Matrices aléatoires et billards classiques : universalité dans les mesures statistiques sur les trajectoires

MATRICES ALEATOIRES ET BILLARDS

CLASSIQUES

Universalité dans les mesures statistiques sur les

trajectoires

Thèse présentée

à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval dans le cadre du programme de doctorat en Physique pour l'obtention du grade de Philosophise Doctor. Ph.D.

FACULTE DES SCIENCES ET DE GENIE UNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

2010

Nous suggérons qu'une matrice d'observables classiques, mesurées le long de trajectoires correspondants à un ensemble de points limites, en conjonction avec des outils statistiques de la théorie des matrices aléatoires, peut être utilisée en mécanique classique pour distinguer des systèmes chaotiques de systèmes intégrables. Nous considérons, comme exemples de systèmes chaotiques, des billards planaires : en stade, de Sinai et en cardioïde, en utilisant la longueur des trajectoires comme observables. Nous considérons aussi un exemple de billard optique en stade avec indice de réfraction variable, en utilisant le temps de propagation des rayons optiques comme observables. Nous trouvons que les résultats obtenus dans ces cas complètement chaotiques sont en accord avec les prédictions de la théorie des matrices aléatoires pour l'ensemble orthogonal gaussien (EOG), ce qui peut être expliqué à l'aide de théorèmes limites, tels que le théorème de la limite centrale. Nous considérons aussi les systèmes intégrables 2D du billard circulaire et du billard rectangulaire. Nous observons un comportement spectral très rigide avec des valeurs propres fortement corrélées, tel que pour un peigne de Dirac. Finalement, nous investiguons, toujours en 2D, la limite presque intégrable du billard en stade et de la famille des billards de Robnik, qui donnent des résultats près du comportement de Poisson observé en mécanique quantique pour la plupart des systèmes intégrables. Nos observations fournissent une très forte indication à l'effet que l'universalité dans les fluctuations spectrales tient aussi pour les systèmes classiques intégrables et les systèmes classiques complètement chaotiques. Alors que le comportement EOG dans les systèmes classiques chaotiques correspond au comportement EOG en chaos quantique, le comportement fortement corrélé en peigne de Dirac dans les systèmes classiques intégrables contraste avec le comportement poissonien non-corrélé typique des systèmes quantiques, mais demeure distinct du comportement EOG.

We suggest that a matrix of classical observables, measured along trajectories corresponding to a set of boundary points, in conjunction with statistical tools from random matrix theory can be used to distinguish chaotic from integrable systems. As examples of chaotic systems we consider planar billiards : stadium, Sinai and cardioid ; using length of trajectories as observables. We also consider an example of stadium optical billiard with varying index of refraction, using the time of travel of optical rays as observables. In the fully chaotic case we found agreement with predictions from random matrix theory for the Gaussian orthogonal ensemble (GOE) which can be understood in terms of limit theorems such as the Central Limit Theorem. We also consider the 2-D circular billiard and rectangular billiard integrable systems. We find a very rigid spectral behavior with strongly correlated eigenvalues as for a Dirac comb. Finally, we investigate the almost integrable limit of the stadium and Robnik's billiards, which show results close to the Poissonian behavior generally observed in quantum mechanics for regular systems. Our findings present evidence for universality in spectral fluctuations also to hold in classically integrable systems and in classically fully chaotic systems. While the GOE behavior in classically chaotic systems corresponds to GOE behavior in quantum chaos, the fully correlated Dirac comb behavior in classically integrable systems contrasts the typical uncorrelated Poissonian behavior in quantum systems, but still remains clearly distinct from GOE's.

Remerciements en vrac.

Tout d'abord, à mon directeur de thèse, le professeur Helmut Kroger, pour sa supervision, son précieux support autant financier, que professionnel et académique, pour le temps consacré à la révision de ma thèse, ainsi que pour l'examen de ma thèse. Aussi au professeur Kevin J.M. Moriarty, pour son support.

Au professeur Louis J. Dubé, pour le temps consacré à la pré-lecture de ma thèse, pour ses précieux commentaires et discussions en cours de projet et pour sa participation au comité d'évaluation de ma thèse. Au professeur Lennaert van Veen, du University of Ontario Institute of Technology (UOIT) et au professeur Luc Marleau, qui ont généreusement accepté d'être examinateurs.

À mes collègues Ahmad Hosseinizadeh, Reza Zomorrodi et Gurgen Melkonyan pour leur collaboration à une partie de mes travaux de recherches et pour nos nombreuses et précieuses discussions. À Pierre-Yves St-Louis, pour m'avoir permis d'intégrer son code de billard en stade à l'intérieur de mon projet.

À Eric Endress, Olivier Blondeau-Fournier, Joël Lamy-Poirier, Gabriel Fabien-Ouellet et Anupam Burra, étudiants d'été qui ont aussi collaboré à mon projet.

À tous mes autres collègues du groupe de recherche du professeur Kroger, passés et présents : Francis Lajeunesse, Jérôme Boucher, Charlotte Imane Bénaoudia, Tanguy Pallaver, François Paradis, Claude Bédard, Louis Nadeau et Dany Simard, pour les échanges que nous avons eus.

Aux techniciens en informatiques, Christian Bacon et Louis Demers, pour leur excellent support technique, ainsi qu'à tout le personnel du département de physique, toujours avenant, sympathique et professionnel.

À ma conjointe, Marie-Catherine, pour m'avoir appuyé dans la réalisation de mon doctorat, avec tout ce que cela implique ; à tous mes amis, que je ne nommerai pas par souci de brièveté, mais qui se reconnaîtront ; enfin, à ma famille, Jean-Pierre, Cécile, Frédéric, Mathieu et Marie-Lou, ainsi qu'à ma belle-famille ; vous tous, qui faites parties de ma vie, avez contribué indirectement d'une manière ou d'une autre au travail de recherche que j'ai réalisé dans mon doctorat et que je présente dans cette thèse.

« What is here required is a new kind of statistical mechanics, in which we renounce exact knowledge not of the state of the system but of the system itself. » Freeman Dyson

Résumé ii Abstract iii Avant-propos iv Table des matières viii

Liste des tableaux xi Table des figures xii

Introduction 1 1 Cadre théorique 3

1.1 Mécanique classique 3 1.1.1 Formulation lagrangienne de la dynamique 3

1.1.2 Formulation hamiltonienne de la dynamique 4

1.2 Dynamique non-linéaire et chaos classique 4

1.2.1 Espace des phases 6 1.2.2 Sections de Poincaré 7 1.2.3 Exposants de Lyapunov 8 1.2.4 Entropie de Kolmogorov-Sinai 10

1.3 Les billards 11 1.3.1 Définitions 11 1.3.2 Ergodicité des billards 21

1.3.3 Propriétés statistiques des billards 22

1.4 Mécanique quantique 28 1.4.1 Quantification canonique 28

. 1.4.2 Quantification par les intégrales de chemin 29

1.4.3 Principe d'incertitude 30

1.5 Chaos quantique 30 1.5.1 Équation de Helmholtz 31

1.5.2 Actions modifiées 32 1.5.3 Formule de trace de Gutzwiller 34

1.5.4 Théorie des matrices aléatoires 35

2 P r o b l é m a t i q u e et m é t h o d o l o g i e 44 2.1 Formulation de la problématique 44 2.2 Approche préconisée 47 2.2.1 Systèmes étudiés 47 2.2.2 Outils numériques 51 3 R é s u l t a t s et discussions 58 3.1 Cas non-intégrables 58 3.1.1 Billards dispersifs 58 3.1.2 Billards en stade 61 3.1.3 Billards en cardioïde 65 3.1.4 Billard optique en stade 67 3.1.5 Propriétés de transport dans les billards chaotiques 69

3.2 Cas intégrables 72 3.2.1 Billards circulaire 73

3.2.2 Billards rectangulaires et polygonaux 77 3.2.3 Systèmes intégrables en tant que limites de systèmes chaotiques 79

3.3 Discussion des résultats , . 81

3.3.1 Billards chaotiques 81 3.3.2 Billards intégrables 84 3.3.3 Systèmes mixtes 84 C o n c l u s i o n 87 B i b l i o g r a p h i e 89 A Définitions m a t h é m a t i q u e s 96 A.l Théorie ergodiques 96

A.l.l Algèbres o 96 A.1.2 Mesures 96 A.1.3 Mesures de probabilité sur IR 97

A.1.4 Mesure ergodique 97 A.1.5 Théorème ergodique de Birkhoff 97

A.1.6 Mixing 98 A.l.7 Mixing faible et mixing multiple 98

A.1.8 Propriété de Bernoulli 99 A. 1.9 K-mixing (automorphismes de Kolmogorov) 100

