en classe par les enseignants : l’évalua-tion des débats, qui comprend non seulement la preuve finale mais aussi les étapes intermédiaires, les discussions, les conflits qui peuvent exister entre les étudiants durant la construction des preuves, introduit une charge de travail importante aux enseignants ce qui limitera l’acceptation de l’argumentation comme outil pédagogique.

1.2

Proposition

Nous proposons un système pour la construction et l’évaluation des preuves déductives qui répond aux limites (L1) et (L2) concernant la structuration du débat et l’évaluation des preuves produites.

Nous répondons à ces limites avec deux objectifs :

— Permettre aux étudiants de construire des preuves mathématiques déductives à partir d’un débat structuré.

— Aider les enseignants à évaluer ces preuves et toutes les étapes intermédiaires afin d’identifier les erreurs et les lacunes et de fournir un retour constructif aux étudiants.

Les acteurs de notre système sont les étudiants et les enseignants :

— Les étudiants utilisent le système pour indirectement construire des preuves déductives en passant par un débat structuré.

— Les enseignants utilisent le système pour évaluer les preuves déductives avec un choix sur le niveau de détail souhaité afin d’identifier les erreurs de raison-nement et les corriger.

Le système comprend trois étapes principales :

1. Dans la première étape les étudiants se mettent en groupe et construisent la preuve sous forme d’un graphe de débat (voir la Figure 1.1).

2. La deuxième étape consiste à analyser ce graphe de débat et le représenter sous différentes formes : une simple représentation textuelle des événements survenus (appelée journal de débat), une projection du graphe en utilisant

une sémantique du cadre de l’argumentation (appelée graphe de preuve) et une représentation classique de la preuve déductive (appelée preuve déductive classique) (voir Figure 1.2).

3. La troisième étape consiste à évaluer le débat avec ses différentes représenta-tions par les enseignants (voir Figure 1.3). Notre hypothèse est que ces diffé-rents niveaux de représentation facilitent la correction et l’évaluation en ex-plicitant le raisonnement des étudiants. Ceci permet d’identifier les erreurs et facilite, par conséquent, la rédaction de retours constructifs.

Figure _{1.1 – Construction collaborative des preuves mathématiques dans le système.}

L’outil de construction et d’évaluation des preuves mathématiques déductives, appelé CLEAR, a été implanté. Il offre aux étudiants un environnement informa-tique pour la construction des preuves déductives et aux enseignants différentes représentations de la preuve pour faciliter l’évaluation.

Afin de valider notre proposition, nous avons considéré CLEAR comme "un outil" pragmatique et avons conduit une étude expérimentale pour évaluer son acceptation et utilisabilié au sens de Shackel (1991) par les deux acteurs :

— Étudiants : 29 étudiants ont été sollicités pour évaluer CLEAR pour la construction collaborative des preuves mathématiques ;

— Enseignants : 8 enseignants ont été sollicités pour évaluer CLEAR pour l’éva-luation des preuves construites par les étudiants.

1.3

Structure de la thèse

La thèse comprend 3 parties et 6 chapitres : 1. Première partie : État de l’art

— Le Chapitre 2 présente l’utilisation de l’argumentation dans la construc-tion des preuves mathématiques. Il présente les travaux sur les preuves mathématiques, l’argumentation et l’apprentissage collaboratif. Nous pré-sentons également des exemples d’utilisation de l’argumentation dans

Figure 1.2 – Représentations du débat dans le système.

l’apprentissage collaboratif en général. Nous présentons plus spécifique-ment la représentation des preuves mathématiques dans le cadre de Toul-min. Enfin, nous présentons quelques outils de construction de preuves mathématiques.

— Le Chapitre 3 présente les principaux systèmes d’argumentation proposés dans la littérature ainsi qu’un apperçu des interactions entre ces travaux et la démarche heuristique présentée par Lakatos.

2. Deuxième partie : Proposition

— Le Chapitre 4 présente le système de construction et d’évaluation des preuves déductives et une comparaison entre le système implanté CLEAR et d’autres outils.

— Le Chapitre 5 présente l’évaluation expérimentale de CLEAR par les étudiants et les enseignants.

3. Troisième partie : Conclusion et Perspectives

— Le Chapitre 6 conclut la thèse et présente ses perspectives.

État de l’art

formelle

Sommaire

2.1 Introduction . . . 14 2.2 Argumentation informelle et semi-formelle . . . 15 2.2.1 Argumentation informelle . . . 15 2.2.2 Argumentation semi-formelle . . . 15 2.3 Preuves mathématiques et argumentation . . . 18 2.3.1 Rapport entre les preuves mathématiques et argumentation 19 2.3.2 Argumentation informelle, apprentissage collaboratif et preuves

mathématiques . . . 20 2.3.3 Les preuves mathématiques dans le modèle de Toulmin . . 21 2.4 Quelques outils de construction de preuves

mathéma-tiques . . . 23 2.4.1 Assistants de preuves mathématiques . . . 23 2.4.2 Environnement de preuves mathématiques . . . 25 2.5 Conclusion . . . 27

2.1

Introduction

L’argumentation a pour but principal de convaincre et de persuader un audi-toire. Aristote distingue trois types d’argumentation : la rhétorique, la dialectique et l’analytique.

