Calcul algébrique
.Introduction: Dans ce chapitre, nous allons apprendre à maîtriser davantage le calcul avec des lettres
commencé en 1ère année et poursuivi en 2ème. Nous allons rappeler certaines règles qui visent à développer une expression algébrique puis nous apprendrons à factoriser, c’est à dire à transformer une expression algébrique en un produit de facteurs, démarche inverse du développement. Certaines situations demandent que l’on développe une expression algébrique, d’autres, au contraire, demandent une factorisation.
1) RAPPEL : le développement algébrique
Mots clés : effectuer, multiplier, distribuer, réduire…
a) Compare les longueurs des deux courbes pour aller de A à B. Quelle est la plus grande ?
b) L’illusionniste: Ajoute 2 à ton âge, retranche 2 à ton âge puis multiplie les deux résultats ensembles. Ajoute 5 à ce dernier résultat et enfin retranche le carré de ton âge.
Ton résultat est 1 ! Clap, clap, clap ....
Lève le voile sur cette apparente magie.
c) On mesure le côté d’un carré par la lettre x. On augmente alors chaque côté de 3 (unités). Exprime l’augmentation de l’aire en fonction de x.
d) Le croquis page suivante, représente un rectangle pavé à l’aide de neuf carrés. On appelle a le côté du carré grisé et b le côté du carré B.
Exprime le côté de chaque autre carré.
Calcule la somme des côtés des carrés D, C et E , et celle des côtés des carrés I et H. Que peux-tu en déduire ?
Ce rectangle est-il aussi carré ? Exprime l’aire totale du rectangle.
x
5
A B
x
3
Les règles: Complète les exemples suivants et généralise les différentes règles qui leur correspondent
Exemples Règle
4
5 x
x
2 x ² y 3
a 3 6
2 ) 3
(
5 x x y
2 a 3 b 3 a 5 b
3 x y 2
4 a 2 b 2
5 x 3 5 x 3
Des exercices en vrac pour contrôler la maîtrise du développement algébrique vu en 1ère et 2ème année.
Série 1. Les additions et soustractions.
1) 2x +3x +4x –8x = 2) x
2+ 6x
2– x
2= 3) ab + 2a
2–3ab –5a
2= 4) 5x
3– 3x
2y + 3x
3– x
2y = 5) x
3+ x
2=
6) ½ x + ¾ x – x = 7) – ½ x + x – ¾ x = 8) x
2– ½ x
2- 2x = 9) a + b + 2a – 3b =
10) 8a
2b + 3ab
2– 5a
2b + ab
2= Série 2 . Les multiplications
1) 2x . 3x = 2) ½ x . ¾ x = 3) x.x.x.x = 4) 2x . 3x .5x = 5) x
2. 3x =
6) 3ab . a = 7) 2a . 2ab = 8) –2x . 3x = 9) –5a . ( -2a) = 10) – 2ab . ( -4a) . (-8) = Série 3 Les puissances.
1) (2x)
2= 2) (-3x)
3= 3) ( ½ x)
2=
4) (- ¾ y)
2= 5) (x/3)
3= 6) (3ab)
3= Série 4 . La distributivité.
1) x.(x+1) = 2) 2x ( 3x – 4) = 3) –2x ( x+3) = 4) –3x ( - 2x –4) = 5) 2x ( - 5 – 3x) 6) ½ x ( 2x –8) = 7) (x+6) (-2+x) = 8) (3x + 5) ( 4x +8) =
9) ( ½ x + ¾ y) ( 4x – 1/3 x) = 10) – (x+1) (2x-3)
Série 5. Un peu de mélange.
