Calcul algébrique – TD

CALCUL ALGÉBRIQUE TD

Calcul algébrique – TD

Calculs de sommes

Exercice 1

Soitn∈N. Calculer les sommes suivantes : 1.

n

X

k=0

¡k×(k+1)¢ 2.

n

X

k=0

(2k+1)

3.

n

X

k=0

(3^k+2k²+n−1) 4.

n

X

k=0

5^k 3^2k+1

5.

n

X

k=0

k×k!

6.

n

X

k=1

(−1)^k×k

Exercice 2

1. Montrer qu’il existea,betctrois réels tels que :∀k∈N^{?, 1}

k×(k+1)×(k+2)=a k+ b

k+1+ c k+2. 2. En déduire la valeur deS_n=

n

X

k=1

1

k×(k+1)×(k+2). Exercice 3

Soitn∈N^{?. Calculer}

n

X

k=1

s 1+ 1

k²+ 1 (k+1)². Indication: développer (k²+k+1)².

Exercice 4

Soitn∈N^{. CalculerS}n=

n

X

k=0

µ cos

µk×π 2n

¶2¶

. On pourra utiliser le changement d’indice j=n−k.

Exercice 5

Soitn∈N. On considère la fonction f définie, pour toutx∈R^{, f(x)}=

n

X

k=0

x^k.

1. Justifier que la fonction f est dérivable surRet montrer que, pour toutx∈R^{, f0(x)}=

n

X

k=1

(k×x^k−1).

Attention aux indices de la somme.

2. Soitx∈R^{. Exprimer}

n

X

k=0

k×x^ken fonction dexet f⁰(x).

3. Soitx∈R. Donner une autre expression de f(x).

4. Soitx∈R\ {1}. En dérivant l’expression trouvée à la question 3 def(x), exprimer

n

X

k=0

k×x^ken fonction dex.

5. Soitx∈R\ {1}. En dérivant deux foisf, exprimer

n

X

k=0

k²×x^k en fonction dex.

Exercice 6

Soient (a,b)∈R^2etn∈N^. 1. Calculer

n

X

k=0

e^k×b.

2. Calculer les sommesS_n(a,b)=

n

X

k=0

ch(a+k×b) etT_n(a,b)=

n

X

k=0

sh(a+k×b).

3. En déduire la valeur de la somme

n

X

k=0

k×ch(k×b).

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

TD CALCUL ALGÉBRIQUE

Exercice 7

1. Montrer que, pour tout entierkÊ2, on a

1 k²É 1

k−1−1 k. 2. En déduire que, pour toutn∈N^?,

n

X

k=1

1 k² É2.

Calculs de sommes doubles

Exercice 8

Soitn∈N^?. Calculer les sommes suivantes :

1. X

0ÉpÉqÉn

2^p.

2. X

1Éi<jÉn

i j

3. X

1Éi,jÉn

(i+j)²

4. X

1ÉiÉjÉn

(i+j)

5. X

1Éi<jÉn

i² j

6. X

1Éi,jÉn

i×2^j

7. X

1Éi,jÉn

x^i+j (oùx∈C⁾

8. X

1Éi,jÉn

min(i,j)

9. X

1Éi,jÉn

max(i,j)

10. X

1Éi,jÉn

|i−j|

11. X

1ÉiÉjÉn

i×j

12. X

1Éi<jÉn

i×j

Exercice 9

Pour toutn∈N^?, on pose :

H_n=

n

X

k=1

1 k. 1. Soitn∈N^{?. Exprimer}

n

X

k=1

H_k en fonction denet deH_n. 2. Soitn∈N^{?. Exprimer}

n

X

k=1

(k×H_k) en fonction denet deH_n.

Exercice 10

Soitn∈N^{. On noteS}n=

n

X

k=0 n

X

j=k

2^j. 1. Montrer queS_n=n×2ⁿ⁺¹+1.

2. Montrer queS_n=

n

X

j=0

(j+1)×2^j. 3. En déduire que

n

X

k=1

(k×2^k−1)=(n−1)×2ⁿ+1 4. En déduire l’expression de

n

X

i=1 i+1

X

k=1

k×2^k−1.

Coefficients binomiaux

Exercice 11

Soitn∈N^?. Montrer que, pour tout (n,p)∈N^{2tel quep}Én, on a :

n

X

k=p

Ãk p

!

= Ãn+1

p+1

! .

