Exercices sur le calcul algébrique

(1)

Calculs algébriques

Equations et systèmes

Exercice 1 [ 02116 ][correction]

Observer que

x= ³ q

20 + 14√ 2 + ³

q

20−14√ 2

est solution d’une équation de la formex³=αx+β avecα, β∈R. Résoudre cette dernière et déterminerx.

Résoudre les systèmes d’inconnue (x, y)∈R²: a)

(x²+ 2y²= 1 x²+xy= 0 b)

(x²+y²= 1 2xy= 1 c)

(x²=y y²=x

Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x, y, z)∈R³ :

a)







x+ 2y−z= 1 x−y+z= 2

xyz= 0

b)







x+ 2y−z= 1 x−y+ 2z= 2 3x−y+z= 3

c)







x+y+z= 1 x−y+ 3z= 2 2x−y+z= 3

Résoudre le système







x−ay+z= 2 x+ (a+ 1)z= 3 x+ay+ 3z= 4 d’inconnue (x, y, z)∈R³,adésignant un paramètre réel.

Résoudre les équations suivantes d’inconnuex∈R:

a) x= 2x−1 [1] b) 3x= 2−x [π] c) nx= 0 [π] (avecn∈N^?)

Sommes

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : a)

n

X

i=1

α+ai=α+

n

X

i=1

ai b)

n

X

i=1

ai+bi=

n

X

i=1

ai+

n

X

i=1

bi

c)

n

X

i=1

αai=α

n

X

i=1

ai d)

n

X

i=1

aibi=

n

X

i=1

ai n

X

i=1

bi

e)

n

X

i=1

a^α_i =

n

X

i=1

ai

!^α

f)

n

X

j=1 n

X

i=1

ai,j =

n

X

i=1 n

X

j=1

ai,j?

Etablir l’une des trois formules suivantes : a)

n

P

k=1

k=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ b)

n

P

k=1

k²=n(n+1)(2n+1)

6 c)

n

P

k=1

k³= ⁿ²⁽ⁿ⁺¹⁾₄ ²

A partir des valeurs connues de

n

P

k=1

ket

n

P

k=1

k², calculer : a)

n

P

k=1

k(k+ 1)

b) 1.n+ 2.(n−1) +· · ·+ (n−1).2 +n.1.

Calculer

n

X

k=1

(−1)^kk

Montrer que la suite de terme généralun=

n

P

k=1 1

n+k est strictement croissante.

(2)

Montrer

∀n∈N,

n

X

k=0

k!6(n+ 1)!

Calculer

n

X

k=1

k (k+ 1)!

a) Calculer

p

X

k=1

kk!

b) Soitp∈N. Montrer que pour toutn∈[[0,(p+ 1)!−1]], il existe un (p+ 1) uplet (n0, n1, . . . , np)∈N^p+1 tel que

∀k∈[[0, p]],06n_k 6k etn=

p

X

k=0

n_kk!

c) Justifier l’unicité d’une telle suite.

Sommes géométriques

Calculer, pour toutθ∈R, la somme

n

P

k=0

e^ikθ.

Calculer, pour toutq∈C, la somme

n

P

k=0

q^2k.

Pourq∈C\ {1}etn∈N, on poseS_n=

n

P

k=0

kq^k. En calculantqSn−Sn, déterminer la valeur deSn.

Soitn∈N. Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation :

n

X

k=0

cos(kx) cos^kx = 0

Sommes doubles

A partir des valeurs connues de

n

P

k=1

k,

n

P

k=1

k²et

n

P

k=1

k³, calculer :

a) X

16i,j6n

(i+j)² b) X

16i<j6n

ij c) X

16i,j6n

min(i, j)

Soitn∈N^?. Calculer C_n = P

16p<q6n

(p+q) en remarquant

X

16p,q6n

p+q= 2Cn+ 2

n

X

p=1

p

Produits

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : a)

n

Q

i=1

αa_i =α

n

Q

i=1

a_i b)

n

Q

i=1

a_ib_i =

n

Q

i=1

a_i

n

Q

i=1

b_i c)

n

Q

i=1

a_i+b_i=

n

Q

i=1

a_i+

n

Q

i=1

b_i?

