4.3 Processus du système
4.3.2 Étape de représentation et d’analyse du graphe de débat
Afin de faciliter la correction et l’évaluation des preuves mathématiques déduc- tives aux enseignants, le système propose trois formes de représentation du graphe
Figure4.7 – Graphe du débat complet.
de débat. La première forme représente le débat entre le groupe sous forme tex- tuelle, dite journal de débat. Ce journal contient tous les détails de la construction de la preuve, les étapes intermédiaires, les conflits etc. La deuxième forme de re- présentation est un sous-graphe du graphe de débat dit graphe(s) de preuve. Cette représentation nécessite une analyse pour ne garder que les arguments sur lesquels le groupe est d’accord. Cette analyse se fait par les systèmes d’argumentation présentés dans le Chapitre 3 et retourne un graphe d’arguments dans lequel chaque argument est connecté à un autre argument par une relation de déduction. La dernière forme de représentation repose sur le graphe de preuve. Le système traduit ce graphe en une preuve déductive classique, dite preuve déductive, selon la Section 1.1.1.1 dans le Chapitre 1.
4.3.2.1 Représentation par un journal de débat
Le journal de débat est une représentation textuelle du graphe de débat. Le sys- tème traduit toutes les interactions dans le graphe de débat par une déclaration notée di sous forme de texte en respectant l’ordre et l’enchaînement de ces interactions
- Ajout d’un argument formel : Tout argument formel h∆i, αi ajouté par un
étudiant ǫ est traduit par la déclaration suivante : «L’étudiant ǫ dit : si ∆1, ...et ∆n
alors α».
Exemple 45 Le système traduit l’argument A1 =
h{ABCest un triangle rectangle en A }, BC2
= AC2
+ AB2
i du graphe de dé- bat par la déclaration suivante :
— (d1) L’étudiant ǫ1 dit : si ABC est un triangle rectangle en A alors
BC2
= AC2
+ AB2.
- Ajout d’un argument informel : La traduction d’un argument informel re- prend simplement le contenu de l’argument.
Exemple 46 Le système traduit l’argument Ainf 1 = «L’argument A2 est faux»du
graphe de débat par la déclaration suivante :
— (d2) L’étudiant ǫ3 dit : l’argument A2 est faux.
- Ajout d’une relation de déduction : Une relation de déduction simple ajoutée par l’étudiant ǫ entre les arguments Ai et Aj, représentés respectivement par les
déclarations (di) et (dj), est traduite comme suit :
— (dk) L’étudiant ǫ dit : (di) permet de déduire (dj).
La traduction d’une relation de déduction multiple suit le même principe. Soit «Ai1, ..., Ain déduisent Aj» une relation de déduction multiple. Soient di1, ..., din
les traductions de Ai1, ..., Ain respectivement. La traduction de la déduction mul-
tiple est :
— (dl) L’étudiant ǫ dit : di1, ... et din permettent de déduire conjointement (dj).
- Ajout d’une relation de défi : Une relation de défi ajoutée par l’étudiant ǫ entre l’argument Ai, traduit par (di), et un argument ou une relation, traduit par
(dj), est traduite comme suit :
— (dm) L’étudiant ǫ dit : (di) contredit (dj).
- Modification d’un argument : La modification d’un argument représenté par (di) par un autre argument h∆l, αi par l’étudiant ǫ est traduite par :
- Les actions passer, supprimer une relation et terminer le débat :
— L’exécution de l’action passer par l’étudiant ǫ est représentée par : «l’étudiant ǫ passe son tour.»
— La suppression d’une relation représentée par (di) par l’étudiant ǫ est repré-
sentée par : «l’étudiant ǫ supprime (di).»
— L’exécution de l’action terminer le débat par l’étudiant ǫ est traduit par : «l’étudiant ǫ décide de terminer le débat.»
L’Exemple 47 représente le journal de débat du graphe de débat de l’Exemple 44.