A.2.1 Processus stochastique stationnaire 100 A.2.2 Théorème de la limite central 101 A.2.3 Théorème de la limite central 2D 101 A.2.4 Autres théorèmes de limite 102 A.2.5 Principes d'invariance 102

B Billards chaotiques 104 B.l Hypothèses simplificatrices 104

B.2 Représentation en coordonnées 105 B.3 Préservation de la mesure 105 B.4 Simplification de la dynamique du stade 105

1.1 Types de mur d'une table de billard V. f : r G [a, b] —> R2 est l'application

définissant la courbe T, définie entre les points a et 6 12

1.2 Classification des billards dispersifs 17 3.1 Coefficients de l'interpolation de var(A) et erreur quadratique relative

1.1 Portrait de phase pour un pendule simple de masse m = 1 et de longueur

de tige L = 1 7 1.2 Sections de Poincaré pour le rotateur percuté (application standard),

l'application est de période 27r dans les deux directions. Nous voyons clairement les structures des orbites périodiques pour une force de percussion k = 0.3, mais déjà pour k = 1.0, nous voyons les structures régulières se briser et des régions chaotiques apparaître. Pour k = 3.0, il ne reste qu'une unique région de régularité et pour A; = 6.0 pratiquement toute trajectoire périodique a disparu, le système étant devenu, à toute fin

pratique, complètement chaotique. (Tirée de [11, p.8].) 9 1.3 Exemple de spectres déplo3'és : spectre de type Poisson, à gauche ; spectre

de type EOG, au centre ; et peigne de Dirac, à droite 37 1.4 Illustration de la DEN de différents types de spectres déployés, générés

artificiellement. Les courbes continues représentent la distribution de Poisson, les courbes pointillés représentent la DEN de l'EOG et les

histogrammes représentent les DEN des spectres déployés 38 1.5 Illustration de la rigidité spectrale As(L) pour différentes matrices et

spectres générés artificiellement. Les courbes de Poisson sont en trait

continu, et celles de l'EOG en tirets 41 1.6 Illustration du processus de déploiement d'un spectre. Les courbes lisses

représentent les densités d'énergies moyennes (p{E)) et les courbes irrégulières représentent les spectres avec leurs fluctuations autour de la densité moyenne. Le spectre brut est celui qui présente une courbe, le déployé

fluctue autour d'une droite 42 2.1 Illustration du billard optique en stade 51

2.2 Sections de Poincaré, en régime mixte et en régime chaotique, de l'oscillateur anharmonique (2.14) avec m = 1 = u et une énergie E = 10. Elles ont été construites par la méthode de Hénon [105] à partir de 500 trajectoires (conditions initiales différentes), chacune évaluée sur un temps de transition T = 1000. La section (a) comporte 183935 points et la section (b), 8899

2.3 Résultats pour l'oscillateur anharmonique quantique (2.14). Cette distribution est construite à partir d'une classe de 825 niveaux, tirés des valeurs propres de 20 matrices, avec m = 1, u2/ 2 = 1, 0 / 2 € [4,103], x, y £

[—1,1]. Le déploiement a été fait par élargissement gausssien ; l'espacement moyen est (s) = 0.9945 et l'autocorrélation est Cx(n) = —0.270. La

courbe de Poisson est en trait continu, et celle de l'EOG en tirets. . . . 57

3.1 Résultats de l'analyse statistique pour le billard de Sinai, pour N = 50

points limites, Arc = 15 collisions et ns = 20 matrices 62

3.2 Résultats de l'analyse statistique pour le billard en stade avec N = 50

points limites, Àrc = 12 collisions et Nsoi = 20 matrices 64

3.3 Résultats de l'analyse statistique pour le billard en stade, en moyennant sur plusieurs geometries e, avec AT = 40 points limites, ATC = 12 collisions

et Ngoi = 20 matrices. Les courbes tracées en continu correspondent à la distribution de Poisson et celles tracées en tirets corresonpondent à la

distribution de Wigner 66 3.4 Résultats de l'analyse statistique pour le billard en forme de cardioïde. 68

3.5 Résultats de l'analyse statistique pour le billard optique en stade avec

paliers d'indices de réfraction différents 70 3.6 Résultats pour l'analyse statistique de propriétés de transport dans le

billard en stade. Les résultats sont moyennes sur 20 000 trajectoires. . . 72 3.7 Résultats de l'analyse statistique pour le billard circulaire, pour Àr = 100

points limites et Nc = 50 rebonds 76

3.8 Résultats de l'analyse statistique pour le billard rectangulaire 80

Le chaos classique est un phénomène fréquemment observé dans la nature, par exemple, en astrophysique, en météorologie, en changements climatiques, dans des réactions chimiques, en biologie ou en neuroscience. D'un point de vue classique, ce phénomène est très bien formalisé. Nous possédons tout un équipement mathématique et graphique pour l'étudier : exposants de Lyapunov, entropie, orbites périodiques, espaces des phases et section de Poincaré en font parties. La majorité de ces outils sont basés sur l'important concept d'espace des phases.

Il n'en va pas de même en mécanique quantique, où l'espace des phases classique n'est plus définissable. Comment alors définir le chaos pour les systèmes quantiques ? En général, un système quantique sera considéré chaotique, si son analogue classique l'est. Cependant, cela ne rend toujours pas les outils classiques plus applicables au régime quantique. De nouveaux outils, de nouveaux formalismes, ont dû être développés, afin de traiter la dynamique des systèmes quantiques dont les analogues classiques sont chaotiques. Deux questions se posent alors. D'abord, ce phénomène que nous appelons chaos quantique a-t-il réellement quelque chose à voir avec le chaos classique ? Ensuite, s'il s'agit réellement du même phénomène, pourquoi faut-il des formalismes si différents, même conceptuellement, pour les traiter? Existe-t-il des ponts reliant les deux régimes de chaos?

Il existe bien de tels ponts, mais jusqu'à aujourd'hui, ceux-ci ne rejoignent que le régime semi-classique. Ils permettent tout de même une ébauche d'unité entre les chaos quantique et classique.

Dans ce travail, nous proposons une autre avenue. Lorsque nous recherchons une approche pouvant embrasser les deux régimes de chaos à la fois, ce que nous cherchons, c'est en quelques sortes des comportements universels. Une approche en chaos quantique traite déjà d'universalité. Il s'agit de la théorie des matrices aléatoires, par l'entremise de la maintenant célèbre conjecture de Bohigas-Giannoni-Schmit. Cette approche distingue, dans les systèmes quantiques, le comportement chaotique du comportemant integrable

par des mesures statistiques de fluctuations spectrales ayant un caractère universel. La question que nous posons pour notre travail de recherche est alors la suivante. Est-il possible de retrouver des propriétés analogues d'universalité dans des applications classiques permettant de distinguer l'intégrabilité, du chaos? Dans nos travaux, nous répondons à cette question par l'affirmative.

Le présent texte est divisé comme suit. Le premier chapitre présente la cadre théorique à l'intérieur duquel s'inscrivent les travaux de recherches et établit la notation utilisée. Le chapitre deux met en place la problématique et décrit la méthodologie. Le troisième et dernier chapitre présente, analyse et discute les résultats obtenus.

Cadre théorique

Ce chapitre présente succinctement les fondements théoriques sur lesquels s'appuient les travaux de recherche présentés dans cette thèse. Il permet aussi de définir clairement les différentes notations qui y seront utilisées.

Nous faisons d'abord un survol du traitement des systèmes dynamiques classiques, en mettant l'accent sur la théorie du chaos, en particulier sur les billards chaotiques. Puis, nous présentons les principaux outils servant à l'étude des manifestations quantiques de ce phénomène.

1.1 Mécanique classique

1.1.1 Formulation lagrangienne de la dynamique

La quantité fondamentale de la mécanique classique, dans la formulation lagrangienne, est l'action S, qui est l'intégrale temporelle du lagrangien C = T — V sur la trajectoire qi(t), où T et V sont respectivement l'énergie cinétique et le potentiel :

S = / C(<h,qi,t)dt. (1.1) Jto

Les équations du mouvement, découlant de la condition de stationnante de la fonctionnelle d'action (ÔS = 0), sont données par les équations d'Euler-Lagrange :

d ( d C \ dC n

mXaïXwr

0

-

(12)

1.1.2 Formulation hamiltonienne de la dynamique

Une formulation alternative, appelée hamiltonienne ou canonique, peut être obtenue à partir de la formulation lagrangienne. La quantité fondamentale de ce nouveau formalisme est l'hamiltonien H obtenu par l'application d'une transformation de Legendre au lagrangien C :

H = ] C 9i(Pj)Qi ~ £{Qk, Qk(Pm), t). (1.3)

i

Dans les cas pour lesquels l'énergie cinétique est une fonction quadratique et homogène en vitesse et que les interactions ne dépendent pas des vitesses, nous pouvons directement écrire l'hamiltonien comme :

H = T + V = E. (1.4) Si l'hamiltonien H ne dépend pas explicitement du temps dH/dt = 0, il est conservé.

