3.3 Systèmes d’argumentation et preuves mathématiques
3.3.2 Adaptation et implantation du modèle de dialogue de Lakatos
Pease et collab. (2014; 2017) adaptent le modèle de dialogue de Lakatos et pro- posent une implantation sous forme d’un jeu de dialogue. Dans un premier temps, ils donnent un ensemble de règles de locutions sur lequel le dialogue s’appuiera durant la validation ou la réfutation de la conjecture. Ensuite le dialogue est représenté par un format d’échange d’arguments sous forme d’un graphe. Enfin, ce graphe est représenté par les systèmes d’argumentation pour l’évaluation.
3.3.2.1 Du modèle de Lakatos à un système de dialogue formel
Pease et collab. (2014; 2017) traduisent les actions du modèle de Lakatos par un ensemble de règles pour exprimer les options suivantes :
— Création d’une preuve :
1. Conjecture(c) : affirmer une conjecture c 2. Lemma(l) : affirmer un lemme l
3. ProofDone : annoncer que la preuve est complète et ajouter une relation d’inférence entre les lemmes et la conjecture.
— Attaquer la conjecture ou les lemmes :
1. LocalCounter(m,l) : affirmer un contre-exemple m en utilisant le lemme l.
2. GlobalCounter(m,c) : affirmer un contre-exemple m qui supporte une contre-conjecture non-c.
3. hybridCounter(m,l,c) : affirmer un contre-exemple en utilisant le lemme l et la conjecture c
— Défendre en modifiant la conjecture :
1. PiecemealExclusion(b) : affirmer une nouvelle conjecture b
2. strategicWithDrawal(r,c) : affirmer r qui contredit la conjecture actuelle c
— Défendre en manipulant les lemmes :
1. LocalLemmaInc(m,l,k) : affirmer un nouveau lemme k qui remplace l en intégrant le contre-exemple m dans l
2. GlobalLemmaInc(m,k) : affirmer un nouveau lemme k qui contredit le contre-exemple m
3. HybridLemmaInc(m,l) : retirer le lemme l en réponse au contre-exemple m
— Défendre en modifiant le concept :
1. MonsterBar(m,c,r) : affirmer r qui contredit la justification de la contra- diction de c par m
2. MonsterAdjust(m,r) : affirmer r qui contredit m
3. PDefinition(m,r,d) : affirmer la définition d proposée par les partisans P qui supporte r qui prouve que le contre-exemple m n’est pas valide 4. ODefinition(m,r,d,s,e) : affirmer la définition e proposée par les opposant
O qui contredit r et supporte s
5. Prefer(m,r,f,g) : préférer la définition f à la définition g — Décision à propos du monstre :
1. MonsterAccept(m,r) : réaffirmer r qui supporte m
2. MonsterReject(m,r,d,s,c) : affirmer s qui contredit r et supporter avec m conjointement la contre-conjecture non-c.
— Décision à propos de la preuve :
1. Accept : accepter les lemmes et la conjecture actuels 2. Surrender : abandonner la conjecture actuelle
Le système de dialogue formel proposé par Pease et collab. (2014; 2017) offre une structure du modèle de Lakatos pour la validation ou la réfutation d’une conjecture. Les règles exécutées par les participants en suivant le modèle de Lakatos sont données en détail dans Pease et collab. (2017). Les auteurs représentent ces échanges par un graphe qui contient tous les échanges dans le système de dialogue formel. 3.3.2.2 Du système de dialogue formel à un format d’échange d’argu-
ments
Dans Pease et collab. (2017), les auteurs traduisent chaque action exécutée dans le système de dialogue formel par une modification dans un graphe appelé format d’échange d’arguments. Ce graphe est composé d’une conjecture, des lemmes, des définitions et des contre-exemples. La Figure 3.16 représente un graphe d’échange d’arguments à l’étape k où c est une conjecture, Li des lemmes, M1 un contre-
exemple, D et E des définitions et R et S des propositions qui sont utilisées pour supporter ou contredire les contre-exemples.