Exemple 47 (suite Exemple 44) Le journal de débat qui correspond au graphe du débat présenté dans l’étape de construction est le suivant :
- L’étudiant ǫ1 dit : (d1) si ABC est un triangle rectangle en A alors
BC2
= AC2
+ AB2.
- L’étudiant ǫ2 dit :
— (d2) si ABC est un triangle rectangle en A alors AB 2
= BC2
+ AC2.
— (d3) d2 contredit d1.
- L’étudiant ǫ3 dit :
— (d4) cet argument est faux.
— (d5) d4 contredit d2.
- L’étudiant ǫ1 dit :
— (d6) si BC2 = AC2+ AB2 alors AC2 = BC2− AB2.
— (d7) d1 permet de déduire d6.
- L’étudiant ǫ2 dit :
— (d8) d’après le théorème de Pythagore, si le triangle est rectangle en A alors
BC2
= AC2
+ AB2.
— (d9) d8 permet de déduire d6.
— (d10) d2 permet de déduire d10.
- L’étudiant ǫ3 dit : (d11) si AC2 = BC2 − AB2,AB2 = 16 et BC2 = 25 alors
AC2
= 9.
- L’étudiant ǫ2 dit :
— (d13) si AB = 4 alors AB2 = 16.
— (d14) d6,d12 et d13 permettent de déduire conjointement d11
- L’étudiant ǫ3 dit :
— (d15) tu ne peux pas défier A1 car l’argument est correct.
— (d16) d15 contredit d3.
- L’étudiant ǫ1 dit :
— (d17) A2 ne permet pas de déduire A4. Cette relation doit être supprimée.
— (d18) d17 contredit d10.
- L’étudiant ǫ2 dit :
— (d19) cet argument est une redondance de d1.
— (d20) d19 contredit d8.
- L’étudiant ǫ3 dit :
— (d21) si AC2 = 9 alors AC = 3.
— (d22) d10 permet de déduire d21.
4.3.2.2 Représentation par un graphe de preuve
La représentation par un graphe de preuve repose sur l’analyse du graphe de débat. Elle consiste à calculer un sous-graphe du graphe de débat en ne gardant que les arguments sur lesquels le groupe est d’accord et la relation de déduction qui les relie. Pour analyser le graphe de débat, nous utilisons les extensions de Dung présentées dans le Chapitre 3. Cela nécessite une représentation du graphe de débat par un système d’argumentation.
Représentation du graphe du débat par un système d’argumentation : Le graphe de débat est représenté par un système d’argumentation avec défi et support récursifs SABRs.
Parmi les trois interprétations du support dans les systèmes d’argumentation, le support déductif est approprié dans le contexte des preuves déductives. Plus précisément, le passage entre deux lignes (li) et (lj) dans une preuve déductive est
interprété par : «(li) implique (lj)» ce qui correspond à la sémantique du support
Comme mentionné dans le Chapitre 3, pour calculer l’ensemble des arguments acceptables nous devons d’abord représenter ce système par un système d’argumen- tation avec défi et support récursifs étiqueté SABRL puis par un système d’argu-
mentation bipolaire associé SAB et enfin par un système de méta-argumentation SM A (système d’argumentation de Dung).
1. Calcul de SABRL : Rappelons que le support dans les systèmes d’argumen-
tation avec défi et support récursifs est interprété par un support nécessaire. Grâce à la dualité entre la nécessité et la déduction «Ai déduit Aj si et seule-
ment si Aj est nécessaire pour Ai» , nous représentons le support déductif par
le support nécessaire et nous calculons le SABRL.
Exemple 48 (suite Exemple 44) Nous pouvons maintenant représenter notre graphe de débat de l’Exemple 44 par SABRL = hA, DefR,suppR,V, Li
où :
— A = {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, Ainf 1, Ainf 2, Ainf 3, Ainf 4, Ainf 5}, où
A8 est une représentation intermédiare de la déduction multiple «A3, A5
et A7 déduisent A4 ».