Les équations du mouvement, aussi appelées équations canoniques, sont données par : dH dH

Pi = —s— et qi = —-. (1.5) àqt àpi

Le formalisme canonique est présenté en détails dans la plupart des textes standards de mécanique classique, dont [1] et [2].

1.2 Dynamique non-linéaire et chaos classique

Les équations décrivant un système dynamique, obtenues par les formalismes de Lagrange ou de Hamilton, sont, en général, des équations non-linéaires couplées. Une certaine classe de ces systèmes dynamiques non-intégrables peut présenter un comportement dit chaotique, ou plus simplement du chaos.

D'une manière opérationnelle, on s'entend généralement pour définir le chaos comme « un comportement apériodique à long terme dans un système déterministe exhibant une dépendance sensible sur les conditions initiales. » [3, p. 323] C'est-à-dire que, pour

un système complètement chaotique, un nuage de points (conditions initiales) dans un voisinage dans l'espace des phases s'étendra à tout cet espace dans un temps fini [4] — cette sensibilité sur les conditions initiales est ce qui donna lieu à la fameuse métaphore de « l'effet papillon ».

Il existe plusieurs définitions possibles du chaos. En se basant sur Devaney [5, p. 49-50] et Banks [6], on peut définir mathématiquement le chaos de la manière suivante. (Notons que cette défénition s'applique aux systèmes complètement chaotiques, ou à la fraction de l'espace des phases qui est chaotique.)

Définition 1. Soit une application f : X —» X, où X est un espace métrique. L'application f est dite chaotique si :

1. elle est transitive; et

2. l'ensemble des points périodiques P est dense en X.

Un espace métrique est un espace muni d'une fonction de distance, une « métrique ». Un point périodique est tout point appartenant à une orbite périodique ; c'est-à-dire que si x* se trouve dans le domaine d'une application / et si fk(x*) = x* pour une valeur positive entière de k, alors x* est un point périodique de période k [4, p. 29]. La transitivité d'une application signifie qu'au moins un point dans tout voisinage de x E X passe éventuellement par tout autre voisinage de X.

Banks [6] a, par ailleurs, démontré que les points 1 et 2 de la définition 1 implique que / possède une dépendance sensible sur les conditions initiales — originalement la définition exacte de Devanay incluait explicitement cette caractéristique dans un troisième énoncé.

Devaney résume ainsi sa définition du chaos à trois ingrédients : imprévisibilité, indécomposabilité et un élément de régularité. Ainsi, nous voyons que la définition opérationnelle du chaos énoncée en début de section exprime bien l'essence de la définition mathématique de ce phénomène.

On possède aujourd'hui de très bons outils mathématiques et graphiques pour étudier le flot décrit par un systèmes d'équations différentielles. Les principaux auxquels le chaoticien — et plus largement, le dynamicien — classique peut recourir sont sommairement présentés dans les sections qui suivent. Il s'agit des exposants de Lyapunov, de l'entropie de Kolomogorov-Sinai, des orbites périodiques, des diagrammes de phases et des sections de Poincaré. Tous ces outils sont basés sur les très importants concepts, de point, de trajectoire et d'espace des phases, que nous définissons immédiatement dans la section qui suit. Pour plus de détails sur la théorie du chaos,

voir notamment [3, 4, 5, 7].

1.2.1 Espace des phases

Pour un système non-linéaire, il est à peu près impossible de déterminer analytiquement la solution. Cependant, il est tout de même possible d'obtenir quantité d'informations qualitatives sur le système en traçant son portrait de phase, ou diagramme d'espace des phases.

L'espace des phases Q est une variété multidimensionnelle abstraite dont les coordonnées sont les variables canoniques du systèmes (qi,Pi). Un point x G Q dans cet espace représente un état possible du système. En faisant évoluer ce point dans le temps selon les équations différentielles du système, nous obtenons une orbite x(£), paramétrée par le temps. Cette orbite (ou trajectoire) représente l'évolution temporelle de l'état du système pour la condition initiale x(0) = Xo- L'ensemble des orbites forme un flot.

Soit x = /(x), un système dynamique isolé et déterministe de dimension n; ce système définit un flot 4> dans Rn. Ce flot peut être représenté graphiquement par le portrait de phase en faisant évoluer dans le temps un ensemble de conditions initiales {xj(0)} selon la dynamique du système décrit par les équations x = /(x). Dans le cas spécifique où l'énergie est conservée, ce flot est appelé flot hamiltonien et préserve les aires dans l'espace des phases. [3]

À titre d'illutration, considérons un pendule simple de masse m, avec une tige de longueur L. Son hamiltonien est :

H = ^ - + mgL(l - cos(0)). (1.6) Ici, l'hamiltonien représente l'énergie (H = E) et est conservée (dH/dt = 0). À chaque

valeur de cette énergie E correspond une trajectoire dans l'espace des phases définie par :

p(6) = ±y/2m(E + mgL(cos{0) - 1). (1.7) En traçant les orbites pour différentes valeurs de E, nous obtenons le portrait de phase

illustré à la figure 1.2.1. Ce portrait de phase donne beaucoup de renseignement sur la dynamique du système. Dans le cas présent, les points où des lignes se croisent sont des points fixes ; ces lignes sont les séparatrices. Les orbites à l'intérieur de celles-ci représentent des oscillations autour du point d'équilibre et celles à l'extérieur, des tours complets du pendule. L'ensemble des lignes sur ce portrait de phase représente le flot.

10

FlG. 1.1 Portrait de phase pour un pendule simple de masse m = 1 et de longueur de tige L = 1.

1.2.2 Sections de Poincaré

D'un point de vue heuristique, une section (ou surface) de Poincaré est un sous-espace de l'sous-espace des phases avec lequel on fait intersecter un échantillon du flot de trajectoires d'un système dynamique, permettant, d'une certaine manière, de cartographier l'espace des phases. Les orbites périodiques apparaissent sur cette carte comme des courbes et les trajectoires chaotiques, comme des nuages de points.

Mathématiquement, nous définissons les sections de Poincaré comme suit. Soit Q G Rn un espace des phases et soit 5 C Q une hypersurface à n — 1 dimensions, prise transversalement au flot 0 en tout point x e S . Soit l'application

P : S

Xfc+i, pour tout X É 5 . (1.8) Chaque intersection entre une trajectoire de 0 et 5 est donc représentée par un point x sur S. Soient 7, une orbite périodique dans 0, et x* G S, le seul point où 7 intersecte S (si 7 intersecte S en plus de deux points, il est toujours possible de restreindre S suffisamment pour n'avoir qu'une seule intersection). Alors clairement, P(x*) = x*, c'est-à-dire que x* est un point fixe de l'application P [3]. La stabilité de x* pour P reflète la stabilité de 7 pour 0. Pour déterminer cette stabilité, il suffit d'analyser l'application linéarisée DP(x*), définie à partir de la matrice jacobienne de P, évaluée à

x* [7]. On appelle la surface S, section de Poincaré. Cette analyse se fait graphiquement. À titre illustratif, considérons l'exemple de l'application standard, définie par :

xn + 1 = xn + yn + l, (1.9)

î/n+i = Vn + k sin(xn). (1.10)

Les variables x et y, ainsi que les équations gouvernantes sont toutes évaluées modulo 27T ; le paramètre k est une mesure de la force d'entraînement subie par le système. Cette application apparaît dans plusieurs contextes physiques tels que la dynamique des oscillateurs périodiquement percutés ou le mouvement de particules chargées perturbé par des champs oscillants à large bande [3, 9].

Les sections de Poincaré obtenues sont illustrées à la figure 1.2 (ces figures sont tirées du mémoire de maîtrise de l'auteur [11, p. 8]). Les structures bien définies, en anneaux ou autres, représentent les orbites périodiques et couvrent les régions intégrables de cette section de l'espace des phases. Les régions chaotiques se traduisent, quant à elles, par les nuages de points. Nous pouvons voir sur ces figures les structures régulières disparaître, à mesure que le paramètres k augmente de 0.3 à 1.0, puis à 3.0 et enfin à 6.0.

1.2.3 Exposants de Lyapunov

Les exposants de Lyapunov permettent d'obtenir une mesure de la sensibilité aux conditions initiales de la dynamique d'un système. En gros, les exposants de Lyapunov mesurent la perte d'information moyenne le long d'orbites dans l'espace des phases se trouvant initialement dans le voisinnage de l'orbite x*(t).

