Systèmes mixtes

Une des raisons pour lesquelles les systèmes intégrables classiques présentent de fortes corrélations et produisent des spectres très rigides est que ces systèmes présentent des symétries beaucoup plus grandes que les systèmes chaotiques. Considérons, par exemple, le billard en cardioïde et le billard circulaire. Ces deux billards font partie de la famille des billards de Robnik et représentent les extrêmes : complètement chaotique et complètement integrable. Mais il existe une infinité de billards mixtes entre ces deux qui possèdent les mêmes symétries que le cas complètement chaotique.

En mécanique quantique, nous savons que les systèmes mixtes présentent des DEN intermédiaires entre les distributions de Poisson et de Wigner. Ces distributions ont d'ailleurs été modélisées par certains chercheurs (cf. §1.5.4). Dans ces modèles, nous

pouvons passer d'une distribution de Wigner à une distribution de Poisson simplement en faisant varier un ou deux paramètres.

Ainsi, pour un billard mixte de Robnik près de la limite du billard circulaire, les corrélations deviennent très atténuées, comme le montrent nos résultats : une DEN approchant la distribution de Poisson (sauf pour les petites valeurs de s) et une faible corrélation. C'est au moment où nous passons à la limite exacte du cercle qu'il y a une brisure de symétrie et que, en raison de la plus grande symétrie, de fortes corrélations apparaissent dans les observables, se répercutant dans les spectres, provoquant leur rigidification (comportement en peigne de Dirac).

On observe une brisure de symétrie semblable dans le cas du stade, à la différence que, dans ce cas, le système demeure complètement chaotique jusqu'à l'atteinte de la limite exacte du cercle. Cependant, le point important est que la symétrie demeure la même alors qu'on tend vers la limite circulaire, mais que l'horizon de prévisibilité s'éloigne graduellement (l'exposant de Lyapunov demeure positif, mais décroît). Dans ce cas, le comportement régulier est approché par de courtes orbites relativement à leur taux de divergence. Le système demeure toujours complètement chaotique, seulement son comportement chaotique se manifeste sur de plus longs temps (plus longues orbites). Cela se reflète dans la très faible corrélation observée Cs(n) ~ 10- 5 et la DEN approchant une distribution de Poisson.

En bref, il ressort les points suivants de notre étude.

1. Premièrement, il est possible, en mécanique classique, de différencier des systèmes intégrables de systèmes chaotiques par des mesures statistiques sur des observables dynamiques.

2. Les systèmes chaotiques classiques présentent les mêmes propriétés d'universalité des fluctuations (corrélations, DEN et rigidité) dans le spectre d'une observable (longueur de trajectoire A ou temps de propagation X), prédites par la TMA, que celles observées pour le spectre de l'hamiltonion d'un système chaotique quantique.

3. Si la corrélation d'une observable dans le temps décroît suffisamment vite, des théorèmes de limites sont applicables menant à des fluctuations universelles dans les matrices d'observables, les rendant modélisables par des ensembles de matrices aléatoires.

4. Le comportement EOG demeure valide dans un système optique comportant un indice de réfraction variant par de multiples paliers (fonction escalier), alors que le ratio nombre-de-paliers sur largeur-de-palier va croissant, ce qui laisse croire qu'il serait aussi valide pour un système continu.

5. Les propriétés statistiques des systèmes classiques intégrables (fortes corrélations et spectre en peigne de Dirac) sont diamétralement opposées à celui généralement observé pour leurs analogues quantiques (absence de corrélations et DEN de Poisson), ce fait étant causé par une brisure de symétrie.

6. La limite presque integrable de systèmes classiques chaotiques montre en revanche de faibles corrélations et une DEN approchant la distribution de Poisson.

7. Le nombre de solutions pour deux points limites donnés croît exponentiellement avec le nombre de collisions dans le cas chaotique et linéairement dans le cas integrable.

8. L'erreur relative croit exponentiellement dans les systèmes classiques chaotiques, mais demeure stable dans les cas intégrables.