1) 2x + 3x ( x +1) = 2) (x-1) (2x +3) –5x =
3) (2x – 3) (x – 2) – x (2x +5) = 4) (2x)
2+ 3x( x-5) =
5) (-2-x) (-3+2x) – (3x)
2=
6) 2x
2+ 3x ( 4-2x) – (x+1)(2x-3) = 7) ½ x
2+ ¾ (2x + 3) x – 2x
2= 8) (2/5 x)
2+ (x-1)(x+3) =
9) ( - x + 3) ( 2x +6) – (-2x + 3) ( -5x+3) =
10) 2x + 3x (1-x) – 5x ( x-3) – (2x + 6) (x+3) =
Série 6 : Les produits remarquables :
1) (2x+3)² = 2) (-x-5)² =
3) (6x-2y)(6x+2y)=
4) (3x+4x²)² = 5) (8x³ - 2x²)² =
6) (0,5x – 3)(0,5x + 3) = 7) ( 1/2 x + ¼ )² = 8) (x² +x³)² =
Série 7. Et puis, il faut un peu s’en sortir avec des fractions. Ramène les expressions suivantes en une seule fraction.
x 1 x ) 1
3 3 2 1 2
)
2 x x
2 4 5 2
) 1
3 x x
1 2 ) 1 4 x x
x x
x 1
3 2 ) 5
x
x 2
1 1 ) 6
2 2 3 )
7 x x
x x
8)
3 2 1
x x x x
x x x x
5 3 ) 1 9
10)
x x x 2 x 1 2 1
2. Les polynômes.
Exprime algébriquement le volume de la partie A de l’objet ci-dessous puis de la partie B puis enfin du volume total. Développe l’expression que tu as trouvée.
Volume de A = Volume de B = Volume total =
Vol. total =………..…
L’expression algébrique obtenue ci-dessus s’appelle un polynôme de variable x.
C’est en réalité une fonction, on l’écrira souvent p(x) Il est du……… degré car …..
Le terme du 3ème degré est : Le terme du 2ème degré est : Le terme du 1er degré est :
Il n’y a pas de terme de degré 0 ou terme indépendant
Définitions
1. Un monôme à une variable est une expression algébrique ne comportant qu’un produit d’un réel par une puissance entière de cette variable. Le réel est appelé coefficient de la variable.
Ex : 2x² ; -3x³ ; -0,02x ; ½ ….
2. Des monômes sont semblables s’ils ont la même partie littérale Ex : -3x³ ; 5x³ ; -0,02 x³
3 . Un polynôme est une somme de monômes.
Ex : -3x³ + 5x² - 3x + 4
Un polynôme comprenant deux termes s’appelle un binôme. Ex : -2x+5 Un polynôme comprenant 3 termes s’appelle un trinôme . Ex : -3x³ + x – 5
Un polynôme comprenant 4 termes s’appelle un quadrinôme. Ex : -2x³ + x² + 3x – 1 4. Le terme indépendant dans un polynôme est le terme ne comprenant pas la variable.
5. On dit qu’un polynôme est réduit si tous les termes semblables ont été additionnés 6. On dit qu’un polynôme est ordonné si les puissances de la variable apparaissent dans l’ordre décroissant.
7. On dit qu’un polynôme est complet si dans le polynôme réduit, il y a un terme représentant chaque puissance depuis la plus élevée jusqu’au terme indépendant.
8. La valeur numérique d’un polynôme est le réel que l’on obtient quand on remplace la variable par un réel donné.
Ex : soit p(x) = -3x² + 5x – 7 alors p(-2) = -3(-2)² + 5(-2) – 7 = -29
Opération sur les polynômes.
X+2 X+2
2x
x-2 x
A
x-3B
Addition, soustraction et multiplication.
Soit p(x) = -4x³ + 2x² - 5x + 3 et q(x) = 3x³ - 6x + 9 Calcule p(x) + q(x) .
Calcule p(x) – q(x)
Calcule p(x) . q(x)
Division d’un polynôme par (x-a).
a) Rappel : la division euclidienne.
C’est la division que l’on faisait à l’école primaire quand on n’avait pas encore rencontré les décimaux.
Quand la division ne se faisait pas exactement, il y avait un reste.
Exemple : Soit à diviser 535 par 4 . en disposition de calcul écrit.
Vocabulaire: 535 s’appelle le……….. on le notera ………
4 s’appelle le ……… on le notera …………..
…… s’appelle ………..on le notera…………
……….s’appelle ……….on le notera.
