Pour amener les élèves à progresser en calcul algébrique, un entraînement régulier est indispensable. Fixer des repères de compétences, des paliers de maîtrise, peut être un bon moyen pour garder la motivation des élèves, qui voient leurs progrès au fur et à mesure de leurs efforts, et les rendre plus autonomes dans leurs apprentissages.
En référence au karaté, les compétences en calcul peuvent être décomposées en sept niveaux : ceintures blanche, jaune, orange, verte, bleue, marron et noire. Le tableau ci-après propose, pour différents thèmes, des niveaux progressifs de compétences en calcul : calcul numérique, calcul avec les fractions, les racines carrées et les puissances, résolutions d’équations, développement et factorisation, identités remarquables. Les premières ceintures sont volontairement accessibles à tous les élèves, même les plus fragiles, de façon à ne pas décourager.
En pratique, les différents niveaux de compétences attendus sont connus des élèves. En AP en demie-classe, une semaine sur deux, les élèves s’entraînent de façon autonome pour leur prochaine ceinture, seuls ou en groupe, pendant que le professeur circule. Plusieurs activités peuvent être proposées : travail papier-crayon, entrainement au tableau par groupe, jeux, exerciseurs sur Internet. Quand un élève se sent prêt, il demande à passer sa ceinture, la calculatrice étant interdite : un test est choisi au hasard parmi quatre, sans durée imposée pour passer le test. La ceinture est réussie si l’élève commet au plus deux erreurs. Dans le cas contraire, il doit continuer à s’entraîner ; il repassera sa ceinture un peu plus tard. Il est convenu que dans le test d’une ceinture peuvent être demandés des savoir-faire de la ceinture précédente. Les élèves n’avancent donc pas tous au même rythme. On peut bien sûr décider d’un autre nombre d’erreurs tolérées, selon les pratiques de chacun.
Avantages de cette pratique :
• Le calcul algébrique est travaillé tout au long de l’année, sans se trouver cantonné à un ou deux chapitres seulement. On peut donc espérer que certains automatismes soient mieux ancrés.
• L’autonomie et la responsabilisation des élèves sont développées : ce sont eux qui décident du thème à travailler à chaque séance et du moment où ils passent leurs ceintures.
• L’émulation et l’entraide sont valorisées : ceux qui ont validé une ceinture deviennent des référents pour expliquer à ceux qui ne l’ont pas encore validée. La réussite de certains devient une source de motivation : même les élèves fragiles veulent progresser et valider leur ceinture, eux-aussi.
• La différentiation et l’hétérogénéité des élèves sont prises en compte : chacun travaille à son rythme selon ses capacités. Il est en particulier possible de proposer des choses plus « techniques » aux élèves envisageant une Première scientifique, pour préparer l’avenir.
Ceinture blanche Tables de multiplication Décompositions en produit de facteurs Additions, soustractions Opérations à trous Développer Niveau 1 Réduction simple Ceinture jaune Les 3 opérations (+ ; – ; ×) mélangées Simplifier des fractions et des racines carrées Niveau 1 Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser des fractions Niveau 1 Equation de degré 1 Niveau 1 𝑥 + 𝑎 = 𝑏 𝑎𝑥 = 𝑏 Développer Niveau 2 Fractions et produits Ceinture orange Les 3 opérations (+ ; – ; ×) et carrés mélangées Simplifier des fractions, des racines carrées, des puissances de 10 Niveau 2 Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser des fractions Niveau 2 Equation de degré 1 Niveau 2 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 Développer Niveau 3 Avec parenthèses (𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑐𝑥 + 𝑑) Ceinture verte Les 3 opérations (+ ; – ; ×), carrés et fractions mélangées Simplifier des fractions, racines carrées, puissances Niveau 3 Factoriser Niveau 1 type 2𝑥 − 4 ou 3𝑥2+ 2𝑥 Equation de degré 1 Niveau 3 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 Développer Niveau 4 Simple distributivité Ceinture bleue Identités remarquables à trous (fact et dév) Calculs exacts d’images Factoriser Niveau 2 Facteur commun Equation « Produit nul » Développer Niveau 5 Double distributivité Ceinture marron Identités remarquables Niveau 1 Expressions rationnelles : mise au même dénominateur Factoriser Niveau 3 Facteur commun Equations « carrés » Développer Niveau 6 Double distributivité Ceinture noire Identités remarquables Niveau 2 Expressions rationnelles : mise au même dénominateur Factoriser Niveau 4 Facteur commun Equations « Quotient » Développer Niveau 7 Double distributivité
Passage de ceinture blanche 1) Calculer : 9 × 8 = 6 × 7 = 42,6 + 15,8 = 52 − 34 = 56 ÷ 8 =
2) Compléter les pointillés : 37 + ……… = 64 67 – ……… = 23 7 × ……… = 42 54 ÷ ……… = 6 3) Décomposer 63 en produit : 63 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
4𝑥 − 5 − 7𝑥 + 9 =