Calculer

n

Y

k=1

1 + 1

k

On désire calculer le produitP(x) = Q

06k6n

cos(2^kx) pour toutx∈R. a) Commencer par traiter le casx= 0 [π].

b) Pourx6= 0 [π], simplifier sin(x)P(x) et exprimerP(x).

(3)

Soienta∈Ret

P =

n

Y

k=0

(1 +a²^k) a) CalculerP quanda= 1.

b) Calculer (1−a)P quanda6= 1 et en déduire la valeur deP. c) Comment expliquer la formule obtenue ?

Pourn∈N^?, simplifier

n

Y

k=1

2k+ 3 2k−1

Nombres factoriels

Exprimer 2×4× · · · ×(2n) puis 1×3× · · · ×(2n+ 1) à l’aide de factoriels

Montrer de deux manières que pour toutn∈N^?

n

Y

k=1

(4k−2) =

n

Y

k=1

(n+k)

Formule du binôme

Calculer pour toutn∈N^? : a)S₀=

n

X

k=0

n k

!

b)S₁=

n

X

k=0

k n k

!

c) S₂=

n

X

k=0

k² n k

!

Pourn∈N^?, calculer A=

E(n/2)

X

k=0

n 2k

! etB=

E((n−1)/2)

X

k=0

n 2k+ 1

!

en formant un système dontAetB seraient solutions.

Soitn∈N. Calculer

n

X

p=0

n p

! j^p

En déduire A=

bn/3c

X

k=0

n 3k

! , B=

b(n−1)/3c

X

k=0

n 3k+ 1

! et C=

b(n−2)/3c

X

k=0

n 3k+ 2

!

[Formule de Chu-Vandermonde]

Soientn, p, q∈Ntels quen6p+q.

En développant de deux manières (1 +x)^p×(1 +x)^q, établir

n

X

k=0

p k

! q n−k

!

= p+q n

!

Développer (a+b+c)ⁿ.

a) Soitn∈N. Calculer

n

X

k=0

(−1)^k n k

!

b) Soientk, `, n∈Ntels que`6k6n. Comparer n

k

! k

`

! et n

`

! n−` k−`

!

c) Soit (x_n) une suite de réels. On pose

∀k∈N, y_k =

k

X

`=0

k

`

! x_`

Montrer que

∀n∈N, xn=

n

X

k=0

(−1)^n−k n k

! yk

(4)

Coefficients binomiaux

Montrer que pour toutn∈Net toutp∈Z p n

p

!

=n n−1 p−1

!

En déduire

n

X

p=0

p n p

!

=n2ⁿ⁻¹

Calculer, pour toutn, p∈N, la somme

n

X

k=0

p+k k

!

Calculer pourn, p∈N^?, la somme

n

X

i=0





p

Y

j=1

(i+j)





Montrer que pour toutn∈N^?

n

X

k=1

(−1)^k+1 k

n k

!

=

n

X

k=1

1 k

Calculer

S_n=

n

X

k=0

(−1)^k 2n+ 1 k

!

Soitn∈Navecn>2.

a) On suppose quenest premier. Montrer

∀k∈ {2, . . . , n−1}, ndivise n k

!

b) Inversement, on suppose quenest composé. Montrer

∃k∈ {2, . . . , n−1}, nne divise pas n k

!

Soientn∈N^?. a) Justifier

∀16k6n, n k

!

=n−k+ 1 k

n k−1

!

b) En déduire que pour tout entierkvérifiant 16k6n/2 n

k−1

!

< n k

!

et pour tout entierkvérifiantn/26k6n−1 n

k+ 1

!

< n k

!

c) Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d’être obtenues ?

Montrer

∀n∈N^?, 2n n

!

> 2²ⁿ 2n+ 1

(5)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

On remarque

x³= 6x+ 40 4 est solution apparente de cette équation.

x³−6x−40 = (x−4)(x²+ 4x+ 10) Les solutions de l’équation sont 4,−2 +i√

6,−2−i√

6. Le nombrexcorrespond à la seule solution réelle doncx= 4.

a) Si (x, y) est solution alors (2)⇒x(x+y) = 0 doncx= 0 ouy=−x.

