Calcul algébrique
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes en détaillant votre dé- marche :
a. 2(x+ 5) = 3(2x−2) b. 2(x−2)−4(1−x) = 4 c. 3(x−2) + 4 = 2−x d. 5(x+ 1) = 3(3−x) Correction 1
a. 2(x+ 5) = 3(2x−2) 2x+ 10 = 6x−6
2x= 6x−6−10 2x= 6x−16 2x−6x= 6x−16−6x
−4x=−16 x= −16
−4 x= 4
Cette équation admet pour solution le nombre4.
b. 2(x−2)−4(1−x) = 4 2x−4−4 + 4x= 4 6x−8 = 4 6x−8 + 8 = 4 + 8
6x= 12 x= 12 6 x= 2
Cette équation admet pour solution le nombre2.
c. 3(x−2) + 4 = 2−x 3x−6 + 4 = 2−x 3x−2 = 2−x 3x−2 + 2 = 2−x+ 2
3x= 4−x 3x+x= 4−x+x
4x= 4 x= 4 4 x= 1
Cette équation admet pour solution le nombre1.
d. 5(x+ 1) = 3(3−x) 5x+ 5 = 9−3x 5x+ 5−5 = 9−3x−5
5x= 4−3x 5x+ 3x= 4
8x= 4 x=4 8 x=1 2
Cette équation admet pour solution le nombre 1 2.
Exercice 2
Factoriser les expressions suivantes : a. (3x−1)(2x+ 1) + (5−x)(2x+ 1) b. x(2−x) + (3x+ 1)(2−x)
c. (x+ 1)(x−1)−(2x+ 3)(x−1) d. (3x+ 4)(2x−1) + 4(3x+ 4) e. (2x+ 4)(3−3x) + (2x+ 4) f. (x+ 1)(3−2x) + (3−2x)2 Correction 2
a. (3x−1)(2x+ 1) + (5−x)(2x+ 1)
= (2x+ 1)[
(3x−1) + (5−x)]
= (2x+ 1)(3x−1 + 5−x) = (2x+ 1)(2x+ 4)
b. x(2−x) + (3x+ 1)(2−x) = (2−x)[
x+ (3x+ 1)]
= (2−x)(4x+ 1)
c. (x+ 1)(x−1)−(2x+ 3)(x−1)
= (x−1)[
(x+ 1)−(2x+ 3)]
= (x−1)(x+ 1−2x−3) = (x−1)(−x−2)
= (x−1)[
−(x+ 2)]
=−(x−1)(x+ 2) d. (3x+ 4)(2x−1) + 4(3x+ 4)
= (3x+ 4)[
(2x−1) + 4]
= (3x+ 4)(2x+ 3) e. (2x+ 4)(3−3x) + (2x+ 4)
= (2x+ 4)(3−3x) + (2x+ 4)×1
= (2x+ 4)[
(3−3x) + 1]
= (2x+ 4)(4−3x) f. (x+1)(3−2x) + (3−2x)2= (3−2x)[
(x+ 1) + (3−2x)]
= (3−2x)(x+ 1 + 3−2x) = (3−2x)(4−x) Exercice 3
Chacune des expressions suivantes est factorisable. Donner la forme factorisée de chacune d’elle :
a. x2−9
b. (2x+ 1)(3x−1)−(x+ 3)(6x−2) c. (2x−1)2−4(2−x)2
d. (x−1)(3x+ 2) + (2x+ 3)(1−x) e. (7x−1)(5x−6)−(10x−12) f. 9x2−12x+ 4 + (4−3x)(3x−2) Correction 3
a. x2−9 =x2−32=( x+ 3)(
x−3)
b. (2x+ 1)(3x−1)−(x+ 3)(6x−2)
= (2x+ 1)(3x−1)−(x+ 3)[
2(3x−1)]
= (2x+ 1)(3x−1)−2(x+ 3)(3x−1)
= (3x−1)[
(2x+ 1)−2(x+ 3)]
= (3x−1)(2x+ 1−2x−6) = (3x−1)×(−5)
= −5(3x−1)
c. (2x−1)2−4(2−x)2= (2x−1)2−[
2(2−x)]2
= [
(2x−1) + 2(2−x)][
(2x−1)−2(2−x)]
= [
(2x−1 + 4−2x)(
2x−1−4 + 2x)
= 3(4x−5)
d. (x−1)(3x+ 2) + (2x+ 3)(1−x)
= (x−1)(3x+ 2) + (2x+ 3)[
−(x−1)]
= (x−1)(3x+ 2)−(2x+ 3)(x−1)
= (x−1)[
(3x+ 2)−(2x+ 3)]
= (x−1)(
3x+ 2−2x−3)
= (x−1)(x−1) = (x−1)2 e. (7x−1)(5x−6)−(10x−12)
= (7x−1)(5x−6)−[
2(5x−6)]
= (7x−1)(5x−6)−2(5x−6)
= (5x−6)[
(7x−1)−2]
= (5x−6)(7x−3) f. 9x2−12x+ 4 + (4−3x)(3x−2)
= (3x−2)2+ (4−3x)(3x−2)
= (3x−2)[
(3x−2) + (4−3x)]
= (3x−2)(
3x−2 + 4−3x)
= (3x−2)×2 = 2(3x−2) Exercice 4
Factoriser les expressions suivantes : a. (x+ 2)2+ (3x+ 3)(x−1)
b. (x+ 1)(3x+ 2) + (3x−1)(2x+ 1) c. (2x−1)2−(3x+ 3)(x−5) d. (3x+ 1)(4x+ 5) + (3x+ 4)(5−x) Correction 4
a. (x+ 2)2+ (3x+ 3)(x−1)
= x2+ 4x+ 4 + 3x2−3x+ 3x−3
= 4x2+ 4x+ 1 = (2x+ 1)2
b. (x+ 1)(3x+ 2) + (3x−1)(2x+ 1)
= 3x2+ 2x+ 3x+ 2 + 6x2+ 3x−2x−1
= 9x2+ 6x+ 1 = (3x+ 1)2 c. (2x−1)2−(3x+ 3)(x−5)
= 4x2−4x+ 1−(
3x2−15x+ 3x−15)
= 4x2−4x+ 1−3x2+ 15x−3x+ 15
= x2+ 8x+ 16 = (x+ 4)2 d. (3x+ 1)(4x+ 5) + (3x+ 4)(5−x)
= 12x2+ 15x+ 4x+ 5 + 15x−3x2+ 20−4x