Relation fondamentale qui lie toutes ces valeurs :
b) Exemple.
Soit à diviser 3x³ -2x² +4x + 1 par (x-3) Première disposition: le calcul écrit
3x³ -2x² + 4x + 1 x - 3
On peut alors écrire la relation fondamentale qui lie D(x), d(x), q(x) et r.
Deuxième disposition: la grille d’Hörner (à compléter au cours)
On peut alors écrire :
Exercices. En utilisant la disposition pratique de Hörner, effectue les divisions suivantes.
1) 4x³-3x²-5x+1 par (x-2) 2) X³-2x²+x-3 par (x-3)
3) -2x4+x³+3x²-8x+12 par (x+2) 4) X5-3x²+1 par (x-1)
5) X4-2x³-4x+16 par (x-4) c) Théorème du reste.
Le reste de la division d’un polynôme P(x) par x-a est égal à la valeur numérique de ce polynôme pour x=a.
Hypothèse: Soit P(x) un polynôme en x
Soit (x-a) le diviseur et r le reste de la division de P(x) par (x-a) Thèse: r = P(a)
Démonstration.
Exemples:
1. Sans effectuer la division détermine le reste de la division de 2x³-9x²+7x+6 par a) x-2 b) x-1 c) x+3 d) x-3 e) x+1 et f) x+2
2. Détermine la valeur de m pour que 3x³-2x²+mx-1 soit divisible par x+1
3. Détermine la valeur de m pour que -2x²+3x+m soit divisible par x-2
3) Factoriser, c’est transformer une expression en produit.
Mots clé : mettre en évidence, produits remarquables, Hörner, groupement, D’abord, quelques situations qui montrent l’utilité de la factorisation.
a) Calcule mentalement en trouvant une méthode qui te faciliterait le travail.
A B C D
7 31 15 7 31 2 7 31 3 0 8 5 6 1 7 5 6 0 1 5 6 9 5 9
11 9 5 8
11 9 5 5 11 0 71 27
7 0 71 60
7 0 71 17 7
, , ,
, , , , , ,
, , ,
, , ,
b) Calcule rapidement l’aire totale de la figure ci-contre.
(les proportions ne sont pas respectées)
c) Réfléchis aux situations suivantes et tu découvriras la principale raison de tout le travail que nous allons faire sur la factorisation.
On essaye de deviner des nombres. Donne différentes possibilités.
Leur somme égale 12 Leur somme égale 0 Leur produit égale 10 Leur produit égale 1 Leur produit égale -1 Leur produit égale 0 Conclusion :
d) Quand je multiplie deux nombres consécutifs, j’obtiens 0. Peux-tu les trouver ?
e) Le produit de deux nombres pairs consécutifs est égal à 0. Trouve toutes les possibilités.
f) Le produit de 4 nombres consécutifs est égal à 0. Trouve toutes les possibilités ;
Techniques de factorisation d’une expression algébrique.
3,25 1,25
1,25 1,25 1,25
2,5 1,75
0,5
Rappel: factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit. Une expression sera totalement factorisée si on a pu l’écrire sous la forme d’un maximum des facteurs.
1ère méthode : la mise en évidence.
Exemples
1) 2x + 2y = 2 (x + y) 2) ax + ay = a(x + y) 3) a² + ab = a(a + b)
4) 6a²b + 9ab² = 3ab (2a + 3b ) 5) 3x(x-y) – 2y(x-y) = (x-y) (3x – 2y)
Lorsque l’on parvient à identifier des développements du type ka + kb - kc, on peut factoriser ces développements en mettant le(s) facteur(s) commun(s) en évidence.
ka + kb - kc = k ( a + b - c )
Cette démarche est la démarche inverse de la...
