Systèmes étudiés

Pour notre analyse, nous avons choisi deux types de systèmes : les billards classiques et les billards optiques (macroscopiques) avec indice de réfraction n variable. Dans chacun des cas, nous avons sélectionné une observable physique, mesurée sur les trajectoires, qui permet de construire les matrices nécessaires à l'analyse de la TMA.

Nous avons choisi d'étudier les billards, car, d'un point de vue numérique, ils nous permettent de déterminer des trajectoires entre points limites, en régime complètement chaotique, pour des temps de transition suffisamment longs. Dans le cas des systèmes continu [11], notre exploration était limité par la convergence des solutions numériques à des régimes où les manifestations du chaos n'étaient guère plus importantes que l'erreur numérique sur nos données.

Pour ces analyses de systèmes à potentiel continu, nous utilisions l'action S, équation (1.1), comme observable physique [11, 81]. L'action est une quantité intéressante pour notre analyse statistique, car elle est liée de près à l'hamiltonien, dont la représentation matricielle est utilisée en chaos quantique pour l'analyse par la TMA. L'action est reliée à l'hamiltonien quantique par le biais de la quantification par intégrale de chemin, équation (1.60), ainsi que par le calcul de la matrice de transition G, via une action quantique (renormalisée), équation (1.73) :

GE(xf,tf-Xi,ti) = (xf |e-*<«/-«d/»| X i) = ZEexp | - i S E ^ X .

Nous avons d'abord choisi l'action comme observable, car il paraissait plausible que la transitivité des applications chaotiques (cf. §1.2) génère des fluctuations, dans la valeur de l'action, ayant les mêmes propriétés statistiques que celles prédites par la TMA pour les ensembles gaussiens.

Billards classiques

Généralement, dans l'analyse des billards classiques, nous choisissons plutôt la longueur de trajectoire A, que l'action S, comme observable physique :

A = [ v(t)dt = ^ Xn, (2.3)

où Àn est la longueur d'un segment de trajectoire entre les collisions n et n + 1 et où v est la vitesse de la particule sur la table de billard T>, fixée à l'unité (||TJ|| = 1). Notons que la longueur A des trajectoires est directement proportionnelle à l'action S par la relation (1.1) :

S = Y

\mv

AU = ^, (2.4)

i

où nous avons aussi fixé la masse m de la particule à l'unité. La longueur A doit donc posséder les mêmes propriétés universelles de fluctuations locales que l'action S.

Pour construire les matrices de longueurs de trajectoires, nous devons en premier lieu nous assurer de considérer les trajectoires d'une unique classe de symétrie (cf. §1.5.4),

afin de ne pas faire disparaître les corrélations des spectres. Nous sélectionnons une classe de symétrie en restreignant l'ensemble des points limites entre lesquels sont évaluées les trajectoires, selon les symétries propres à chaque système. Comme les trajectoires physiques sont réversibles dans le temps et que les observables sont réelles, la matrice [Anm] doit être réelle et symétrique. L'EOG est donc l'ensemble gaussien de

référence.

Enfin, dans les systèmes non-intégrables, la trajectoire solution entre deux points limites n'est pas unique. En fait, le nombre de trajectoires possibles explose avec le nombre de collisions. Ainsi, pour chaque couple de points limites (qn, qm), nous obtenons

une série de valeurs pour l'observable physique, i.e., un ensemble de longueurs A£m,

avec k = 1, 2 , 3 , . . . , Nsoi, où Nsoi est le nombre de trajectoires possibles entre les points

qn et qm avec Nc collisions. Nous obtenons donc un ensemble de matrices {[Anm]fc}.

Cependant, le nombre Nsoi de solutions varie selon le couple de points limites (qn, qm).

Comme nous ne voulons pas avoir de matrices comportant des éléments non définis, nous limitons la valeur supérieure de A; au nombre de solutions minimal.

Cette multiplicité des trajectoires pose aussi le problème de leur classement. En effet, selon le critère de classement retenu, un élément de matrice A^m données peut

se retrouver dans l'une ou l'autre des matrices de l'ensemble ainsi construit, selon la valeur que prend k d'après le critère de classement choisi. Étant donné que nous nous intéressons aux propriétés statistiques des fluctuations locales, qui sont universelles, le choix de ce critère de classement n'influence pas les résultats de l'analyse spectrale statistique. Autrement, nous ne pourrions pas modéliser ces fluctuations par des ensembles de matrices dont les éléments sont des nombres aléatoires indépendants suivant une distribution statistique donnée. Nous avons donc choisi, arbitrairement, de classer les trajectoires en ordre croissant de l'angle d'incidence initial OJQ. Par la suite, nous performons des mesures statistiques sur le spectre de chacune des matrices de longueurs et faisons une moyenne sur l'ensemble matricielle.