La rhétorique est une forme d’argumentation dialogique et de rationalité non scientifique1_{. Elle s’adresse à un auditoire plutôt silencieux et passif. La rhétorique}

ne pose pas la question sur la véracité des conclusions, car l’orateur part du principe qu’elles sont, a priori, "vraies" et son objectif est de trouver les moyens de les commu-niquer à un auditoire passif. La dialectique est une forme de rhétorique où l’auditoire peut interagir avec celui qui argumente : l’auditoire peut réfuter certains arguments par exemple. Avec cette forme d’argumentation, l’orateur peut être amené à réviser certaines de ses déclarations. L’analytique diffère des deux formes précédentes : elle est une forme d’argumentation monologue qui n’est pas nécessairement destinée à un public et elle est de rationalité scientifique.

Aristote a également développé le syllogisme comme un schéma d’argumentation. Le syllogisme est un schéma de raisonnement déductif qui permet d’inférer une proposition, i.e la conclusion, à partir de deux propositions, i.e les prémisses.

Un syllogisme est valide si - et seulement si - il respecte la structure définie par Aristote. Il sera vrai si - et seulement si - toutes ses propositions sont vraies.

Certains chercheurs, Plantin (1990) ; Toulmin et collab. (1984), relèvent deux limites du syllogisme. La première limite porte sur la véracité du syllogisme : un syllogisme valide conduit-il toujours à des conclusions vraies ? La réponse est non, car nous pouvons très bien construire des syllogismes valides mais avec des conclusions fausses : la structure du syllogisme est purement syntaxique et formelle. La deuxième limite concerne la production de nouvelles connaissances Plantin (1990). En effet, à partir d’un syllogisme nous ne pouvons que retraduire ce que nous savions déjà. Afin de pallier ces deux limites, Toulmin définit la notion d’argument et propose un modèle inspiré du syllogisme d’Aristote. Ce modèle s’interroge sur la déduction d’Aristote entre les prémisses et la conclusion. Le modèle de Toulmin est devenu la référence dans la structuration des arguments Carr (2003) ; Erduran et collab. (2004) ; Hitchcock et Verheij (2005) ; Tans (2006) ; Voss (2006). Initialement, le modèle de Toulmin a été proposé pour représenter les arguments exprimés en langage naturel. Il a été ensuite utilisé dans les mathématiques ; plus précisément pour la représentation des preuves mathématiques.

Dans ce chapitre, nous présenterons deux formes d’argumentation : l’argumen-tation informelle et l’argumenl’argumen-tation semi-formelle. L’argumenl’argumen-tation informelle est basée sur des discussions informelles et l’argumentation semi-formelle est basée sur la structure du syllogisme et le modèle de Toulmin. Nous présenterons ensuite

l’ap-1. Nous entendons par "rationalité scientifique" l’utilisation de règles explicites et acceptées qui permettent de manipuler et de construire les connaissances. La rationalité scientifique est un raisonnement qui permet de construire des connaissances liées à la science

plication de l’argumentation informelle et le modèle de Toulmin dans la construction des preuves mathématiques. enfin, nous présenterons une comparaison entre le sys-tème implanté CLEAR et d’autre outils de construction de preuves mathématiques.

2.2

Argumentation informelle et semi-formelle

2.2.1

Argumentation informelle

L’argumentation informelle est une technique de raisonnement basée sur l’échange de points de vue. A partir d’un énoncé A, argumenter pour la conclusion C c’est «donner A comme une raison de croire en C»Anscombre et Ducrot (1983). Ce raisonnement qui est utilisé pour convaincre et justifier son point de vue, permet également de raisonner avec des connaissances incertaines et/ou incohérentes.

Prenons l’exemple d’une conversation entre deux élèves ǫ1 et ǫ2. Les deux élèves

sont en désaccord sur l’application du théorème de Pythagore pour un triangle rectangle :

— ǫ1 : l’application du théorème de Pythagore sur ce triangle donne :

BC2

= AC2

+ AB2 _(a)

— ǫ2 : c’est incorrect !

— ǫ1 : pourquoi ?