— DefR = {α = (A2, A1), β = (Ainf 3, α), κ = (Ainf 1, A2), ι = (Ainf 4, θ),
η= (Ainf 5, Ainf 2)} et
— SuppR = {γ = (A3, A1), δ = (A3, Ainf 2), ǫ = (A4, A8), ζ = (A7, A4),
θ= (A4, A2)}.
Notons que les supports déductifs sont représenté par des supports nécessaires. La Figure 4.8 représente le système d’argumentation avec défi et support ré- cursifs étiqueté correspondant au graphe de débat représenté dans la Figure 4.7.
2. Calcul du SAB associé : Pour calculer le système d’argumentation bipo- laire associé au SABRL, nous utilisons le codage de Cayrol et Lagasquie-
Schiex (2015) des relations récursives présenté dans le Chapitre 3 (voir la Figure 3.13) :
— Toute relation de support α = (Ai, Aj) est représentée par l’ajout d’un
argument α, d’une relation de support entre Ai et α et d’une relation de
support entre α et Aj.
— Toute relation de défi α = (Ai, Aj) est représentée par l’ajout d’un argu-
ment α, d’une relation de support entre Ai et α et d’une relation de défi
entre α et Aj.
Exemple 49 (suite Exemple 48) La Figure 4.9 représente le système d’ar- gumentation bipolaire associé.
Figure 4.9 – Le SAB associé au SABRL.
3. Calcul du SMA associé : A partir du système d’argumentation bipolaire, le système de méta-argumentation est calculé selon la Définition 19 et la Figure 3.13 du Chapitre 3.
Exemple 50 (suite Exemple 49) La Figure 4.10 représente le système de méta-argumentation ou système d’argumentation de Dung associé au système d’argumentation bipolaire. A partir de ce système, nous calculerons l’ensemble des arguments acceptables.
Figure 4.10 – Le SMA associé au SAB.
Calcul des arguments acceptables Le système d’argumentation de l’Exemple 50 est composé d’un ensemble d’arguments et d’une relation de défi entre ces argu- ments. Ce système représente le système de Dung présenté dans le Chapitre 3. Nous pouvons à présent appliquer les différentes extensions pour calculer les arguments acceptables du système.
Dans ce système, nous avons quatre type d’arguments : arguments formels, argu- ments informels, arguments qui représentent les relations et méta-arguments. Nous appliquons les extensions pour calculer les arguments acceptables. Nous ne gar- dons ensuite que les arguments formels et informels. Ces arguments seront projetés sur le graphe du débat initial. Avant d’exposer cette projection, nous discutons le
choix de l’extension pour calculer les arguments acceptables du système de méta- argumentation.
Afin de calculer les arguments acceptables, nous avons d’abord utilisé l’exten- sion de base. L’extension de base d’un système d’argumentation calcule un unique ensemble d’arguments acceptables dans tout le système. Néanmoins, lors de la construction des preuves, des défis symétriques peuvent exister entre arguments. Ces arguments sont susceptibles d’être exclus de l’extension de base même s’ils re- présentent deux chemins de preuves corrects. Ce cas est illustré dans l’Exemple 51. Exemple 51 Soit le théorème à prouver : h{| b |= 3, a2
+ b2
= 13}, a2
= 4i et l’ensemble des propositions P = {b = 3, b = −3}. Il existe deux possibilités de prouver que a2
= 4. La première est de déduire b2
= 9 à partir de b = 3. La valeur a2
= 4 est déduite en remplaçant la valeur de b2 dans a2
+ b2
= 13. La deuxième possibilité est à partir de b = −3, déduire la valeur b2
= 9 ensuite remplacer dans a2
+ b2
= 13. Les deux preuves sont correctes étant donné le théorème car nous ne disposons d’aucune information précise sur b. Les informations de l’ensemble P sont interprétées de manière disjonctive. Par exemple, b = 3 et b = −3 signifie | b |= 3. Supposons que ces deux preuves sont données dans le même débat lors de la construction de la preuve de a2
= 4. Le graphe de débat est présenté par la Figure 4.11. Les deux preuves sont représentées respectivement par A4, A2, A1 et A5, A3, A1.