Six= 0 alors (1) donney=±1/√ 2.

Siy=−xalors (1) donnex=±1/√ 3.

Inversement : ok Finalement :S =

(0,1/√

2),(0,−1/√

2),(1/√

3,−1/√

3),(−1/√ 3,1/√

3) . b) Si (x, y) est solution alors (1)−(2) donne (x−y)²= 0 d’où x=y puis (1) donnex=y=±^√¹

2.

Inversement : ok. FinalementS = (1/√

2,1/√

2),(−1/√

2,−1/√ 2) . c) Si (x, y) est solution alors (1) et (2) donnentx⁴=xd’oùx= 0 oux= 1.

Six= 0 alorsy= 0. Six= 1 alorsy= 1.

Inversement : ok. FinalementS ={(0,0),(1,1)}.

a) Si (x, y, z) est solution alors (3) donnex= 0, y= 0 ouz= 0.

Six= 0 alorsy= 3, z= 5. Siy= 0 alorsx= ³₂, z= ¹₂. Siz= 0 alors x=⁵₃, y=−¹₃.

Inversement : ok. FinalementS =

(0,3,5),(³₂,0,¹₂),(⁵₃,−¹₃,0) . b)S= ₈

9,⁴₉,⁷₉ . c)S = ₅

4,−³₈,¹₈ . Exercice 4 :[énoncé]

On a 





x−ay+z= 2 x+ (a+ 1)z= 3

x+ay+ 3z= 4

⇔







x−ay+z= 2 ay+az= 1

ay+z= 1

⇔







x−ay+z= 2 ay+az= 1 (1−a)z= 0

Sia= 1 alors le système a pour solution les triplets (3−2z,1−z, z) avecz∈R Sia6= 1 alors le système équivaut à







x−ay= 2 ay= 1

z= 0 Sia= 0, il n’y a pas de solutions.

Sia6= 0,1 alors le système possède pour solution l’unique le triplet (3,1/a,0)

a)x= 2x−1 [1]⇔ −x=−1 [1]⇔x= 1 [1],S=Z. b) 3x= 2−x [π]⇔4x= 2 [π]⇔x=¹₂ _π

4

,S=_kπ+2

4 /k∈Z . c)nx= 0 [π]⇔x= 0 _π

n

,S =_kπ

n /k∈Z . Exercice 6 :[énoncé]

b) c) f)

Par récurrence.

a) En séparant la somme

n

X

k=1

k(k+ 1) =

n

X

k=1

k²+

n

X

k=1

k= n(n+ 1)(n+ 2) 3 b) On réécrit

1.n+ 2.(n−1) +· · ·+ (n−1).2 +n.1 =

n

X

k=1

k(n+ 1−k) et on réorganise

n

X

k=1

k(n+ 1−k) = (n+ 1)

n

X

k=1

k−

n

X

k=1

k²= n(n+ 1)(n+ 2) 6

(6)

D’une part

2p

X

k=1

(−1)^kk=

p

X

`=1

(−(2`−1) + 2`) =p et d’autre part

2p+1

X

k=1

(−1)^kk=p−(2p+ 1) =−(p+ 1) Ainsi

n

X

k=1

(−1)^kk=

n/2 sinest pair

(−1)ⁿ(n+ 1)/2 sinest impair

u_n+1−u_n=

n+1

P

k=1 1 n+1+k −

n

P

k=1 1

n+k = _2n+2¹ +_2n+1¹ −_n+1¹ =_2n+1¹ −_2n+2¹ >0.

Par récurrence surn∈N, sachant

(n+ 1)! + (n+ 1)! = 2.(n+ 1)!6(n+ 2)!

n

P

k=1 k (k+1)! =

n

P

k=1

(k+1)−1 (k+1)! =

n

P

k=1

1

k!−_(k+1)!¹

=

n

P

k=1 1 k!−

n

P

k=1 1

(k+1)! = 1−_(n+1)!¹ .

a) En écrivantk= (k+ 1)−1

p

X

k=1

kk! =

p

X

k=1

(k+ 1)!−k! = (p+ 1)!−1 b) Par récurrence forte surp>0.