— ǫ2 : parce que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est

égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. Donc AC2

= BC2

+ AB2 _(b)

— ǫ1 : mais le triangle est rectangle en A, donc BC est l’hypoténuse (c)

Dans cette discussion, les deux élèves ǫ1 et ǫ2 sont en désaccord sur l’application

du théorème de Pythagore sur un triangle rectangle. Les deux utilisent l’argumen-tation afin de convaincre. L’élève ǫ1 argumente pour la conclusion «L’application

du théorème de Pythagore sur ce triangle donne : BC2

= AC2

+ AB2_{», il introduit}

l’argument (a). L’élève ǫ2 contredit ǫ1 en introduisant l’argument (b). ǫ1 introduit un

nouvel argument (c) pour contredire et convaincre ǫ2 «l’application du théorème de

Pythagore sur ce triangle nous donne : BC2

= AC2

+AB2_{». Supposons que la}

discus-sion entre les deux élèves se termine à ce stade, nous pouvons dire qu’en concludiscus-sion l’élève ǫ1 a convaincu l’élève ǫ2 que l’application du théorème de Pythagore sur ce

triangle donne : BC2

= AC2

+ AB2_.

2.2.2

Argumentation semi-formelle

Dans cette section, nous présentons la structure d’un argument dans le modèle de Toulmin. Pour cela, nous donnons une définition plus précise du syllogisme.

2.2.2.1 Modèle d’Aristote : le syllogisme

Aristote est le premier à avoir structuré l’argumentation. Il a développé une théorie afin de représenter les trois types d’argumentation (rhétorique, dialectique et analytique) appelée syllogisme. Le syllogisme est «un discours dans lequel cer-taines choses étant posées, une autre chose différente d’elles en résulte nécessaire-ment»(Topiques, 100a 25). Le syllogisme est un raisonnement déductif composé de trois propositions : deux prémisses et une conclusion. Il permet d’inférer nécessai-rement cette conclusion à partir des deux prémisses. Le syllogisme est schématisé comme suit : proposition majeure (la plus générale des deux prémisses), proposition mineure (la moins générale des deux prémisses) et la conclusion.

Exemple 5 Soit le célèbre :

— Tous les hommes sont mortels ; — Socrate est un homme ;

— Donc Socrate est mortel

Dans cet exemple, la proposition majeure est «Tous les hommes sont mortels» et la proposition mineure est «Socrate est un homme». A partir de ces deux prémisses, il en résulte la conclusion «Socrate est mortel». Le schéma général est le suivant :

— Tous les A sont B. — C est un A.

— Donc C est un B.

Bien que le syllogisme proposé par Aristote offre un cadre structuré de l’argu-mentation, il présente une limite liée à l’inférence car elle est purement formelle. En effet, un syllogisme peut être valide indépendemment du contenu des propositions A, B et C. Par contre, la véracité d’un syllogisme dépend de la véracité de ses pro-positions i.e les prémisses et la conclusion. Un syllogisme est vrai si - et seulement si - toutes ses propositions sont vraies.

Nous donnons quelques exemples pour illustrer la différence entre la validité et la véracité d’un syllogisme.

Exemple 6 Soit le syllogisme suivant : — Tous les rectangles ont quatre côtés ; — Un triangle rectangle est un rectangle ; — Donc un triangle rectangle a quatre côtés.

Dans cet exemple, le syllogisme est valide mais il n’est pas vrai. La conclusion déduite «un triangle rectangle a quatre côtés» est fausse car la deuxième prémisse «Un triangle rectangle est un rectangle» est fausse. Donc le syllogisme peut conduire à des conclusions fausses même s’il est logiquement valide.

Exemple 7 Soit le syllogisme suivant : — Tous les rectangles ont trois côtés ; — Un triangle rectangle est un rectangle ; — Donc un triangle rectangle a trois côtés.

L’exemple 7 montre que nous pouvons obtenir une conclusion vraie à partir des prémisses qui ne sont pas vraies. Bien que les deux prémisses «Tous les rectangles ont trois côtés» et «Un triangle rectangle est un rectangle» soient fausses, la conclusion «Un triangle rectangle a trois côtés» est vraie. Ce syllogisme est valide et conduit à une conclusion vraie mais il n’est pas vrai.

Une autre limite du syllogisme d’Aristote concerne sa non-exhaustivité. D’après Plantin (1990) le syllogisme ne construit aucune connaissance car la conclusion doit être contenue dans les prémisses. La conclusion est déduite à partir des deux prémisses et n’apporte pas de nouvelle connaissance. Cela est expliqué par le fait que le syllogisme permet de n’avoir que des arguments déductifs : le passage des prémisses à la conclusion ne peut être que déductif. Cela donne au syllogisme un seul objectif qui est la persuasion.

2.2.2.2 Modèle de Toulmin

Toulmin prend en considération la structure du syllogisme proposé par Aristote en s’interrogeant sur le passage entre les prémisses et la conclusion du syllogisme. Il avance un modèle qui soutient implicitement qu’une argumentation ne vise pas seulement la persuasion mais aussi la production des connaissances.