−3𝑥2+ 4𝑥 − 6𝑥2− 𝑥 =
5𝑥 + 2 + 8𝑥 − 7 =
Passage de ceinture blanche
1) Calculer : 9 × 5 = 7 × 8 = 27,5 + 34,6 = 73 − 37 = 63 ÷ 9 =
2) Compléter les pointillés : 29 + ……… = 43 58 – ……… = 35 6 × ……… = 54 56 ÷ ……… = 8 3) Décomposer 54 en produit : 54 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
5𝑥 − 2 − 9𝑥 + 8 =
−4𝑥2+ 7𝑥 − 3𝑥2− 𝑥 =
Passage de ceinture blanche 1) Calculer : 9 × 6 = 7 × 4 = 25,4 + 13,7 = 61 − 25 = 72 ÷ 8 =
2) Compléter les pointillés : 49 + ……… = 63 54 – ……… = 31 6 × ……… = 48 42 ÷ ……… = 6 3) Décomposer 48 en produit : 48 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
2𝑥 − 3 − 5𝑥 + 7 =
−𝑥2+ 5𝑥 − 6𝑥2− 𝑥 =
8𝑥 + 3 + 7𝑥 − 10 =
Passage de ceinture blanche
1) Calculer : 9 × 7 = 6 × 4 = 27,5 + 32,7 = 54 − 37 = 48 ÷ 8 =
2) Compléter les pointillés : 47 + ……… = 61 68 – ……… = 45 8 × ……… = 72 27 ÷ ……… = 3 3) Décomposer 56 en produit : 56 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
3𝑥 − 4 − 7𝑥 + 9 =
−2𝑥2+ 7𝑥 − 5𝑥2− 𝑥 =
Passage de ceinture blanche 1) Calculer : 9 × 8 = 6 × 7 = 42,6 + 15,8 = 52 − 34 = 56 ÷ 8 =
2) Compléter les pointillés : 37 + ……… = 64 67 – ……… = 23 7 × ……… = 42 54 ÷ ……… = 6 3) Décomposer 63 en produit : 63 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
4𝑥 − 5 − 7𝑥 + 9 =
−3𝑥2+ 4𝑥 − 6𝑥2− 𝑥 =
5𝑥 + 2 + 8𝑥 − 7 =
Passage de ceinture blanche
1) Calculer : 9 × 5 = 7 × 8 = 27,5 + 34,6 = 73 − 37 = 63 ÷ 9 =
2) Compléter les pointillés : 29 + ……… = 43 58 – ……… = 35 6 × ……… = 54 56 ÷ ……… = 8 3) Décomposer 54 en produit : 54 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
5𝑥 − 2 − 9𝑥 + 8 =
−4𝑥2+ 7𝑥 − 3𝑥2− 𝑥 =
Passage de ceinture blanche 1) Calculer : 9 × 6 = 7 × 4 = 25,4 + 13,7 = 61 − 25 = 72 ÷ 8 =
2) Compléter les pointillés : 49 + ……… = 63 54 – ……… = 31 6 × ……… = 48 42 ÷ ……… = 6 3) Décomposer 48 en produit : 48 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
2𝑥 − 3 − 5𝑥 + 7 =
−𝑥2+ 5𝑥 − 6𝑥2− 𝑥 =
8𝑥 + 3 + 7𝑥 − 10 =
Passage de ceinture blanche
1) Calculer : 9 × 7 = 6 × 4 = 27,5 + 32,7 = 54 − 37 = 48 ÷ 8 =
2) Compléter les pointillés : 47 + ……… = 61 68 – ……… = 45 8 × ……… = 72 27 ÷ ……… = 3 3) Décomposer 56 en produit : 56 = ………. × …………
4) Réduire les expressions algébriques :
3𝑥 − 4 − 7𝑥 + 9 =
−2𝑥2+ 7𝑥 − 5𝑥2− 𝑥 =
Passage de ceinture bleue 1) Calculer les images des nombres donnés par la fonction proposée
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1
𝑎) − 3 b) 13 c) √27
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 3
𝑎) − 2 b) 25 c) √5
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + 10𝑥 + 25
(𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − ⋯ 𝑥 + 9 𝑥2− 4 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ )
3) Développer les expressions suivantes −2(𝑥 + 3) =
(𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) =
(−3𝑥 + 3)(5𝑥 + 4) =
4) Factoriser les expressions suivantes: 4𝑥2− 7𝑥 = (𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) + 4(𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) + (2𝑥 + 1)(4𝑥 + 1) = 5) Résoudre dans ℝ : (5𝑥 + 9)(−3𝑥 + 12) = 0 𝑥(2𝑥 + 16) = 0 (𝑥 + 4)² = 0
Passage de ceinture bleue 1) Calculer les images des nombres donnés par la fonction proposée
𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1
𝑎) − 2 b) 17 c) √45
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2
𝑎) − 3 b) 35 c) √3
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + 8𝑥 + 16
(𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − ⋯ 𝑥 + 64 𝑥2− 16 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ )
3) Développer les expressions suivantes −3(𝑥 + 2) =
(𝑥 + 2)(4𝑥 + 1) =
(−2𝑥 + 3)(4𝑥 + 4) =
4) Factoriser les expressions suivantes: 7𝑥2− 4𝑥 = (𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + (2𝑥 − 1)(4𝑥 + 1) = 5) Résoudre dans ℝ : (−3𝑥 + 16)(7𝑥 − 3) = 0 𝑥(2𝑥 + 1) = 0 (𝑥 + 3)² = 0
Passage de ceinture bleue 1) Calculer les images des nombres donnés par la fonction proposée
𝑓(𝑥) = −5𝑥 + 1
𝑎) − 3 b) 17 c) √45
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 5
𝑎) − 4 b) 35 c) √3
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + 6𝑥 + 9
(𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − ⋯ 𝑥 + 25 𝑥2− 49 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ )
3) Développer les expressions suivantes −2(𝑥 + 5) =
(𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) =
(−3𝑥 + 2)(2𝑥 + 5) =
4) Factoriser les expressions suivantes : 5𝑥² − 2𝑥 = (𝑥 + 3)(5𝑥 + 1) + 4(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) + (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : (2𝑥 + 7)(−3𝑥 + 15) = 0 𝑥(4𝑥 + 16) = 0 (𝑥 + 2)² = 0
Passage de ceinture bleue 1) Calculer les images des nombres donnés par la fonction proposée
𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1
𝑎) − 2 b) 17 c) √27
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 3
𝑎) − 2 b) 25 c) √5
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + 12𝑥 + 36
(𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − ⋯ 𝑥 + 25 𝑥2− 16 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ )
3) Développer les expressions suivantes −4(𝑥 + 7) =
(𝑥 + 2)(5𝑥 + 1) =
(−4𝑥 + 3)(3𝑥 + 5) =
4) Factoriser les expressions suivantes: 3𝑥2− 7𝑥 = (𝑥 + 2)(4𝑥 + 3) + 5(𝑥 + 2) = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 5) + (2𝑥 + 3)(4𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : (3𝑥 + 9)(−2𝑥 + 15) = 0 𝑥(5𝑥 + 15) = 0 (𝑥 + 3)² = 0
Passage de ceinture jaune 1) Calculer : 5 + 7 × 3 = 6 − 4 × 9 = 8√7 − 15√7 = 3√11 + √11 = 2) Effectuer les calculs :
10 3 − 7 6= 5 4× 7 8= 8 5÷ 7 3= 7 8+ 2 = 5 ×3 8= 3) Réduire : 56 35=
4) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√50 =
5) Réduire les expressions algébriques : 3 × 5𝑥 + 4 − 2 × 4𝑥 − 1 = 8 × 3𝑥2− 7𝑥 × 2 + 4𝑥 × 2𝑥 + 2𝑥 = 6) Résoudre dans ℝ : 𝑥 − 15 = 28 3𝑥 = 24 𝑥 3= 9
Passage de ceinture jaune 1) Calculer :
8 + 5 × 7 = 7 − 3 × 9 = 7√3 − 13√3 = 5√17 + √17 = 2) Effectuer les calculs :
7 5− 9 20= 7 3× 5 4= 4 3÷ 7 5= 3 7+ 2 = 7 ×2 9= 3) Réduire : 81 54=
4) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√63 =
5) Réduire les expressions algébriques : 3 × 7𝑥 + 8 − 5 × 3𝑥 − 1 = 5 × 2𝑥2− 7𝑥 × 2 + 4𝑥 × 2𝑥 + 5𝑥 = 6) Résoudre dans ℝ : 𝑥 − 17 = 15 3𝑥 = 18 𝑥 4= 8
Passage de ceinture jaune 1) Calculer : 4 + 6 × 3 = 3 − 5 × 7 = 7√5 − 11√5 = 8√13 + √13 = 2) Effectuer les calculs :
9 7− 5 21= 3 4× 5 7= 4 9÷ 7 5= 6 5+ 3 = 4 ×3 7= 3) Réduire : 18 24=
4) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√45 =
5) Réduire les expressions algébriques : 3 × 6𝑥 + 7 − 4 × 5𝑥 − 1 = 4 × 3𝑥2− 7𝑥 × 2 + 4𝑥 × 2𝑥 + 3𝑥 = 6) Résoudre dans ℝ : 𝑥 − 13 = 19 4𝑥 = 28 𝑥 2= 8
Passage de ceinture jaune 1) Calculer :
4 + 9 × 5 = 8 − 3 × 6 = 9√2 − 12√2 = 7√19 + √19 = 2) Effectuer les calculs :
8 15− 7 5= 7 9× 4 5= 8 7÷ 5 3= 7 4+ 3 = 6 ×5 7= 3) Réduire : 49 35=
4) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√32 =
5) Réduire les expressions algébriques : 3 × 9𝑥 + 7 − 2 × 4𝑥 − 1 = 5 × 3𝑥2− 7𝑥 × 2 + 4𝑥 × 2𝑥 + 5𝑥 = 6) Résoudre dans ℝ : 𝑥 − 14 = 15 3𝑥 = 21 𝑥 5= 10
Passage de ceinture marron
1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 6 −1 𝑥= 1 𝑥+ 2 𝑥 + 3=
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + 5)2=
(𝑥 − 6)2= 𝑥2− 64 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 𝑥2+ 6𝑥 + 9 =
3) Développer les expressions suivantes (−2𝑥 − 1)(−7𝑥 − 3) =
(−5𝑥2+ 3)(2𝑥 + 7) =
3(𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) =
4) Factoriser les expressions suivantes: (𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) + (4𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 1)(4𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : 5𝑥2+ 3𝑥 = 0 2𝑥2− 8 = 0 𝑥2− 6𝑥 + 9 = 0
Passage de ceinture marron
1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 4 −1 𝑥= 2 𝑥+ 1 𝑥 + 5=
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + 3)2=
(𝑥 − 7)2= 𝑥2− 81 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 7) = 𝑥2+ 50𝑥 + 25 =
3) Développer les expressions suivantes (−3𝑥 − 2)(−4𝑥 − 1) =
(−2𝑥2+ 3)(4𝑥 + 5) =
5(𝑥 + 2)(3𝑥 + 1) =
4) Factoriser les expressions suivantes: (𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) + (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) − (2𝑥 − 1)(4𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : 7𝑥2+ 3𝑥 = 0 2𝑥2− 18 = 0 𝑥2− 10𝑥 + 25 = 0
Passage de ceinture marron 1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 5 −1 𝑥= 1 𝑥+ 3 𝑥 + 2=
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + 3)2=
(𝑥 − 5)2= 𝑥2− 49 = (𝑥 − 8)(𝑥 + 8) = 𝑥2+ 6𝑥 + 9 =
3) Développer les expressions suivantes (−2𝑥 − 1)(−3𝑥 − 5) =
(−3𝑥2+ 2)(2𝑥 + 5) =
3(𝑥 + 2)(5𝑥 + 1) =
4) Factoriser les expressions suivantes : (𝑥 + 3)(5𝑥 + 1) + (4𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) − (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : 4𝑥2+ 3𝑥 = 0 2𝑥2− 50 = 0 𝑥2− 6𝑥 + 9 = 0
Passage de ceinture marron
1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 4 −1 𝑥= 2 𝑥+ 1 𝑥 + 3=
2) Compléter les expressions suivantes (𝑥 + 5)2=
(𝑥 − 3)2= 𝑥2− 16 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 6) = 𝑥2+ 14𝑥 + 49 =
3) Développer les expressions suivantes (−3𝑥 − 1)(−2𝑥 − 4) =
(−2𝑥2+ 3)(7𝑥 + 5) =
2(𝑥 + 3)(4𝑥 + 5) =
4) Factoriser les expressions suivantes: (𝑥 + 2)(4𝑥 + 3) + (5𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 5) − (2𝑥 + 3)(4𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : 3𝑥2+ 5𝑥 = 0 2𝑥2− 8 = 0 𝑥2− 32𝑥 + 16 = 0
Passage de ceinture noire
1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 6 − 1 2𝑥 − 1= 4 3𝑥+ 2 𝑥 + 1=
2) Compléter les expressions suivantes (5 − 𝑥)2=
(2𝑥 − 3)2= 4𝑥2− 64 =
(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) = 9𝑥2+ 24𝑥 + 16 =
3) Développer les expressions suivantes (−2𝑥 − 1)(−7𝑥 − 3) =
(−5𝑥2+ 3)(2𝑥 + 7) =
3(𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) =
4) Factoriser les expressions suivantes: (𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) + (4𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 1)(4𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : 5𝑥2= 3𝑥 𝑥(3𝑥 − 4) = 2𝑥2− 4𝑥 + 25 𝑥2= 6𝑥 − 9