Sommairement, les exposants de Lyapunov sont donnés par le logarithme du module des valeurs propres de la matrice jacobienne de P (application linéarisée de Poincaré). Soit rjo une perturbation infinitésimale telle que (x* + 770) G S. En développant P(T]Q) en série de Taylor et en négligeant les termes en 0(||T7O|| ), nous obtenons :

77! = [£>P(X*)]770 (1.11)

Soient {et} et {//,}, respectivement la base des vecteurs propres et l'ensemble des valeurs propres de £>P(x"). Dans cette base, l'expression (1.11) devient, pour k itérations :

n - l

% = $ > ( * ) * € * , (1.12) i=\

Application standard Application standard k ' 1 . 0 Application standard ïisn "B Application standard

'

^ ^ M j i ^ ^ ^ S i i ^ t ^ ^ e ^ M 5 *

FlG. 1.2 -- Sections de Poincaré pour le rotateur percuté (application standard), l'application est de période 2TT dans les deux directions. Nous voyons clairement les structures des orbites périodiques pour une force de percussion A: = 0.3, mais déjà pour A: = 1.0, nous voyons les structures régulières se briser et des régions chaotiques apparaître. Pour k = 3.0, il ne reste qu'une unique région de régularité et pour A; = 6.0 pratiquement toute trajectoire périodique a disparu, le système étant devenu, à toute fin pratique, complètement chaotique. (Tirée de [11, p.8].)

où les Vi sont les composantes de 770 dans la base {ej}. Si la condition

\pi\ < 1, pour tout i = 1,2,..., n — 1 (1.13) est vérifiée et si rj0 tend géométriquement vite vers 0, l'orbite est stable. Au contraire, si \pi\ > 1 pour au moins une valeur de i, alors l'orbite est instable ; et plus cette valeur est grande, plus l'orbite est instable (la divergence de l'orbite x* est plus rapide). Les Pi sont appelés multiplicateurs caractéristiques, ou de Floquet, de l'orbite périodique x*. Les exposants de Lyapunov Xt sont donnés par le logarithme de ces multiplicateurs

caractéristiques :

\i = hx\m\. (1.14) Une orbite sera instable si au minimum un des exposants de Lyapunov est positif;

l'amplitude de cet exposant renseigne sur le taux de divergence en direction i d'une orbite initialement dans le voisinage de l'orbite x*.

Ainsi, dans un système où il existe des orbites instables, le chaos peut apparaître. Pour cela, les trajectoires divergeant d'une orbite ne doivent pas converger à long terme vers une orbite stable (incluant le point fixe à l'infini s'il existe). Lorsque tous les exposants de Lyapunov sont positifs, le système est dit complètement chaotique : c'est la transitivité. Et il est intuitivement clair maintenant que cette transitivité implique la sensibilié sur les conditions initiales, tel que Banks l'a démontré [6].

Il est important de noter que les exposants de Lyapunov sont des quantités locales et qu'il y en a un d'associé à chaque degré de liberté d'un système. Si, par contre, on veut une mesure globale du taux de perte d'information dans l'évolution temporelle du système, on s'intéressera plutôt à ce qu'on appelle l'entropie de Kolmogorov-Sinai. [3, 4, 7, 8]

1.2.4 Entropie de Kolmogorov-Sinai

L'entropie de Kolmogorov-Sinai, ou entropie métrique, est basée sur la théorie de l'information de Shannon.1 Elle peut être vue comme la mesure du degré de prévisibilité de l'évolution d'un système dynamique ou encore de l'efficacité avec laquelle la dynamique d'un système explore l'ensemble de son espace des phases. Une application possédant une entropie positive, sera donc aussi transitive [12].

Soit une division de l'espace des phases Q en n hypercubes u>i D-dimensionnels et de volume tD. Soit Pr(wn,nT) = Pr (w0, 0;wi, T; •••; hn,nT), la probabilité que la trajectoire passe par l'hypercube w0 au temps t = 0, W\ au temps t = T, w2 au temps t = 2T, etc. Soit

A hn = hn + 1 - /?„, (1-15)

ou :

hn = - Y^ Pr(w„, nT) In Pr(wn,nT), (1.16)

W0,...,Wr

'Dans ce qui suit, à moins d'une mention contraire, lorsque nous parlerons d'entropie, il s'agira toujours de l'entropie métrique

l'information nécessaire (entropie) pour prédire dans quel hypercube se trouvera la trajectoire au temps t = (n + 1)T, si celle-ci est connue jusqu'à t = nT. L'entropie est alors donnée par :

1 r _ 1

K = lim lim lira — V ( A / i „ ) . (1.17)

n=0

Un système chaotique possède une entropie positive. Plus celle-ci est grande, plus il est difficile de prévoir dans quel hypercube se trouvera la trajectoire à t = (n + \)T. C'est-à-dire que l'horizon de prévisibilité se rapproche.

Notons aussi que cette quantité est une mesure globale sur le système, et non locale. De plus, elle est aussi liée aux exposants de Lyapunov, car il est possible de déterminer l'entropie hn à partir d'une moyenne effectuée sur ces exposants. L'entropie est assimilable à une mesure globale du degré de chaoticité d'un système dynamique, alors que les exposants de Lyapunov le sont à une mesure locale. Ces deux quantités sont reliés par une intégrale sur les exposants de Lyapunov positifs [13, p. 60-62] :

h = f Y ] \i(x) dp(x), (1.18) où dp est la mesure de probabilité invariante sur Q et les Aj sont les exposants de

Lyapunov positif au point x G £L

1.3 Les billards

Les billards planaires constituent le principal objet d'application des travaux présentés dans cette thèse. Nous présentons en premier lieu une définition rigoureuse des billards, tout en établissant la notation qui sera utilisée dans la suite du texte. Nous présentons par la suite, de manière concise, les principaux résultats relatifs aux billards chaotiques. La majorité de ces résultats sont tirés de la référence [13] ; nous citons aussi dans le texte les références aux principaux articles originaux.

1.3.1 Définitions

Définition 2. Nous appelons billard (planaire) un système correspondant au mouvement libre d'une particule dans un domaine V G E2 munie d'une frontière lisse, ou lisse par morceaux, donnant lieu à des réflexions spéculaires.

On appelle V une table de billard et rl 7. . . , rn les murs ou les composantes de dU. Les composantes Tj sont orientées : par convention, T> se trouve toujours à leur gauche lorsque nous les parcourons dans leur sens positif. Chaque composante I\ est paramétrée par sa longueur d'arc. Le périmètre de T> est donné par |T| = \dV\ = £ ^ |r,|.

Il est coutume de faire certaines hypothèses simplificatrices, afin d'éliminer la plupart des pathologies qui rendraient l'analyse trop compliquée, voire impossible. (La formulation mathématique de ces hypothèses est présentée à l'annexe B.l)

1. les frontières sont lisses et compactes par morceaux;

2. les composantes de frontières ne s'intersectent qu'à leurs extrémités ; et 3. les composantes de frontières ne contiennent pas de points d'inflexion.

L'hypothèse (3) nous amène à distinguer trois types de murs : plats, focalisants ou dispersifs. Ces trois types sont détaillés dans le tableau 1.1.

Type de mur Plat

Convergeant, focalisant ou convexe Dispersif, défocalisant ou concave

Courbure 1C = 0

«--un

£ = +||/"|

TAB. 1.1 - Types de mur d'une table de billard V. f : r G [a, b] —► R2 est l'application définissant la courbe F, définie entre les points a et b.

É q u a t i o n s dynamiques

Soit V0 G R2 le domaine ouvert et connecté dont la fermeture est T> = Z>0- Soient g G P la position de la particule et v G K2 sa vitesse ; les quantités q et v dépendent du temps t. Le flot dynamique $ ' dans un billard V consiste alors en une propagation à vitesse constante quand q G X>o et une réflexion spéculaire (inversion instantanée de la composante normale de la vitesse) sur les parois. (Si à un moment une particule frappe un coin, elle s'arrête, son mouvement n'étant pas défini au-delà de ce temps.) Les équations du mouvement sont les suivantes :

Q v = v, = 0, (1.19) (1.20) avec la loi de réflexion sur les parois :

ou en composantes :

{S}

où le vecteur n est la normale à T au point q. Par convention, le module de la vitesse v est constant et égal à l'unité : ||?j|| = 1. Le vecteur vitesse évolue donc sur un cercle unitaire : v G S1.

E s p a c e d e s p h a s e s et flot d ' u n billard p l a n a i r e

L'état de la particule en mouvement est en tout temps spécifié par sa position q G V et son vecteur vitesse unitaire v G S1. L'espace des phases Û du système est donc défini

comme :

Ù = {(q,v)} = V x S1. (1.23)

Il s'agit d'une variété à trois dimensions dont la frontière est &D = F x S1. On peut

visualiser cet espace des phases tel un beigne dont la section transversale serait V. À chaque point non-singulier ç G T on identifie les paires (q, v~) et (q, v+) reliés par la

règle de collision (1.19).