Dans le modèle de Toulmin, un argument est un ensemble qui comprend six aspects Toulmin (2003) : conclusion, données, garantie, support, force et réfutation. Nous allons décrire chaque aspect et son rôle dans l’argument. La Figure 2.1 présente le schéma du modèle de Toulmin.

— conclusion C (claim) : est le but de l’argument. C’est la déclaration ou le point de vue que veut exprimer celui qui argumente. La conclusion est souvent le point de départ d’une argumentation : nous avons tendance à commencer notre discours avec la conclusion pour ensuite la soutenir par une argumenta-tion.

— données D (data) : sont la base sur laquelle s’appuie la conclusion. Ces don-nées sont produites pour soutenir la conclusion.

— garantie G (warrant) : est le lien qui autorise le passage des données à la conclusion. La garantie peut être une règle, un principe général, une loi de passage, un permis d’inférer. Cette garantie légitime la transition des don-nées à la conclusion. Elle constitue la relation logique entre les dondon-nées et la conclusion. Cet aspect représente le centre de la critique de l’argument : c’est la garantie qui détermine l’acceptation ou la réfutation de l’argument. Si l’argument n’est pas accepté cela signifie que la garantie n’est pas acceptée Toulmin (2003).

— support S (backing) : comme nous l’avons mentionné, l’acceptation ou la réfutation d’un argument est déterminée par la garantie. Donc il est nécessaire de renforcer cette dernière par des justifications et des explications, appelées "support" par Toulmin. Ce support justifie et explique pourquoi la garantie qui autorise le passage des données à la conclusion est acceptée.

— force F (qualifier) : est l’indicateur de force de l’argument. Elle précise la force avec laquelle les données et la garantie permettent d’inférer la conclusion. Cette force est souvent représentée par des adverbes : probablement, certainement, vrai, probablement vrai, vraisemblablement etc.

— réfutation R (rebuttal) : représente les circonstances particulières pour les-quelles l’application de la garantie n’est plus autorisée. Elle représente les cas où la conclusion n’est pas vraie.

Figure _{2.1 – Schéma du modèle de Toulmin.}

Exemple 8 Hoogaert (1995) Toulmin illustre son modèle avec l’exemple présenté dans la Figure 2.2.

Figure _{2.2 – Exemple du modèle de Toulmin.}

2.3

Preuves mathématiques et argumentation

L’étude du rapport entre l’argumentation et les preuves est un champs d’étude actif de la didactique mathématique. Plusieurs travaux cherchent à clarifier la nature

de ce rapport entre l’argumentation et les preuves mathématiques. L’objectif de cette section est de présenter une vue synthétique et non-exhaustive de ces travaux ; nous discuterons également l’apport de l’argumentation, du débat et du modèle de Toulmin dans la représentation et la construction des preuves mathématiques.

2.3.1

Rapport entre les preuves mathématiques et

argumen-tation

Il existe en didactique des mathématiques un désaccord sur le fait que l’argumen-tation représente les preuves mathématiques. Le premier point de vue stipule que l’argumentation ne peut pas conduire à une preuve mathématique. Dans la lettre de la preuve 1999, Balacheff considère que l’argumentation pourrait même constituer un obstacle épistémologique : «... J’en viens à ne soutenir ni la thèse de la conti-nuité ni celle de la rupture entre argumentation et démonstration (ou preuve en mathématique), mais à proposer de reconnaître l’existence d’une relation complexe et constitutive du sens de chacune : l’argumentation se constitue en un obstacle épis-témologique à l’apprentissage de la démonstration, et plus généralement de la preuve en mathématiques. »Balacheff (1999)

Selon Balacheff, l’argumentation est une interaction sociale qui favorise les pro-cessus d’évolution d’une responsabilité mathématique sur leurs activités et leurs productions. Bien que l’argumentation ait un caractère productif et essentiel dans les problématiques mathématiques, ce type d’interaction constitue un obstacle épis-témologique à la construction de la démonstration Balacheff (1999).

Bien que la distance entre l’argumentation et les preuves mathématiques ait été défendue par les chercheurs que nous venons de citer, d’autres travaux ont montré la forte connexion entre ces deux problématiques Boero et collab. (1996) ; Garuti et collab. (1998). Dans Boero et collab. (1996), les auteurs soutiennent la présence d’une unité cognitive entre argumentation et démonstration. L’unité cognitive défi-nie par Boero et collab. (1996) consiste en l’utilisation des arguments produits lors d’une argumentation, qui mènent à l’explication d’une conjecture. Si un élève veut construire une preuve d’une conjecture, il peut s’appuyer sur une démarche argu-mentative où il justifie chaque étape de sa preuve par la construction d’arguments. Ces arguments peuvent être utilisés pour la construction de la preuve mathématique en les organisant suivant une chaîne déductive. Dans Boero et collab. (1996) les auteurs supposent que la construction d’une argumentation pour la mise en place d’une conjecture peut favoriser la construction d’une preuve mathématique.