Pourp= 0 : ok

Supposons la propriété établie jusqu’au rangp>0.

Soitn∈[[0,(p+ 2)!−1]].

Réalisons la division euclidienne denpar (p+ 1)! :n=q(p+ 1)! +ravec 06r <(p+ 1)!.

Puisque 06n <(p+ 2)! on a 06q6p+ 1.

Par hypothèse de récurrence, on peut écrirer=

p

P

k=0

nkk! et en prenantnp+1=q on an=

p+1

P

k=0

nkk!.

Récurrence établie.

c) Supposonsn=

p

P

k=0

nkk! =

p

P

k=0

n⁰_kk! avec les conditions requises.

Sin_p< n⁰_p alors

p

X

k=0

n_kk!6n_pp! +

p−1

X

k=0

k.k! = (n_p+ 1)p!−1< n⁰_pp!6

p

X

k=0

n⁰_kk!

Ceci est absurde donc nécessairementnp>n⁰_ppuis par symétrienp=n⁰_p.

On simplifie alors le termenpp! et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.

Siθ6= 0 [2π] alors

n

P

k=0

eîkθ=êî(n+1)θ_eiθ−1⁻¹ (somme géométrique de raison eîθ6= 1) Siθ= 0 [2π] alors

n

P

k=0

e^ikθ=

n

P

k=0

1 =n+ 1.

Siq²6= 1 alors

n

P

k=0

q^2k= ^q²ⁿ⁺²_q2−1⁻¹ (somme géométrique de raisonq²) Siq²= 1 alors

n

P

k=0

q^2k=n+ 1.

On a

qS_n−S_n=

n

X

k=0

kq^k+1−

n

X

k=0

kq^k =

n+1

X

k=1

(k−1)q^k−

n

X

k=0

kq^k

En combinant les deux sommes qSn−Sn=nqⁿ⁺¹−

n

X

k=1

q^k =nqⁿ⁺²−(n+ 1)qⁿ⁺¹+q q−1

puis

Sn=nqⁿ⁺²−(n+ 1)qⁿ⁺¹+q (q−1)²

(7)

L’équation a un sens pourx6=π/2 [π]. En exploitant cos(kx) = Re(e^ikx), on peut écrire

n

X

k=0

cos(kx) cos^kx = Re

n

X

k=0

e^ikx cos^kx

!

ce qui apparaît comme une somme géométrique.

Six6= 0 [π] alorsq= _cos^e^ix_x 6= 1 et

n

X

k=0

e^ikx

cos^kx = 1 cosⁿx

cosⁿ⁺¹x−eⁱ⁽ⁿ⁺¹⁾x cosx−e^ix Il reste à en déterminer la partie réelle. Puisque

n

X

k=0

e^ikx

cos^kx = 1 cosⁿx

cosⁿ⁺¹x−cos(n+ 1)x−isin(n+ 1)x

−isinx on obtient

n

X

k=0

cos(kx)

cos^kx = sin(n+ 1)x sinx(cosx)ⁿ Finalement, pour lesxconsidérés

n

X

k=0

coskx

cos^kx = 0⇔sin(n+ 1)x= 0⇔x= 0 [π/(n+ 1)]

Six= 0 [π] alorsxn’est pas solution car

n

X

k=0

cos(kx)

cos^kx =n+ 1 Finalement

S= kπ

(n+ 1)/k∈Zet (n+ 1)6 |k

a) P

16i,j6n

(i+j)²=

n

P

i=1 n

P

j=1

i²+ 2ij+j² puis

X

16i,j6n

(i+j)²=n

n

X

i=1

i²+ 2

n

X

i=1 n

X

j=1

ij+n

n

X

j=1

j²= n²(n+ 1)(7n+ 5) 6

b) P

16i<j6n

ij=

n−1

P

i=1 n

P

j=i+1

ij =

n−1

P

i=1

i

n

P

j=i+1

j

! puis

X

16i<j6n

ij=

n−1

X

i=1

in+i+ 1

2 (n−i) = n(n−1)(n+ 1)(3n+ 2) 24

c) P

16i,j6n

min(i, j) =

n

P

i=1 i

P

j=1

j+

n

P

j=i+1

i

! puis

X

16i,j6n

min(i, j) =

n

X

i=1

i(i+ 1)