Passage de ceinture noire
1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 4 − 1 3𝑥 − 1= 2 7𝑥+ 1 𝑥 + 5=
2) Compléter les expressions suivantes (3 − 𝑥)2=
(2𝑥 − 7)2= 4𝑥2− 81 =
(3𝑥 − 7)(3𝑥 + 7) = 9𝑥2+ 30𝑥 + 25 =
3) Développer les expressions suivantes (−3𝑥 − 2)(−4𝑥 − 1) =
(−2𝑥2+ 3)(4𝑥 + 5) =
5(𝑥 + 2)(3𝑥 + 1) =
4) Factoriser les expressions suivantes: (𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) + (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) − (2𝑥 − 1)(4𝑥 − 1) = 5) Résoudre dans ℝ : 7𝑥2 = 3𝑥 𝑥(3𝑥 − 4) = 2𝑥2− 4𝑥 + 36 𝑥2= 10𝑥 − 25
Passage de ceinture noire 1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 8 − 1 2𝑥 − 1= 4 3𝑥+ 7 𝑥 + 2=
2) Compléter les expressions suivantes (3 − 𝑥)2=
(2𝑥 − 5)2= 4𝑥2− 49 =
(3𝑥 − 8)(3𝑥 + 8) = 16𝑥2+ 24𝑥 + 9 =
3) Développer les expressions suivantes (−2𝑥 − 1)(−3𝑥 − 5) =
(−3𝑥2+ 2)(2𝑥 + 5) =
3(𝑥 + 2)(5𝑥 + 1) =
4) Factoriser les expressions suivantes : (𝑥 + 3)(5𝑥 + 1) + 2(4𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) − (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = (𝑥 + 2)(2𝑥 + 3) − (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 4) = 5) Résoudre : 𝑥(5𝑥 − 3) = 4𝑥2− 3𝑥 + 9 2𝑥2= 50 𝑥2= 6𝑥 − 9 5𝑥 + 6 𝑥2+ 4= 0
Passage de ceinture noire
1) Mettre les expressions suivantes au même dénominateur 4 − 1 2 − 𝑥= 2 3𝑥+ 7 𝑥 + 1=
2) Compléter les expressions suivantes (5 − 𝑥)2=
(2𝑥 − 3)2= 9𝑥2− 16 =
(2𝑥 − 6)(2𝑥 + 6) = 4𝑥2+ 28𝑥 + 49 =
3) Développer les expressions suivantes (−3𝑥 − 1)(−2𝑥 − 4) =
(−2𝑥2+ 3)(7𝑥 + 5) =
2(𝑥 + 3)(4𝑥 + 5) =
4) Factoriser les expressions suivantes: (𝑥 + 2)(4𝑥 + 3) + 3(5𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 5) − (2𝑥 + 3)(4𝑥 − 1) = (𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) − (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 6) = 5) Résoudre : 𝑥(4𝑥 − 5) = 3𝑥2− 5𝑥 + 16 2𝑥2 = 8 𝑥2= 32𝑥 − 16 5𝑥 + 6 𝑥2+ 5 = 0
Passage de ceinture verte 1) Calculer : 2 5× 8 3− 5 15 (3 2) 2 = 2 7− 5 4+ 1= 103× 10 107 = 10−5× 105=
2) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√50 − 3√2 =
4√32 − 3√2
3) Développer les expressions suivantes 4(5𝑥 − 2) =
−2(𝑥 + 3) =
𝑥(3𝑥 + 1) =
(−3𝑥 + 3) − 2(5𝑥 + 4) =
4) Factoriser les expressions suivantes: 3𝑥 − 6 = 7 + 14𝑥 = 𝑥2+ 2𝑥 = 3𝑥2+ 4𝑥 = 5) Résoudre dans ℝ : 3𝑥 + 16 = −4𝑥 + 37 5𝑥 + 9 = −3𝑥 + 12
Passage de ceinture verte 1) Calculer : 3 4× 5 3− 7 12= (7 3) 2 = 2 3− 5 4+ 1= 104× 10 107 = 10−4× 104=
2) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√72 − 3√2 =
8√54 + 2√6 =
3) Développer les expressions suivantes 3(4𝑥 − 2) =
−3(𝑥 + 2) =
𝑥(4𝑥 + 1) =
(−2𝑥 + 3) − 2(4𝑥 + 4) =
4) Factoriser les expressions suivantes: 8𝑥 − 16 = 5 + 10𝑥 = 𝑥2+ 5𝑥 = 4𝑥2+ 3𝑥 = 5) Résoudre dans ℝ : −3𝑥 + 16 = 7𝑥 − 37 2𝑥 + 1 = −6𝑥 + 8
Passage de ceinture verte 1) Calculer : 2 5× 4 3− 7 15= (5 6) 2 = 2 7− 5 3+ 1= 102× 10 104 = 10−4× 104=
2) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√18 − 2√2 =
4√45 − 2√3
3) Développer les expressions suivantes 7(2𝑥 − 3) =
−2(𝑥 + 5) =
𝑥(3𝑥 − 1) =
(−3𝑥 + 2) − 4(2𝑥 + 5) =
4) Factoriser les expressions suivantes : 6𝑥 + 3 = 5 − 15𝑥 = 𝑥2− 4𝑥 = 3𝑥2− 7𝑥 = 5) Résoudre dans ℝ : 2𝑥 + 4 = 7𝑥 − 6 3𝑥 + 4 = −4𝑥 + 17
Passage de ceinture verte 1) Calculer : 2 3× 5 7− 2 21= (3 4) 2 = 2 3− 5 4+ 1= 103× 10 106 = 10−8× 108=
2) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec b entier le plus petit possible :
√75 − 2√3 =
3√28 + 2√7 =
3) Développer les expressions suivantes 2(3𝑥 − 5) =
−4(𝑥 + 7) =
𝑥(5𝑥 + 1) =
(−4𝑥 + 3) − 5(3𝑥 + 5) =
4) Factoriser les expressions suivantes: 5𝑥 + 10 = 3 − 9𝑥 = 𝑥2− 7𝑥 = 4𝑥2− 2𝑥 = 5) Résoudre dans ℝ : 4𝑥 + 5 = 7𝑥 − 13 3𝑥 − 7 = −2𝑥 + 2
I) Somme et différence : Calculer : 12 + 24 17 + 25 9,5 + 57,4 42,7 + 31,5 34 – 13 97 – 63 34 – 18 26 – 19 54 + 43 27 + 54 74,2 + 13,9 27,4 + 31,6 57 – 46 75 – 34 73 – 49 56 – 28 36 + 43 25 + 36 62,6 + 18,4 19,3 + 34,3 68 – 53 69 – 45 13 – 57 34 – 87 19 + 56 38 + 53 78,3 + 17,8 41,7 + 23,5 52 – 37 45 – 38 46 – 87 35 – 76 57 + 18 23 + 47 56 – 24 47 – 15 57 – 49 43 – 15 32 – 58 16 – 49 23,4 + 15,8 37,2 + 44,5 87 – 53 78 – 56 59 – 18 56 – 37 65 – 88 53 – 97
II) Tables de multiplication : Calculer :
2 × 4 3 × 4 6 × 5 7 × 5 2 × 7 3 × 7 6 × 8 7 × 8 4 × 4 5 × 4 8 × 5 9 × 5 4 × 7 5 × 7 8 × 8 9 × 8 6 × 4 7 × 4 2 × 6 3 × 6 6 × 7 7 × 7 2 × 9 3 × 9 8 × 4 9 × 4 4 × 6 5 × 6 8 × 7 9 × 7 4 × 9 5 × 9 2 × 5 3 × 5 6 × 6 7 × 6 2 × 8 3 × 8 6 × 9 7 × 9 4 × 5 5 × 5 8 × 6 9 × 6 4 × 8 5 × 8 8 × 9 9 × 9
III) Décomposition en produit : Décomposer les entiers donnés en produit de facteurs entiers (différents de 1).
81 72 35 32 14 12 40 36
64 63 30 28 10 9 16 15
56 54 27 25 45 42 20 18
49 48 24 21 90 50 60 30