Ces composants peuvent être connectés entre eux par quatre types de connexion : — Inférence : elle permet de connecter des lemmes à une conjecture.
— Conflit : cette connexion permet d’exprimer le conflit entre les partisans et les opposants.
— Préférence : elle est utilisée dans le cas où le graphe contient deux définitions différentes. Les participants expriment leur préférence entre ces deux défini- tions.
— Reformulation : elle connecte une ancienne version d’une conjecture ou lemme à la nouvelle version après une affirmation d’un contre-exemple.
3.3.2.3 D’un format d’échange d’arguments à un système d’argumenta- tion
Les auteurs de Pease et collab. (2017) évaluent le graphe du format d’échange suivant l’extension de base de Dung. D’abord, le graphe est représenté par le système d’argumentation ASP IC+ presenté dans la Section 3.2.6. Les auteurs proposent un
Figure 3.16 – Format d’échange d’arguments d’un dialogue de Lakatos à l’étape k.
système avec des relations d’inférence et de conflit. Ensuite, le système d’argumen- tation structuré est représenté par un système de Dung qui retournera les arguments acceptables durant le dialogue en utilisant l’extension de base.
Dans Pease et collab. (2017), ASP IC+
est utilisé pour structurer les arguments et les conflits entres ces derniers. Le passage d’un format d’échange d’arguments à un système ASP IC+ se fait comme suit.
— Connexion d’inférence : pour tout lemme l et conclusion c, l et c sont ajoutés à l’ensemble L et l’inférence se traduit par une règle d’inférence l ⇒ c qui sera ajoutée à un ensemble de règles d’inférence, noté Ri. Par exemple, pour
l’argument α, L = {L1, L2, L3, c}, Ri = {(L1, L2, L3) ⇒ c}. Le Système d’ar-
gumentation de Dung associé à ASP IC+ est hA, Defi, où A = {L
1, L2, L3, α}
et Def = ∅.
— Connexion de conflit : elle est représentée par la relation de conflit, notée Rc . Dans la Figure 3.16, le conflit entre D et E se traduit par Rc =
{(E, D), (D, E)}. Le conflit entre R et l’inférence entre M1 et non-c est re-
présenté par un conflit entre R et l’argument β, noté (R, β). Dans le système de Dung, la relation de défi est ajoutée si et seulement si le conflit est un undercut, rebut ou undermine. Cela donne Def = {(E, D), (D, E), (R, β)}. — Connexion de préférence : elle permet de rendre un conflit plus pertinent qu’un
autre d’où la suppression de ce dernier de l’ensemble des conflits. Dans la Figure 3.16, nous avons un conflit symétrique entre D et E et une préférence de D à E. Cette préférence supprime le conflit (E,D) de Rc dans ASP IC+ et
de Def du système de Dung.
— Connexion de reformulation : la reformulation des propositions se traduit par l’ajout de cette proposition à l’ensemble L de ASP IC+.
En suivant ces règles, le système d’argumentation ASP IC+ associé au format
d’échange d’arguments représenté dans la Figure 3.16 est hL, Ri,Rci, où :
— L = {L1, L2, L3, c, M1, non-c, D, R, E, S},
— Ri = {(L1, L2, L3) ⇒ c, M1 ⇒ non-c, D ⇒ R, E ⇒ S},
— Rc = {(c, non-c), (non-c, c), (R, S), (S, R), (D, E), (R, M1 ⇒ non-c)}.
Le système de Dung hA, Defi associé au système d’argumentation ASP IC+ est
représenté dans la Figure 3.17 où :
— A = {L1, L2, L3, α, M1, β, D, γ, E, δ},
— Def = {(α, β), (β, α), (γ, δ), (δ, γ), (D, E), (γ, β)}.