Figure 4.11 – Graphe de débat de la preuve de a2
= 4.
Le système de Dung correspondant au graphe de débat de l’Exemple 51 est hA, Defi où A = {A1, A2, A3, A4, A5} et Def =
{(A4, A3), (A4, A5), (A5, A2), (A5, A4)}. L’extension de base est {A1}. Elle ne
représente pas une preuve de a2
= 4. Dans notre contexte, cela représente une limite de l’extension de base. Les arguments qui font partie d’une preuve correcte doivent être dans l’extension. En appliquant l’extension de base, si un groupe d’étudiants construit plusieurs preuves correctes et qui sont contradictoires les graphes de
preuve retournés seront incomplets bien que le groupe ait construit des preuves complètes.
Pour cette raison, dans la suite nous utiliserons l’extension préférée pour calculer les arguments acceptables. Cette extension est basé sur l’admissibilité (la défense) : tout argument défié qui appartient à l’extension est défendu par un argument qui appartient à cette extension.
Les extensions préférées est : {A1, A2, A4}, {A1, A3, A5}. Dans ces deux en-
sembles, nous retrouvons deux preuves complètes : A4, A2, A1 et A5, A3, A1. L’ex-
tension préférée permet d’avoir les différentes preuves même si ces dernières sont contradictoires entre elles. A partir de chaque ensemble qui représente une exten- sion préférée, nous pouvons calculer les preuves par la projection sur le graphe de débat.
- Calcul du graphe de preuve L’ensemble d’arguments retourné par les exten- sions ne représente pas toujours les arguments nécessaires qui construisent la preuve du théorème. Il peut inclure des arguments informels, qui représentent des commen- taires, des discussions, des méta-arguments, qui sont ajoutés lors de la représentation du système bipolaire par un système de Dung pour calculer les extensions, ou des relations dans le cas où les étudiants ont utilisé la récursivité des relations lors du débat. Afin d’éliminer ce type d’arguments dans la représentation de la preuve, nous calculons le graphe de preuve en filtrant les extensions par une projection sur les relations de déduction du graphe de débat.
Le graphe de preuve est un sous-graphe du graphe de débat. Il représente la version finale de la preuve construite par le groupe et qui sera transmise aux ensei- gnants pour évaluation. Un graphe de preuve est un ensemble d’arguments qui sont reliés par la relation de déduction.
Exemple 52 (suite Exemple 50) L’extension préférée du SM A re- présenté par la Figure 4.10 retourne un seul ensemble : EP = {A1, A3, A4, A5, A6, A7, A8, Ainf 1, Ainf 3, Ainf 4, Ainf 5, β, γ, ǫ, ζ, η, ι, κ, NA2α, Nδinf2}.
Les arguments A8, NA2α et Nδinf 2 ne seront pas projetés sur le graphe et les relations
β, γ, ǫ, ζ, η, ι et κ sont actives. La projection de l’extension préférée est présentée dans la Figure 4.12. Les arguments non acceptables A2 et Ainf 2 sont supprimés ce
qui justifie la suppression des relations qui les relient à d’autres arguments bien que ces relations soient actives.
Dans cet exemple, nous remarquons que les arguments Ainf 1, Ainf 3, Ainf 4 et Ainf 5
ne sont pas liés au graphe composé de A1, A3, A4, A5, A6 et A7. Ces arguments repré-
sentent les discussions et remarques entre les étudiants du groupe lors de la construc- tion de la preuve. Nous pensons que ce type d’arguments n’est pas utile pour les enseignants dans leur correction et il est préférable que le graphe envoyé aux en- seignants ne contienne que les arguments qui contribuent dans la construction de la preuve. Pour cela, pour chaque argument qui a comme conclusion le théorème à prouver, noté A∗, le graphe de preuve représente les arguments qui forment une sé-
Figure 4.12 – La projection de EP sur le graphe de débat de l’Exemple 44.
quence continue de la relation de déduction vers A∗. Dans l’Exemple 52, nous avons
une seule preuve de AC = 3. L’argument A∗ est représenté par l’argument A 7 et
les arguments qui forment la succession de la relation de déduction vers le A7 sont
A1, A3, A4, A5, A6. Le graphe de preuve de cet exemple est représenté par la Figure
4.13.