2𝑥 − 3 − 𝑥 2𝑥 + 2𝑥 × 𝑥 − 𝑥 8𝑥 − 2 − 3𝑥 + 6 3 − 5𝑥 + 2 + 4𝑥 5𝑥 + 2 + 4𝑥 − 4 3𝑥 − 𝑥 × 𝑥 + 𝑥 𝑥 + 5 + 4𝑥 − 1 2𝑥 − 3 − 5𝑥 + 7 6 + 4𝑥 − 6𝑥 + 4 2 − 3𝑥 + 𝑥 − 5 4𝑥 − 1 + 6 − 5𝑥 7𝑥 + 4 − 5𝑥 + 7 4𝑥 + 1 − 3𝑥 − 5 4𝑥 × 𝑥 − 𝑥2+ 2𝑥 3𝑥 + 8 − 𝑥 + 5 3 − 5𝑥 + 4 + 3𝑥 5𝑥 + 2 − 3𝑥 − 7 −2𝑥 + 1 + 8𝑥 − 7 2 − 5𝑥 + 7 + 3𝑥 7𝑥 − 5 + 2𝑥 + 4 7𝑥 + 4 + 5𝑥 − 6 4 − 3𝑥 + 5 − 2𝑥 8 − 4𝑥 + 7 + 3𝑥 5𝑥 + 3 − 8𝑥 + 1 𝑥 + 7 + 3𝑥 − 9 7 − 𝑥 + 5𝑥 − 4 5 − 3𝑥 + 7 + 𝑥 𝑥2− 8 + 3𝑥2+ 5 2𝑥 + 7 − 5𝑥 − 3 −7 + 2𝑥 − 5 + 4𝑥 4 − 2𝑥2+ 3𝑥2+ 5 5𝑥2− 3 − 7𝑥2+ 8 3𝑥 + 4 − 7𝑥 − 1 8𝑥 − 4 + 3𝑥 + 5 −3𝑥2+ 2𝑥 + 7𝑥2− 𝑥 5𝑥2− 3𝑥 + 𝑥2+ 4𝑥 5 + 3𝑥 − 7 + 4𝑥 8𝑥 + 9 − 𝑥 + 4 𝑥2− 4𝑥 − 7𝑥2+ 𝑥 5𝑥 − 𝑥2+ 4𝑥 + 3𝑥2 −6𝑥 + 1 + 4𝑥 − 7 −3𝑥 + 4 + 7𝑥 − 6 3 − 𝑥2+ 4𝑥2− 8 3𝑥 + 𝑥2− 4𝑥 + 5𝑥2
V) Opérations à trous : Compléter les pointillés
7 × … = 63 8 × … = 56 7 × … = 63 8 × … = 56 7 × … = 63 8 × … = 56 6 × … = 54 6 × … = 48 6 × … = 54 6 × … = 48 6 × … = 54 6 × … = 48 5 × … = 45 6 × … = 42 5 × … = 45 6 × … = 42 5 × … = 45 6 × … = 42 4 × … = 32 4 × … = 28 4 × … = 32 4 × … = 28 4 × … = 32 4 × … = 28 3 × … = 27 3 × … = 24 3 × … = 27 3 × … = 24 3 × … = 27 3 × … = 24 72 ÷ … = 8 64 ÷ … = 8 72 ÷ … = 8 64 ÷ … = 8 72 ÷ … = 8 64 ÷ … = 8 53 – … = 24 51 – … = 37 23 – … = –15 54 – … = –31 31 – … = –47 34 – … = –48 64 – … = 36 73 – … = 19 27 – … = –25 57 – … = –13 48 – … = –27 47 – … = –17
I) Calculs exacts d’images : calculer les images des nombres donnés par la fonction proposée. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 −5 5 4 1 3 − 4 9 √2 √50 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1 −5 5 4 1 3 − 4 9 √2 √50 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 4 −5 5 4 1 3 − 4 9 √2 √50 𝑓(𝑥) =1 𝑥 −5 5 4 1 3 − 4 9 √2 √50
II) Identités remarquables à trou « Développer » (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + 6𝑥 + 9 (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + 8𝑥 + 16 (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + ⋯ 𝑥 + 25 (… + 1)2= 𝑥2+ ⋯ + (2𝑥 + ⋯ )2= ⋯ + ⋯ 𝑥 + 9 (𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − 6𝑥 + 9 (𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − 8𝑥 + 16 (𝑥 − ⋯ )2= ⋯ − ⋯ 𝑥 + 25 (… − 1)2= 𝑥2− ⋯ + (𝑥 + ⋯ )2= ⋯ − ⋯ 𝑥 + 9 (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) = 𝑥2− 4 (𝑥 − 3)(𝑥 + ⋯ ) = 𝑥2− 9 (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) = 𝑥2− 16 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 𝑥2− ⋯ (𝑥 − 5)(𝑥 + ⋯ ) = ⋯ − 25 « Factoriser » 𝑥2+ 6𝑥 + 9 = ( 𝑥 + ⋯ )² 𝑥2+ 8𝑥 + 16 = ( 𝑥 + ⋯ )² 𝑥2+ 14𝑥 + 49 = ( 𝑥+. . )² 𝑥2+ ⋯ 𝑥 + 36 = ( 𝑥+. . )² 𝑥2+ 16𝑥+. . = ( 𝑥 + ⋯ )² 𝑥2− 6𝑥 + 9 = ( 𝑥 + ⋯ )² 𝑥2− 8𝑥 + 16 = ( 𝑥 − ⋯ )² 𝑥2− 14𝑥 + 49 = ( 𝑥−. . )² 𝑥2− ⋯ 𝑥 + 36 = ( 𝑥−. . )² 𝑥2− 16𝑥+. . = ( 𝑥 − ⋯ )² 𝑥2− 4 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) 𝑥2− 25 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) 𝑥2− 36 = (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) 𝑥2− ⋯ = (𝑥 − 2)(𝑥 + ⋯ ) 𝑥2−. . = (𝑥 − 9)(𝑥 + ⋯ )
III) Développements et réductions :
Simple distributivité (rappel ceinture verte)
4(2𝑥 + 3) 5(−2𝑥 + 3) 4(−3 + 5𝑥) −2(4 + 3𝑥)
−2(𝑥 + 3) 4(−5𝑥 + 2)) 3𝑥(2𝑥2+ 3𝑥) −(2𝑥 + 5)
Double distributivité :
IV) Factoriser les expressions suivantes :
Factorisation simple (rappel ceinture verte)
Facteur commun
V) Equations Résoudre dans ℝ :
Equations de degré 1 (rappel ceinture verte)
2𝑥 + 11 = 19 + 4𝑥 3𝑥 + 37 = 𝑥 − 25 −2𝑥 + 13 = 35 + 3𝑥 4𝑥 + 24 = 13 + 7𝑥 3𝑥 + 8 = 𝑥 + 15 5𝑥 + 54 = −4𝑥 + 47 −3𝑥 − 15 = 2𝑥 + 28 4𝑥 − 26 = 52 2𝑥 − 34 = 53 −2𝑥 − 51 = 37 4𝑥 − 13 = 56 5𝑥 − 25 = 36 Equations produit (2𝑥 + 11)(19 + 4𝑥) = 0 (3𝑥 + 37)(𝑥 − 25) = 0 (−2𝑥 + 13)(5 + 3𝑥) = 0 (4𝑥 + 4)(1 + 7𝑥) = 0 𝑥(𝑥 + 8) = 0 (𝑥 − 15)(2𝑥 + 8) = 0 (2𝑥 + 3)(5𝑥 − 1) = 0 (2𝑥 + 1)² = 0 2(𝑥 − 5)(2𝑥 + 4) = 0 −3(𝑥 − 5)2= 0 (𝑥 + 3)(4𝑥 + 2) (2𝑥 + 3)(5𝑥 + 5) (3 + 7𝑥)(2 + 5𝑥) (4 + 3𝑥)(𝑥 + 10) (4𝑥 + 3)(4𝑥 − 2) (−2𝑥 + 3)(−5𝑥 + 5) (−3 + 7𝑥)(2 + 5𝑥) (4 − 3𝑥)(−𝑥 + 10) (6𝑥 + 10)(𝑥 + 8) (−5𝑥 − 2)(−3𝑥 + 7) (−3𝑥 + 4)(5𝑥 − 4) (𝑥 + 5)(5𝑥 + 2) (4𝑥 + 3)(−𝑥 + 8) (−3𝑥 + 1)(2𝑥 + 5) (6𝑥 + 5)(3𝑥 − 4) (7𝑥 − 1)(4𝑥 + 3) 𝑥2+ 2𝑥 𝑥2+ 5𝑥 4𝑥 + 𝑥² 7𝑥 − 𝑥² 3𝑥2+ 2𝑥 4𝑥2+ 5𝑥 5𝑥 + 10𝑥² 3𝑥 − 2𝑥² (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) + 4(𝑥 + 1) (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − 4(𝑥 + 1) (𝑥 + 3)(2𝑥 + 1) + (𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) (𝑥 + 3)(2𝑥 + 1) + (𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + 3(2𝑥 − 1) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) − 3(2𝑥 − 1) (2 + 7𝑥)(4𝑥 + 3) + 5(4𝑥 + 3) (2 + 7𝑥)(4𝑥 + 3) − 5(4𝑥 + 3) (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − 3(2𝑥 + 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) − 5(𝑥 + 2) (2 − 7𝑥)(4𝑥 − 3) − 5(4𝑥 − 3) (𝑥 − 3)(4𝑥 − 1) + (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)
I) Simplification de fractions : Mettre les fractions suivantes sous forme irréductible : 64 28 28 35 42 54 30 42 28 49 49 35 49 35 18 24 24 56 56 35 20 45 32 24 56 40 54 36 18 21 16 28
II) Calculs avec des racines carrées : 1) Réduire :
4√3 − 3√3 8√5 + 4√5 5√6 − √6 7√10 + √10 √7 − 9√7 √13 + 4√13 3√5 − 7√5 8√7 − 15√7 2) Calculer :
√81 √4 √9 √16 √25 √49 √64 √36 √1
3) Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 , avec b entier le plus petit possible.