2 +i(n−i) =n(n+ 1)(2n+ 1) 6

Après réorganisation des termes X

16p,q6n

p+q= 2C_n+ 2

n

X

p=1

p

Or

2

n

X

p=1

p=n(n+ 1)

et n

X

p=1 n

X

q=1

p+q=n²(n+ 1) d’où

C_n=(n−1)n(n+ 1) 2

b)

n

Y

k=1

1 + 1

k

=

n

Y

k=1

k+ 1 k = 2

1 3

2· · ·n+ 1

n =n+ 1

(8)

a) Six= 0 [2π] alorsP(x) = 1. Six=π [2π] alorsP(x) =−1.

b) En exploitant successivement la formule sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) sin(x)P(x) = sinx.cosx.cos 2x . . .cos 2ⁿx= 1

2ⁿ⁺¹sin 2ⁿ⁺¹x donc

P(x) = sin(2ⁿ⁺¹x) 2ⁿ⁺¹sin(x) Exercice 23 :[énoncé]

a) Sia= 1 alors

P =

n

Y

k=0

2 = 2ⁿ⁺¹ b) Sia6= 1 alors

(1−a)P = (1−a)(1 +a)(1 +a²)· · ·(1 +a²ⁿ) Par application de la formule (a−b)(a+b) =a²−b² on obtient

(1−a)P = (1−a²)(1 +a²)· · ·(1 +a²ⁿ) et en répétant l’opération

(1−a)P = (1−a²ⁿ⁺¹) On conclut

P = 1−a²ⁿ⁺¹ 1−a

c) La formule obtenue correspond à celle exprimant la somme 1 +a+a²+a³+· · ·+a²ⁿ⁻¹

En effet si l’on développe le produit définissantP, on obtient queP est la somme des termes

a

n

P

i=0

ε_i2ⁱ

avecε0, . . . , εn∈ {0,1}

Or tout entierkcompris entre 0 et 2ⁿ⁻¹s’écrit de façon unique sous la forme k=

n

X

i=0

εi2ⁱ avecε0, . . . , εn∈ {0,1}

et donc

P = 1 +a+a²+a³+· · ·+a²ⁿ⁻¹

Pourn>2, on a

n

Y

k=1

2k+ 3

2k−1 = (2n+ 3)(2n+ 1)(2n−1)×. . .×5 (2n−1)(2n−3)×. . .×5×3×1 puis après simplification

n

Y

k=1

2k+ 3

2k−1 = (2n+ 3)(2n+ 1) 3 et pourn= 1

n

Y

k=1

2k+ 3 2k−1 = 5 ce qui rend la formule précédente encore valable.

En extrayant un 2 dans chaque facteur

2.4.6× · · · ×(2n) = 2ⁿ1.2.3× · · · ×n= 2ⁿn!

En introduisant les facteurs pairs intermédiaires

1.3.5× · · · ×(2n+ 1) =1.2.3.4.5.6× · · · ×(2n)×(2n+ 1)

2.4.6× · · · ×(2n) = (2n+ 1)!

2ⁿn!

(1) Par récurrence surn∈N^? : Pourn= 1 : ok

Supposons la propriété établie au rangn>1.

n+1

Y

k=1

(4k−2) =

n

Y

k=1

(4k−2)×(4n+ 2) =

HR n

Y

k=1

(n+k)×(4n+ 2) et

n+1

Y

k=1

(n+ 1 +k) = (n+ 2)(n+ 3). . .(2n+ 2) =

n

Y

k=1

(n+k)×(2n+ 1)(2n+ 2) n+ 1

(9)

donc

n+1

Y

k=1

(n+ 1 +k) =

n

Y

k=1

(n+k)×(4n+ 2) Récurrence établie.