Soit Q, C f2, l'ensemble des états (q, v) pour lesquels la dynamique de la particule en mouvement est définie pour tout temps — oo < t < oo (cela exclut notamment les trajectoires se terminant sur un coin). On obtient ainsi le groupe de transformation à un paramètre (flot) :

$ ' : Q -> Q (1.24) paramétré en temps continu t G R. C'est-à-dire que $ ° = I et $t + s = qV o $s pour tout

temps t , s Ç . R .

T a b l e s b o r n é e s e t n o n - b o r n é e s

Une table de billard X> peut être bornée ou non. Pour la majorité des études de tables de billards non bornées, on suppose qu'elles ont une structure périodique, par exemple, un gaz de Lorentz sur réseau périodique. On projette alors le billard planaire sur un tore : on suppose que V C Tor2 (ainsi que V ^ Tor2, pour éliminer les billards

triviaux sans aucun mur).

Soit Q = Qc U Qf, où f2c contient toutes les trajectoires avec collisions et flf est

l'union de toutes les trajectoires sans collisions. Une table bornée est définie comme suit.

Définition 3. On dit qu'une table de billard T> C Tor2 a un horizon fini (ou borné) si Qf — 0 . Autrement, l'horizon est dit infini.

Application de collision

En général, dans l'étude des billards, on réduit le flot à une application de collision en construisant une section transversale. Soient M un espace métrique, F : M —» M une application mesurable et L : M —» R+ une fonction positive. Nous construisons alors le nouvel espace :

Q = {(x, s) : x G M, 0 < x < L(x)} (1.25) et un flot 4>* : Q —+ Q. définit par <P'(x, s) = (x, s + 1 ) . Le flot <&* est mesurable sur

Çl. Si l'application F préserve la mesure de probabilité p sur M et si la fonction L est integrable :

1 = 1 L(x)dp(x) < oo, (1.26)

J M

alors le flot préserve la mesure de probabilité p\ sur Q définie par :

dfii = L~~ldp x ds. (1-27)

L'application F est l'application de collision (ou aussi appelée transformation de base). Habituellement, l'hypersurface dans Q est construite sur la frontière (l'ensemble r x i )1) ; nous décrivons cette section transversale comme l'ensemble des vecteurs vitesses post-collisionnels (attachés aux points de collisions qj G Fi) :

M = UiMi, (1.28)

Mt = {x = (q,v) E Q : q E Fi, v ■ n > 0}, (1.29) L'ensemble AI est une sous-variété bidimensionnelle dans Q appelée l'espace des

collisions.

Application d e r e t o u r

Soit T(X) G R la fonction plafond donnant le moment futur auquel la trajectoire $'x, pour x G Ai ; nous appelons cette fonction le temps de retour. Puisque le module de la vitesse est fixé à l'unité, le temps de retour est égal à la distance entre le point x

et la prochaine collision. Toute trajectoire du flot $ ' : Qc —► Qc traverse la surface AI un nombre infini de fois. (Qc est l'ensemble uniquement des trajectoires avec collisions.) L'application de retour (ou application du billard) est alors définie par :

T : A i - ^ M (1.30)

x H+ &W+°X. (1.31)

L'espace Al est appelée l'espace des phases de l'application du billard T .

Coordonnées de l'application de collisions

Sur chaque segment I\ on établit un paramètre de longueur d'arc r G [aiA]. Pour chaque point x G Al, on définit a G [—7r/2,7r/2], l'angle entre le vecteur vitesse v et la normale n, pointant vers le domaine T>. Alors r et Q sont les coordonées sur Al. Ces

coordonnées sont celles que nous avons adoptées dans nos calculs.

Singularités

Soit :

S0 := d M = {\a\ = TT/2} U (U,({r = a,} U {r = 6,})), (1.32) où l'ensemble {r = ai} U {r = b^] n'est inclus que pour les Tj qui ne forment pas des

courbes lisses fermés. La trajectoire $*(x) de tout point x G int Al est au moins définie pour 0 < t < T(X), c'est-à-dire jusqu'à la prochaine collision avec AI, pour laquelle trois cas sont possibles :

1. une collision régulière : T(x) G int Al ;

2. une collision rasante sur un mur dispersif : .F(x) G «So ;

3. la trajectoire frappe un coin et s'arrête là : dans ce cas F(x) n'est plus définie.

Libre p a r c o u r t moyen

L'application T préserve la mesure cos a drd<p sur Af. Définition 4. La mesure normalisée sur Ai,

d p = ( 2 \ F \ -1) c o s a d r d a , (1.33) est la mesure de probabilité canonique préservée par Al.

Par les équations (1.27) et (1.33), le flot $' préserve donc la mesure de probabilité :

dpi = f~ldp x d s = (2|r|_ 1) cos0dr d0, (1.34) où f est le temps moyen de retour et est donné par :

f = f r(x)dp(x) (1.35) J M

la vitesse étant unitaire, il s'agit aussi du libre parcourt moyen X dans V : f = X. De la mesure (1.34), on obtient l'expression suivante pour f :

T = ——. (1.36) Cette expression est valide pour tous les billards planaires.

Exposants de Lyapunov

L'application de collision des billards planaires T : A4 —» Al, où Al = F x S1, possède deux exposants de Lyapunov. L'un est associé à l'espace S1 des vecteurs vitesse et vaut zéro. L'autre est associé à l'espace F. Il n'y en a donc qu'un seul qui gère la chaoticité du système.

Classification des billards

Il existe deux grandes catégories de billards : les billards dispersifs et les billards de Bunimovich. Les billards dispersifs, introduits dans les années soixante-dix par Sinai [15], constituent la principale classe de billards chaotiques. Les billards dispersifs sont essentiellement bornés par des murs plats ou concaves (courbure positive vers l'extérieur du domaine V).

Les billards dit de Bunimovich furent introduits un peu plus tard, dans le milieu des années soixantes-dix, par un étudiant de Bunimovich qui parvint à construire un billard chaotique ne contenant que des arcs circulaires focalisants (courbure positive vers l'intérieur du domaine V) [16, 17, 18].

Billards dispersifs

Définition 5. Une table de billard P C R2 (ou C Tor2^ est dite dispersive si tous les murs Fi C F = &D sont dispersifs.

Ces tables de billards dispersives sont elles-mêmes sous-classifiées (cf. tab. 1.2), d'une part, selon que V possède des coins ou des cuspides (cusps) ou non; et d'une autre part, selon qu'elle est bornée ou non. (Cette classification ne s'applique pas aux billards de Bunimovich.)

Horizon fini Horizon infini sans coins

avec coins, sans cuspides avec coins et cuspides

A C E B D F TAB. 1.2 - Classification des billards dispersifs.

Billards de Bunimovich

Un billard de Bunimovich est un billard dont les composantes de frontière de V ont une courbure nulle ou positive vers l'intérieur, c'est-à-dire qu'ils ont des composantes convergentes (focalisantes), contrairement aux cas dispersifs, où les composantes sont divergentes.

Soit cr C P un front d'onde de courbure B. Ce front d'onde peut être défini comme la courbe lisse normale à un faisceau de trajectoires — une définition rigoureuse et détaillé du front d'onde peut être trouvée dans [13, §3.7]. Les fronts d'ondes constituent un outil très pratique dans l'étude du flot <&'. En effet, si cr C P est un front d'onde, alors $l(o) est aussi un front d'onde. (Les fronts d'onde se déplace à la manière d'ondulations à la surface de l'eau.)

Un front d'onde peut s'effondrer (se focaliser) lorsque les trajectoires de ses points s'intersectent dans V. Mais le front se reconstituera (se défocalisera) immédiatement après l'effondrement et se déploiera de nouveau. Cela représente le cas dégénéré B = oo (courbure infinie du front d'onde), il n'existe alors'pas de front d'onde lisse, mais on peut tout de même le représenter par un front d'onde effondré, ou focalisé — un point. Nous distinguons trois types de front d'onde, en se basant sur la valeur de la courbure B.

1. Si B >' 0, le front d'onde est divergent (se disperse) ; 2. Si B < 0, le front d'onde est convergent (se focalise) ;

3. Si B = 0, le front d'onde est plat (vecteurs vitesses parallèles).

Le cas où B = oo correspond à un front d'onde dégénéré (effondré ou focalisé), le front d'onde se trouve alors sur un de ses point focaux.

Dans un billard comportant des parois focalisantes, un front d'onde finira toujours par être focalisé à un moment ou un autre. Il n'existe donc aucune classe de fronts d'onde qui vont croître monotoniquement dans le temps. Cependant, ce qui nous intéresse ici, c'est l'hyperbolicité de l'application de collisions T : Al —* Al. Nous nous intéressons donc uniquement aux fronts d'onde au moment des collisions ; ceux-ci ne doivent alors croître que de collision en collision. Cela est possible, si le front d'onde se focalise avant la mi-distance à la prochaine collision. C'est le mécanisme de défocalisation des billards de Bunimovich.