√32 √18 √63 √72 √45 √54 √48 √27 √75 √50
III) Opérations sur les entiers – priorité de calculs :
3 × 4 + 8 5 + 7 × 3 3 × 5 + 8 9 + 7 × 6 4 × 8 + 5 9 × 3 + 7 8 + 7 × 5
7 × 9 − 6 7 − 5 × 4 8 × 4 − 7 8 − 3 × 4 2 × 8 − 7 6 − 7 × 5 3 × 7 − 8
8 × 6 − 9 4 + 6 × 3 8 × 3 + 4 8 + 6 × 5 5 × 3 − 8 4 − 8 × 5 6 × 7 − 3
7 − 9 × 4 6 − 7 × 4 6 + 3 × 7 8 − 7 × 5 5 − 4 × 6 4 × 7 + 9 3 × 5 − 7
IV) Opérations sur les fractions : • Additions, différences : 2 3+ 4 9 7 5+ 7 20 4 7+ 2 14 3 8+ 5 32 6 5+ 7 10 6 5+ 11 20 7 8+ 15 24 8 7+ 9 28 7 6+ 17 18 9 4+ 7 8 9 4− 3 8 6 5− 7 10 10 3 − 7 6 8 15− 7 5 9 7− 5 21 7 20− 3 4 9 28− 6 7 5 6− 7 18 7 12− 8 3 8 35− 7 5 • Multiplication, division : 2 3× 8 7 7 4× 9 5 5 4× 3 7 4 7× 3 7 3 2× 7 5 8 3× 5 7 7 3× 4 5 7 9× 5 8 4 5× 9 7 4 7× 5 3 2 3÷ 7 5 7 9÷ 8 5 4 5÷ 3 7 8 7÷ 5 3 8 5÷ 7 3 3 4÷ 5 7 4 7÷ 9 5 3 8÷ 5 7 • Avec des entiers :
7 8+ 2 7 + 9 4 9 5− 3 4 − 7 3 7 5× 3 5 × 3 8 9 7× 4 7 × 2 3 9 7÷ 4 7 ÷ 2 3
• Travail sur les entiers : 5 + 2 × 3𝑥 − 8𝑥 + 7 4𝑥2− 5𝑥 × 2𝑥 + 3𝑥 5 + 9𝑥 × 2 − 8 + 3 × 4𝑥 5𝑥 − 4 + 7 × 3𝑥 + 8 3𝑥2+ 4 × 7𝑥 − 𝑥2 6𝑥 × 4 − 10 + 9 + 8 × 4𝑥 3 × 5𝑥 + 4 − 2 × 4𝑥 + 1 5𝑥 × 6𝑥 − 3𝑥 + 𝑥2 −15 + 7𝑥 × 3 + 9 − 6 × 2𝑥 19 + 7 × 3𝑥 + 49 − 4 × 6𝑥 3𝑥2− 5𝑥 × 7 + 6𝑥 × 4𝑥 + 10𝑥 2 × 9 − 3𝑥 × 4 − 5 × 3 + 6 × 2𝑥 5𝑥 × 3 + 8 − 4𝑥 × 2 + 10 5𝑥 × 2 + 4𝑥2− 7 × 3𝑥 − 8𝑥 × 2𝑥 4𝑥 × 2 + 3 × 6 − 13𝑥 − 4 × 7 3𝑥2+ 3 × 5 + 4𝑥 × 2𝑥 − 8 × 2 3𝑥 × 2𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥2+ 7𝑥 × 2 8 × 3𝑥2− 7𝑥 × 2 + 4𝑥2+ 2𝑥 4𝑥 × 5𝑥 − 15𝑥 − 3𝑥2+ 8𝑥 4𝑥2− 5 × 2𝑥 + 6𝑥 × 3𝑥 −2 × 8𝑥 + 7𝑥 × 2𝑥 + 5𝑥2− 10𝑥 • Travail sur les fractions :
2𝑥 −3 2𝑥 3𝑥 + 𝑥 2 2𝑥 + 3 2𝑥 3𝑥 − 3𝑥 2 2𝑥 3 + 5𝑥 6 3𝑥 4 − 7𝑥 2 2𝑥 3 − 4𝑥 𝑥 4− 3𝑥 2𝑥 +𝑥 2 𝑥 − 𝑥 3 2𝑥 + 5𝑥 2 3𝑥 − 1 2𝑥 3𝑥 4 − 5𝑥 8 3𝑥 4 + 7 8𝑥 5𝑥 3 − 𝑥 6 7𝑥 4 + 𝑥 2 3𝑥2−4 3𝑥 2 2𝑥2+𝑥2 3 𝑥 2+2𝑥2 3 4𝑥 2−5𝑥2 3 𝑥 2−3 4𝑥 2 5𝑥2+2𝑥2 3 𝑥 3− 5 6𝑥 5𝑥 4 − 3 2𝑥
VI) Equations de degré 1 : Résoudre dans ℝ :
𝑥 + 11 = 19 𝑥 + 37 = 25 𝑥 + 13 = 35 𝑥 + 24 = 13 𝑥 + 8 = 15 𝑥 + 54 = 47 𝑥 − 15 = 28 𝑥 − 26 = 52 𝑥 − 34 = 53 𝑥 − 51 = 37 𝑥 − 13 = 56 𝑥 − 25 = 36 𝑥 + 19 = −45 𝑥 + 29 = −25 𝑥 + 35 = −14 𝑥 + 24 = −57 𝑥 + 18 = −28 𝑥 − 21 = −34 6𝑥 = 54 7𝑥 = 42 2𝑥 = 18 3𝑥 = 24 4𝑥 = 36 5𝑥 = 40 𝑥 3= 9 𝑥 4= 6 𝑥 7= 7 𝑥 8= 5 𝑥 6= 6 𝑥 9= 3 𝑥 + 27 = 36 𝑥 + 25 = 18 𝑥 + 38 = 21 𝑥 + 45 = 87 𝑥 − 37 = 42 𝑥 − 26 = 41 𝑥 − 17 = 34 𝑥 − 23 = 54 𝑥 − 17 = −65 𝑥 − 53 = −23 𝑥 − 12 = −84 𝑥 − 48 = −35 8𝑥 = 48 8𝑥 = 56 7𝑥 = 56 7𝑥 = 35 𝑥 9= 9 𝑥 4= 8
Préparation à la ceinture marron
I) Expressions rationnelles mettre au même dénominateur les expressions suivantes.