Pedemonte dans Pedemonte (2002) utilise l’argumentation afin d’extraire des informations sur les connaissances et le raisonnement chez les élèves. L’utilisation de l’argumentation est justifiée dans la preuve mathématique car la preuve finale ne permet pas de visualiser l’ensemble des connaissances qui ont permis aux élèves de construire cette preuve. Contrairement à la preuve, l’argumentation est un proces-sus moins contraint. Elle permet donc d’avoir accès aux connaissances des élèves qui ne sont pas nécessairement explicites dans la preuve. Pedemonte caractérise

l’argu-mentation en mathématiques et la preuve par deux types de caractéristiques : fonc-tionnelles et structurelles. Les caractéristiques foncfonc-tionnelles déterminent la finalité, l’utilité et le rôle de l’argumentation. Les caractéristiques structurelles définissent la structure de l’argumentation Duval (1995).

Dans Pedemonte (2002), l’argumentation en mathématiques se rapproche de la dialectique et la preuve mathématique de l’analytique. Dans l’argumentation dia-lectique, celui qui argumente part de propositions vraies, a priori, qui ne conduisent pas nécessairement à de vraies conclusions. C’est le même principe de l’argumen-tation en mathématiques, l’élève démarre son argumenl’argumen-tation avec les prémisses de l’énoncé qui sont supposées vraies et il n’arrive pas nécessairement à des conclusions vraies.

2.3.2

Argumentation informelle, apprentissage collaboratif et

preuves mathématiques

L’apprentissage collaboratif se définit comme une méthode d’instruction dans laquelle les élèves travaillent en groupe vers un objectif commun Gokhale (1995). L’apprentissage collaboratif repose sur le débat et l’argumentation : un groupe d’étu-diants , éventuellement hétérogènes avec des compétences différentes, s’engage dans des discussions et expriment leurs points de vue sous forme d’arguments et de contre-arguments dans le but de résoudre un problème commun Amir et collab. (2013).

L’hypothèse sous-jacente à l’apprentissage collaboratif stipule que les discussions et les échanges actifs des idées et points de vue entre les étudiants au sein d’un groupe augmentent la motivation et favorisent la pensée critique durant l’appren-tissage. Dans Davidson et Worsham (1992) ; Johnson et Johnson (1987) les auteurs montrent que le fait de justifier et défendre son point de vue et critiquer les autres de manière constructive durant un débat, permet d’améliorer les capa-cités de réflexion critique, le raisonnement et la communication chez les étudiants. Johnsonet Johnson (1986) montre que les étudiants ayant participé à l’apprentis-sage collaboratif maîtrisent des abstractions plus élevées et conservent l’information plus longtemps que les étudiants qui travaillent individuellement. Gokhale (1995) étudie l’efficacité de l’apprentissage collaboratif comparé à l’apprentissage indivi-duel. Son travail montre que l’apprentissage collaboratif permet aux étudiants de discuter, clarifier leurs idées et évaluer les idées des autres. Cela favorise le dévelop-pement de la pensée critique et rend l’apprentissage collaboratif plus bénéfique dans la résolution des problèmes.

En mathématiques, un nombre considérable de recherches porte sur l’utilisation de l’argumentation et ses effets dans l’apprentissage des mathématiques. L’argumen-tation utilisée en classe mathématique est définie par l’utilisation de techniques par les enseignants pour encourager et motiver les élèves à justifier leurs déclarations ma-thématiques Aberdein et Dove (2013). Les élèves doivent donner une justification et un raisonnement pour chaque déclaration durant leurs activités mathématiques. Pour cela, il est important d’offrir aux étudiants un environnement approprié. Le

type de tâches mathématiques et la façon dont les étudiants les accomplissent jouent un rôle important dans la motivation de l’utilisation de l’argumentation Durand-Guerrier et collab. (2011). Cet article propose d’utiliser l’argumentation dans les preuves mathématiques pour la résolution des problèmes ouverts et complexes.

Dans Durand-Guerrier et collab. (2011) les auteurs encouragent les étudiants à travailler en groupe. Les discussions et débats entre les étudiants pour justifier ou critiquer les déclarations avancées motivent les étudiants à s’engager davantage dans les mathématiques. Kirkpatrick (2016) étudie les effets de l’utilisation de l’argu-mentation dans les classes mathématiques. Dans cette étude, une classe de mathé-matiques a utilisé la méthodologie proposée. Les étudiants sont répartis en groupes et travaillent en collaboration en utilisant l’argumentation durant la résolution de problèmes mathématiques. Durant cette étude, l’auteur observe le comportement des étudiants pour évaluer le niveau de motivation chez eux. L’étude a montré que l’augmentation de la motivation chez les étudiants est liée à l’utilisation active de l’argumentation. Cette étude a montré que l’argumentation et le débat représentent une base efficace pour l’apprentissage collaboratif des mathématiques.