= 9x2+ 30x+ 25 = (3x+ 5)2
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes :
a. (2x−1)(3x+ 1) = 0 b. (x−2)(2x+ 4) = 0 c. (3−2x)x= 0 d. (5x+ 1)(5 +x) = 0 Correction 5
a. L’équation(2x−1)(3x+1) = 0est une équation produit : Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes : 2x−1 = 0
2x= 1 x=1 2
3x+ 1 = 0 3x=−1
x=−1 3
Cette équation admet pour solution les deux nombres
−1 3 et 1
2.
b. L’équation(x−2)(2x+4) = 0 est une équation produit : Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
x−2 = 0 x= 2
2x+ 4 = 0 2x=−4
x= −4 2 x=−2
Cette équation admet pour solution les deux nombres−2 et2.
c. L’équation(3−2x)x= 0est une équation produit : Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes : 3−2x= 0
−2x=−3 x=−3
−2 x=3
2
x= 0
Cette équation admet pour solution les deux nombres 0 et 3
2.
d. L’équation(5x+1)(5+x) = 0est une équation produit : Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
5x+ 1 = 0 5x=−1
x=−1 5
5 +x= 0 x=−5
Cette équation admet pour solution les deux nombres−5 et−1
5.
Exercice 6
Modifier les équations proposées afin d’obtenir des équations- produits nulles, puis les résoudre :
a. 81x2−18x=−1 b. 25x2−9 = 0
c. (2x+ 1)2= (2x+ 1)(3x−1) d. 16x2+ 24x+ 9 = (3x−2)2 Correction 6
a. 81x2−18x=−1 81x2−18x+ 1 = 0
Factorisons avec la seconde identité remarquable : (9x−1)2= 0
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes : 9x−1 = 0
9x= 1 x=1 9
9x−1 = 0 9x= 1 x=1 9
L’équation admet pour unique solution : 1 9. b. 25x2−9 = 0
(5x)2−32= 0
Factorisons avec la seconde identité remarquable : (5x+ 3)(5x−3) = 0
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes : 5x+ 3 = 0
5x=−3 x=−3 5
5x−3 = 0 5x= 3 x= 3 5
L’équation admet les deux nombres suivants pour solu- tion : −3
5 ; 3 5
c. (2x+ 1)2= (2x+ 1)(3x−1) (2x+ 1)2−(2x+ 1)(3x−1) = 0
(2x+ 1)[
(2x+ 1)−(3x−1)]
= 0 (2x+ 1)(
2x+ 1−3x+ 1)
= 0 (2x+ 1)(−x+ 2) = 0
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes : 2x+ 1 = 0
2x=−1 x=−1 2
−x+ 2 = 0
−x=−2 x= 2
Cette équation admet pour solution les deux nombres suivants : −1
2 ; 2
d. 16x2+ 24x+ 9 = (3x−2)2
Factorisons avec la première identité remarquable : (4x+ 3)2= (3x−2)2 (4x+ 3)2−(3x−2)2= 0
[(4x+ 3) + (3x−2)][
(4x+ 3)−(3x−2)] ( = 0
4x+ 3 + 3x−2)(
4x+ 3−3x+ 2)
= 0 (7x+ 1)(x+ 5) = 0
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes : 7x+ 1 = 0
7x=−1 x=−1 7
x+ 5 = 0 x=−5
Cette équation admet pour solution les deux nombres suivants : −1
7 ; −5 Exercice 7
1. Parmi les inéquations suivantes, lesquelles acceptent le nombre9 comme solution :
a. −3x+ 2⩾0 b. 5(x+ 9)>0 c. x+ 1
4 ⩾−3×x−2
3 d. 2> x 2. Résoudre les inéquations suivantes
a. −3x+ 7⩽x+ 2 b. −6x+ 1>0 c. −x
4 <5 d. −3(x+ 5)< x+ 5 e. −3x+ 7⩽9−x f. x−1
6 +x+ 1 3 <2 g. x+x
2 −x
6 ⩽x+ 1
3 +2x−3 6 Correction 7
1. a. 9n’est pas solution de l’inéquation−3x+2⩾0 car :
−3×9 + 2 =−27 + 2 =−25
b. 9est solution de l’inéquation5·(x+9)>0car : 5·(9 + 9) = 5×18 = 90
c. 9est solution de l’équation car : 9 + 1
4 =10 4 = 5
2
−3×9−2 3 =−7
d. 9n’est pas solution de l’inéquation de2> x.