(2) Directe :

n

Y

k=1

(4k−2) = 2ⁿ

n

Y

k=1

(2k−1) = 2ⁿ(1×3×. . .×(2n−1)) = (2n)!

n!

et

n

Y

k=1

(n+k) = (n+ 1)(n+ 2). . .(2n) =(2n)!

n!

a) Par la formule du binôme

S0= (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ b) ((1 +x)ⁿ)⁰=n(1 +x)ⁿ⁻¹ donne

n

X

k=1

k n k

!

x^k−1=n(1 +x)ⁿ⁻¹ donc

S₁=n2ⁿ⁻¹ c)

(x((1 +x)ⁿ)⁰)⁰= (nx(1 +x)ⁿ⁻¹)⁰ =n(1 +x)ⁿ⁻¹+n(n−1)x(1 +x)ⁿ⁻² donne

n

X

k=1

k² n k

!

x^k−1=n(1 +x)ⁿ⁻¹+n(n−1)x(1 +x)ⁿ⁻² donc

S₂=n2ⁿ⁻¹+n(n−1)2ⁿ⁻²=n(n+ 1)2ⁿ⁻²

On a

A+B =

n

X

p=0

n p

!

= (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ et

A−B=

n

X

p=0

(−1)^p n p

!

= (1−1)ⁿ= 0ⁿ= 0 donc

A=B= 2ⁿ⁻¹

Par la formule du binôme

n

X

p=0

n p

!

j^p= (1 +j)ⁿ= 2ⁿeⁱ^nπ³ cosⁿ π 3 On a aussi

A+B+C= (1 + 1) = 2ⁿ et par ce qui précède

A+jB+j²C= 2ⁿeⁱ^nπ³ cosⁿπ 3 puis aussi par conjugaison

A+j²B+jC= 2ⁿe⁻ⁱ^nπ³ cosⁿπ 3 On en déduit

A= 2ⁿ 3

1 + 2 cosnπ 3 cosⁿπ

3

,B =2ⁿ 3

1 + 2 cos(n−2)π 3 cosⁿπ

3

et

C=2ⁿ 3

1 + 2 cos(n+ 2)π 3 cosⁿπ

3

Le coefficient dexⁿ dans (1 +x)^p×(1 +x)^q = (1 +x)^p+q est p+q n

! .

Lorsqu’on développe le produit (1 +x)^p×(1 +x)^q, on obtient unxⁿ en croisant unx^k de (1 +x)^p par unx^n−k de (1 +x)^q (pour 06k6n). Le coefficient dex^k

(10)

dans (1 +x)^p est p k

!

et le coefficientx^n−k dans (1 +x)^q est q n−k

! donc le coefficient dexⁿ dans (1 +x)^p×(1 +x)^q est

n

X

k=0

p k

! q n−k

!

d’où l’égalité.

(a+b+c)ⁿ=

n

P

k=0 k

P

`=0

n k

! k

`

!

a^n−kb^k−`c^` et n k

! k

`

!

= (n−k)!(k−`)!`!^n! .

a) Par la formule du binôme

n

X

k=0

(−1)^k n k

!

= (1 + (−1))ⁿ=

(1 si n= 0 0 sinon b) On a

n k

! k

`

!

= n!

k!(n−k)!

k!

`!(k−`)! = n!

`!(n−`)!

(n−`)!

(n−k)!(k−`)! = n

`

! n−` k−`

!

c) On a

n

X

k=0

(−1)^n−k n k

! yk =

n

X

k=0 k

X

`=0

(−1)^n−k n k

! k

`

! x`=

n

X

`=0

x` n

X

k=`

(−1)^n−k n k

! k

`

!

Or n

X

k=`

(−1)^n−k n k

! k

`

!

= (−1)^n−` n

`

! _n X

k=`

(−1)^k−` n−` k−`

!

avec n

X

k=`

(−1)^k−` n−` k−`

!

=

(1 si `=n 0 sinon Par suite

n

X

k=0

(−1)^n−k n k

!

yk =xn

On a

p n p

!

=p n!

p!(n−p)! =n (n−1)!

(p−1)!(n−p)! =n n−1 p−1

!

et donc

n

X

p=0

p n p

!

=n

n

X

p=1

n−1 p−1

!

=n(1 + 1)ⁿ⁻¹=n2ⁿ⁻¹

On a n

X

k=0

p+k k

!

= p

0

!

+ p+ 1 1

!

+ p+ 2 2

!

+· · ·+ p+n n

!