En conclusion, ces travaux montrent que l’argumentation est une méthode effi-cace pour augmenter la motivation et l’implication des étudiants dans les preuves mathématiques.

2.3.3

Les preuves mathématiques dans le modèle de Toulmin

Dans les sections précédentes, nous avons rappelé les travaux qui utilisent l’argu-mentation informelle dans la construction des preuves mathématiques. Ces travaux reposent sur les débats et les discussions pour justifier, clarifier et expliquer des points de vue et aussi pour contredire et exprimer un désaccord. Dans cette section, nous présentons l’application de l’argumentation semi-formelle.

Dans l’argumentation semi-formelle, les arguments ont une structure bien définie tel que le modèle de Toulmin, présenté dans la Section 2.2.2.2.

Plusieurs preuves mathématiques ont été représentées par le modèle de Toulmin. Les figures 2.3 et 2.4 représentent respectivement la représentation de la preuve de Théétète «il existe exactement 5 solides de Platon » Toulmin et collab. (1984) et l’application du modèle de Toulmin sur l’argument de Zermelo pour «l’adoption de l’axiome de choix » Alcolea Banegas (1998). Ces preuves mathématiques sont simples : la conclusion est inférée directement à partir d’une donnée. Par ailleurs, en mathématiques d’autres preuves plus complexes existent où nous pouvons avoir des étapes intermédiaires entre la donnée et la conclusion ; plusieurs données qui infèrent conjointement ou séparément la même conclusion ; une donnée qui infère deux conclusions différentes ; ou un argument qui infère une conclusion.

Les auteurs de Aberdein (2006) ; Aberdein et Dove (2013) proposent cinq combinaisons du modèle de Toulmin afin de représenter des preuves mathématiques complexes. Ils proposent les modèles suivants Aberdein (2006) :

Figure _{2.3 – Représentation de la preuve de Théétète par Toulmin,Toulmin et collab.} (1984).

Figure _{2.4 – Représentation de l’argument de Zermelo pour l’adoption de l’axiome de} choix par le modèle de Toulmin,Alcolea Banegas (1998).

données (voir Figure 2.5.(a)).

— Le modèle séquentiel : ce modèle permet d’avoir une séquence d’arguments où chaque conclusion devient la donnée de l’argument suivant jusqu’à inférer la conclusion finale (voir Figure 2.5.(b)).

— Le modèle convergent : dans ce modèle une conclusion est inférée par deux données différentes (voir Figure 2.5.(c)).

— Le modèle divergent : dans ce modèle une donnée infère deux conclusions différentes (voir Figure 2.5.(d)).

— Le modèle intégré : ce modèle permet de représenter un argument dans lequel la conclusion est inférée à partir d’un autre argument qui représente la donnée (voir Figure 2.5.(e)).

Figure 2.5 – Les cinq façons de combinaison du modèle de Toulmin,Aberdein (2006)

2.4

Quelques outils de construction de preuves

ma-thématiques

Plusieurs outils ont été développés dans la littérature des preuves mathématiques. Ces outils se déclinent principalement en deux catégories : les assistants de preuves mathématiques et les environnements de preuves mathématiques. Le premier type est destiné aux mathématiciens. Son but est de formaliser et programmer les preuves mathématiques. Le deuxième type est destiné aux étudiants. Il a pour but d’aider les étudiants à construire des preuves mathématiques.

2.4.1

Assistants de preuves mathématiques

Un assistant de preuves mathématiques est un outil qui aide l’utilisateur à pro-grammer et structurer une preuve donnée par l’ordinateur et de vérifier sa vali-dité par la suite. Il s’agit d’écrire un programme dans un langage bien spécifique sous forme d’algorithmes. L’objectif de ces outils est d’arriver à formuler toutes les

preuves qui existent en mathématiques par l’ordinateur. Nous rappelons les deux assistants de preuves les plus connus dans le domaine : Isabelle et Coq.

Isabelle Isabelle est un assistant de preuves écrit en langage SML (Standard Meta Lannguage) qui est un langage de programmation impératif2 _{et fonctionnel}3_{. Il}

est développé par l’Université de Cambridge et l’Université technique de Munich. Isabelle permet d’écrire des preuves de théorèmes de logique d’ordre supérieur4

dans un langage formel sous forme d’algorithmes. Il offre un ensemble d’outils pour exprimer les différentes formules mathématiques et les prouver.

La Figure 2.6 présente l’utilisation de Isabelle pour représenter des preuves.

Figure _{2.6 – Représentation d’une preuve dans Isabelle.}

Coq Coq est un assistant de preuves développé par l’Université de Paris-sud (IN-RIA). Comme Isabelle, Coq permet de formaliser les preuves mathématiques en les implantant sous forme d’algorithmes. La Figure 2.7 présente une preuve de tri d’une liste.