Afin d'obtenir des résultats suffisamment stables d'un point de vue statistique, nous varions un paramètre physique du système et recommençons l'analyse statistique. À la fin, nous combinons l'ensemble des résultats. Cette technique est semblables à celle utilisée par Bohigas et al. [104] dans leur article sur le chaos quantique en physique nucléaire, dans lequel ils analysent le spectre d'une série de noyaux lourds différents (mais avec les mêmes nombres quantiques) et montrent que les propriétés statistiques de leur fluctuations spectrales locales sont en accord avec les prédictions de la TMA. L'approche que nous venons de présenter demeure la même lorsque l'observable physique n'est plus la longueur, mais le temps de propagation T ou l'action S.

Nous avons étudié plusieurs types de billards classiques à l'aide de la TMA : billards de Sinai (et gaz de Lorentz périodiques), en stade, en cardioïde, circulaires et polygonaux, ainsi qu'un billard en stade optique.Voyons maintenant comment nous avons traité le billard optique.

Billards optiques

Dans le cas des billards optiques, nous utilisons comme observable le temps de propagation d'un rayon, puisqu'en vertu du principe de Fermât, c'est la quantité qui joue le rôle de l'action en optique géométrique — dans les cas que nous étudions le

libre parcourt moyen est beaucoup plus grand que la longueur d'onde, ce qui justifie l'utilisation de l'optique géométrique. Étant donné que l'indice de réfraction n'est pas constant, la vitesse ne sera pas constante.

L'intérieur du domaine V est subdivisé en sous-domaines T>i C V finis, de même ratio de forme e, homogènes et isotropes : V — UjIV Chaque domaine X>j possède son propre indice de réfraction 77;. La frontière extérieure d'un sous-domaine i est notée rj = [<9X>i]ext et la frontière intérieure est notée F\ = [r9Di]jnt. Les frontières sont

orientées de telle sorte que le domaine se trouve sur notre gauche, lorsque nous la parcourons en sens positif. La frontière la plus extérieure, donnant lieu aux réflexions spéculaires, est aussi notée simplement F.

Nous choisissons (arbitrairement) un indice de réfraction donné par une fonction en escalier dont l'enveloppe est :

Vip) =Vc+ ( - * - ) , (2.5)

\ Pmax /

où nc est l'indice de réfraction dans la région centrale et pm a x est la distance entre la

frontière extérieure F et le centre du stade. Lorsque le rayon se propage d'un sous- domaine T>i d'indice de réfraction 771 à un autre sous-domaine T>j d'indice de réfraction rjj 7^ 77j, la propagation est régie par le principe de Fermât qui stipule qu'un rayon lumineux voyage le long du chemin optique de moindre temps de propagation. Ce principe résulte, entre autres, en la loi de Snell-Descartes :

77jSm(a+) = 7?jSin(a~). (2.6)

Lorsque le rayon frappe la frontière F, il subit une réflexion spéculaire :

3 2.5

g :

(a) Géométrie du billard et exemple de (b) Variation de l'indice de réfraction n en trajectoire reliant le point 2 au point N (A2jv)- fonction de la distance à l'origine R.

FlG. 2.1 - Illustration du billard optique en stade.

où Q est mesurée par rapport à la normale. La géométrie du billard optique en stade et la variation des indices de réfraction sont illustrées aux figures 2.1(a) et 2.1(b).

Les points limites sont fixés sur la frontière la plus extérieure F, où il n'y a pas de transmission, mais que des réflexions spéculaires (fig. 2.1(a)). Les réfractions ne sont pas comptés comme des collisions, la quantité Nc représente le nombre de réflexion spéculaires dans la propagation d'un rayon.

Le temps de propagation est défini par :

Tij= l -dl = \ ] — = Y] r

= - V" Urji,

Jo v ^—' vn ^—' c ^—' (2.8)

où Xn = rji/c est la longueur d'onde dans le milieu i, rn est le temps de propagation entre les réflexions (ou réfractions) n et n + 1 et où qi7 qj 6 F sont les points limites.

Par la suite, nous construisons un ensemble de matrices d'observables, ici des matrices de temps de propagation [7^]fc, de la même manière que pour les autres billards — cette matrice est réelle, positive et symétrique. Une fois que nous avons construit les matrices, l'analyse statistique est exactement la même que pour les autres billards classiques.