1 2+ 1 𝑥= 2 3+ 1 𝑥= 2 𝑥+ 1 5= 3 + 1 𝑥= 3 − 1 𝑥= 1 2+ 3 𝑥 + 1= 4 + 2 𝑥 + 1= 1 2𝑥+ 3 𝑥 + 4= 1 2− 3 𝑥 + 1= 1 𝑥− 2 𝑥 + 1=
II) Identités remarquables « Développer » (𝑥 + 2)2= (𝑥 + 3)2= (𝑥 + 7)2= (𝑥 + 5)2= (𝑥 + 10)2= (𝑥 − 2)2= (𝑥 − 3)2= (𝑥 − 7)2= (𝑥 − 5)2= (𝑥 − 10)2= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) = (𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = « Factoriser » 𝑥2+ 6𝑥 + 9 = 𝑥2+ 8𝑥 + 16 = 𝑥2+ 14𝑥 + 49 = 𝑥2+ 12𝑥 + 36 = 𝑥2+ 16𝑥 + 64 = 𝑥2− 6𝑥 + 9 = 𝑥2− 2𝑥 + 1 = 𝑥2− 4𝑥 + 4 = 𝑥2− 18𝑥 + 81 = 𝑥2− 12𝑥 + 36 = 𝑥2− 4 = 𝑥2− 25 = 𝑥2− 49 = 𝑥2− 1 = 𝑥2− 10000 =
III) Développements et réductions :
(𝑥² + 3)(4𝑥 + 2) (−2𝑥 − 3)(5𝑥 + 5) (3 + 7𝑥²)(2 + 5𝑥) (−4 − 3𝑥)(−𝑥 + 10)
(4𝑥² + 3)(4𝑥² − 2) (−2𝑥 − 3)(−5𝑥 − 5) (−3 + 7𝑥²)(2𝑥² + 5𝑥) (−4 − 3𝑥)(−𝑥 − 10)
3(2𝑥 + 1)(𝑥 + 8) 4(−5𝑥 − 2)(−3𝑥 + 7) 2(−3𝑥 + 4)(5𝑥 − 4) 6(𝑥 + 5)(5𝑥 + 2)
IV) Factoriser les expressions suivantes : Facteur commun (rappel ceinture bleue)
Facteur commun
V) Equations Résoudre dans ℝ :
Type 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 = 0 𝑥2+ 4𝑥 = 0 𝑥2− 4𝑥 = 0 −2𝑥2− 4𝑥 = 0 𝑥2+ 𝑥 = 0 2𝑥 − 7𝑥² = 0 2𝑥2+ 4𝑥 = 0 3𝑥2+ 4𝑥 = 0 7𝑥 + 4𝑥² = 0 𝑥2− 𝑥 = 0 𝑥 + 4𝑥² = 0 Type 𝑎𝑥2+ 𝑐 = 0 𝑥2− 16 = 0 𝑥2− 25 = 0 𝑥2− 6 = 3 2𝑥2− 32 = 0 𝑥2+ 16 = 0 3𝑥2+ 12 = 0 𝑥2− 49 = 0 𝑥² − 8 = 0 𝑥2+ 21 = 0 2𝑥2= 50 Type 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² = 0 𝑥2+ 6𝑥 + 9 = 0 𝑥2+ 8𝑥 + 16 = 0 𝑥2− 6𝑥 + 9 = 0 4𝑥2+ 4𝑥 + 1 = 0 𝑥2− 20𝑥 + 100 = 0 𝑥2+ 6𝑥 + 10 = 1 𝑥2− 8𝑥 + 16 = 0 𝑥2− 12𝑥 + 36 = 0 𝑥2− 16𝑥 + 64 = 0 25𝑥2+ 20𝑥 + 4 = 0 (𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 5) (𝑥 + 7)(𝑥 + 3) − 4(𝑥 + 7) (𝑥 + 3)(3𝑥 − 1) + (𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) (𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) + (𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) (3𝑥 − 4)(𝑥 + 3) + 5(3𝑥 − 4) (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) + 3(2𝑥 + 1) (1 + 7𝑥)(4𝑥 − 3) + 5(4𝑥 − 3) (2 + 7𝑥)(2𝑥 − 3) − 4(2𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − (5𝑥 + 1)(𝑥 + 1) (−𝑥 + 3)(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)(−2𝑥 − 1) (2𝑥 + 4)(𝑥 + 4) − (−𝑥 + 1)(𝑥 + 4) (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) + (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) (−𝑥 + 3)(𝑥 + 4) − (−𝑥 + 3)(𝑥 + 4) (𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) − (𝑥 + 5)(3𝑥 + 1) (𝑥 + 5)(𝑥 + 7) − (𝑥 + 5)(3𝑥 + 4) (𝑥 + 3)(2𝑥 − 1) − (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) (𝑥 + 9)(2𝑥 + 1) − (𝑥 + 4)(2𝑥 + 1) (−𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) (𝑥 − 3)(4𝑥 − 1) − (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Préparation à la ceinture noire
I) Expressions rationnelles mettre au même dénominateur les expressions suivantes.
1 𝑥− 2 3= 2 3𝑥− 3 𝑥 + 1= 𝑥 + 3 4𝑥 + 1+ 1 5= 4 − 1 𝑥= 7 − 3 2𝑥= 4 𝑥− 3 𝑥 + 5= 7 − 1 2𝑥 − 1= 1 2𝑥+ 3 𝑥 + 4= 3 2𝑥 − 1− 1 𝑥 + 7= 1 𝑥+ 2 𝑥 + 1+ 1 3=
II) Identités remarquables
𝑥2− 6𝑥 + 9 = 4𝑥2+ 12𝑥 + 9 = 9𝑥2+ 24𝑥 + 16 = 4𝑥2+ 24𝑥 + 36 = (𝑥 +1 2) 2 = (𝑥 −1 2) 2 = (2𝑥 +1 2) 2 = (𝑥 −2 3) 2 = (2𝑥 + 7)2= (7 − 2𝑥)2= (8 − 𝑥)2= (3𝑥 + 1)2= 4𝑥2− 9 = 9𝑥2− 25 = 16𝑥2− 49 = 4𝑥2− 1 =
III) Développements et réductions :
(𝑥² + 3)(4𝑥 + 2) (−2𝑥 − 3)(5𝑥 + 5) (3 + 7𝑥²)(2 + 5𝑥) (−4 − 3𝑥)(−𝑥 + 10)
(4𝑥² + 3)(4𝑥² − 2) (−2𝑥 − 3)(−5𝑥 − 5) (−3 + 7𝑥²)(2𝑥² + 5𝑥) (−4 − 3𝑥)(−𝑥 − 10)
3(2𝑥 + 1)(𝑥 + 8) 4(−5𝑥 − 2)(−3𝑥 + 7) 2(−3𝑥 + 4)(5𝑥 − 4) 6(𝑥 + 5)(5𝑥 + 2)
IV) Factoriser les expressions suivantes :
V) Equations Résoudre dans ℝ :