9. La matrice d'observables contient de l'information sur les propriétés de transport du système : nous avons notamment observé une dépendance en A' log N dans la variance de la longueur de trajectoire du billard en stade, permettant de définir un coefficient de diffusion (diffusion anormale).

Nous avons suggéré, dans cette thèse, d'étendre la théorie des matrices aléatoires, utilisée en chaos quantique, aux systèmes classiques chaotiques ou intégrables. Nous avons étudié des billards complètement chaotiques, des billards mixtes, et des billards réguliers et avons investigué une approche statistique de la distinction des comportements réguliers et chaotiques dans ces systèmes. La question motivant cette approche était la suivante : « La transitivité des systèmes chaotiques classiques peut- elle induire des fluctuations statistiques universelles, dans les observables physiques, semblables à celles observées dans les hamiltoniens de systèmes quantiques chaotiques et prédites par la TMA? Plus spécifiquement, pouvons-nous appliquer des outils statistiques de la théorie des matrices aléatoires à des billards planaires classiques, chaotiques ou réguliers, pour en distinguer le comportement ? »

Nous avons effectivement observé que les billards planaires classiques exhibent un comportement universel dans leur distribution d'espacement des niveaux p(s) et dans leur rigidité spectrale A3(L), obtenues d'une matrice de longueurs [A] ou de temps de propagation [T]. Dans les billards planaires classiques chaotiques, nous avons observé une DEN et une rigidité spectrale en accord avec les prédictions de la théorie des matrices aléatoires pour l'ensemble orthogonal gaussien (EOG), ce comportement étant statistiquement le même que celui observé en chaos quantique.

Nous avons aussi trouvé que la distribution des éléments de matrice était presque gaussienne, avec de petites (mais statistiquement significatives) déviations. Nous interprétons cela comme un comportement universel au premier ordre avec de petites perturbations non-universelles, provenant du système physique particulier sous-jacent. Dans les systèmes classiques intégrables que nous avons étudiés, nous avons trouvé que les niveaux étaient fortement corrélés et réguliers, menant à une DEN en S de Dirac. Cela nous apparaît comme un comportement universel des systèmes classiques intégrables. Ce comportement est en complète opposition avec le comportement observé en mécanique quantique, où les systèmes intégrables montrent généralement un comportement poissonien, avec des valeurs propres non-corrélées.

Un des aspects critiques de ce travail de recherche est probablement le déploiement du spectre. Cette procédure est supposée filtrer un spectre afin de ne retenir que les fluctuations locales, universelles, et éliminer le comportement global, spécifique à la physique du système. Mais où se situe la limite entre le comportement global et le comportement local? Sur quelle largeur d'intervalle spectral effectuons-nous la moyenne? Si cet intervalle est trop grand nous n'éliminons pas tout le comportement global, s'il est trop petit nous induisons artificiellement de fortes corrélations locales détruisant les fluctuations universelles que nous cherchons à étudier. Aussi, cette largeur est-elle la même tout le long du spectre, ou varie-t-elle ? Logiquement, elle doit varier, sinon le déploiement serait inutile. Si cette largeur est constante dans la procédure que nous choisissons — ce qui est le cas pour l'élargissement gaussien que nous avons utilisé —, nous créerons nécessairement des corrélations artificielles dans le spectre. Cela peut, par exemple, créer un pic plus fort à la valeur d'espacement s = 1 dans la DEN ou provoquer une saturation pour les larges valeurs de L dans le calcul de la rigidité spectrale.

Etant conscients de ces phénomènes, nous en avons tenu compte dans notre analyse. Cependant, ceux-ci la limitent tout de même. Il serait ainsi très pertinent et intéressant de se pencher sur le problème pratique du déploiement d'un spectre physique.

En terminant, nous espérons que nos résultats puissent, entre autres, contribuer à l'obtention d'une description unifiée du chaos quantique et du chaos classique, donner un nouvel éclairage sur la conjecture BGS, ainsi qu'aider à comprendre pourquoi le chaos quantique est typiquement plus faible que le chaos classique, par exemple, via une action quantique effective.

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Définitions mathématiques