Il est cependant nécessaire de s'assurer que le travail du mécanisme de défocalisation se poursuivra à toutes les collisions pour une certaine classe de fronts d'onde, de telle sorte que l'application du billard T soit hyperbolique. Il est prouvé que ce sera le cas, si nous supposons que chaque composante focalisante Tj peut être complétée en un cercle délimitant un domaine circulaire T>i inclus dans le domaine T>, c'est-à-dire que T>i C V. Cette propriété est la principale caractéristique des billards de Bunimovich et on l'appelle la B-condition.

Définition 6. Nous disons que T> est une table de billard de Bunimovich si chaque composante focalisante Fi C &D est un arc circulaire (mais pas un cercle complet) qui vérifie la B-condition.

Notons qu'il est possible que deux arcs focalisants F{ C &D ou plus se trouvent sur le même cercle, mais nous ne leur permettons pas de couvrir le cercle en entier. Notons aussi qui si un coin d'une table de Bunimovich est formé par deux composantes adjacentes de la frontière et que l'une d'elle (ou les deux) est un arc circulaire, alors l'angle intérieur du coin doit être > n.

Plus particulièrement, un billard comportant des murs focalisants est hyperbolique si l'image J-(x) d'un point x G AI appartenant à un arc focalisant Tj appartient soit à une composante plate soit à un arc focalisant r,- qui ne se trouve pas sur le même cercle que Fi [13]. Afin de tenir compte de ces particularités, nous introduisons la notion de

collisions essentielles.

Définition 7. La collision au point x G Al est dite essentielle si elle a lieu sur une composante de frontière dispersive ou sur un arc focalisant, mais dans ce dernier cas soit que la collision précédente J-~l(x), ou la collision suivante T(x), a lieu sur tout autre composante de frontière qui n'est pas un arc se trouvant sur le même cercle.

L'application sera hyperbolique, si presque toutes les trajectoires contiennent des collisions essentielles. Notons que si c'est le cas, alors, pour presque toutes les trajectoires,

ces collisions surviennent avec une fréquence positive. C'est-à-dire que si mn est le nombre de collisions essentielles pendant les n premières collisions, alors :

771

lim infn^oo— > 0. (1.37)

n

Une analyse géométrique simple permet de montrer qu'il peut y avoir deux types de trajectoires (non hyperboliques) qui ne contiennent pas de collisions essentielles.

- Type A. Ce sont des trajectoires qui ont uniquement des collisions sur le même arc focalisant.

- Type B. Ce sont des trajectoires qui ont uniquement des collisions avec des composantes plates de frontière.

Toutes les trajectoires de type A sont périodiques. Elles forment donc un ensemble de mesure zéro.

Prouver que les trajectoires de type B forment un ensemble nul demeure cependant un problème ouvert. Une solution partielle est obtenue dans [19]. Mais même si nous ne savons pas, en général, si les trajectoires de type B forment un ensemble nul, cette condition peut être facilement vérifier pour certaines tables en particulier. C'est d'ailleurs le cas, s'il n'y a exactement que deux composantes plates qui sont parallèles, tel que c'est le cas pour un billard en stade.

Nous pouvons résumé la discussion précédente dans le très important théorème suivant.

Théorème 1. SoitV une table de billard de Bunimovich. Supposons que les trajectoires de type B forment un ensemble de mesure zéro. Alors l'application du billard T est hyperbolique.

Notons que, contrairement aux billards dispersifs, les billards ayant au moins un arc focalisant ne sont jamais uniformément hyperbolique. En effet, pendant une longue série de collisions non-essentielles, la divergence des orbites dans l'espace des phases n'est plus exponentielle, empêchant ainsi toute croissance uniforme du front d'onde.

Dans les billards de Bunimovich, il existe trois types de longues séries de collisions non-essentielles.

Type NI. Les collisions, pour un long temps, ne surviennent que sur des composantes plates de la frontière. Ce sont essentiellement des trajectoires polygonales.

- Type N2. Les collisions surviennent sur un seul arc focalisant avec \a\ & ir/2. La trajectoire est presque tangente à l'arc, alors qu'elle glisse le long de celui-ci. De telles séries de collisions sont dites glissantes.

- Type N3. Les collisions surviennent sur un seul arc focalisant (ou sur plusieurs arcs se trouvant sur le même cercle) et |Q| n'est pas près de 7r/2. Dans ce cas, la trajectoire se rapproche d'une orbite périodique dans un cercle.

Les trajectoires de type N3 ne peuvent survenir que sur des arcs plus grands qu'un demi-cercle ou sur plusieurs arcs d'un même cercle se regroupant sur davantage qu'un demi-cercle.

Les stades

Les stades forment une sous-classe des billards de Bunimovich. Ces billards sont bornés par deux segments de droite égaux et parallèles et deux demi-cercles égaux. Ils furent introduits dans un article de Bunimovich en 1974 [17], mais ne devinrent populaires qu'en 1979, suite à la publication de l'article [18] par Bunimovich.

Un billard en stade demeure chaotique même lorsque ses segments parallèles deviennent arbitrairement courts. Mais si ceux-ci disparaissent, le billard devient circulaire et complètement integrable. Il s'agit d'une famille continue de billards entièrement chaotiques où la transition vers un régime complètement régulier est instantanée.

Il est possible de simplifier l'analyse du billard en stade en éliminant les cotés plats et en faisant de multiples réflexions (à l'infini) de la table [13, §8.7]. Ceci permet d'éviter certaines complications résultant du fait d'avoir plusieurs types de collisions, en préservant toutes les propriétés essentielles des billards de Bunimovich avec des arcs focalisants.

En raison de sa symétrie naturelle, l'image réfléchie d'un stade V autour de son côté plat est identique à V. Les images subséquentes forment une rangée infinie de stades identiques partageant leurs côtés plats. Nous obtenons ainsi une table non-bornée V ^ dont la frontière consiste en deux rangées de demi-cercles adjacents identiques. Nous pouvons aussi identifier les deux côtés plats opposés, de la table originale, ensembles pour obtenir une table V0 sur un tore 2D. Notons que ni V0, ni V ^ n'ont de composantes plates de frontière. Toutes les collisions ont lieu sur les demi-cercles.

Cependant, l'imposition d'une condition de périodicité au stade ne suffit pas à éliminer l'ensemble des collisions non-essentielles. Nous devons aussi redéfinir l'application T de telle sorte que, de chaque séquence de collisions avec un seul arc focalisant, uniquement la première ou la dernière collision soit préservée. Nous notons

cette nouvelle application restreinte :

H ■ AI* -» A U , (1.38) où A l * C AI est l'espace restreint des collisions. (Voir l'annexe B.4 pour la formulation

mathématique de cette simplification.)

Cette expression restreinte de la dynamique du stade — et des billards de Bunimovich en général — est nécessaire afin d'en rendre l'hyperbolicité uniforme. Elle permet ainsi d'effectuer une analyse analogue à celle des billards dispersifs de catégories A et B, pour lesquels les propriétés ergodiques et statistiques sont rigoureusement et complètement prouvées dans la littérature.

Les propriétés ergodiques de l'application T+ se transposent toutes à l'application T non-restreinte. Cependant, cela n'est pas nécessairement vrai pour les propriétés statistiques.

D'autres complications peuvent aussi survenir, invalidant l'analogie avec les billards dispersifs : nous y remédions en considérant un nombre suffisamment élevé de collisions (ce nombre est déterminé dans [13, §8.14]). Malgré tout, l'analogie fait toujours défaut pour certains billards de Bunimovich, mais pas pour le stade avec demi-cercles.

1.3.2 Ergodicité des billards

En théorie ergodique, qui étudie les transformations préservant la mesure, il existe une hiérarchie de propriétés caractérisant des dégrés croissants de chaos : ergodicité, mixing faible, mixing fort, mixing multiple, K-mixing, et Bernoulli (pour la définition de ces propriétés ergodiques voir la section §A.l, en annexe). Chaque propriété de cette liste implique toutes les propriétés précédentes plus faibles. En théorie ergodique, la propriété de Bernoulli représente le plus haut degré de chaos possible.

Billards dispersifs

Les billards dispersifs de catégories A et B, en tant que systèmes dynamiques, sont ergodiques, mixing et ont la propriété de Bernoulli. L'ergodicité et le mixing ont été établis pour la première fois par Sinai en 1970 [15]. Il fut aussi démontré que l'ensemble A i * C Al contenant l'ensemble des points appartenant à des trajectoires avec singularité est dénombrable et possède donc une mesure nulle.

Les deux théorèmes suivants sont démontrés dans [13] :

T h é o r è m e 2. L'application de collision T : A4 —* AI est ergodique.

T h é o r è m e 3. L'application T71 : Al —» Al est ergodique pour tout n > 2, i.e., T possède la propriété de mixing.