Exercices : factorise en mettant le maximum de facteurs en évidence.
a)
ab a
bx x ax
a ab
x xy
b a
75 25
2 2 6
2 2
36 24
3 12
b)
ab b
a a a
c cd
a a
xy y
x
48
³ 56
² 16
³ 32
8
² 12
8
² 12
15
5
3 3 3
c)
a a
b a ab b a
x x
a a a
a a
48
² 72
³ 8
² 6
³ 12
60 40
4
³ 12
² 8
5
³ 5
3 5
d)
³ 12
² 8
³ 4
³ 8
² 6
²
² 4
³ 75 25
7
² 7
6 9
6
a a a
a a a
b a ab b
a
a a
a a
e)
) 2 3 )(
7 ( ) 3 )(
3 2 (
) ( 3 ) ( 5
) 2 ( 5 ) 2 ( 4
) 3 )(
5 ( ) 4 )(
3 (
) ( 3 ) ( 2
a a
a a
a b y b a x
x y x y x
a x x
a
d c d c b
f)
)² 1 ( 3 ) 1 )(
1 ( 3
)² 2 ( 2 ) 2 ( 7
) ( 3 ) ( )² ( 7
)³ ( 4 )² ( 3
)² ( 3 ) ( 5
a a
a
a b b a a
y x x y x y x
y x y
x
b a b a
Dans la série suivante, il faut d’abord grouper deux à deux les termes. (méthode des groupements)
g)
³ 3
²
² 3
³
6 9 8 12
8 8
2 2
² 3 3
²
³
b ab b a a
y ay x ax
by ay bx ax
ax ay x
xy
bx ax b a a
2ème méthode : utilisation des produits remarquables.
Rappel :
a² - b² = (a+b) (a -b)
(différence de deux carrés)a² + 2ab + b² = ( a+b)²
(trinômes carré parfait)a² - 2ab + b² = (a-b)²
Exemples:
1) a² - 16 = (a-4)(a+4)
2) 9a²b² - 25y² = (3ab -5y)(3ab+5y)
3) 4a²+4a + 1 = (2a + 1)² 4) 9x² - 12x + 4 = (3x – 2)² Exercices :
Série 1.
a)
1
² 49
² 36
² 25
²
² 9
² 16
9
²
x
y x
b a
b x
b)
36
² 49
² 25
² ² 16 ²
² 9 ² 1
4
² 1
b a x y a b
b a
c)
16 625
81 16 16
16 81
4 4
8 8
4 4
4 4
4 4
y x
b a
b a
b a
y x
d)
² 16
²
²
³ 50
³ 32
³
² 7
² 7
² 2
² 2
a x a
ab b
a a a
y x
b a
e)
)² 2 3 (
² 16
)² 2 ( 9
)² (
² 4
² 9 )² 3 (
1 )² 1 (
b a a
y x
b a x
b b a a
f)
)² ( 9
² 100
² 36 )² ( 4
)² 3 ( )² 1 2 (
)² 3 2 ( )² 5 (
)² 4 2 ( )² 5 3 (
y x x
y y
x
b b
y x y
x
a a
série 2
a)
bx a x b a
x x
a a
b b x x
² 18
² 81
²
49 28
² 4
1 8
² 16
² 10 25
1 2
²
4
b)
³
² 2
²
36 24
² 4
² 2
³
128 96
² 18
27 36
² 12
b ab b a
x x
x x x
b b
a a
c)
² 2 1
² 16 4
²
4
² 1
b b a a
x x
2
² 3 16 9
²
25
² 15 2 9
² y xy x
b ab a
série 3
Mise en évidence, différence de carrés et trinômes carrés parfaits
a)
6 3
² 2
³
40 25
² 16
1 49
18 12
² 2
16
4 4
x x x
x x
a x x a
b)
4
5
16
³ 16
²
² 24
³ 48
100 40
² 4
9 )² 2 3 (
) 2 )(
5 ( ) 2 )(
2 3 (
xy x
b a b a ab
x x
x
y x a
y x a
c)
³
² 2 32
9
² 36
³ 27
1
² 2
16
²
4
3 4 4
b a b a
a a
a a a
x x
a ax
d)
4
² 1
4
²
² 4
²
²
) )(
2 ( ) )(
4 (
2
² 2
³
)² 1 3 (
² 16
a a
a x x a
x b y a b x y a
x x x
a a
e)
3 2 1
² 3
² 2
²
² 4 1 4
² 4
18 6
² 2
8 4 4
x x
b ab a
b a
a x x
c b a
3
èmeméthode : Factorisation d’un polynôme par la méthode d’Horner
notions à revoir : les polynômes et le vocabulaire lié à ceux-ci : réduit, ordonné, degré, complet, terme indépendant, valeur numérique, la division par Horner et le théorème du reste…
L’idée : rechercher par quels binômes du type (x-a) le polynôme à factoriser se divise exactement. Effectuer cette division et écrire le polynôme sous la forme de dq (diviseur fois quotient)
Marche à suivre.