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

CALCUL ALGÉBRIQUE TD

Exercice 12

1. Soit (n,k,i)∈N^{3 tel quek}ÉiÉn. Montrer que Ãn

i

!

× Ãi

k

!

= Ãn

k

!

× Ãn−k

n−i

! . 2. En déduire, pour toutn∈N, l’expression de X

0ÉkÉiÉn

Ãn i

!

× Ãi

k

! .

Exercice 13

Soitn∈N^?. On considère la fonction f définie, pour toutx∈R^{, f(x)}=(1+x)ⁿ. 1. Justifier que la fonction f est dérivable surR^.

2. En calculant la dérivée de f de deux manières différentes, calculer

n

X

k=0

k× Ãn

k

! . 3. En adaptant la méthode de la question précédente, calculer les sommes

(a)

n

X

k=0

k²× Ãn

k

!

(b)

n

X

k=0

1 k+1×

Ãn k

! .

Exercice 14

Soitn∈N^{?. On poseS}n=

n

X

k=0

Ã2n+1 k

! .

1. À l’aide du changement d’indice j=2n+1−k, déterminer une autre expression deS_n. 2. En déduire la valeur de 2S_n, puis celle deS_n.

Exercice 15 Soitn∈N^?.

1. Calculer les sommes :U=

n

X

k=0

Ãn k

! etV=

n

X

k=0

(−1)^k× Ãn

k

! . 2. En déduire l’expression deS=

n

X

kk=0pair

Ãn k

! etT=

n

X

kimpairk=0

Ãn k

! .

Exercice 16

Soitn∈N^?. Montrer que, pour toutx∈R+,

(1+x)ⁿÊ1+n×x.

Exercice 17

Soient (a,b)∈R^2etn∈N. Simplifier les sommes : 1.

n

X

k=0

sin(k×a) ; 2.

n

X

k=0

cos(a+k×b) ;

3.

n

X

k=0

sin(a+k×b) ; 4.

n

X

k=0

Ãn k

!

×cos(a+k×b) ;

5.

n

X

k=0

1 2^k×cos³

k×^π 3

´ .

Exercice 18

Soient_θ∈R^etn∈N. Simplifier les sommes : 1.

n

X

k=0

(cos(_θ))^k×sin(k×θ) ; 2.

n

X

k=0

(cos(k×θ))²; 3.

n

X

k=0

cos(k×θ)

(cos(_θ))^k avec_θ.^π 2[_π].

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC

TD CALCUL ALGÉBRIQUE

Calculs de produits

Exercice 19

Calculer les produits suivants : 1.

n

Y

k=0

k k+1

2.

n

Y

k=2

2k+1 2k−1

3. Y

1Éi,jÉn

i^j

4.

n−1Y

p=0 p

X

k=0

2^p!×k

5.

n

Y

k=1

(−5)^k2−k

6. Y

1Éi,jÉn

i×j

7. Y

1Éi<jÉn

i×j

Exercice 20

Montrer que, pour toutn∈N^{?, on a : 2n−1}Én!Énⁿ⁻¹. Exercice 21

Montrer que, pour toutn∈N^{? :} 1.

n

Y

k=0

(2k+1)=(2n+1)!

2ⁿ×n! . 2.

n−1Y

k=0

n!

k!=

n

Y

k=1

k^k

Exercice 22

Soientx∈C^etn∈N^?. Calculer :

1. Y

1Éi,jÉn

x^i+j. 2.

n

Y

k=0

³

1+x^2k´ .

Systèmes linéaires

Exercice 23

Selon les valeurs dem∈R, déterminer l’ensemble des solutions du système linéaire :







x−2y−z = 1 2x+6z = m y+2z = 0.

Exercice 24

Soit (a,b,c)∈R³. On considère le système

(S) :







x+2y−z = a

−2x−3y+3z = b x+y−2z = c.

A quelle condition nécessaire et suffisante sur (a,b,c) le système (S) est-il compatible ? Exercice 25

On munit l’espace du repère orthonormé (O;~i,~j,~k). On considère les 3 points A(3, 1,−1),B(−2, 0,−1) etC(9, 1, 1).

On considère le planP passant par les points A,BetC.

1. Déterminer une équation cartésienne deP.

2. Étudier l’intersection deP et de la droiteDdont une équation cartésienne est

½ x+2y−z = 1 x+y+z = −1.

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