Figure3.17 – Système d’argumentation de Dung associé au format d’échange d’argument de la Figure3.16.
Les auteurs de Pease et collab. (2017) évaluent ce dialogue par le calcul de l’extension de base. Les arguments acceptables retournés par cette extension sont L1, L2, L3, M1 et D. Par conséquent, à l’étape k, la conjecture en question n’est pas
acceptée.
3.4
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté les principaux systèmes d’argumentation proposés dans la littérature : systèmes d’argumentation de Dung, systèmes à base de préférences, systèmes bipolaires, les systèmes récursifs et ASP IC+. Nous avons
présenté le travail de Pease et collab. (2017) qui formalise le modèle de dialogue proposé par Lakatos durant la validation ou la réfutation d’une conjecture par les participants. Cette méthode ne conduit pas forcément à une preuve, cela dépend du dialogue entre les partisans et les opposants. Le résultat est une extension de base qui représente les arguments acceptables pendant le dialogue.
Pease et collab. (2017) ne vise pas à offrir un cadre pour la construction des preuves mathématiques mais à convaincre d’autres participants que la conjecture
en question est valide. Ce travail est basé sur la confrontation entre les participants exprimée par la relation de défi. Cette confrontation se termine par l’acceptation ou la réfutation de la conjecture. Dans Pease et collab. (2017), les auteurs ne traitent pas l’évaluation des arguments construits par les participants durant le dialogue. Une conjecture peut être acceptée par les participants même si elle n’est pas valide. Nous pensons qu’il est important d’évaluer les arguments construits et valider la conjecture à la fin du dialogue. Cela permettra d’identifier les erreurs dans le cas où la conjecture acceptée n’est pas valide.
Dans notre approche, les étudiants utilisent deux types de relation. Le premier type est la déduction, elle permet de construire une séquence déductive de la preuve. Le deuxième type est la relation de défi, elle exprime les conflits entre les étudiants. Notons aussi que les travaux existants ne s’intéressent pas au volet de l’évaluation par les enseignants.
Proposition
preuves mathématiques déductives
Sommaire
4.1 Introduction . . . 60 4.2 Modélisation du système de construction et d’évalua-
tion des preuves mathématiques déductives . . . 60 4.2.1 Interaction entre étudiants . . . 60 4.2.2 Arguments et leur validité . . . 61 4.2.3 Relations et leur validité . . . 63 4.2.4 Validité des relations . . . 66 4.2.5 Les actions . . . 67 4.3 Processus du système . . . 69 4.3.1 Étape de construction . . . 70 4.3.2 Étape de représentation et d’analyse du graphe de débat . 70 4.3.3 Étape d’évaluation . . . 83 4.4 Présentation de CLEAR . . . 86 4.5 Conclusion . . . 88
4.1
Introduction
Dans les chapitres précédents, nous avons présenté des travaux en didactique des mathématiques qui utilisent l’apprentissage collaboratif en classe. Nous avons noté que l’argumentation utilisée dans ces approches est basée sur des discussions in- formelles qui permettent aux étudiants d’exprimer publiquement leurs déclarations et de les justifier pour construire des preuves déductives. Néanmoins des difficultés surgissent avec ces approches pour l’évaluation des preuves déductives. En particu- lier, l’évaluation des résultats, qui comprend non seulement la preuve finale mais aussi toutes les étapes intermédiaires comme les discussions, les conflits entre les étudiants.
L’objectif de ce chapitre est de présenter notre approche de construction de preuves par une argumentation formelle.
Plus spécifiquement, nous proposons un système pour la construction et l’évaluation des preuves mathématiques déductives avec un double objectif :
1. Permettre aux étudiants de construire et structurer des preuves mathématiques déductives à partir d’un débat argumentatif structuré.
2. Aider les enseignants à évaluer ces preuves et toutes les étapes intermédiaires afin d’identifier les erreurs et les lacunes et de fournir un retour pertinent aux étudiants.