2. a. −3x+ 7⩽x+ 2
−4x⩽−5 x⩾ −5
−4 x⩾ 5
4
L’ensemble des solutions est l’intervalle [5
4; +∞[ .
b. −6x+ 1>0
−6x >−1 x < −1
−6 x < 1
6
L’ensemble des solutions est l’intervalle
]−∞;1 6 [
.
c. −x
4 <5 (−4)×(
−x 4 )
>(−4)×5 x >−20
L’ensemble des solutions est l’intervalle]
−20 ; +∞[ . d. −3(x+ 5)< x+ 5
−3x−15< x+ 5
−4x <20 x > 20
−4 x >−5
L’ensemble des solutions est l’intervalle]
−5 ; +∞[ . e. −3x+ 7⩽9−x
−2x+ 7⩽9
−2x⩽2 x⩾ 2
−2 x⩾−1
L’ensemble des solutions est l’intervalle[
−1 ; +∞[ .
f. x−1
6 +x+ 1 3 <2 6×
Åx−1
6 +x+ 1 3
ã
<6×2 (x−1) + 2×(x+ 1)<12
x−1 + 2x+ 2<12 3x+ 1<12 3x <11 x < 11 3
L’ensemble des solutions est l’intervalle
]−∞;11 3
[ .
g. x+x
2 −x
6 ⩽x+ 1
3 +2x−3 6 6×(
x+x 2 −x
6
)⩽6× Åx+ 1
3 +2x−3 6
ã
6x+ 3x−x⩽2×(x+ 1) + (2x−3) 8x⩽2x+ 2 + 2x−3 8x⩽4x−1
4x⩽−1 x⩽−1 4
L’ensemble des solutions est l’intervalle
]−∞;−1 4 ]
.
Exercice 8
Etablir le table de signe des expressions algébriques sui- vantes :
a. (x+ 1)(2−x) b. −(2x+ 4)(x−2) c. (x+ 1)2 Correction 8
1. On a le tableau de signe suivant :
x −∞ −1 2 +∞
x+ 1 − 0 + +
2−x + + 0 −
(x+ 1)(2−x) − 0 + 0 −
2. On a le tableau de signe suivant :
x −∞ −2 2 +∞
−1 − − −
2x+ 4 − 0 + +
x−2 − − 0 +
−(2x+ 4)(x−2) − 0 + 0 −
3. On a le tableau de signe suivant :
x −∞ −1 +∞
x+ 1 − 0 +
x+ 1 − 0 +
(x+ 1)2 + 0 +
Exercice 9
1. Développer : (x−1)(x−5) 2. Résoudre : (x−3)2−4
3−2x <0 Correction 9
1. On a le développement suivant : (x−1)(x−5) =x2−5x−x+ 5
= x2−6x+ 5
2. On a les manipulations algébriques suivantes :
(x−3)2−4 3−2x <0 (x2−6x+ 9)−4
3−2x <0 x2−6x+ 5
3−2x <0
D’après le résultat de la question 1. : (x−1)(x−5)
3−2x <0
On a le tableau de signes suivants :
x −∞ 1 3
2 5 +∞
x−1 − 0 + + +
x−5 − − − 0 +
3−2x + + 0 − −
(x−1)(x−5)
3−2x + 0 − + 0 −
Ainsi, l’inéquation a pour solution l’ensemble suivant : S=
] 1 ; 3
2 [∪]
5 ; +∞[