Le graphe de preuve représente la deuxième représentation du graphe de débat. Selon le débat et le type des relations utilisées par le groupe, relation de défi, relation de déduction et relation de défi récursif, nous définissons le système d’argumentation correspondant. Ce système d’argumentation sera représenté par un système de Dung afin de calculer les arguments acceptables du débat. Ces derniers serviront au calcul du graphe de débat qui sera envoyé aux enseignants pour évaluation. La Figure 4.14 résume le passage d’un graphe de débat à un graphe de preuve en utilisant les outils de l’argumentation formelle.
4.3.2.3 Représentation par une preuve déductive classique
Nous souhaitons à présent calculer la preuve déductive classique, selon la Dé- finition 1.1.1.1 dans le Chapitre 1, à partir du graphe de preuve. Pour cela, nous utilisons une représentation intermédiaire noté RI qui permettra le passage d’un graphe de preuve à une preuve déductive classique.
1. Représentation intermédiaire du graphe de preuve : La syntaxe de la représentation intermédiaire d’une preuve est donnée par la Figure 4.15. Une
Figure 4.13 – Le graphe de preuve correspondant au graphe de débat initial
preuve déductive est composée de deux éléments : le théorème et la preuve actuelle de ce dernier. Un théorème est représenté par un ensemble de prémisses et une conclusion. Une preuve est composée par le théorème à prouver et le corps de la preuve. Le corps d’une preuve est exprimé par une séquence d’éléments. Un élément peut être :
— un argument formel : ensemble de prémisses et une conclusion — un argument informel : texte
— une conjonction : relation multiple de déduction entre arguments — une sous-preuve : résultat intermédiaire
La Figure 4.16 présente l’algorithme de passage d’un graphe de preuve à une représentation intermédiaire de la preuve. L’algorithme est composé de trois procédures. T ranslate calcule la racine de la preuve. Elle permet de trouver le but de la preuve et lance la procédure BuildP roof. BuildP roof permet de construire le corps de la preuve en lançant la procédure BuildBody. BuildBody est une procédure récursive qui calcule le contenu de la preuve sous forme d’une liste selon le type d’élément du graphe de preuve :
— Si l’élément est un argument A : cet argument est ajouté dans la liste du corps de la preuve en cours. Pour tout argument qui supporte A, la procédure est ré-exécutée.
Figure 4.14 – Le passage d’un graphe de débat à un graphe de preuve.
— Si c’est une conjonction : pour tout argument Ai qui fait partie de la
conjonction, la procédure BuildP roof est lancée. Cela crée pour tout argument Ai une sous-preuve.
La procédure BuildBody s’arrête lorsque tous les arguments du graphe de preuve ont été traités.
Exemple 53 (suite Exemple 52) La Figure 4.17 et la Figure ?? repré- sentent la représentation intermédiaire du graphe de preuve de l’Exemple 52. 2. Représentation de la preuve déductive classique Une fois la représenta-
tion intermédiaire faite, la preuve déductive classique est facilement construite. Il suffit de traduire chaque ligne de la liste du corps de la preuve en une ligne de preuve déductive en utilisant les idiomes du langage mathématique. Par exemple, un argument formel h{Pi, ..., Pn}, Ci est traduit par «Si Pi, ... et Pn
alors C». Toute ligne de preuve j est déduite à partir d’une ou plusieurs lignes k tel que k < j.
Exemple 54 La preuve déductive correspondante à la RI (Figure ??) est la sui- vante :
(1) si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2
= AC2 + AB2 (2) si AB = 4 alors AB2 = 16 (3) si BC = 5 alors BC2 = 25 (4) de (1), AC2 = BC2 − AB2 (5) de (2),(3) et (4), AC2 = 9 (6) de (5), AC = 3.
Figure 4.15 – Syntaxe de la représentation intermédiaire.