Soit à factoriser le polynôme x³-4x²-11x+30.
1ère étape: rechercher par quel binôme du type (x –a) ce polynôme pourrait se diviser.
La valeur de a doit être un diviseur du terme indépendant : 30
Essayons. A) Divible par x-1 ? le reste de cette division = p(1) = 1³-4.1²-11.1+30 = 16 B) Divisible par (x + 1) ? reste = p(-1) = (-1)³ - 4.(-1)² - 11.(-1) +30 = 36 c) Divisible par x-2 ? reste = p(2) = 2³-4.2²-11.2+30 = 0 ça marche ! ! ! 2ème étape
Effectuons alors la division par la disposition d’horner.
1 -4 -11 30
2 2 -4 -30
1 -2 -15 0
Q(x) = x²-2x-15 3ème étape
On a alors x³-4x²-11x+30 = (x-2) ( x²-2x-15) 4ème étape
On pourrait alors essayer de factoriser x²-2x – 15 par la même méthode.
Il est inutile d’essayer de diviser par les binômes qui n’ont pas fonctionnés plus haut.
N’oublions pas que le valeurs de a doivent être diviseurs du terme indépendant. Ici 15.
Essayons x-3. Reste = p(3) = 3²-2.3-15 = -12
Essayons x+3. Reste = p(-3) = (-3)²-2.(-3)-15 = 0. Ça marche ! Effectuons la division.
1 -2 -15
-3 -3 15
1 -5 0
Q(x) = x-5 On a donc x²-2x-15 = (x+3)(x-5) 5ème étape
On a donc réussi à factoriser notre polynôme de départ et on peut écrire X³-4x²-11x+30 = (x-2)(x+3)(x-5)
Utilisation: si on avait du résoudre l’équation x³ -4x² -11x +30 = 0
On aurait factorisé en (x-2)(x+3)(x-5) = 0 et on aurait trouvé les 3 solutions possibles : 2 , -3 et 5.
Exercices :
Factorise les polynômes suivants en utilisant la méthode d’Horner.
22 35
² 14
³ ) 7
9 21
² 16
³ 4 ) 6
1 ) 5
12 16
² 7
³ ) 4
1
³ ) 3
35 12
² ) 2
6 5
² 2 )