Du théorème 3 découle le corollaire suivant.

Corollaire 1. Pour les billards dispersifs de catégories A et B, l'application T : Al —» Af a les propriétés de mixing, de AT-mixing et de Bernoulli.

Considérons maintenant les propriétés ergodiques du flot <&' : Q —► fi, lequel préserve la mesure HQ. Sa transformation de base est T : Al —> A4 et sa fonction plafond est r(x). Un tel flot est ergodique si, et seulement si, sa transformation de base est ergodique. (Notons qu'on ne peut obtenir les propriétés de mixing à partir de la transformation de base.) A cet effet, Chernov [13] énonce la proposition suivante.

Proposition 1. Pour les billards de catégories A et B, le flot $ ' : Q —> Q est ergodique.

Billards de Bunimovich

L'analyse faite sur les billards dispersifs s'applique également à l'application T1^. Cette application est donc ergodique. De même, l'application T+ est aussi ergodique. Puisque T+ est l'application de retour obtenue de T : Ai —» Ai, cette dernière sera aussi ergodique. Pour l'application .F*, les propriétés de mixing et de Bernouilli peuvent être établies par une analyse analogue à celle des billards dispersifs.

Il en va de même pour les propriétés statistiques de J-+ : A i * —► Al*. Il est possible d'établir que la décroissance exponentielle des corrélations, ainsi que la validité de l'ensemble des théorèmes de limites pour l'application T+ (et toute fonction continue sur AI*). Cependant, il n'est pas nécessairement possible de transposer ces propriétés statistiques à l'application T .

1.3.3 Propriétés statistiques des billards

Les propriétés ergodiques caractérisent le chaos dans un cadre de théorie de la mesure. Les propriétés statistiques caractérisent le chaos dans un cadre de théorie

des probabilités : elles établissent une grande similarité entre un système dynamique donné (M, F, p , f ) et des séquences de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.). Il s'agit de deux manières différentes de caractériser le chaos. En général, mais pas dans tous les cas, les propriétés ergodiques impliquent les propriétés statistiques et inversement. .

En physique, lorsqu'il est question d'applications lisses, on s'intéresse aussi à leurs propriétés statistiques. Soit l'application lisse F : M —» M préservant la mesure p et la fonction lisse observable / : M —» R. On peut alors étudier les propriétés statistiques suivantes :

- une vitesse de relaxation des corrélations ; - un théorème de limite central ;

- d'autres théorèmes de limites.

Dans les modèles physiques typiques, de fortes propriétés statistiques requièrent au stricte minimum le mixing et peuvent en général être difficilement imaginés sans les propriétés de K-mixing et de Bernoulli. La loi des grands nombres dans sa version forte est garantie par le théorème ergodique de Birkhoff pour toutes les applications ergodiques et toutes les observables intégrables.

C O R R É L A T I O N S

Les variables aléatoires Xn = f ° En résultant d'un système dynamique F : M —> M

ne sont pas indépendantes. La dépendance entre des variables aléatoires \ n et Xm est caractérisée par leur covariance :

COv(x„,Xm) = (XnXm) ~

(Xn){Xm)-Pour des processus stationnaires (cf. §A.2), (xn) = (Xm) et alors cov(xn,Xm) ne

dépend que de \n — m\. En se basant sur cela, on définit la corrélation de l'observable / p a r :

Cf( n ) = cov(/, / o Fn) = < / ■ ( / o F " ) ) - ( / )2. (1.39)

La corrélation vérifie : C/(—n) = Cf(n) et C / ( n — m) = cov(xn,Xm)- La corrélation

(1.39) peut être généralisée comme :

Cf,g(n) = ( f - ( g o Fn) ) - { f ) ( 9 ) , (1-40)

où f , g : M —* R sont deux observables. Ces deux corrélations sont distinguées en appelant la première autocorrélation. Pour des variables indépendantes, nous avons :

(Xn, Xm) = {Xn)(Xm) et Cf(n - m) = 0 [13].

d'observables / . g G L2(A/), nous avons :

C / » ^ > 0. (1.41)

Ainsi, la convergence C/i9(n) —> 0 est garantie par le mixing, mais pour prouver le TLC, et autres théorèmes de limites, la convergence doit aussi être suffisamment rapide (définie ci-bas), ce qui n'est pas le cas pour des observables générales f et g. En effet, pour toute transformation apériodique préservant la mesure et toute séquence c„ —> 0 (de convergence arbitrairement lente), nous avons

|C/,

(n)| > Kl

pour des fonctions intégrables typiques f et g. [13]

Pour assurer une convergence rapide, nous devons restreindre la classe des applications et observables étudiées à des lisses ou presque lisses. Heureusement, les applications et observables les plus souvent rencontrées en physique appartiennent à cette classe, où l'espace des phases M est supposé être une variété lisse (souvent compacte) et l'application F est lisse ou lisse par morceaux. Les observables physiques intéressantes sont aussi le plus souvent des fonctions lisses, ou lisses par morceaux, sur la variété. Les deux types de convergence suivants sont fréquents pour les applications. Définition 8. Nous disons que les corrélations décroissent exponentiellement si

\Cf,9(n)\ < A f W (1.42)

pour A = constante, a > 0 arbitraire et tout n ^ 0. Nous disons que les corrélations décroissent algébriquement (ou polynomialement) si

|C/>0(n)| < B\n\~b (1.43)

pour B = constante, b > 0 arbitraire et tout n ^ 0.

En général, la décroissance exponentielle des corrélations est suffisante pour les preuves de théorèmes de limites. La décroissance algébrique des corrélations est suffisante si b est suffisamment grand, mais les preuves sont plus ardues ; si b < 1 les théorèmes limites font généralement défaut.

Billards dispersifs

Pour les applications lisses uniformément hyperboliques, les corrélations décroissent exponentiellement vite pour toute observable lisse. [20, 21]

Les billards dispersifs de catégories A et B sont uniformément hyperboliques. Pour ceux-ci les corrélations décroissent donc exponentiellement.

Pour les billards dispersifs de catégorie E et pour plusieurs billards non dispersifs, l'hyperbolicité est non-uniforme et les corrélations décroissent algébriquement. [22, 23, 24]

T H É O R È M E DE LA LIMITE CENTRAL

Puisque les corrélations décroissent exponentiellement dans les billards dispersifs, il en découle que le TLC (cf. déf. 9, annexe §A.2) s'applique. C'est-à-dire que les sommes partielles :

5„ = / + / o F + / o F2 + --- + / o F " - l (1.44) d'observables / itérées ont une distribution qui converge vers la distribution normale

A/(0,1), quand n —► oo. DIFFUSION

Le principe d'invariance affirme que la fonction cumulative Sn, après un changement d'échelles spatiale et temporelle adéquat, converge vers un processus de Wiener. Philipp and Stout [26] énonce dans un théorème les conditions pour que la séquence Xn = / o F " satisfasse l'ASIP (almost sure invariance principle) et le WIP (weak invariance principle) ; voir les sections A.2.4 et A.2.5 en annexe [26].

L'application de collisions T : AI —» Al pour les billards dispersifs de catégorie A et les observables / continues, telles que o2- > 0, satisfont à toutes les conditions du théorème de Philipp et Stout. Celles-ci convergent donc vers un mouvement Brownien dans la limite d'un temps infini. Ces billards ont ainsi un comportement diffusif pour n —> oo.

Soit q(F), la position d'une particule dans un gaz de Lorentz planaire (équivalent à un billard dispersif sur un tore) au temps T et considérons sa distribution asymptotique quand T —* oo.

T h é o r è m e 4. Le vecteur q ( T ) / \ / T converge en distribution vers une loi normale 2D de moyenne nulle et de matrice de covariance f _ 1V .

appelée matrice de diffusion en temps discret. Les théorèmes de la limite central en ID et 2D sont énoncés aux sections A.2.2 et A.2.3, en annexe.

Lorsque le théorème 4 est applicable, le système est diffusif : la variance de la position croit linéairement avec le nombre de collisions (i.e. dans le temps) :

var((7) = D • Nc, (1.45)

où nous mesurons le temps en nombre de collisions Arc. La constante de proportionalité est la constante de diffusion, que nous notons D. Cette constante apparaît dans l'équation différentielle de la diffusion :

^ = D V V , (1.46) laquelle possède une interprétation statistique.