Equation carrée 𝑥2+ 4𝑥 = 0 𝑥2− 4𝑥 = 0 −2𝑥2− 4𝑥 = 0 𝑥2+ 𝑥 = 0 2𝑥 − 7𝑥² = 0 𝑥2= 49 𝑥² − 8 = 0 7𝑥 + 4𝑥² = 0 𝑥2− 𝑥 = 0 𝑥 + 4𝑥² = 0 3𝑥2= 24 2𝑥2= 32 2𝑥2+ 4𝑥 = 0 3𝑥2+ 4𝑥 = 0 4𝑥2− 7𝑥 = 0 𝑥2= 6𝑥 + 9 𝑥2= 21 4𝑥2+ 4𝑥 + 1 = 0 4𝑥2= 5𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) = 2𝑥2+ 3𝑥 𝑥2− 12𝑥 + 35 = −1 6𝑥2= 21 − 4𝑥² 𝑥2− 16𝑥 + 64 = 0 𝑥2− 10𝑥 = 100 𝑥(𝑥 + 4) = 7𝑥2− 4𝑥 + 3 Equation quotient 𝑥 − 1 𝑥 + 2= 0 𝑥2− 16 𝑥 − 3 = 0 𝑥 − 1 𝑥 + 2= 1 𝑥 + 2 4𝑥 + 1= 3 2𝑥 + 1 𝑥2+ 5= 0 1 2+ 3 𝑥 + 1= 0 3𝑥² + 2𝑥 𝑥 + 2 = 0 𝑥 + 2 4𝑥 + 5= 2 5 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥 + 2 = 0 4𝑥(𝑥 + 7) 2𝑥 + 3 = 0 4𝑥2− 3 𝑥2+ 5 = 0 2𝑥² − 20 2𝑥2+ 5 = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) + 4(5𝑥 + 1)(𝑥 + 1) (−𝑥 + 3)(𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 1)(−2𝑥 − 1) (2𝑥 + 4)(𝑥 + 4) + 7(−𝑥 + 1)(𝑥 + 4) (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − 2(5𝑥 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥 + 7)(𝑥 + 3) − 3(5𝑥 + 1)(𝑥 + 7) (3𝑥 + 8)(𝑥 + 3) − 2(5𝑥 + 1)(3𝑥 + 8) (−𝑥 + 3)(𝑥 + 4) − 4(−𝑥 + 3)(𝑥 + 4) (𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) − 5(𝑥 + 5)(3𝑥 + 1) 3(𝑥 + 5)(𝑥 + 7) − 2(𝑥 + 5)(3𝑥 + 4) (2𝑥 + 2)(𝑥 + 3) − 2(5𝑥 + 1)(𝑥 + 1) (2𝑥 + 2)(−𝑥 − 3) − 2(5𝑥 + 1)(𝑥 + 3) (3𝑥 + 3)(𝑥 + 3) − 2(5𝑥 + 1)(4𝑥 + 4) (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) + 3(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) (2𝑥 + 10)(𝑥 + 3) − 2(2𝑥 + 1)(𝑥 + 5) (−𝑥 − 3)(−2𝑥 − 1) − (−2𝑥 − 1)(−2𝑥 + 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) − 2(5𝑥 + 1)(𝑥 − 2) (4𝑥 + 12)(4𝑥 − 1) − (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) (𝑥 + 7)(𝑥 + 3) + 3(5𝑥 + 1)(𝑥 + 7) (𝑥 + 13)(2𝑥 + 1) − (𝑥 − 13)(2𝑥 + 1) 5(𝑥 + 9)(2𝑥 + 1) − 8(𝑥 − 4)(2𝑥 + 1) (2𝑥 + 6)(2𝑥 + 1) − (𝑥 + 3)(2𝑥 + 1)
I) Calculs avec des racines carrées :
1) Ecrire sous la forme √𝑏 , avec b entier le plus petit possible (rappel ceinture orange).
√32 √18 √63 √72 √45 √54 √48 √27 √75 √50
2) Réduire :
5√32 − 3√2 3√50 − 4√2 √45 − √5 7√54 − √6 2√28 − 9√7 3√18 − 5√2 √75 − 5√3
II) Opérations sur les puissances : (rappel ceinture orange) 102× 105 10 5 102 102 106 10 4× 10−6 1 103 10 8× 103× 10−5 109× 102 104 103× 10−4 104 10 × 104 10 104 105 10 10 × 10 −5× 104 10 × 103 105 10 × 10 4× 10−2 105× 10−3 10 × 102 10−5× 103 103× 10 V) Opérations sur les fractions
Avec des entiers : (rappel ceinture orange) 7 5+ 2 3 + 1 4 7 5− 1 2 − 2 3 2 5× 3 −5 × 2 8 1 7× 4 −7 × 2 3 8 7÷ 4 7 ÷ 2 3 Opérations mélangées : 2 3× 8 7− 5 21 5 4− 3 7+ 1 4 7× 3 7− 2 7 3 2× 6 5 8 3× 5 4 2 − 7 3× 4 5 7 9× 5 8+ 1 8 28 5 × 10 7 12 70× 10 15 2 3+ 7 5× 1 2 4 5÷ 3 7 2 + 8 7÷ 5 3 2 5× 1 7− 3 5 4 5− 2 7+ 2 2 3× 1 3− 2 7 1 7× 4 + 3 7
III) Opérations – priorité de calculs et carrés :
−32× 5 2 × 42 (2 × 7)2 (2 + 7)2 2 + 72 2 − 72 (2 − 7)2 (5 2) 2 (−2 5) 2 (3 7) 2 (1 4) 2 − (3 5) 2 (−2 +1 3) 2 (7 −1 3) 2 4 − (3 × 7)2 4 − 22× 5 (1 3− 2) 2 × 3 V) Développements et réductions :
Avec parenthèses (rappel ceinture orange) :
(4𝑥 + 3) − (4𝑥 − 2) (−2𝑥 + 3) − (−5𝑥 + 5) (−3 + 7𝑥) − (2 + 5𝑥) (4 − 3𝑥) − (−𝑥 + 10)
(6𝑥 + 10) − (𝑥 + 8) (−5𝑥 − 2) − (−3𝑥 + 7) (−3𝑥 + 4) − (5𝑥 − 4) (𝑥 + 5) − (5𝑥 + 2)
Simple distributivité
VI) Factoriser Niveau 1 Factoriser les expressions suivantes :
VII) Equations de degré 1 Résoudre dans ℝ :
2𝑥 + 11 = 19 + 4𝑥 3𝑥 + 37 = 𝑥 − 25 −2𝑥 + 13 = 35 + 3𝑥 4𝑥 + 24 = 13 + 7𝑥 3𝑥 + 8 = 𝑥 + 15 5𝑥 + 54 = −4𝑥 + 47 −3𝑥 − 15 = 2𝑥 + 28 4𝑥 − 26 = 52 2𝑥 − 34 = 53 −2𝑥 − 51 = 37 4𝑥 − 13 = 56 5𝑥 − 25 = 36 6𝑥 + 4 = 54 7𝑥 − 1 = 42 2𝑥 + 5 = 18 3𝑥 − 1 = −24 4𝑥 + 4 = 36 5𝑥 − 8 = 40 + 𝑥 𝑥 3= 9 𝑥 4= 6 𝑥 7= 7 𝑥 8= 5 𝑥 6= 6 𝑥 9= 3 2𝑥 + 3 = 5𝑥 + 8 3𝑥 + 4 = 8𝑥 − 5 −2𝑥 + 7 = 3𝑥 + 2 −3𝑥 + 5 = −2𝑥 + 8 7𝑥 − 4 = 3𝑥 − 9 5𝑥 − 7 = −3𝑥 + 2 3𝑥 + 4 = 9𝑥 − 3 −2𝑥 + 3 = 8𝑥 − 7 6𝑥 − 7 = −4𝑥 + 3 6𝑥 + 4 = 𝑥 + 7 5𝑥 − 3 = −𝑥 + 2 4𝑥 − 5 = 𝑥 − 5 4(2𝑥 + 3) 5(−2𝑥 + 3) 4(−3 + 5𝑥) −2(4 + 3𝑥) −2(𝑥 + 3) 4(−5𝑥 + 2)) 3𝑥(2𝑥2+ 3𝑥) −(2𝑥 + 5) 𝑥(𝑥 + 3) (−3𝑥 + 4) − 3(5𝑥 − 4) (𝑥 + 5) − 3(5𝑥 + 2) 3(−3𝑥 + 4) + 2(5𝑥 − 4) 4𝑥 + 2 7𝑥 + 14 5𝑥 − 15 10𝑥 + 5 8 − 4𝑥 6 − 3𝑥 3 − 6𝑥 5𝑥 + 15 𝑥2+ 2𝑥 𝑥2+ 5𝑥 4𝑥 + 𝑥² 7𝑥 − 𝑥² 3𝑥2+ 2𝑥 4𝑥2+ 5𝑥 5𝑥 + 10𝑥² 3𝑥 − 2𝑥²