2. Un langage de programmation impératif est un langage qui est écrit sous forme de séquences d’instructions.

3. Un langage de programmation fonctionnel est un langague déclaratif. Il est écrit sous forme de fonctions.

Figure 2.7 – Preuve de tri d’une liste écrite par Coq.

Ces assistants n’ont pas le même objectif que notre système. Il ne s’agit pas d’un outil d’apprentissage ou de construction de preuves mathématiques. Ils sont destinés aux mathématiciens pour programmer les preuves mathématiques sur la machine.

2.4.2

Environnement de preuves mathématiques

Proof Designer Le Proof Designer Moez (2016) est une applet java qui a pour objectif d’aider les étudiants à construire des preuves mathématiques dans la théorie des ensembles élémentaires. Le système comprend une liste de définitions à appli-quer pour construire la preuve. Dans Proof Designer, l’utilisateur peut construire une preuve en utilisant deux stratégies de preuve : la déduction (directe) ou la contrapo-sée. Supposons qu’un utilisateur souhaite prouver le théorème suivant : «supposons que F ⊆ G alors ∪F ⊆ G ». L’utilisateur saisit l’hypothèse et la conclusion du théo-rème comme le montre la Figure 2.8. Il commence ensuite à construire la preuve. Initialement, la preuve est représentée par la Figure 2.9. Grâce aux définitions, l’uti-lisateur développe de nouvelles formules en générant des sous-preuves comme le montre les Figures 2.10 et 2.11 et ainsi de suite jusqu’à prouver les sous-preuves. Une sous-preuve est prouvée quand l’ensemble des hypothèses contient la conclusion. Pour plus de détails, cette preuve est donnée comme exemple dans Moez (2016). La Figure 2.12 présente la preuve finale construite par Proof Designer.

Figure2.8 – Présentation du théorème à prouver dans Proof Designer.

EPGY EPGY (E) ; McMath et collab. (2001) ; Sommer et Nuckols (2004) est un environnement de preuve de théorèmes qui permet aux étudiants de construire des preuves mathématiques logiquement valides. Il offre pour chaque théorème à prouver un ensemble d’hypothèses (given dans la Figure 2.13) et l’objectif de la preuve (final goal dans la Figure 2.13. EPGY offre aussi un ensemble de définitions et règles que les étudiants utilisent lors de la construction des preuves. Cet outil est principalement dédié aux étudiants en géométrie euclidienne. Initialement, la preuve est représentée par la Figure 2.13. La partie gauche représente l’ensemble de définitions et règles mathématiques et la partie droite représente les hypothèses et l’objectif de la preuve.

Les assistants de preuves tels que Isabelle et Coq sont des langages de program-mation, ils offrent aux utilisateurs un langage de formalisation des preuves écrites sous forme d’algorithme. Ces langages ne sont pas destinés aux étudiants contraire-ment aux outils, Proof Designer et EPGY. L’objectif de ces outils est d’offrir aux étudiants un environnement pour les aider dans l’écriture et la construction des preuves mathématiques. Cela fait partie de l’objectif de notre système qui propose un cadre structuré pour aider les étudiants à construire des preuves mathématiques déductives.

Figure 2.9 – Preuve initiale dans Proof Designer.

2.5

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les deux types d’argumentation : argu-mentation informelle et arguargu-mentation semi-formelle. L’arguargu-mentation informelle est basée sur l’échange de points de vue dans le cadre de discussions, conversations et discours informels. L’argumentation semi-formelle est basée sur une structure bien définie tels que le syllogisme et le modèle de Toulmin. Nous avons ensuite présenté l’application de ces deux types d’argumentation dans la construction des preuves mathématiques. enfin, nous avons présenté aussi quelques assistants et environne-ments de preuves.

La Table 2.1 présente une comparaison entre l’utilisation de l’argumentation informelle et le modèle de Toulmin dans la construction des preuves mathématiques. Plusieurs travaux ont montré que l’argumentation informelle aide les élèves à construire des preuves mathématique individuellement ou en collaboration avec d’autre élèves. Le modèle de Toulmin permet de structurer l’argument durant une construction individuelle d’une preuve mathématique. Cependant, ce modèle n’a pas encore été utilisé dans une construction collaborative d’une preuve. Notre objectif est d’offrir aux élèves un cadre structuré pour construire les preuves mathématiques en collaboration. Ce cadre représente une combinaison de la collaboration dans l’ar-gumentation informelle et la structuration des arguments du modèle de Toulmin.