1
5 3
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x
H. Exercices de synthèses sur la factorisation.
1. serie1
1) 9x² + 2x + 1 9 2) 2x
6+ 2 – 4x³ 3) x
4– 2x³ - x + 2 4) 3(x – y) – x(y – x) 5) y
5– 2y³
3 + y 9 6) 81x
4– 144
7) (2x + 1)² - (x + 1)² 8) 5t
4– 10t² + 5 9) 121a² - (2a + 3 )² 10) x² + 4y² - 1 – 4xy 11) u³ - 6u² - u + 6 12) –u² + 2u – 1 13) 8a³ - 8a² + 2a 14) a³ - 3a² - a + 3
15) x² - 12x – y² + 36 16) xy² - xz²
17) x
4y² - x²y
418) x²y – 6xy + 9y 19) 3x³y – 3xy³ 20) 0,04y² - 0,09x² 21) x
8– y
822) x² - x + 4
-123) mn
4op
4– mn²op² 24) 2a² - 12a + 18 25) x
6– 1
16 26) a
4– 2a² + 1 27) 5x³ - 15xy² 28) a
4– 6a² + 9 29) 49x³ - x
30) x² 4 + 1
49 - x 7 31) 9x²y² - 16 32) 4x² - 2x + 1 33) 4a²b³ - b 34) 75a² + 30a + 3 35) (x + 3)² - 16 36) 4x²(x + 3) – (3 + x) 37) 3x³y² - 5x
538) 9(x² - 3) - y
4(x² - 3) 39) 3x(y² - 2y) + 3x 40) x
4– 2x² + 1
41) (4x² +12x)² + 9(4x² + 12x)
42) 3x
4(x² - 4
3 ) – 75(x² - 4 3 )
2. serie2 (plus difficiles)
1) 2a(x + y) – 3b( -x – y) 2) x(2a – b) + y(b – 2a) 3) a(x – y) – (y – x)
4) (4a–2b)(2x – 3y) +(3y–2x)(b–2a) 5) a²(x – 1)(a + b) + a³(1 – x) 6) (x – 2y)(a – b) – (b – a)(2x + y)
8) a
4x
4- a
49) a
4b²x
5– a²x 10) 9x
5y
7– xy
11) 12(x + 2)³ - 3(x + 2)
12) (a – b) – (a – b)x
413) –3x
9+ 3x
515) 16a
4b² - 24a²b³ + 9b
416) x²(a² - 4) – (a² - 4) 17) (a + 1)
4– (a + 1)²
18) 125x³(x– y)² - 45x(3x + 2y)² 19) (a² + b² - c²)² - (a² - b² + c²)² 20) (a – 1)²
3 - a² 12 21) 2x³ + 5x² - 4x – 3 22) 2x³ + 3x² - 23x – 12 23) x
4+ 5x³ - 15x² - 45x + 54 24) 24x – 4 + 5x
4– 6x³ - 19x² 25) x² - 8x + 12
26) x² - 14x + 13
27) x² - 22x + 85 28) x² - 4x – 5 29) x² + 10x + 16 30) x² - 115x + 1500 31) x² - 4x – 32 32) x² + 5x – 14 33) x² + 20x + 19 34) x² - 4x – 12
35) x³ + 9x² + 11x – 21 36) x³ + 2x² - 5x – 6
37) x
4+ 2x³ - 16x² - 2x + 15 38) x
4– 7x
³+ 17x² - 17x + 6 39) x
5+ 3x
4– 16x – 48
4. Applications de la factorisation
I) Règle du produit nul
Si abc = 0 alors a=0 ou b= 0 ou c = 0
Résous les équations suivantes en utilisant le principe ci-dessus.
a)
0 8
²
0
² 4 )² 1 3 (
0 1 2
²
0 5
²
0
2
9
x
x x
x x
x x x
b)
² 18
³ 8
2
² 5
48
² 3
) 4 ( 5 ) 4 (
5
² 2
x x x x
x x
x
x x
c)
4
² 4
³ 4
² 1
)² 3 ( )² 1 3 (
² ) 1 ( ) 1 (
0 1 )² 1 2 (
x x x x
x x
x x x x
x
d) Devinette! Quand je multiplie par 9 un nombre et que j’ajoute 9 au résultat, j’obtiens la somme du carré et du cube du nombre de départ. Quel est ce nombre ? Y a-t-il une solution unique ?
e) Le volume d’une boîte parallélépipédique doit être égal à 30 cm3 . Le deuxième côté doit avoir 2 cm de moins que le premier et le troisième, 3 cm de moins que le premier. Est-ce possible ? Si oui, trouve la ou les solutions.
x x - 2
x - 3
II) Fractions rationnelles.
Simplification d’une fraction : rappel.
On ne peut simplifier une fraction que par un FACTEUR commun au numérateur et dénominateur.
b a bc ac
En aucun cas, on ne peut simplifier une fraction par un terme commun.
Ainsi :
b c c a
n,’est PAS simplifiable.
Pour simplifier une fraction, il faut donc commencer par factoriser le numérateur et le dénominateur et ensuite simplifier par les éventuels facteurs communs.
Exemple :
3 2
3 2 )²
3 2 (
) 3 2 )(
3 2 ( 9 12
² 4
9
² 4
x x x
x x
x x
x
Exercices :