En regroupant les deux premiers termes par la formule du triangle de Pascal

n

X

k=0

p+k k

!

= p+ 2 1

!

+ p+ 2 2

!

+· · ·+ p+n n

!

puis

n

X

k=0

p+k k

!

= p+ 3 2

!

+· · ·+ p+n n

!

= p+n+ 1 n

!

On commence par exprimer le produit comme un rapport de nombres factoriels

n

X

i=0





p

Y

j=1

(i+j)



=

n

X

i=0

(i+p)!

i!

puis on introduit un coefficient du binôme

n

X

i=0





p

Y

j=1

(i+j)



=p!

n

X

i=0

i+p i

!

La somme introduite peut être calculée grâce à la formule de Pascal

n

X

i=0





p

Y

j=1

(i+j)



=p! p+n+ 1 n

!

= (p+n+ 1)!

(p+ 1)n!

(11)

Par récurrence surn>1 sachant :

n+1

X

k=1

(−1)^k+1 k

n+ 1 k

!

=

n+1

X

k=1

(−1)^k+1 k

n k

! +

n+1

X

k=1

(−1)^k+1 k

n k−1

!

Or

n+1

X

k=1

(−1)^k+1 k

n k−1

!

=

n+1

X

k=1

(−1)^k+1 n+ 1

n+ 1 k

!

= 1

n+ 1−(1−1)ⁿ⁺¹ n+ 1 = 1

n+ 1 donc

n+1

X

k=1

(−1)^k+1 k

n+ 1 k

!

=

n+1

X

k=1

1 k

Exploitons

2n+ 1 k

!

= 2n

k−1

! + 2n

k

!

On obtient

S_n =

n

X

k=0

(−1)^k 2n k−1

! +

n

X

k=0

(−1)^k 2n k

!

Par décalage d’indice Sn=

n−1

X

k=0

(−1)^k+1 2n k

! +

n

X

k=0

(−1)^k 2n k

!

Après simplification,

Sn= (−1)ⁿ 2n n

!

a) On supposenpremier. On sait n k

!

=n k

n−1 k−1

!

donc

k n k

!

=n n−1 k−1

!

ce qui permet d’affirmer quendivise l’entier k n k

!

. Ornest premier et donc premier aveckpuisquek < n. Par le théorème de Gauss, on peut alors affirmer quendivise n

k

! .

b) Supposons maintenantncomposé. On peut introduirepun facteur premier de navecp < n. Nous allons alors montrer quenne divise par n

p

!

ce qui permet de conclure.

Par l’absurde, supposons quem= _n¹ n p

!

soit un entier. On peut écrire (n−1)! =m.p!(n−p)!

Puisquepdivisen, on peut aussi écriren=pq avecqentier et donc (pq−1)! =mp! (p(q−1))!

Dans les produits définissant (pq−1)! et (p(q−1))!, on retrouve les mêmes multiples dep, à savoirp,2p, . . .(q−1)p. On peut donc écrire

(pq−1)! =kaet (p(q−1))! =kb

aveckregroupant le produit des multiples depprécédents etaetb non divisibles parp.

La relation initiale se simplifie alors pour donner a=mp!b

ce qui entraîne queaest divisible parp. C’est absurde !

a) On peut écrire n!

k!(n−k)! = (n−k+ 1) k

n!

(k−1)!(n−k+ 1)!

ce qui donne directement la relation soumise.

(12)

b) Si 16k6n/2 alors 2k < n+ 1 et doncn−k+ 1> kpuis n

k

!

= n−k+ 1 k

n k−1

!

> n k−1

!

La deuxième inégalité s’en déduit par la relation de symétrie n

k

!

= n

n−k

!

c) Pournfixé, la suite finie des coefficients binomiaux croît puis décroît en étant extrémale en son milieu.

On a 2n

X

k=0

2n k

!

= (1 + 1)²ⁿ= 2²ⁿ

Or, pournfixé, la suite finie des coefficients binomiaux est maximale en son milieu donc

∀06k62n, 2n k

! 6 2n

n

!

et donc

2²ⁿ 6(2n+ 1) 2n n

!

puis l’inégalité proposée.