La constante de diffusion est liée au libre parcourt moyen par l'équation d'Einstein-Smoluchowski [25] :

où T est le temps total que dure la trajectoire. Dans notre cas, ||7j|| — 1 et de plus, dans les systèmes diffusifs, cr = fy/~N, où f est le libre parcourt moyen et N, le nombre de collisions. Ainsi nous avons :

T = Y T ^ T = A = Nf (1.48)

*-"

M

et l'équation (1.47) devient :

2Arf 2 v ;

SUPERDIFFUSION

Les théorèmes 7 et 4 ne s'appliquent pas aux billards dispersifs de type B. Sans horizon, la fonction de retour r(x) et la fonction de déplacement L(x) ne sont pas bornées ; elles ont un premier moment (moyenne) fini, mais un deuxième moment (variance) infini. Dans ce cas, la particule peut se propager loin avant la collision suivante. On appelle cela un mouvement ballistique. La particule peut alors se propager plus rapidement que dans un procesus de diffusion classique. Ce comportement pourrait être en lien avec les phénomènes naturels de superdiffusion et de supraconductivité.

Des arguments heuristiques [27] et des simulations numériques [28] ont longtemps suggéré que la bonne loi d'échelle pour la fonction de déplacement qn est dans ce cas y/n log n plutôt que y/n : i.e., qn/ \ / n l o g n devrait converger à une distribution limite. Une preuve a été annoncée dans [29].

Billards de Bunimovich

Pour les applications hyperboliques non-uniformes, les corrélations décroissent, en général, algébriquement [30]. Contrairement à l'ergodicité, les propriétés statistiques ne se transmettent pas à T. Le taux de mixing de F peut en effet être beaucoup plus lent que celui de F*. (Quelques itérations seulement de F * peuvent correspondre à plusieurs itérations de F.)

Il a longtemps été prédit, sur la base d'arguments heuristiques, que la fonction de corrélation Cf^g(n), pour des observables continues dans un stade, devait décroître comme ~ 1/n. Et puisque la série Y2n Vn diverge, on s'attendait à ce que le TLC ne s'applique pas. Ce n'est que récemment (2004-2005) que ces conjectures ont partiellement été prouvées. Une limite sur le taux de décroissance des corrélations légèrement inférieure à 1/n fut établie [23, 24] :

._ , .. constante • In2 n , _„.

\C,,g(n)\ < . (1.50)

Des travaux sont en cours pour prouver une limite plus stricte, se rapprochant de la valeur prédite constante/n [23, 24].

Par ailleurs, le TLC pour le billard en stade fut réfuté dans [14]. Un TLC non-classique fut plutôt obtenu pour la somme partielle Sn. Soit une observable continue f(r, Q) évaluée sur l'espace des collisions A4 et soit :

I / = ^ T / / ( r , a = 0)dr, (1.51) sa valeur moyenne sur l'ensemble des vecteur normaux attachés aux composantes de

frontière Tx et F2 (ces vecteurs normaux génère strictement des trajectoires non-hyperboliques qui ne frappe jamais les demi-cercles). Bâlint et al. [14] démontre alors le théorème suivant. Théorème 5. Si 1/ ^ 0, alors S J y / n l n n - ^ A f ( O y j ) , ou _{2 4 + 31n3} oi = ;— . (L52) f 4 - 3 1 n 3 v ' Si 1/ = 0, alors Sn/ V ^ ^ A f ( 0 y2) , pour une quelconque o"j > 0.

Nous observons ici une asymptote y/nlnn non-générique dans le cas général 1/ ^ 0. Cela est similaire à la superdiffusion dans les gaz de Lorentz sans horizon.

Alors que les propriétés statistiques pour certains billards de Bunimovich ne furent obtenues que très récemment, les propriétés d'ergodicité et de mixing pour toutes les classes de billards de Bunimovich sont des faits acceptés depuis longtemps [16, 17, 18, 31].

1.4 Mécanique quantique

En général, lorsque les distances, les quantités de mouvement, les énergies ou les temps deviennent très petits, l'action devient aussi très petite. Sa quantification se manifeste alors de manière significative dans la dynamique du système et nous devons en tenir compte. C'est le régime quantique.

Afin de décrire la dynamique d'un système, nous devons établir des équations gouvernantes le représentant. Nous obtenons généralement ces équations par la quantification de la version classique du système. Il existe plusieurs approches pour y parvenir. Nous présentons ici brièvement les deux servant notre propos : la quantification canonique et la quantification par les intégrales de chemins.

1.4.1 Quantification canonique

Cette quantification consiste simplement à promouvoir l'hamiltonien classique et les variables canoniques du système au rang d'opérateurs :

H - > H = H(Xi,Pi), (1.53) les opérateurs X et P vérifiant les relations de commutations :

[Xk, Pm] = thSkm et [Xk, Xm] = 0 = [Pfc, Pm]. (1-54) Pour alléger la notation, nous omettrons le chapeau ( * ) sur les symboles d'opérateur,

sauf lorsque cela sera nécessaire pour la clarté. Notons que puisqu'un opérateur O, en mécanique quantique, représente une observable physique, nous devons nous assurer de son hermiticité :

où l'astérisque ( * ) représente la conjugaison complexe, car les mesures expérimentales donnent des valeurs réelles.

Soient X une observable. Les mesures de l'observable X, en mécanique quantique, ne peuvent produire qu'une des valeurs propres x* de l'observable comme résultat — un résultat unique est imprévisible, seule sa moyenne peut être prédite. La mesure moyenne de l'observable X est donnée par :

(X) = 1 - I r X (1.56) Nous utilisons une représentation matricielle de l'hamiltonien, dont les éléments de

matrice sont données par :

Ht j = (U j\H\ut), (1.57)

où les \ui) sont les vecteurs de base de la représentation. Les valeurs propres Ei, correspondant aux valeurs observables de H, sont obtenues par la diagonalisation de H, c'est-à-dire en projetant celui-ci dans la base des vecteurs propres, que nous notons

IA)-:

N

H = Y^Ei\(Pi)(<pi\, (1.58)

où :

Ei = (<Pi\H\<pi). (1.59)

1.4.2 Quantification par les intégrales de chemin

Le formalisme des intégrales de chemin (ou fonctionnelles) — introduit par Feynman en 1942 et présenté en détails dans la monographie de Feynman et Hibbs parue en 1965 [32] —, offre une approche alternative à la quantification canonique. Celle-ci est basée sur un principe de moyenne pondérée de l'ensemble des histoires (ou orbites) possibles pour passer de l'état A à l'état B. Dans ce formalisme, nous exprimons les amplitudes de transition dans le temps entre deux états quantiques par :

G(xf, tf = T;x,, ti = 0) = ( xf G(T)\xi\ = (x, \e-i H T / h\ xt) = Z f[dx]eiS[x]/h, (1.60) où on a posé U = 0 et tf = T, et où G est une amplitude de transition, G(T) est la fonction de Green, Z est une constante de normalisation et S[x] est la fonctionnelle d'action évaluée sur l'orbite classique x. L'élément d'intégration [dx] indique que cette intégrale est particulière : elle est infini-dimensionnelle.

L'approche des intégrales de Feynman joue un rôle fondamental dans la théorie quantique des champs ; elle apparaît aussi dans l'approximation semi-classique de WKB. On l'utilise par ailleurs, dans la formule de trace de Gutzwiller, comme nous le verrons dans la section sur le chaos quantique. Pour plus de détails sur les intégrales de chemin, voir notamment les monographies de Feynman [32] ou de Schulman [33].

1.4.3 Principe d'incertitude

La discrétisation de l'action, dont le quantum fondamental est la constante de Planck h (qui a des unités d'action), fixe une limite inférieure à la valeur de cette action et mène au principe d'incertitude de Heisenberg. La limite inférieure sur l'action se transpose en une limite inférieure sur la précision que nous pouvons avoir d'une mesure simultanée du couple impulsion-position ou du couple énergie-temps, ce qui se traduit par les deux inégalités suivantes :

Ap•Ax > H/2 ou A F • At > h/2. (1.61) Ces inégalités constituent le principe d'incertitude de Heisenberg.

Pour un traitement détaillé de la mécanique quantique. voir, entre autres, les références [34, 35, 36]

1.5 Chaos quantique

Contrairement à sa contrepartie classique, le chaos quantique est moins bien compris. La principale difficulté vient du fait que, en raison du principe d'incertitude de Heisenberg (1.61), l'espace des phases n'est plus définissable en mécanique quantique.

La définition même du chaos quantique ne fait pas l'unanimité dans la communauté scientifique. D'une manière générale, on qualifie de chaotique un système quantique dont l'analogue classique est chaotique [37]. Suivant cette définition, les deux principaux outils d'investigation du chaos quantique sont la formule de Trace de Gutzwiller [38] et la théorie des matrices aléatoires ( TMA), par le biais de la conjecture de Bohigas, Giannoni et Schmit (conjecture BGS) [39, 40, 41]. Notons, au passage, que H. Kroger et ses collaborateurs ont aussi proposé une action effective renormalisée valable dans le régime quantique (en contraste avec le régime semi-classique) et permettant l'usage d'outils d'espace des phases dans le traitement de systèmes quantiques [42, 43, 44, 45, 46].