Figure _{2.10 – Application d’une définition dans Proof Designer.}

L’évaluation des preuves mathématiques n’a pas été considérée dans les travaux qui utilisent le modèle de Toulmin. Ces derniers se focalisent uniquement sur la représentation des preuves mathématiques par le modèle de Toulmin du point de vue de l’élève Alcolea Banegas (1998) ; Erduran et collab. (2004) ; Hitchcock et Verheij (2005) ; Tans (2006) ; Toulmin et collab. (1984) ; Voss (2006). Dans les travaux sur la collaboration dans la construction des preuves mathématiques, l’élève rédige la preuve à partir du débat, qui a mené à cette preuve, qui sera soumis à l’enseignant pour évaluation.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’évaluation des preuves construites mais aussi au débat qui a mené à la preuve pour analyser le raisonnement des élèves et détecter l’origine des erreurs lors de la construction de la preuve ce qui nécessite une analyse du débat.

Pour atteindre ces objectifs, nous nous orientons vers les systèmes d’argumen-tation de l’intelligence artificielle qui se basent sur un ensemble d’arguments et relations qui expriment les interactions entre ces derniers. Nous présenterons ces systèmes dans le chapitre suivant.

Figure 2.11 – Les sous-preuves dans Proof Designer.

Argumentation informelle Modèle de Toulmin Construction de la preuve Collaboration/débat x

Individuelle x x

Arguments Structurés x

Informels x Évaluation de la preuve Oui x

Non x

Table2.1 – Tableau comparatif entre l’argumentation informelle et l’argumentation semi-formelle dans la construction des preuves mathématiques.

gumentation formelle

Sommaire

3.1 Introduction . . . 34 3.2 Systèmes d’argumentation . . . 35 3.2.1 Système d’argumentation de Dung . . . 35 3.2.2 Système d’argumentation à base de préférences . . . 38 3.2.3 Système d’argumentation bipolaire . . . 39 3.2.4 Système d’argumentation avec défi récursif . . . 43 3.2.5 Système d’argumentation avec défi et support récursifs . . 44 3.2.6 Système d’argumentation structuré : ASP IC+ _{. . . . 47}

3.3 Systèmes d’argumentation et preuves mathématiques . . 49 3.3.1 Le modèle de dialogue de Lakatos . . . 49 3.3.2 Adaptation et implantation du modèle de dialogue de

La-katos . . . 50 3.4 Conclusion . . . 54

3.1

Introduction

L’argumentation a connu un intérêt croissant auprès de la communauté de l’in-telligence artificielle. En effet, elle offre un cadre de raisonnement avec des infor-mation, des opinions et des points de vue contradictoires, incertains ou incomplets. De plus, ce raisonnement est exprimable sous forme de procédures automatiques et algorithmes.

A titre d’exemple, l’argumentation a été utilisée dans le domaine du raisonnement révisable Krause et collab. (1995) ; Prakken et Vreeswijk (2001) ; Rahwan et Simari (2009) , le raisonnement pratique Amgoud et collab. (2011), le raisonne-ment avec des informations contradictoires Amgoud et Cayrol (2002b), la prise de décision et la négociation Amgoud et collab. (2000a) ; Bonet et Geffner (1996) ; Karacapilidis et Papadias (2001) ; Parsons et collab. (1998) ; Rah-wan et collab. (2003), le domaine médical Craven et collab. (2012) ; Hunter et Williams(2010) et le domaine juridique Bench-Capon (1997) ; Bench-Capon et collab. (2005).

Un cadre fondateur qui formalise l’argumentation en intelligence artificielle a été proposée par Dung Dung (1995) : il définit un ensemble d’arguments et une relation de défi abstraite entre ces arguments. Depuis, plusieurs travaux ont instancié le système de Dung en intégrant de nouvelles notions comme :

— préférences sur les arguments Amgoud et Cayrol (1998; 2002c) ; Amgoud et Kaci (2007) ; Kaci et van der Torre (2008) ; Modgil (2009) ; Simari et Loui (1992),

— relation de support entre arguments Amgoud et collab. (2008) ; Boella et collab. (2010) ; Cayrol et Lagasquie-Schiex (2005; 2009) ; Nouioua et Risch (2010; 2011) ; Oren et Norman (2008),

— relation de support entre arguments Amgoud et collab. (2008) ; Boella et collab. (2010) ; Cayrol et Lagasquie-Schiex (2005; 2009) ; Nouioua et Risch (2010; 2011) ; Oren et Norman (2008),

— relation de défi récursif Baroni et collab. (2011),

— relation de défi et support récursifs Cayrol et collab. (2016) ; Simari (2016), — la structuration des arguments Modgil et Prakken (2014a) ; Prakken et

Modgil (2012) ; Snaith et Reed (2012)

— et relation de défi et/ou support pondérée Amgoud et Ben-Naim (2018) ; Dunneet collab. (2011) ; Kaci et Labreuche (2014) ; Martınez et collab. (2008).

Dans ce chapitre, nous présentons d’abord le système d’argumentation de Dung et ses sémantiques ainsi que quelques instanciations/extensions. Nous illustrerons ensuite leur utilisation dans la construction et la représentation d’une preuve ma-thématique. Pour cela nous présenterons un travail sur la construction des preuves